九年级切线长定理练习 题精选 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
九年级切线长定理练习题 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个 4题图 5题图 6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 二、填空题 6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o， 则∠A的度为 ________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________． 8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．
初中数学试卷 垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 ★★2．如图2，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 ★★4．如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 ★★5．如图4，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm ★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米
★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm ★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题 ★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★★5．如图1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米 O 图 4E D C B A ★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. ★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ ★★9．如图2，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图3所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ★★11．如图4，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 ★★12．如图5，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm ★★13．如图6，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么 B A P O y x
第3课时切线长定理 【知识与技能】 理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 【情感态度】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力. 【教学重点】 切线长定理及其应用. 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用. 一、情境导入，初步认识 探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？ 学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题. 分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB 经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.
二、思考探究，获取新知 1.切线长的定义及性质 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线. 如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO. 由此我们得到切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？ 分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP ⊥AB，且OP平分AB. 2.三角形的内切圆 思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ 【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨
切线长定理—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：
1 《切线长定理》专题 班级 姓名 （一）温故知新： 1．直线和圆有哪几种位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？ （二）探究新知： 探究一：如图所示，已知⊙O 及圆外一点P ，过点P 作⊙O 的切线，可以作几条？ ☆ 从⊙O 外一点P 可以引⊙O 的 条切线， ☆ 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与 的线段的长，叫做这点到圆的 。 问题：如图，已知⊙O 及圆外一点P ，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，连接PO ，图中有哪些相等线段，相等的角？为什么？ 总结归纳： ☆ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 ，圆心和这一点的连线 两条切线的夹角. 用符号语言表示定理： （三）学以致用： 1.填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ， （1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿. （2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿； （3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿； 例 1 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA 的长.⑵如果∠APB=50°，C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，求∠ACB 的度数？ P P
探究二：如图，是一块三角形铁皮，怎样才能从中剪裁一个“最大的圆”？ 作法： 总结归纳： ☆三角形的内切圆：与三角形各边都的圆叫做三角形的.内切圆的圆心是的交点，叫做三角形的。内心到的距离相等 1.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，图中共有几对相等线段？ ⑴若AD=4，BC=5，CF=2，则△ABC的周长是＿＿；⑵如果∠A=70°，则∠BOC= ； ⑶若AB=4，BC=5，AC=6，求AD，BE，CF的长？ 例2 如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，求⊙I的半径？ 直线和圆的位置关系习题课 A 2
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
切线长定理 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：及其应用．因再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．难点：与有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展
在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 是教学重点 教学难点: 的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O 的切线长．
初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲 一. 本周教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()() 1234 ??? O B' M' A' B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
第11讲垂径定理 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定 理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的 应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆 的其他内容理解奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：15分钟 垂径定理及其推论 （1）垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的弧。 （2）相关推论 ①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的弧； ①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦； ①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平 分这条弦所对的弧；
①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且垂直于这条弦； ①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线 经过圆心，并且平分这条弦。 总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关 系也成立。
课堂精讲精练 【例题1】 下列判断中，正确的是（）。 A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦 B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分 C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径 D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等 【答案】C 【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误； 任意两条直径互相平分，故B错误； 同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。 讲解用时：3分钟 解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。 教学建议：基本概念题，逐项排除。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1】 下列说法正确的个数是（）。 ①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对 的优弧和劣弧分别相等。 A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质， ①垂直于弦的直径平分弦；故错误； ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；
《切线长定理》教案 浠水县望城实验中学万春光 教学目标 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题. 2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点 切线长定理及其运用. 教学难点 切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题. 教学过程 (一)情景引入 由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长. (二)探求新知 活动一：切线长定义
如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长. 切线长定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.） 活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线. （演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线. 活动三： 观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB 都是点P到⊙O的切线长． 1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢. (2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系. 2、观察： 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 4、证明猜想，形成定理
《切线长定理》习题 1．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（) A．21 B．20 C．19 D．18 2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角（不包括∠PAB本身)有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的（) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 4．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150° 5．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60 ，则OP =（) A．50cm B．253cm C． 33 50 cm D．503cm 6．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．
B A C P O A．60° B．75° C．105° D．120° 7．如图，在△ABC中，5cm AB AC = =，cosB 3 5 =．如果⊙O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO =__________cm． 8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且 60 = ∠AEB，则= ∠P_____度．9．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长． 10．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有一下结论：（1）CO ⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形．试说明理由． G F E C B 初中数学试卷
B F E O D C A 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点， AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. A B C D O A B C D O O A E F
变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。. A C B D O C A D E
新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 切线长定理—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、切线长定理 1.如图，等腰三角形ABC中，6 AC BC ==，8 AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G，DF AC ⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线. 【答案与解析】 如图，连结OD、CD，则90 BDC ∠=?． ∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点，
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
B F E O D C A O D C B A A B C D O 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 变式2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求： AOB ∠的度数和圆的半径。. 已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、2、 3. 求BAC ∠的度数。 （三）、相交问题 如 图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°， 求CD 的长. （四）平行问题 (南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm . 变式一：圆内两条互相平行的弦AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离。 2、 如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 CD=20cm ，水深GF=2cm ．若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？ （五）同心圆问题 O A B C D E A C B D O A B C D O C A D E
24.2.2直线和圆的位置关系 第3课时切线长定理 一、新课导入 1.导入课题： 情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？ 问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？ 这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题). 2.学习目标： （1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. （2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. （3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 3.学习重、难点： 重点：切线长定理及其运用. 难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆. 二、分层学习 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：完成探究提纲. (4)探究提纲： ①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条. ②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长， 如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长. ③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？ PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.
