矢量分析与场论
第一章 矢理分析
1.1 矢性函数
1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A
与其
对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =
2． 矢性函数的极限和连续性
（1） 矢性函数极限的定义：()A t
在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢
量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t
当0t t →的极
限，记作：0
0lim ()t t A t A →=
；
极限的性质：（有界性）若0
0lim ()t t A t A →=
,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有
()A t M <
。
证明：
0lim ()1,0,..(;)
t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈
都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<
，
0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +
极限的则运算：0
lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?
000l i m (()())l i m ()l i m
()
t t
t t
t t
A t
B t A t B t →→→±=±
lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?
lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?
其中()u t ，()A t ，()B t
当0t t →时极限均存在。
证明：设0
0lim ()t t A t A →= ，0
0lim ()t t u t u →=，0
0lim ()t t B t B →=
；
000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-
，
00000000000
()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-
而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈
有1()A t M <
；对于任意给定的ε>o ，
10101
0,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<
; 同理
20,
,..(;)
s t
t U t δδ?>?∈
有00
()2A t A u ε
-<
所以取{}
1
1
2m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈
，00()()u t A t u A -<
101
22M u M u ε
ε
?+?
=
ε
其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
极限（0
lim ()t t A t → ）存在的充要条件：()A t
的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 当0t t →时极
限均存在。且0
???lim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k
→→→→=++
证明：充分性
由极限运算第一条可知：0
???lim(()),lim(()),lim(())x y z t t t t t t A t i A t j A t k
→→→
均存在，所以 0
???lim(()()())x y z t t A t i A t j A t k
→++
也存在且
?????
?l
i
m (
()
()x
y z x
y
t t
t
t t A t
i A
t j A
t
→→→
→
++=
++
即0
???lim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k
→→→→=++
必要性：不妨设0
0lim ()t t A t A →=
，则对于0,0,εδ?>?>只要0(;)t U t δ∈ 就有
0()A t A ε-< ;而00,0,0,??????()()()()()x y z x y z A t A A t i A t j A t k A i A j A k
-=++-++
所以
0,0,0,???(())(())(())x x y y z z A t A i A t A j A t A k
ε-+-+-<
；考虑：
0,0,0,0,0,???(())(())(())?(())()x x y y z z x x x x
A t A i A t A j A t A k A t A i A t A -+-+-≥-=-
所以：0,()x x A t A ε-< ，所以0
0,lim ()x x t t A t A →=
; 其他分量极限存在的证明类似。综上所述：
lim ()t t A t → 存在，则0
lim (),lim (),lim ()x y z t t t t t t A t A t A t →→→ 均存在，且0
0,lim ()x x t t A t A →=
0,lim ()y y t t A t A →= ，0
0,lim ()z z t t A t A →= ；自然0
???lim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k
→→→→=++
由此求矢性函数的极限可转化为求其三分量的极限。
（2） 矢性函数连续性的定义：若()A t
在0(;)U t δ内有定义，且0
0lim ()()t t A t A t →= 则称
()A t 在0t 处连续；如果()A t
在t 的I 区间上都连续则
称()A t
在I 上连续。
连续（()A t 在0t 处）的充要条件：()A t
的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 在0t 处均连续。
充分性：0
0lim ()()x x t t A t A t →= ，0
0lim ()()y y t t A t A t →= ，0
0lim ()()z z t t A t A t →=
。
000???lim ()()()()()x y z t t A t A t i A t j A t k A t →∴=++=
必要性：若0
lim ()t t A t → =0()A t ，显然0
0lim ()()x x t t A t A t →= ，0
0lim ()()y y t t A t A t →=
，
0lim ()()z z t t A t A t →=
；
1.2 矢性函数的导数与微分
1. 矢性的导数定义：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若0000()()()
lim lim
t t t A t t A t A t t t t
→?→+?-?=-?
存在则称此极限为()A t 在0t 处的导数。记为：()dA t dt 或()A t ' ；即()dA t dt
=0()
lim t A t t ?→??
导数存在的充要条件：()A t
的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 的导数均存在。且
()dA t dt
=()()()???y x z dA t dA t dA t i j k
dt dt dt
++
充分性：因为00()()()()???lim lim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t
?→?→????=++????
