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2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型

基础巩固强化

一、选择题

1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ?α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]

????

?a ∥b a ⊥α?b ⊥α，故A 错；

???

?a ∥b a ?α?b ∥α或b ?α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．

2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )

A.13

B.1

2 C.2

3 D.3

4 [答案] C

[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．

其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件， ∴所求概率为P ＝46＝23

(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )

A.112

B.1

18 C.136 D.7108 [答案] A

[解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a 、b 、c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝1

，故选A.

3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )

A.12

B.13

C.14

D.25

[答案] A

[解析] P ＝2×2＋2×24×4

＝1

(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )

A.1

5 B.310 C.25

D.12

[答案] C

[解析] P ＝C 23＋C 2

2C 25

＝2

4．(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )

A ．3.13

B ．3.14

C ．3.15

D ．3.16

[答案] A

[解析] 根据几何概型的定义有π·(1

2)2

1＝4009

5120

，得π≈3.13.

(理)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( ) A.1

4 B.12 C.π4

D ．π

[答案] C

[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|P A |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为

S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π

，故选C.

5．(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )

A.14

B.13

C.12

D.32

[答案] C

[解析] 如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三角形的一条边，则O 到CD 的距离为r

2，设EF 为与CD 平行且到圆

心O 距离为r

2的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直于AB 的弦的长度超过CD 时，该

点在线段MN 上移动，所以所求概率P ＝r 2r ＝1

，选C.

(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD

＝( )

A.1

2 B.14

32 D.74

[答案] D [解析]

由题意知AB >AD ，如图，当点P 与E (或F )重合时，△ABP 中，AB ＝BP (或AP )，当点P 在EF 上运动时，总有AB >AP ，AB >BP ，由题中事件发生的概率为1

2知，点P 的分界点E 、F 恰好是边CD

的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝AF 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB )2＝716，即AD AB ＝7

，故选D.

6．(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为( ) A.1

8 B.78 C.14

D.34

[答案] C

[解析] 设这两个数分别为x ，y ，则由条件知0

2×2

＝1

二、填空题

7．(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，设向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈???0，π

2的概率是________． [答案]

[解析] ∵cos θ＝

m －n

2·m 2＋n 2

，θ∈????0，π2， ∴m ≥n ，满足条件m ＝n 的概率为636＝1

6，

m >n 的概率与m n 的概率为12×????1－16＝512， ∴满足m ≥n 的概率为P ＝16＋512＝7

8．(文)(2012·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为

的概率是________． [答案] 25

[解析]

由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离为2

的是中心和四个顶点组成的4条线段，故概率为P ＝

410＝25

. (理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2

n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭

圆的概率是________．

[答案] 1

[解析] ∵方程x 2m 2＋y 2

2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .

由题意知，在矩形ABCD 内任取一点P (m ，n )，求P 点落在阴影部分的概率，易知直线m ＝n

恰好将矩形平分，

∴p ＝12

9．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为________．

[答案]

[解析] ∵直线与圆有公共点，∴

|2k |

k 2＋1

≤1， ∴－33≤k ≤33.故所求概率为P ＝33－(－33)1－(－1)

＝3

(理)(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2b

有不等实数根的概率为________．

[答案]

[解析]

方程x ＝22a －2b

x 化为x 2－22ax ＋2b ＝0，

∵方程有两个不等实根， ∴Δ＝8a －8b >0，∴a >b ，如图可知，所求概率P ＝1

三、解答题

10．(文)设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m 、n ∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；

(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率． [解析] (1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．

(2)由a m ⊥(a m －b n )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2

由于m 、n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝

216＝18

. (理)(2013·北京东城区统一检测)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、…、6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：g)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．

(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率； (2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率． [解析] (1)若编号为n 的球的重量大于其编号，则n 2－6n ＋12>n ，即n 2－7n ＋12>0. 解得n <3，或n >4. 所以n ＝1,2,5,6.

所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P ＝46＝23

(2)不放回地任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序)： 1,2；1,3；1,4；1,5；1,6； 2,3；2,4；2,5；2,6； 3,4；3,5；3,6； 4,5；4,6； 5,6. 共有15种．

设编号分别为m 与n (m ，n ∈{1,2,3,4,5,6}，且m ≠n )的球的重量相等，则有m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n )(m ＋n －6)＝0.

所以m ＝n (舍去)，或m ＋n ＝6.

满足m ＋n ＝6的情形为：1,5；2,4，共2种．故所求事件的概率为2

能力拓展提升

一、选择题

11．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )

A.112

B.512

C.712

D.56 [答案] A

[解析] 先从4个位置中选一个排4，再从剩下位置中选一个排3，所有可能的排法有4×3＝12

种，满足要求的排法只有1种，∴所求概率为P ＝1

12．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )

A.16

B.13

C.23

D.45

[答案] C

[解析] 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，∴x (12－x )>20，∴2

因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C 1与C 2之间的部分，如图

∴P ＝812＝23

关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm 2”所表示区域的长度．

(理)(2012·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )

A ．1－2π

B.12－1π

C.2π

D.1π

[答案] A

[分析] 在扇形OAB 内随机取一点，此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S 1、S 2，OA ＝R ，则S 1＝2(S 扇形

DOC －S △DOC )，S 2

＝S 扇形OAB －S ⊙D ＋S 1.

