小波基函数的选择
1011208041 材料学院 冯梦楠
多分辨率分析方法使小波分析成为一种实用的信号分析工具。同传统的Fourier 变换相比，理论上来说小波变换可以刻画信号的任意细节，但在实际应用中，信号分析的好坏很大程度上依赖小波基波的选择。因为与Fourier 变换不同，小波基不具有惟一性，它是不规则的，不同的小波基波波形差别很大，其支撑长度和规则性也有很大的差别。因此，对同一个信号选用不同的小波基进行处理所得的结果往往不尽相同。同时，小波变换又是一种在基波可变的情形下其尺度仍可变的信号分析方法，它可在不同尺度下对信号进行分析处理。因此这也意味着即使小波基选定，如尺度选择不当，对信号分析的效果仍然会有一定的影响。因此，最优小波基函数的选择就成为了小波分析在工程应用中的一个重要问题。
小波基函数的选择是一个重要而复杂的问题，它受到测不准原理、小波基函数的性质和具体应用的特点等多方面的综合制约。因此如何选择小波基函数，到目前为止还没有一个统一的理论标准。在实际工程应用中，通常是根据具体问题的特点，结合小波基函数的性质和时频测不准原理进行经验性的选择。如Morlet 小波一般用于信号的表示和分类图像识别、特征提取；Mallat 小波多用于系统辨识；样条小波则常用于材料探伤；Shannon 正交基用于差分方程求解:对于数字信号则往往选择Haar 或Daubechies 作为小波基。同时我们也通过用小波基函数处理信号的结果与理论结果的误差，来判断小波基函数的好坏，并由此选定小波基函数。
1．关于小波基函数选择的相关研究
通过查阅国内外相关文献，我了解到目前还是有一些学者在这方面做了一定的探索性工作。宋国乡等人提出了根据小波消失矩来选择小波基的思想。消失矩的定义为:小波Ψ(x)称为具有n 阶消失矩，如果对于所有非负整数k ，0≤h ≤n ，均有()0k R
x x dx ψ=?，选择方法是如果被检测信号的奇异度为α，n-1＜α＜n ，
则需要具有n 阶以上的消失矩的紧支撑的小波。其理论依据是假设小波具有紧支撑和n 阶消失矩，且n 次连续可微(其中n 是正整数)，设x 0为突变点，如果f(x)
在x 0的Lipschitz 奇异度为α(α＜n)，而在x 0附近n 次连续可微，则可以证明
()S W f x 在x 0达到极大值。由此可以检测缓变信号的奇异点。
周小勇等提出了采用小波规则性系数相似性来选择小波基的方法，其思想来源于Fourier 变换。Fourier 变换是以正弦信号为基波，用其各次谐波来近似某一函数或信号，其Fourier 系数代表了各次谐波分量和原信号的相似性。小波系数的大小也反映了小波和函数某段的相似程度。同时函数和小波的规则性均表示着各自的可微和平滑程度。因此由相似性，可以用平滑的小波，即规则性系数大的小波表示平滑的函数;用不平滑的小波，即规则性系数小的小波表示非平滑的函数。当然这里所说的相似并不是绝对的相似或相近，而只是一种趋势。
2. 小波基函数的选择标准
从小波变换的原理出发，可以总结出选择小波基时需要考虑的几个因素：
(1)正交性
小波变换是将原始图象与小波基函数以及尺度函数进行内积运算,由1989
年Daubechies基于离散滤波器迭代的方法和Mallat算法的提出,使得小波变换中小波基的选择转换为正交镜像滤波器(QMF)的选择。从目前的情况来看, QMF
大致有两类:正交与双正交。
正交滤波器是指低通分析滤波器和高通分析滤波器正交;低通重建滤波器和高通重建滤波器正交。大部分正交小波基是无限支集的,这在计算上是不可行的。非对称滤波器的非线形相位在图象编码时所产生的误差易导致边缘错位,形成巨大的感观误差。因此希望滤波器是有限支集的而且是对称或反对称的。对称的滤波器结构有运算简单,便于边界处理的特点。但遗憾的是,紧支集的小波一般不具有对称性,有如下结论：除Harr外,一切具有紧支集的规范正交小波基以及与之相关的尺度函数都不可能以实轴上的任何点为对称轴或反对称轴。因此,我们只能放松对正交性的要求来保持线形相位(对应于小波函数的对称或反对称性)而
采用双正交小波基。
正交性描述了数据的小波表示的冗余程度，在多分辨率分析下，酉变换在不同子空间上的投影是 L2(R)意义的最佳逼近。严格的规范正交特性有利于小波分解系数的精确重构。用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子空间中，使各子带数据相关性减小，能准确重建的正交的线性相位有限冲击响应滤波器组是不存在的,即除了Harr系小波外,没有任何紧支集正交小波具有对称的特性,因此一般放宽条件用双正交滤波器。
（2）紧支性与衰减性
如果小波ψ(t)有紧支集,则称它是紧支的;如果当t→∞时,它快速衰减或
具有指数规律衰减,称小波ψ(t)是急衰或急降的。紧支性与衰减性是小波的重要性质,紧支宽度越窄或衰减越快,小波的局部化特性越好;紧支小波不需做人为的截断,应用精度很高,但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的,最多有一个是紧支的,另一个是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。一般要求小波基是紧支撑集,紧支小波基的重要性在于它在数字信号的离散小波分解过程中可以提供系数有限的、更实际的FIR滤波器;非紧支撑小波在实际运算时必须截短。
（3）正则性
正则性表现为小波基函数的可微性，它描述了函数的光滑程度，同时也能反映函数频域能量的集中程度。连续可微的小波基对于小波变换中有效地发现信号的奇异点是必要的，对于大部分正交小波基正则性越高就意味着更高的消失矩。另一方面正则性刻画了小波的光滑度，正则性与支撑集大小有关，支撑越大,正则性越好。小波基的正则性对最小化量化误差是很重要的，因此，正则性越大的小波基越好。
(4) 对称性
主要影响信号或图像的相位，对称或反对称的尺度函数和小波基函数是非常重要的，因为可以构造紧支的正则小波基函数，而且具有线性相位。对于双正交小波基，可以合成具有对称或反对称的紧支撑小波基。对称滤波器组具有两个优点:一方面人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称的误差更不敏感，另一方面对称滤波器组具有线性相位，在对图像进行处理时，线性相位是很重要的，对图像边缘做对称边界延拓时，重构图像边缘部分失真较小，有利于获得高质量的重构图像。为了完全重构信号，最好使用对称或反对称小波。