，而0()lim x
t A t t ?→?? ，0()lim
y t A t t
?→?? ，0()
lim z t A t t ?→?? 均存在。所以：0()lim t A t t ?→?? =0()?(lim )x t A t i t ?→?? +0()?(lim )y t A t j t
?→?? +0()?
(lim )z t A t k t ?→?? = ()()()???y x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt
++
必要性：因为00()()()()???lim lim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t
?→?→????=++????
存在所以0()lim x t A t t ?→?? ，
0()lim y t A t t ?→?? ，0()
lim z t A t t ?→?? 也都存在。且()dA t dt =()()()???y x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt
++
导矢的几何意义：由定义可知导矢表示的是位矢()A t
末端所画的曲线的切线。
2. 矢性函数的微分：()A t
在0(;)U t δ内有定义，如果00()()()A t t A t C t t +?-=?+? ，
其中C 为常矢量则称()A t 在0t 处可微，C t ? 为()A t
在0t 处的微分记作dA |0t t ==Cdt
可微与可导之间的关系：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若()A t
在0t 处可微则它在0t 必可导；反之若()A t 在0t 处可导则()A t
在0t 处可微。且dA |0t t ==0()A t dt ' 。
证明：若()A t
在0t 处可微，由定义可知：00()()()A t t A t C t t +?-=?+? ；
所以00()lim lim t t t t C t t A C t →→?+??==?
，即若()A t 在0t 处可导并有：0()A t ' =C 。
若()A t 在0t 处可导则: 0lim t t A t →?? =0()A t ' ,所以00lim(())0t t A A t t
→?'-=?
，从而
0()(1)A A t t
?'-=?
，即0()()A A t t t '?=?+? 所以()A t 在0t 处可微。 且dA |0t t ==0()A t dt '
由导数存在的充要条件及可微与可导之间的关系，可以得到：()A t
在0t 处可微当且仅当它
的三分量在0t 处可微。（可微的充要条件）
微分的意义：由微分的定义可知，当0t ?→时，dA =A ? 。()A t
增量可以用dA 来近似。
导数公式：（1）0dC dt
= （C 为常矢）；（2）()d A B dA dB
dt dt dt ±=±
； （3）()d kA dA k dt dt = （k 为常数）；（4）du dA
A u dt dt
+
； （5）()d A B dA dB B A dt dt dt ?=?+? ；（6）()d A B dA dB
B A dt dt dt ?=?+?
（7）复合函数求导：()A A u = ，()u u t =；dA dA du
dt du dt
=
证明方法与数分中求导公式类似。
1.3矢性函数的积分
1.矢必函数的不定积分：若在t 的某一区间I ，有()()B t A t '= ,则称()B t 为()A t
在区间I 上
的一个原函数，()A t 在区间I 上的全体原函数叫作()A t
在区间I 上的不定积分，记作：
()A t dt ?
()A t 的原函数之间的关系：()B t 是()A t 的一个原函数，刚其它原函数()F t =()B t
+C （C 为常矢）
证明方法与数分中类似，只要构建相应的微分中值定理即可
不定积分的基本性质：(1)()()kA t dt k A t dt =??
(2) (()())()()A t B t dt A t dt B t dt ±=±???
(3)
()()u t adt a u t dt =??
(4) ()()a A t dt a A t dt ?=???
(5) ()()a A t dt a A t dt ?=??? 其只a
为常矢，k 为非0常数。
证明比较容易，只要利用不定积分定义与导数公式就可证出。由（2），（3）两式我们可知：
???
()()()()x y z A t dt i A t dt j A t dt k A t dt =++????
（6）
换元积分法，与分步积分法也适用于矢性函数：()(())()u A u dt A u du ??'=??
（7） A B dt A B B A dt ''?=?+???
（8） A B dt A B B A dt ''?=?-???
（9）
证明： 设()B u 是()A u 的一个原函数，()u u ?=。则()()()B u A u u ?''= ，所以()B u
也是()()
A u u ?' 的一个原函数自然有（7）式。
.
