实验 一 利用MATLAB 进行线性系统的
模型转换及联结
实验目的：
1、学习系统状态空间模型的建立方法、了解状态空间模型与传递函数、零极点模型之间相互转换的方法；
2、通过编程、上机调试，掌握系统状态空间模型与传递函数相互转换的方法。
3、通过编程、上机调试，掌握系统模型的联结方法。
实验原理：
一、连续系统
（1）状态空间模型
x Ax Bu y Cx Du
=+=+ （1.1） 其中：n x R ∈是系统的状态向量，m u R ∈是控制输入，p y R ∈是测量输出，A 是n n ?维状态矩阵、B 是n m ?维输入矩阵、C 是p n ?维输出矩阵、D 是直接转移矩阵。在MA TLAB 中，用（A,B,C,D ）矩阵组表示。
系统传递函数和状态空间模型之间的关系如式（1.2）所示。
1()()G s C sI A B D -=-+ （1.2）
（2）传递函数模型
11101110
()(),()m m m m n n n n b s b s b s b num s H s m n den s a s a s a s a ----++++==≤++++ 在MA TLAB 中，直接用分子/分母的系数表示
1010[,,,]
[,,,]
m m n n num b b b den a a a --==
（3）零极点增益模型 1212()()()()()()()
m n s z s z s z H s k s p s p s p ---=--- 在MA TLAB 中，用[z, p, k]矢量组表示，即
1212[,,,];
[,,,];[];
m n z z z z p p p p k k ===
例1.1 求由以下状态空间模型所表示系统的传递函数，
[]1122331230100001255255120100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????----????????????=??????
编写并执行以下的m-文件：
A=[0 1 0;0 0 1;-5 –25 –5];
B=[0;25;-120];
C=[1 0 0];
D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
得到：
num= 0 -0.0000 25.0000 5.0000
den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000
因此，所求系统的传递函数是
32255()5255
s G s s s s +=+++ 例1.2 考虑由以下状态空间模型描述的系统：
11122211220111254011001x x u x x u y u y u ??????????=+??????????--????????????????=???????
????? 求其传递函数矩阵。
解 这是一个2输入2输出系统。描述该系统的传递函数是一个22?维矩阵，它包括4个传递函数：
11122122()()()()()()()()Y s U s Y s U s Y s U s Y s U s ??????
当考虑输入1u 时，可设2u 为零，反之亦然。执行以下的m-文件：
A=[0 1;-25 –4];
B=[1 1;0 1];
C=[1 0;0 1];
D=[0 0;0 0];
[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1)
[num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2)
得到：
num1=
0 1 4
0 0 -25
den1=
1 4 25
num2=
0 1.0000 5.0000
0 1.0000 -25.0000
den2=
1 4 25
因此，所求的4个传递函数是
122211122222()()425,()425()425
()()525,()425()425
Y s Y s s U s s s U s s s Y s Y s s s U s s s U s s s +-==+++++-==++++
例1.3 试给出以下传递函数的状态空间实现 321010()6510
s G s s s s +=
+++ 解 执行以下的m-文件：
num=[0 0 10 10];
den=[1 6 5 10];
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
得到
A=
-6 -5 -10
1 0 0
0 1 0
B=
1
C=
0 10 10
D=
因此，所考虑传递函数的一个状态空间实现是
[]112233123651011000010001010x x x x u x x x y x x ---????????????????=+????????????????????????????=??????