（5）消失矩
消失矩（Vanishing Moment）可以说是小波最具杀伤力的一个性质，所谓消失矩其实就是对多项式的抑制能力，消失矩越高，与信号做内积得到的系数越少越小，这在度量信号局部正则性和压缩方面是相当重要的。消失矩的大小决定了用小波逼近光滑函数的收敛率。当图象光滑时,越大的消失矩，将导致越小的小波系数。消失矩表明了小波变换后能量的集中程度，消失矩阶数很大时，精细尺度下的高频部分数值有许多是小得可以忽略的(奇异点除外)，因此用消失矩越大的小波基进行分解后，图像的能量就越集中，压缩的空间就越大。分析突变信号时，为了能够有效地检测出奇异点，所选的小波基必须具有足够高的消失矩。
3.总结
小波基函数的选择较难总结成一般原则，只能针对具体问题提出具体原则。通常情况下，小波基函数的选取考虑三个因素：正则性、正交性、支撑宽度。正则性是从小波基函数的光滑程度来考虑的，对最小化量化误差很重要。正则性太好，可能会滤掉图像的细节，而正则性太差，滤波效果有可能极度恶化。正交性是从小波变换后的小波系数的相关性来考虑的。正交小波变换后的系数不相关，滤波效果会更好。但是，对于除Harr 小波之外的正交小波来说，线性相位、紧支撑等性质之间是矛盾的，故一般选择双正交小波。支撑宽度是从时间复杂度的角度考虑的，小波变换实际上是一个卷积的过程，卷积核不宜太长，否则会严重影响运算的时间。
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
小波基函数的选择 1011208041 材料学院冯梦楠 多分辨率分析方法使小波分析成为一种实用的信号分析工具。同传统的Fourier 变换相比，理论上来说小波变换可以刻画信号的任意细节，但在实际应用中，信号分析的好坏很大程度上依赖小波基波的选择。因为与Fourier变换不同，小波基不具有惟一性，它是不规则的，不同的小波基波波形差别很大，其支撑长度和规则性也有很大的差别。因此，对同一个信号选用不同的小波基进行处理所得的结果往往不尽相同。同时，小波变换又是一种在基波可变的情形下其尺度仍可变的信号分析方法，它可在不同尺度下对信号进行分析处理。因此这也意味着即使小波基选定，如尺度选择不当，对信号分析的效果仍然会有一定的影响。因此，最优小波基函数的选择就成为了小波分析在工程应用中的一个重要问题。 小波基函数的选择是一个重要而复杂的问题，它受到测不准原理、小波基函数的性质和具体应用的特点等多方面的综合制约。因此如何选择小波基函数，到目前为止还没有一个统一的理论标准。在实际工程应用中，通常是根据具体问题的特点，结合小波基函数的性质和时频测不准原理进行经验性的选择。如Morlet小波一般用于信号的表示和分类图像识别、特征提取；Mallat小波多用于系统辨识；样条小波则常用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解:对于数字信号则往往选择Haar或Daubechies作为小波基。同时我们也通过用小波基函数处理信号的结果与理论结果的误差，来判断小波基函数的好坏，并由此选定小波基函数。 1．关于小波基函数选择的相关研究 通过查阅国内外相关文献，我了解到目前还是有一些学者在这方面做了一定的探索性工作。宋国乡等人提出了根据小波消失矩来选择小波基的思想。消失矩的定义为:小波Ψ(x)称为具有n阶消失矩，如果对于所有非负整数k，0≤h≤n， k??(x)dxx?0，选择方法是如果被检测信号的奇异度为α，n-1均有＜α＜n，R则需要具有n阶以上的消失矩的紧支撑的小波。其理论依据是假设小波具有紧支撑和n阶消失矩，且n次连续可微(其中n是正整数)，设x为突变点，如果f(x)0在x的Lipschitz奇异度为α(α＜n)，而在x附近n次连续可微，则可以证明 00Wf(x)在x达到极大值。由此可以检测缓变信号的奇异点。0S周小勇等提出了采用小波规则性系数相似性来选择小波基的方法，其思想来源于Fourier变换。Fourier变换是以正弦信号为基波，用其各次谐波来近似某一函数或信号，其Fourier系数代表了各次谐波分量和原信号的相似性。小波系数的大小也反映了小波和函数某段的相似程度。同时函数和小波的规则性均表示着各自的可微和平滑程度。因此由相似性，可以用平滑的小波，即规则性系数大的小波表示平滑的函数;用不平滑的小波，即规则性系数小的小波表示非平滑的函数。当然这里所说的相似并不是绝对的相似或相近，而只是一种趋势。 2. 小波基函数的选择标准
基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率
的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不
小波的几个术语及常见的小波基介绍
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-1 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形
Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑 区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有