设
???()()()()x y z A t A t i A t j A t k
=++
，
???()()()()x y z B t B t i B t j B t k
=++
则
???()()()()x y z A t A t i A t j A t k ''''=++ ，???()()()()x
y z B t B t i B t j B t k ''''=++
A B '? =???()()()()()
()x y z x y z i j k
A t A t A t
B t B t B t '''
，???()()()()()()
x y z x y z i j k
A B A t A t A t B t B t B t ?=
，???()()()()()
()x y z x y z i j k
B A B t B t B t A t A t A t '?='''
然后把积分展开，对比（8）式左边与右边即可。
（9）式与（8）式证明一样，只要比较式子左右两边。
2.矢性函数的定积分：()A t
在区间[],a b 上有定义，对于[],a b 上的任意一个分割
123[,,...
]T =???，0
1
lim ()n
i i T i A t ε→=?∑
都存在且唯一（i ε是i ?上的任意取点），则称0
1
lim ()n i i T i A t ε→=?∑ 为()A t 在区间[],a b 上的定积分，记：0
1
()lim ()n b i i a
T i A t dt A t ε→==?∑?
。
可积的充要条件：()A t
的三个分量在区间[],a b 均可积。且有
()()()()b
b b b x y z a
a
a
a
A t dt i A t dt j A t dt k A t dt =++?
???
。
证明：（充分性） 因为对于[],a b 上的任意一个分割123[,,...]T =???，0
1
lim ()n
x i i T i A t ε→=?∑
，
1
lim ()n
y i i
T i A t ε→=?∑
，
1
lim ()n
z i i
T i A t ε→=?∑
都存在，而
11
1
1
?lim ()lim ()lim ()lim ()n
n n n i i x i i y i i z i i
T T T T i i i i A t i A t j A t k A t εεεε→→→→====?=?+?+?∑∑∑∑
所以
1
l
i m ()n
i i T i A t ε→=?∑ 也存在并有()()()()b b b b x y z a a a a
A t dt i A t dt j A t dt k A t dt =++????
。
（必要性）因为对于[],a b 上的任意一个分割123[,,...]T =???，0
1
lim ()n
i i T i A t ε→=?∑
都存在且唯一，
而0
11
1
1
?lim ()lim ()lim ()lim ()n
n n n i i x i i y i i z i i T T T T i i i i A t i A t j A t k A t εεεε→→→→====?=?+?+?∑∑∑∑
，
所以 0
1
lim ()n
x i i T i A t ε→=?∑
，0
1
lim ()n y i i T i A t ε→=?∑ ，0
1
lim ()n z i i T i A t ε→=?∑ 都存在并有：()()()()b
b b b x y z a
a
a
a
A t dt i A t dt j A t dt k A t dt =++?
???
由数性函数可积的充要条件可知，()A t 在区间[],a b 可积当且仅当()A t
的三分量在区间[],a b 上连续
总结：矢性函数微积分的等价定义
由以下的几个充要条件：
（1） 极限（0
lim ()t t A t → ）存在的充要条件：()A t
的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 当
0t t →时极限均存在。且0
???lim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k
→→→→=++
（2） 连续（()A t 在0t 处）的充要条件：()A t
的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 在0
t 处均连续。
（3） 导数存在的充要条件：()A t
的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 的导数均存在。
且
()dA t dt
=()()()???y x z dA t dA t dA t i j k
dt dt dt
++
（4） 可微的充要条件：()A t
在0t 处可微当且仅当它的三分量在0t 处可微。 （5） 可积的充要条件：()A t
的三个分量在区间[],a b 均可积。且有
()()()()b
b b b x y z a
a
a
a
A t dt i A t dt j A t dt k A t dt =++?
???