二、离散系统
（1）传递函数模型
11101110
()m m m m n n n n b z b z b z b H z a z a z a z a ----++++=++++
（2）零极点增益模型 1212()()()()()()()
m n z z z z z z H z k
z p z p z p ---=--- （3）状态空间模型 (1)()()()()()
x k Ax k Bu k y k Cx k Du k +=+=+
三、三种模型间的转换
表示状态空间模型和传递函数的MA TLAB 函数。
函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是
SYS = ss(A,B,C,D)
函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是
G=tf(num,den)
其中的num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。
（1）传递函数模型与状态空间模型间的转换：
函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
其中对多输入系统，必须确定iu 的值。例如，若系统有三个输入和，则iu 必须是1、2或3，其中1表示1u ，2表示2u ，3表示3u 。该函数的结果是第iu 个输入到所有输出的传递函数。
（2）传递函数模型与零极点模型间的转换：
函数tf2zp 将传递函数模型转换为零极点模型，其一般形式是
[z, p, k]=tf2zp(num,den)
函数zp2tf 将零极点模型转换为传递函数模型，其一般形式是
[num,den]=zp2tf(z, p, k)
（3）零极点模型与状态空间模型间的转换：
函数tf2zp 将零极点模型转换为状态空间模型，其一般形式是
[A,B,C,D]=zp2ss(z, p, k)
函数zp2tf 将状态空间模型转换为零极点模型，其一般形式是
[z, p, k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)
四、系统建模与模型联结
（1）并联
将两个系统按并联方式连接，用parallel 函数实现
格式：
[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)
[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,inp1,inp2,out1,out2)
[a,b,c,d]=parallel(num1,den1,num2,den2)
例1.4 两子系统为
1223
()424()23g s s s g s s s =
++=++ 将两者作并联连接
输入
num1=3;
den1=[1,4];
num2=[2,4];
den2=[1,2,3];
[num,den]=parallel[num1,den1,num2,den2]
得到
num=
0 5 18 25
den=
1 6 11 12;
因此
2123251825()()()61112
s s g s g s g s s s s ++=+=+++ （2）串联
将两个系统按串联方式连接，用series 函数实现
（3）闭环
将系统通过正负反馈连接成闭环系统，用cloop 函数实现
（4）反馈
将两个系统按反馈方式连接成闭环系统，用feedback 函数实现
（5）利用函数sppend 构造增广系统；
（6）函数blkbuild 和connect 得到多个子系统任意联结构成的系统。
五、模型转换
传递函数可以转换为约旦标准型（包括对角标准型）、能控标准型和能观测标准型。
(1) 约旦标准型
函数jordants( ) 可用部分分式展开将传递函数转换为对角标准型或约当标准型。该函数的调用格式为：
),(den num jordants GJ =
其中num 和den 分别为传递函数分子和分母多项式系数的行向量，GJ 为转换得到对角标准型或约当标准型。
该函数的程序如下：
function Gj=jordants(num,den) %用部分分式展开将传递函数转换为约当标准型
[R,P,K]=residue(num,den);
j=1;q=P(1);m(1)=0;
for i=1:length(P)
if P(i)==q
m(j)=m(j)+1;
else q=P(i);
j=j+1;
m(j)=1;
end
end %计算各极点的重数
Aj=diag(P);
for i=1:length(P)-1
if Aj(i,i)==Aj(i+1,i+1)
Aj(i,i+1)=1;
else Aj(i,i+1)=0;
end
end %构造系统矩阵Aj
B1=0;
l=0;
for j=1:length(m)
l=l+m(j);
B1(l)=1;
end
Bj=B1'; %构造输入矩阵Bj
n=1;l=m(1);
Cj(:,1:m(1))=rot90(R(1:m(1),:),3);
for k=2:length(m)
n=l+1;l=l+m(k);
Cj(:,n:l)=rot90(R(n:l,:),3);
end %构造输出矩阵Cj
if K==[ ]
Dj=0;
else
Dj=K;
end %构造直联矩阵Dj
Gj=ss(Aj,Bj,Cj,Dj);
例1.5 已知系统的传递函数为
6
1166)(23+++=s s s s G 将其转换为对角标准型。
在命令窗中运行下列命令
>> num=6;den=[1 6 11 6];Gj=jordants(num,den)
返回
a =
x1 x2 x3
x1 -3 0 0
x2 0 -2 0
x3 0 0 -1
b =
u1
x1 1
x2 1
x3 1
c =
x1 x2 x3
y1 3 -6 3
d =
u1
y1 0
Continuous-time model.