问题:小波基如何选择？最近几年小波基有何发展？ 解答： 1.小波函数特性： 由于小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算，基于小波变换的数据压缩目的就是希望经小波分解后得到的三个方向的细节分量具有高度的局部相关性，而整体相关性能最大限度的消除。因此对于同一幅图像，选择不同的小波基进行分解所得到的数据压缩效果是不同的。本文即是对小波函数的特征进行研究，分析不同小波基对图像压缩编码的影响。 小波变换以其优异的时域和频域局部化能力、方向选择能力和与人眼视觉特性相符的多分辨率分析能力, 被广泛应用于图像压缩领域, 并取得了很好的效果。将小波变换用于图像压缩时, 并非所有的小波基都适合图像分解, 小波基的选择直接影响到整个算法的编码能力、变换的复杂性和重构图像的质量, 因此小波基的选择是图像压缩中的一个关键问题。，对于图像压缩来说理想的小波基应该具有下列性质: (1) 正交性 用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的L2(R2)的子空间中，使各子带数据相关性减小。但是能准确重建的、正交的、线性相位、有限冲击响应滤波器组是不存在的，此时一般放宽正交性条件为双正交。 (2) 紧支性与衰减性 称小波Ψ(t)是紧支的，如果它有紧支集;称小波Ψ(t)是急衰或急降的，如果当时t→∞时，它快速衰减或具有指数规律衰减。紧支性与衰减性是小波的重要性质，紧支宽度越窄或衰减越快，小波的局部化特性越好;紧支小波不需做人为的截断，应用精度很高，但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。 (3) 对称性 对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的，因为可以构造紧支的正则小波基，而且具有线性相位。Daubechies已经证明，除了Haar 小波基，不存在对称的紧支正交小波基。而对于双正交小波基，可以合成具有对称或反对称的紧支撑小波基。
1.给出五种常用小波基的时域和频域波形图。 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数(t)ψ 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等5种。 （1）Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 围的单个矩形波。 Haar 函数的 定义如下：其他 1212 1 001-1(t)≤≤≤≤?????=ψt t Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如： 计算简单； (t)ψ不但与t)2(j ψz][j ∈正交，而且与自己的整数位移正交。 因此，在2j a =的多分辨率系统中Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波 族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j
Haar 小波的时域和频域波形图 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 t haar 时域 x 10 5 1 2 3 4 5 6 75 f haar 频域 i=20; wav = 'haar'; [phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1); plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域')
小波的几个术语及常见 的小波基介绍 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
1.题目：完成Marr小波基函数不同值下的波形图。程序：syms f f1 f2 f3 f4 f5 b f =2^(1/2)*(1-4*b^2)*exp(-2*b^2) subplot(3,1,1); ezplot(f) f1 = 2^(1/2)*(1-4*(b-8)^2)*exp(-2*(b-8)^2) hold on ezplot(f1,[5,10]) axis([-15 20 -1.4 1.4]) hold off f2 =(1-b^2)*exp(-1/2*b^2) subplot(3,1,2); ezplot(f2) f3 =(1-(b-8)^2)*exp(-1/2*(b-8)^2) hold on ezplot(f3,[4,12]) axis([-15 20 -1.4 1.4]) hold off f4=1/2*2^(1/2)*(1-1/4*b^2)*exp(-1/8*b^2) subplot(3,1,3) ezplot(f4) f5=1/2*2^(1/2)*(1-1/4*(b-8)^2)*exp(-1/8*(b-8)^2) hold on subplot(3,1,3); ezplot(f5,[0,16]) axis([-15 20 -1 1])
Marr小波基函数图像图像如下： 21/2 (1-4 (b-8)2) exp(-2 (b-8)2) b (1-(b-8)2) exp(-1/2 (b-8)2) -15-10-505101520 b 1/2 21/2 (1-1/4 (b-8)2) exp(-1/8 (b-8)2) b
对应的频域波形如图： 程序：syms f f1 f2 a b c f =2^(1/2)*(1-4*b^2)*exp(-2*b^2) subplot(3,1,1); F=fourier(f) ezplot(F) axis([0 10 0 2]) f1 =(1-b^2)*exp(-1/2*b^2) subplot(3,1,2); F1=fourier(f1) ezplot(F1); axis([0 10 0 2]) f2 = 1/2*2^(1/2)*(1-1/4*b^2)*exp(-1/8*b^2) subplot(3,1,3); F2=fourier(f2) ezplot(F2); axis([0 10 0 3]) 对应波形： 1/4 π1/2 w2 exp(-1/8 w2) w ) 21/2π1/2 w2 exp(-1/2 w2 Array w 8 π1/2 w2 exp(-2 w2) Array w