。
我们可将对矢性函数的极限，求导，微分，积分计算定义为对其三个分量进行相应的计算，比如可以如此直接的定义矢性函数的
导数：若()A t 的三分量在0t 处均可导，则称000()()()x y z iA t jA t kA t '''++
为()A t 在0t 处的导数，记：()()()()()()y x z x y z dA t dA t dA t dA
iA t jA t kA t i j k dt dt dt dt
'''=++=++
； （如此构建的矢量函数微积分具有简洁性，因为我们可以直接应用数性函数的微积分性质）
（以上内容均为我学习矢理分析后按自己的理解顺序来组织，并非原创与权威，仅当参考。以后将整理出场论章节的内容）
1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场
1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直， 另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的 ()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点
1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新
1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了该物理量的场
1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t
1.2.1 场的概念
14 16
18
20
?35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
?10
?20
4
?30
?40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18
矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 32 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处，t r ai a k t π τ4 d 2d 2 = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2 -=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=
矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 §1.1 矢函数 与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念 定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作 A =A )(t （1.1.1） 并称D 为矢函数A 的定义域。 在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个 有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢 函数相当于三个数性函数。 本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O 也称为矢端曲线的极。 由于终点为),,(z y x M 的矢量对于原点O 的矢径为 zk yj xi r ++== 当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即 )(),(),(t A z t A y t A x z y x === （1.1.3） 此式就是曲线l 的参数方程。 只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。 2、矢函数的极限和连续性 定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义（但在o t 处可以无定义），A 0为一常矢。若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，
1矢量分析 1.在球面坐标系中，当?与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。 3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。 4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。 5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。 6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。 任一矢量的旋度的散度恒为（）。 7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以 是个（），而是个（），是个（）。 8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。
9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 | 10. 标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 14. 旋度为零的矢量场叫做（） 15. 标量函数的梯度是（），如静电场 16．无旋场的（）不能处处为零 17. 散度为零的矢量场叫做（） 18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场 19．无散场的（）不能处处为零 % 20．一般场：既有（），又有（） 21．任一标量的梯度的旋度恒为（） 22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。
4 习题 1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 x acost, y bsint 2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost 解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。 2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面 222 x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。 2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚 动， 所描曲线的矢量方程。 uuuur 解：设 M 点的矢径为 OM r xi yj ， AOC 与 x 轴的夹角为 uuuur uuur ；因 OM OC uuuur CM 有 r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 asin 2 则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j 4．求曲线 x t,y 2 ,z 2 t 3 的一个切向单位矢 量 解：曲线的矢量方程为 ti t dr 则其切向矢量为 dt 2t j 模为| d d r t | 1 4t 2 4t 4 dr 于是切向单位矢量为 dt / | d d r t 6．求曲线 x asin 2 t,y 23 t 3 k 2t 2 k 2t 2tj 2t 2 k 2 1 2t 2 asin 2t,z acost,在 t 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r asin 2 ti asin2tj acostk 求动圆上一定点 M
矢量分析与场论 第一章 矢理分析 1.1 矢性函数 1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其 对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t = 2． 矢性函数的极限和连续性 （1） 矢性函数极限的定义：()A t 在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢 量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极 限，记作：0 0lim ()t t A t A →= ； 极限的性质：（有界性）若0 0lim ()t t A t A →= ,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有 ()A t M < 。 证明： 0lim ()1,0,..(;) t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈ 都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-< ， 0()1A t A ∴<+ ，取M=01A + 极限的则运算：0 lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=? 000l i m (()())l i m ()l i m () t t t t t t A t B t A t B t →→→±=± lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? 其中()u t ，()A t ，()B t 当0t t →时极限均存在。 证明：设0 0lim ()t t A t A →= ，0 0lim ()t t u t u →=，0 0lim ()t t B t B →= ； 000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+- ，