例1.6 已知系统的传递函数为
4
851117102)(2323++++++=s s s s s s s G 将其转换为约当标准型。
在命令窗中运行下列命令
>> num=[2 10 17 11]; den=[1 5 8 4]; Gj=jordants(num,den)
返回
a =
x1 x2 x3
x1 -2 1 0
x2 0 -2 0
x3 0 0 -1
b =
u1
x1 0
x2 1
x3 1
c =
x1 x2 x3
y1 -1 -2 2
d =
u1
y1 2
（2）能控标准型
函数ctrlts( )可将传递函数转换为能控标准型。该函数的调用格式为：
)
Gc
num
ctrlts
,
(den
其中num和den分别为传递函数的分子和分母多项式系数的行向量，Gc为转换得到的能控标准型。
该函数的程序如下:
function Gc=ctrlts(num,den) %将传递函数转换为能控标准型
m=length(num)-1;n=length(den)-1;
if m==n
[R,P,K]=residue(num,den);
num1=num-K*den;
A(n,:)=-1*rot90(den(:,2:n+1),2);
A(1:n-1,2:n)=eye(n-1);
A(1:n-1,1)=zeros(n-1,1);
B=[zeros(n-1,1);1];
C=rot90(num1(:,2:n+1),2);
D=K;
else A(n,:)=-1*rot90(den(:,2:n+1),2);
A(1:n-1,2:n)=eye(n-1);
A(1:n-1,1)=zeros(n-1,1);
B=[zeros(n-1,1);1];
C(:,1:m+1)=rot90(num,2);
C(:,m+2:n)=zeros(1,n-m-1);
D=0;
end
Gc=ss(A,B,C,D);
例1.7将例1.6中的传递函数转换为能控标准型。
在命令窗中运行下列命令
>> num=[2 10 17 11];den=[1 5 8 4];Gc=ctrlts(num,den)
返回
a =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -4 -8 -5
b =
u1
x1 0
x2 0
x3 1
c =
x1 x2 x3
y1 3 1 0
d =
u1
y1 2
进一步，求能控标准型的对偶系统可得能观测标准型。在命令窗中运行下列命令>> Ao=(Gc.a)';Bo=(Gc.c)';Co=(Gc.b)';Do=Gc.d;Go=ss(Ao,Bo,Co,Do)
返回
a =
x1 x2 x3
x1 0 0 -4
x2 1 0 -8
x3 0 1 -5
b =
u1
x1 3
x2 1
x3 0
c =
x1 x2 x3
y1 0 0 1
d =
u1
y1 2
Continuous-time model.
实验步骤：
1、根据所给系统的已知条件，如传递函数、零极点模型或（A 、B 、C 、D ），实现状态空间模型、传递函数模型、零极点增益模型之间的转换，采用MATLAB 的相关函数编写m-文件。
2、应用系统建模工具，并联、串联、闭环、反馈等函数解决实际问题。
3、在MA TLAB 界面下调试程序。
实验要求：
1. 已知系统的传递函数 (a) )
3()1(4)(2++=s s s s G (b) 3
486)(22++++=s s s s s G (c)
61161)(232+++++=z z z z z z G （1）建立系统的TF 或ZPK 模型。
（2）将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
（3）将给定传递函数用函数jordants( )转换为对角标准型或约当标准型。再将得到的对角标准型或约当标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
（4）将给定传递函数用函数ctrlts( )转换为能控标准型和能观测标准型。再将得到的能控标准型和能观测标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
2. 已知系统的状态空间表达式
(a) u x x ??
????+??????--=106510 []x y 11=
(b) u x x ????
??????+??????????---=7126712203010 []111=y
（1）建立给定系统的状态空间模型。用函数eig( ) 求出系统特征值。用函数tf( ) 和zpk( )将这些状态空间表达式转换为传递函数，记录得到的传递函数和它的零极点。比较系统的特征值和极点是否一致，为什么?