1. 给出五种常用小波基的时域和频域波形图。 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet小波、Meyer小波等5种。 （1） Haar小波 Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在范围内的单个矩形波。 Haar 函数的定义如下： Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如： 计算简单； 不但与正交，而且与自己的整数位移正交。 因此，在的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。 的傅里叶变换是： Haar小波的时域和频域波形图 i=20; wav = 'haar';
[phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1); plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域') （2） Daubechies(dbN)小波 Daubechies小波是世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，简写为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函数中的支撑区为，的消失矩为N。除外，dbN不具有对称性（即非线性相位）。dbN没有明确的表达式（除外），但转换函数h的平方模是明确的。 Daubechies小波系是由法国学者Daubechies提出的一系列二进制小波的总称，在Matlab中记为dbN，N为小波的序号，N值取2，3， (10) 该小波没有明确的解析表达式，小波函数φ与尺度函数Φ的有效支撑长度为2N-1.当N取1时便成为Haar小波。 令，其中为二项式的系数，则有 式中，。 Daubechies小波具有以下特点： （1）在时域是有限支撑的，即长度有限。 （2）在频域在=0处有N阶零点。
本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个 这里就当是先作一个备忘录，以后若有需脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。 小波的消失矩的定义为，若 其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p Matlab 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 Matlab 函数fft、fft2 和fftn 分别可以实现一维、二维和N 维DFT 算法；而函数ifft、ifft2 和i fftn 则用来计算反DFT 。这些函数的调用格式如下： A＝fft(X,N,DIM) 其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果X 小于该数值，那么Matlab 将会对X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。 A＝fft2(X,MROWS,NCOLS) 其中，MROWS 和NCOLS 指定对X 进行零填充后的X 大小。别可以实现一维、二维和N 维DF T A＝fftn(X,SIZE) 其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定X 相应维进行零填充后的长度。 函数ifft、ifft2 和ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。 别可以实现一维、二维和N 维DFT 例子：图像的二维傅立叶频谱 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现% 读入原始图像 I＝imread('lena.bmp');函数fft、fft2 和fftn 分 imshow(I) % 求离散傅立叶频谱 J=fftshift(fft2(I)); figure;别可以实现一维、二维和N 维DFT imshow(log(abs(J)),[8,10]) 2. 离散余弦变换的Matlab 实现Matlab 2.1. dct2 函数 功能：二维DCT 变换Matlab 格式：B=dct2(A) B=dct2(A,m,n) B=dct2(A,[m,n])函数fft、fft2 和fftn 分 说明：B＝dct2(A) 计算A 的DCT 变换B ，A 与 B 的大小相同；B＝dct2(A,m,n) 和B=dct2(A, [m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。 2.2. dict2 函数 功能：DCT 反变换 格式：B=idct2(A) B=idct2(A,m,n)别可以实现一维、二维和N 维DFT B=idct2(A,[m,n]) 说明：B＝idct2(A) 计算A 的DCT 反变换B ，A 与 B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和B=idct 2(A,[m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。 Matlab 2.3. dctmtx函数 功能：计算DCT 变换矩阵 格式：D＝dctmtx(n) 说明：D＝dctmtx(n) 返回一个n×n 的DCT 变换矩阵，输出矩阵D 为double 类型。 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 3. 