[解析] 设图中阴影面积分别为S 1，S 2，令OA ＝R ，

由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC ) ＝2[π·(R 2)24－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 2

8，

S 2＝S 扇形OAB －S ⊙D ＋S 1

＝14πR 2－π·(R 2)2＋πR 2－2R 28＝πR 2－2R 28

， ∴所求概率P ＝S 1＋S 2S 扇形OAB

＝πR 2－2R 2

414

πR 2＝1－2

π.

[点评] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；

2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

13．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于6

5的概率是( )

A.1225

B.1625

C.1725

D.1825 [答案] C

[解析] 设两数为x 、y ，则0

的点在图中阴影部分，

∴所求概率为P ＝1－12×(1－15)2

1＝17

25，故选C .

二、填空题

14．(文)(2013·大连模拟)在长为16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间的概率为________．

[答案] 1

[解析] 正方形的面积介于25cm 2与81cm 2之间，即线段AM 长介于5cm 与9cm 之间，即点M 可以在5～9cm 之间取，长度为4cm ，总长为16cm ，所以，所求概率为416＝1

(理)(2013·南昌一模)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．

[答案] 78

[解析]

以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意当y >x 时，即只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A 发生，所以P (A )＝1×1－12×12×

121×1

＝7

15．(2013·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．

[答案] 13

[解析] 点P 的取法有2×3＝6种，点P 在圆内部，则m 2＋n 2<9， ∴m ＝2，n ＝1或2. ∴所求概率P ＝26＝1

三、解答题

16．(文)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A 和B 饮料没有鉴别能力．

(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．

[解析] 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1、2、3表示A 饮料，编号4、5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10种

令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则

(1)P (D )＝1

，

(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝7

(理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1

(1)求n 的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .

①设事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率；

②在区间[0,2]内任取两个实数x 、y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率． [解析] (1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝1

2，解得n ＝2.

(2)将标号为2的小球记作a 1，a 2

①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a 1)，(0，a 2)，(1,0)，(1，a 1)，(1，a 2)，(a 1,0)，(a 1,1)，(a 1，a 2)，(a 2,0)，(a 2,1)，(a 2，a 1)，共12个，

事件A 包含的基本事件为：(0，a 1)，(0，a 2)，(a 1,0)，(a 2,0)，共4个． ∴P (A )＝412＝1

②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4”，(x ，y )可以看成平面中的点，

则全部结果所构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 所构成的区域B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，x ，y ∈Ω}，

∴P (B )＝S B S Ω＝2×2－π2×2

＝1－π

考纲要求

1．理解古典概型及其概率计算公式．

2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 4．了解几何概型的意义．补充说明

1．求解与角度有关的几何概型的注意点

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．

2．.求解古典概型概率，首先要找准基本事件，判断的标准就是有限性和等可能性．基本事件空间中基本事件的计算方法和事件A 中包含的基本事件计算方法必须保持一致，计数时可以采取一一列举的方法，也可以采用模型化方法或用计数原理求，并辅以必要的文字说明．

3．注意事件是否互斥；遇到“至多”、“至少”等事件时，注意对立事件概率公式的应用．备选习题 1.

(2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )

A.165

B.21

C.235

D.195 [答案] C

[解析] 由几何概型的概率公式，得S 10＝138300，所以阴影部分面积约为23

，故选C.

2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )

A.110

B.1

8 C.16

D.15

[答案] D

[解析] 如图正六边形ABCDEF ，从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD ，ABCE ，ABCF ，ABDE ，ABDF ，ACDE ，ACDF ，ACEF ，ADEF ，BCDE ，BCDF ，BCEF ，ABEF ，BDEF ，CDEF 共15种选法，基本事件总数为15，其中四边形是矩形的有ABDE ，BCEF ，CDF A 共3种，所以所求概率为P ＝315＝1

3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(他们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为( )

A.16

B.536

C.112

D.12

[答案] C

[解析] 先后抛掷两枚骰子，向上点数共有6×6＝36种不同结果，其中满足log 2x y ＝1，即y ＝2x 的情况如下：

x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝4；x ＝3时，y ＝6，共3种． ∴所求概率为P ＝336＝1

[点评] 注意细微差别，若把题目中的条件log 2x y ＝1改为log 2x y >1，则所求概率为( ) 此时答案为A

这是因为抛掷两枚骰子共有62＝36种不同结果，

∵log 2x y >1，∴y >2x .

当x ＝1时，y 有4种取法；当x ＝2时，y 有2种取法；当x ＝3时，没有y 满足， ∴满足y >2x 的取法共有4＋2＝6种，故所求概率P ＝636＝1