2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。 3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。 4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。 5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。 6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。任一矢量的旋度的散度恒为（）。 7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以是个（），而是个（），是个（）。 8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。 9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 10. 标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。
14. 旋度为零的矢量场叫做（） 15. 标量函数的梯度是（），如静电场 16．无旋场的（）不能处处为零 17. 散度为零的矢量场叫做（） 18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场 19．无散场的（）不能处处为零 20．一般场：既有（），又有（） 21．任一标量的梯度的旋度恒为（） 22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。 23．给定三个矢量和： 求：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)在上的分量： (6)； (7)； (8)和。 24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。 (1) 判断是否为一直角三角形。 (2) 求三角形的面积。 25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。
矢量分析与场论 第一章矢量分析 一内容概要 1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数 A t ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A x,y或者A x, y,z，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢A't的几何意义，即 A' t是位于A t的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = A s，则 A' s =d A不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4矢量A t保持定长的充分必要条件是 A t与其导矢A' t互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 e t = cost i si nt j为单 位矢量，故有e t _e't，此外又由于e' t = ei t，故e t — & t。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为： A B'dt 二AB— B A'dt
A B'dt 二 A B B A'dt 前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者有两两项变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成 对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7矢性函数极限的基本运算公式（14）、导数运算公式（p11）、不定积分 的基本运算公式（p16）典型例题： 教材p6 例2、p10 例4、p12 例6、p13 例7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。补充： 1 2 TT 1）设r 二a0］亠b k，求S 二-i ir r' d^ 2）一质点以常角加速度沿圆周r = ae「运动，试证明其加速度 2 八-￡r，其中v为速度v的模。 a 3）已知矢量 A =t i -2t j l nt k , B = e t i si nt j - 3t k ,计算积分.A B' dt。 4）已知矢量 A = t i 2t j , B = cost i sint j ? e，k，计算积分A B'dt。 第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量uM或矢量A M在场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值
矢量分析与场论 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：
矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函
矢量分析与场论习题解答 习题1解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2 2 2 3x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在π r d 2
第02讲 本节内容 1，方向导数 2，梯度 3，散度 4，旋度 1 / 38
2 / 38 5， 正交坐标系 第一章 矢量分析与场论（2） 1，数量场的方向导数 1.1方向导数 由上节可知，数量场)(M u u 的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u 的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u 在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。
3 / 38 设0M 是数量场 )(M u u =中的一点，从 0M 出发沿某一方向引一 条射线l ，在l 上0M 的邻 近取一动点M ，ρ=M M 0， 若当 M M →时（即 0→ρ）： 的极限存在，则称此极限为函数)(M u 在点0M 处沿l 方向的方向导数。记为 M l u ??，即： 可见，方向导数0 M l u ??是函数)(M u 在点0M 处沿l 方向对距离的变化率。 M 0 l
4 / 38 当0>??l u 时，表示在0M 处 u 沿l 方向是增加的，反之就是减小的。 在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式： [定理] 若函数),,(z y x u u =在点),,(0000z y x M 处可微，αcos ，βcos ，γ cos 为l 方向的方向余弦。则u 在0M 处沿l 方向的方向导数必存在，且： 证：M 坐标为),,(000z z y y x x ?+?+?+ ∵u 在点0M 可微，故： ω是比ρ高阶的无穷小。两边除以ρ得 两边取0→ρ时的极限得 例 求数量场z y x u 2 2+=在点)2,1,1(M 处沿z y x l ?2?2?++= 方向的方向导数。
一、判断题 1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场 三、填空题 1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直，
另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是 ______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的方向导数M u n ??。 4、求矢量场()2322(32)()3x yz y yz xyz xz =-+++-A i j k 所产生的散度场通过点 (2,1,1)M -的等值面方程及其在点M 处沿x 轴正向的变化率。 五、证明题 1、设n 为闭合曲面S 的向外单位法矢，证明 （1）dV u u dS u S )(A A n A ??+??=??????Ω 2、在球面坐标系中，证明2 1r r = A e 为有势场，并求其势函数v 。
矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论 习题1 1(写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 xatybt,,cos,sin，， 2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos，， 1解: ，其图形是平面上之椭圆。 ratibtj,，cossinxOy，， ，其图形是平面与圆柱面rtitjtk,，，3sin4sin3cos430xy,,2，，222xz，,3之交线，为一椭圆。 2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。 ,3 223,，，rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3 dr2,i，2tj，2tk则其切向矢量为 dt dr242||,1，4t，4t,1，2t 模为 dt 2drdri，2tj，2tk /||,于是切向单位矢量为 2dtdt1，2t ,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。 xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,，，sinsin2cos解:曲线矢量方程为 dr,,,，,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt
,d2rt,在处， ,,,,aiak,4t,4d2t 22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t，1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。 22r,(t，1)i，(4t,3)j，(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处，切向矢量 t,2,,,[2ti，4j，(4t,6)k],4i，4j，2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z，4x,5z，4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为，即 2(x,5)，2(y,5)，(z，4),0 2x，2y，z,16,0 238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。 xyz，，,24rtitjtk,，， dr2解:曲线切向矢量为， ? ,,,，，23itjtkdt 平面的法矢量为，由题知 nijk,，，2 22 ,,，，,，，niktt,，itjtk2302j，,,143，，，， 1t,,,1,得。将此依次代入?式，得3 111 |,|11t,,,,,i，j,k,,,i，j,k t,,39273 111,,,,,,1,11,,,故所求点为，，,,3927,, 习题2 1(说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 11 u,;，，AxByCzD，，， z2,sinuarc ，，22，xy 1AxByCzD，，，,0解:场所在的空间区域是除外的空间。，， 等值面为 11,C或Ax，By，Cz，D,,0，这是与平(C,0为任意常数)11Ax，By，Cz，DC1
习题1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为 2θπ-；因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2++= 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。
矢量网络分析仪实验报告 一、实验容 单端口：测量Open，Short，Load校准件的三组参数，分别进行单端口的校准。 a.设置测量参数 1)预设：preset OK 2)选择测试参数S11：Meas->S11; 3)设置数据显示格式为对数幅度格式：Format->LogMag; 4)设置频率围：Start->1.5GHz，Stop->2.5GHz（面板键盘上“G”代表 GHz，“M”代表MHz，“k”代表kHz； 5)设置扫描点数：Sweep Setup->Points->101->x1（或”Enter”键或按 下大按钮）； 6)设置信号源扫描功率：Sweep Setup->Power->Foc->-10->x1->Entry Off （隐藏设置窗）。 b.单端口校准与测量 1)设置校准件型号：Cal->Cal Kit->85032F（或自定义/user）（F指femal 母头校准件，M指male公头校准件）； 2)Modify Cal Kit->Specify CLSs->Open->Set All->Open(m/f),返回到 Specify CLSs->Short->Set ALL->Short(m/f)； 3)选择单端口校准并选择校准端口：Cal-Calibrate->1-Port Cal->Select Port->1（端口1 的校准，端口2也可如此操作）； 4)把Open校准件连接到端口（或与校准端口相连的同轴电缆另一连 接端），点击Open，校准提示（嘀的响声）后完成Open校准件的 测量；得到的结果如Fig 1：单口Open校准件测量 5)把Short校准件连接到端口（或与校准端口相连的同轴电缆另一连 接端），点击Short，校准提示（嘀的响声）后完成Short校准件的 测量；得到的结果如Fig 2：单口Short校准件测量 6)把Load校准件连接到端口（或与校准端口相连的同轴电缆另一连
矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为 2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处，t r ai a k t π τ4 d d = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和 法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=
矢量代数 赵黎晨
第一节 矢量分析与场论基础 在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格. 一、矢量代数 1.两个矢量的点乘、叉乘 若 123(,,)a a a a = 123(,,)b b b b = 则 a , b 的点乘(也称标量积) 112233a b a b a b a b ?=++ (cos a b b a a b α?=?= ) a ,b 的叉乘(也称矢量积) )()()(1221331132233213 2 1 321 3 21b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==? 的大小 b a ?sin a b α ，α为a , b 的夹角 方向：既垂直于a ，又垂直于b ,与b a ,满足右手螺旋关系。 叉乘的不可交换性 a b b a ?-=? 2.三个矢量的混合积 112233()()()()c a b c a b c a b c a b ??=?+?+? =)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+- 几何解释:以c b a ,,为棱的平行六面体的体积 性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变. ()()()a b c b c a c a b ??=??=?? (2)若只把两个矢量对调,混合积反号。 ()()()(a b c a c b b a c c b a ??=-??=-??=-??
（学生填写） ： 姓名： 学号： 命题： 廖思泉 审题： 审批： ---------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线） 《矢量分析与场论》期末考查A 卷试题答案 命题教师：李伟勋 使用班级：电子10-1,2班 一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分） 1．通量 定义：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量，即 ???=ψS d S A ----------------------3分 物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 --------5分 2．矢量的旋度 定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合回路，所围面积为?S ，A 的旋度是矢量，其大小为?S →0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 0max 0lim n l A A A A S d Curl rot l S ??=??==?→?--------3分 物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。-------5分 3．标量的梯度 定义：标量场u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u 在该方向上的增加率，即最大增加率。---------3分 物理意义：标量的梯度表示了标量u 增加率的最大值及方向。 00grad grad u u u u n ?=?==?n n ---------5分 4、保守场 ?u 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。 即)()(1221p u p u d u p p -=???l ------------3分 则?u 称为保守场，u 称为保守位场。------------5分 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、数量场 22yz x u = 在点)1,1,2(-M 处沿哪个方向的方向导数最大？这个最大值是多少？ （本小题10分）