图像小波变换的Matlab 实现函数fft、fft2 和fftn 分 3.1 一维小波变换的Matlab 实现 (1) dwt 函数Matlab 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') 五种常见小波基函数及其 m a t l a b实现 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、 Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最 简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-10 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也 有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因 此，在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交 归一的小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形 Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数 (t)φ中的支撑区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小 波）外，dbN 不具有对称性（即非线性相位）。除1=N （Harr 小 波）外，dbN 没有明确的表达式，但转换函数h 的平方模是明确的: 令 k N k k N k y p C ∑-=+=1 1-(y)，其中C k N k +1-为二项式的系数，则有 )2 )p(sin 2 (cos ) (2 2 2 0ω ω ω=m 其中： Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-10 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也 有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形 [phi,g1,xval] = wavefun('haar',20); subplot(2,1,1); plot(xval,g1,'LineWidth',2); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(2,1,2); plot(g3,'LineWidth',2); xlabel('f') title('haar 频域') Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数 (t)φ中的支撑区为 12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有对称性 （即非线性相位）。除1=N （Harr 小波）外，dbN 没有明确的表达式，但转换 函数h 的平方模是明确的: 令 k N k k N k y p C ∑-=+=1 1-(y)，其中C k N k +1-为二项式的系数，则有 )2 )p(sin 2 (cos ) (2 2 2 0ω ω ω=m 其中： e h jk N k k ω ω-120 2 1 )(m ∑-== Daubechies 小波具有以下特点： 1. 在时域是有限支撑的，即(t)ψ长度有限。 2. 在频域)(ωψ在=0ω处有N 阶零点。 3. (t)ψ和它的整数位移正交归一，即?=δ ψψk k)dt -(t (t)。 4. 小波函数(t)ψ可以由所谓“尺度函数” (t)φ求出来。尺度函数(t) φ为低通函数，长度有限，支撑域在t=0~2N-1的范围内。 db4的时域和频域波形： [phi,g1,xval] = wavefun('db4',10); 常用小波基函数 目前主要通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，标准通常有：1）小波函数和尺度函数的支撑长度。 2）对称性。在图像处理中对于避免移相是非常有用的。 3）小波函数和尺度函数的消失矩阶数。 4）正则性。对于信号或图像的重构以获得较好的平滑效果是非常有用的。 可以通过waveinfo函数获得工具箱中小波函数的主要性质。小波函数和尺度函数可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。 1、haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波基函数，同时也是最 简单的一个函数。 2、morlet函数的尺度函数不存在，其本身不具有正交性。 3、墨西哥草帽函数在时域和频域有很好的局部化，不具有正交性。 4、Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交 小波。 5、Daubechies小波系，简称dbN，它的db1是haar小波，其他小波没有明确的表达 式，dbN函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。dbN大 多不具有对称性，对于正交小波函数，不对称性是非常明显的。正则性随着N的增 加而增加。 6、Biorthogonal小波系，简称biorNr.Nd。它主要应用在信号与图像的重构中，通常的 用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构，可以解决分解与重 构，对称性和重构的精确性成为一对矛盾的问题。Nr为重构，Nd为分解。 7、Coiflet小波系，简称coifN，是由db构造的一个小波函数，具有比dbN更好的对称 性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N、sym3N相同的支撑长度，从消失矩 的数目来看，具有和db2N、sym2N相同的消失矩数目。 8、Symlets小波系，简称symN，是由db改进的一种函数，是金丝对称的。matlab小波变换函数说明
五种常见小波基函数及其matlab实现
五种常见小波基函数及其matlab实现
常用小波基函数
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