（2）用函数canon( )将给定状态空间表达式转换为对角标准型。用函数eig( )求出系统特征值。比较这些特征值和（1）中的特征值是否一致，为什么? 再用函数tf( )和zpk( )将对角标准型或约当标准型转换为传递函数。比较这些传递函数和（1）中的传递函数是否一致，为什么?
（3）用函数ctrlss( )将给定的状态空间表达式转换为能控标准型和能观测标准型。用函数eig( )求系统的特征值。比较这些特征值和（1）中的特征值是否一致，为什么?再用函数tf( )将它们转换为传递函数。比较这些传递函数和（1）中的传递函数是否一致，为什么?
3. 已知两个子系统
4
41)(21+++=s s s s G 6
11653)(232++++=s s s s s G （1）建立两个子系统的传递函数模型。求它们串联、并联、反馈连接时, 整个系统的传递函数模型。然后将所得传递函数模型转换为状态空间模型。
（2）将两个子系统的传递函数模型转换为状态空间模型。求它们串联、并联、反馈连接时, 整个系统的状态空间模型。然后将所得状态空间模型转换为传递函数模型。比较（1）和（2）所得的相应的结果。
（3）将（2）中所得的整个系统的状态空间模型的系数矩阵与教材中推导出的整个系统的状态空间表达式的系数矩阵比较，是否符合？
4．应用MA TLAB 求下面传递函数阵的状态空间实现
232252()234
s s s G s s s s +????++??=+++ 提示：num =[0 0 1 2；0 1 5 3]
5．一个双输入双输出系统
112233412311022711353x x x x u x x -????????????????=+????????????????-????????
11223120011x y x y x ????????=??????????????
求出此模型的能控标准型和能观标准型。
提示：写出两个子系统的传递函数模型，进而求出这两个传递函数模型的能控标准型实现或能观标准型实现，讨论是否能通过子系统的能控标准型实现或能观标准型实现求出原来系统的能控标准型和能观标准型。
习题解答 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 2-14 2-15 2-16 2-17 2-18
2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出 量。试列写状态空间模型。 题图2-1 解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()() 1 ()()()()() i L C L C R C C d U t L i t U t dt d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+ (2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0 时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即 x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 1221211 11 i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程 11i 22110110x x L U L x x C RC ??-??????????=+???? ???? -???????????? (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 1221110C x y U x x R R R ????===?? ?????? (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达 式 11i 221211011010 x x L U L x x C RC x y x R ??-?????????? =+????????-? ??????????? ??? ?=????? ???
信息工程学院现代控制理论课程习题清单
正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。
王金城化工出版社第1章习题参考答案： 1-1（a ）选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量，根据牛顿定律， 对1M ，有()1 1112121 dv M g K y K y y M dt ---= 对2M ，有()()2 22123232dv M g K y y K y y M dt +---= 对3M ，有()3 3323433dv M g K y y K y M dt +--= 令312112233415263,,,,,dy dy dy x y x y x y x v x v x v dt dt dt ===== ====，整理得 ()()()122214253641 11 23342332 51262322233 ,,,, ,K K K x x x x x x x x x g M M K K K K K x K K x x x g x x x g M M M M M +====-++++= -++=-+ () ()() 122 11 23222 22 3433 3 000100000010000000100000 01100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ? ????? ??????? ? ??+??-????=+??????+?? ??- ? ? ???? ??? ? +- ?? ??? ? 100000010000001000y x ?? ??=?? ???? （b ）选12,12,,y y v v 为状态变量，根据牛顿定律， 对1M ，有()1 1121111 dv M g B v v K y M dt +--= 对2M ，有()2 2221212dv f M g B v B v v M dt +---= 令1211223142,,,dy dy x y x y x v x v dt dt === ===，整理得 11113243134111 ,,K B B x x x x x x x x g M M M ===--++， 112434222 B B B f x x x g M M M +=-++
《现代控制理论》复习题1 一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号 里打√，反之打×。 （ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定 是能控的。 （ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （ √ ）4. 对系统Ax x =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 （ √ ）5. 根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。 二、（15分）考虑由下式确定的系统： 2 33 )(2 +++= s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为 []? ? ? ???=??????+??????? ?????--=??????21212113103210x x y u x x x x & & 能观测标准形为 []? ? ? ???=??????+??????? ?????--=??????21212110133120x x y u x x x x & & 对角标准形为 []? ? ? ???-=??????+????????????--=??????21212112112001x x y u x x x x && 三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统 x x ?? ????--=3210 & 求其状态转移矩阵。 解：解法1。
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下： u K x K x K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ?