④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理. 文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B. ∴PA = PB,OP平分∠APB . 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明. ②差异指导：根据学情确定指导方案. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化： （1）切线长定理及它的证明. （2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？ 解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2. 解得r=3. 即⊙O的半径长为3. 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想. (4)自学参考提纲： ①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I. 因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上； 因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上； 所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点. a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I； b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.
九年级切线长定理练习 题 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
九年级切线长定理练习题 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个4题图5题图 6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 二、填空题
P B A O 6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o ， 则∠A 的度为________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o ，则∠BOC 为____________度． 三、解答题 9. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点 A 、 B ，若 直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长． 11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝ 30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的 长． 13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ， 它的内 切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ． 14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ， AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积． 15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°． (1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ． 四、体验中考 16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）
1 垂径定理练习题一 一．选择题 1、如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、4 2．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5 3．高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10 米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．37 7 4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 二．填空题 1．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是 mm ． 2．如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 3．如图，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ． 4．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是 cm 的管道． 5．如图5，点A B ，是⊙O 上两点，10AB =，点P 是⊙O 上的动点（P 与A B ，不重合）连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥ 于点F ，则EF = ． 三．解答题 已知：如图1，30PAC ∠=?，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两 点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长． 垂径定理练习题二 1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。 2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。 3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。 4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。 5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为 6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。 6、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O 是 的圆心，E 为 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已 知CD = 600m ，EF = 100m ，求这段弯路的半径． 8、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管 道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB 的长，你仍然会做吗？ C A B D E O A B 60cm 10cm C O D E F A B O M 第2题图3 O D A B C 第4题图 O A D B C E F P 图1
切 线 长 定 理 胜利中学刘秀峰 学习目标：理解切线长、切线长定理，并会用切线长定理解决实际问题。培养学生的观察、 分析能力，转化思想。 重点：切线长定理及实际应用。 难点：切线长定理的实际应用。 学习过程： 一、如图：在同一平面内，你能过已知点，作出已知圆的切线吗？ 二填空： 1、经过 一点作圆的切线, 和 之间的 叫做这点到圆的 2、如图：(1)直线PA ，PB 叫 。 （2）线段PA 、PB 的长叫 。 3、切线和切线长是两个不同的概念： （1）、切线是一条与圆相切的 ，不能 ； （2）、切线长是 ，这条线段的两个端点分别是 和切点，可以 。 4、切线长定理：从 可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角． 5、切线长定理的数学语言是： ∵ ∵ 6、如图：PA 、PB 是∵O 的两条切线，A 、B 为切点；由切线长定理可以得出哪些结论？ (1) 图中所有的直角三角形是： (2) 图中所有的等腰三角形是： (3) 图中所有的全等三角形是： 三、尝试应用（一），我最棒！ 如图：已知∵O 的半径为3cm ，PO ＝5cm ，PA ，PB 分别切∵O 于A ，B ， （1）PA ＝ ,PB ＝ . （2）若PO 交∵O 于点Q ，直线CD 切∵O 于点Q ，交PA 、PB 于点C 、D ，则 ∵PCD 的周长是______. · O · O · O ·P ·P ·P O B A P O B A P C Q D Q D C 。 A O C P B
四、如图：有一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮? 五、尝试应用（二） 已知：在∵ABC 中，BC ＝14厘米，AC ＝9厘米，AB ＝13厘米，它的内切圆I 分别和BC ，AC ，AB 相切于点D ，E ，F ，求AF ，BD 和CE 的长 六、小结： 1、本节课你有什么收获？ 2、你还有什么不明白的问题吗？ 七、课堂检测，我是高手！要求认真读题、回扣知识点！ 1、直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm 则其内切圆的半径为______。 2.已知：AB,BC,CD 分别与⊙O 相切于E,F,G 三点，且AB ∥CD ，BO=6cm ，CO=8cm.求BC 的长.. A B C ● I D E F B A C a b c r A F E C B O