令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ??????????????? ????????????? ??????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为：
第一章 控制系统的状态空间表达式 １． 状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+=&1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２． 状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４． 状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积 分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量 i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时， 设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。 状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。 子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。 第二章 控制系统状态空间表达式的解
第一章 系统描述 1.1 引言 一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n 个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。 本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan 、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MA TLAB 进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出几种主要的设计方法。 本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。1.3节讨论用MA TLAB 进行系统模型的转换（如从传递函数变换为状态空间模型等）。 1.2 状态空间表达式 为获得传递函数的状态空间表达式，有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与Jordan 标准形，在例1.17~1.21中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。 1.2.1 状态空间表达式的标准形式 考虑由下式定义的系统： )1.1(1)1(1)(1)1(1)(u b u b u b u b y a y a y a y n n n n o n n n n ++++=++++---- 式中u 为输入，y 为输出。该式也可写为 )2.1()()(1111110n n n n n n n n a s a s a s b s b s b s b s U s Y +++++++= --- － 下面给出由式（1.1）或式（1.2）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形（或Jordan 形）标准形。
Elements of Modern Control Theory 主讲：董霞 现代控制理论基础 西安交通大学机械工程学院 Email：xdong@https://www.doczj.com/doc/3a9017852.html, 办公地点：西二楼东207
参考教材 《现代控制工程》王军平董霞主编 西安交通大学出版社 教材 《现代控制理论基础》（机械类）何钺编 机械工业出版社 《现代控制工程》（第三版）Katsuhiko Ogata著卢伯英、于海勋译电子工业出 版社
第一章绪论 现代控制理论是在20世纪50年代末、60年代初形成的控制理论。之所以称其为现代控制 理论是与经典控制理论相比较而言的。
1.1 控制理论发展简史 目前国内外学术界普遍认为控制理论经历了三个发展阶段： 经典控制理论 现代控制理论 智能控制理论 这种阶段性发展是由简单到复杂、由量变到质变的辩证发展过程。并且，这三个阶段不是相互排斥，而是相互补充、相辅相成的，它们各有其应用领域，并还在不同程度地继续发展着。
控制理论中反馈的概念 代表性人物：瓦 特（J.Watt)，于1788年发明了 蒸汽机飞球调速器。这是一个典 型的自动调节系 统，由此拉开了 经典控制理论发 展的序幕。 控制理论诞生前， 人们对于反馈就有 了认识。
经典控制理论的诞生 1868 年，英国物理学家J.C.Maxwell 发表《论调速器》论文，解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈振荡问题； 1877年，英国科学家E.J. Routh 建立了劳斯稳定性判据； 1895年，德国数学家A. Hurwitz 提出了胡尔维茨稳定性判据；1892年，俄国数学家A. M.Lyapunov 发表了专著《论运动稳定性的一般问题》； 1922年，美国的N. Minorsky 研究出用于船舶驾驶的伺服机构并提出PID 控制方法； 1932年，美籍瑞典人H. Nyquist 提出了频域内研究系统稳定性的频率判据；
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相 应的模拟结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式
《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1 110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++ ， 分别有 ⑴ 能控标准型： []01 2101210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ?????????? ?????=+?? ???????? ? ?????----???? ?=+?? ⑵ 能观标准型： []001122110001000100010 00 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ??? ????????-???? ?=+??
第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1 K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - ++ - + - ) (s θ) (s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ? - 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 阿 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=?? ? ???? ? ?? ???????? ????+?????????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????65432116543 21111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。