第五节古典概型与几何概型
1.古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝m
n，求出事件A的概率.
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等. (3)计算公式： P (A )＝
构成事件A 的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
几何概型应用中的关注点
(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. (2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )
(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限.( )
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( )
(4)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为card (A )
card (I )
.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题
1.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( ) A.2
3 B.1
4 C.13
D.12
解析：选D 一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种
情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P ＝24＝1
2
.
2.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )
A.3
5 B.45 C.25
D.15
解析：选C 试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P ＝2
5
.
3.已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )
A.π4
B.1－π4
C.π8
D.1－π8
解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD
＝2－
π
22＝1－π
4.
4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________.
解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，故所求概率P ＝
210＝1
5
. 答案：1
5
5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
解析：P ＝1－C 22C 24＝1－16＝5
6
.
答案：5
6
考点一 古典概型[师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A.1
12 B.114 C.115
D.118
(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )
A.736
B.12
C.1936
D.518
[解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P ＝
345＝1
15
. (2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为?
????
1≤a ≤6，a ∈N *，
1≤b ≤6，b ∈N *，所以a 和b 的组合有36种.
若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解， 则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a .
当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b ＝4
时，a 可取1,2,3,4；当b ＝5时，a 可取1,2,3,4,5,6；当b ＝6时，a 可取1,2,3,4,5,6.
满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝19
36.
[答案] (1)C (2)C
[解题技法]
1.古典概型的概率求解步骤 (1)求出所有基本事件的个数n .
(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m . (3)代入公式P (A )＝m
n 求解.
2.基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型.
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法. (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.
(4)运用排列组合知识计算.
[过关训练]
1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( )
A.310
B.35
C.25
D.15
解析：选C 若函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2＜0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是2×25×2＝2
5
. 2.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A.518
B.49
C.59
D.79 解析：选C 由题意得，所求概率P ＝
5×4×29×8
＝5
9. 3.将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )
A.12
B.14
C.16
D.18
解析：选B A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法.当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率P ＝4＋224＝14
.
考点二 几何概型[全析考法过关]
[考法全析]
类型(一) 与长度有关的几何概型
[例1] (2019·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )
A.2
15 B.715 C.35
D.1115
[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－(－6)]＋(9－0)9－(－6)
＝11
15，故选D. [答案] D
类型(二) 与面积有关的几何概型
[例2] (1)(2018·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
A.1
4 B.13 C.23
D.34
(2)(2019·洛阳联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )
A.4π2
B.4π3
C.2π
2 D.2π
3 [解析] (1)设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos 120°，得BG ＝
33
，所
以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin 120°＝12×33×33×32＝312，因为S 六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝
1
2×1×1×sin 60°×6＝
332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P ＝1－6S △BCG S 六边形ABCDEF ＝2
3
. (2)由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为
M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2∫π0 sin x d x ＝－2cos x |π
0 ＝4，由几何概型的
概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π
3.
[答案] (1)C (2)B
类型(三) 与体积有关的几何概型
[例3] 已知在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O -ABCD 的体积不小于2
3的概率为
________.
[解析] 当四棱锥O -ABCD 的体积为2
3时，设O 到平面ABCD 的距离
为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝1
2
.
如图所示，在四棱锥P -ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为1
2
.
因为PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，所以PH PA ＝3
4，
又四棱锥P -ABCD 与四棱锥P -EFGH 相似，
所以四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P -EFGH
V 四棱锥P -ABCD ＝????PH PA 3＝????343＝2764. [答案]
2764
类型(四) 与角度有关的几何概型
[例4] 如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧
，在∠DAB 内任作射线AP ，则
射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.
[解析] 连接AC ，如图， 因为tan ∠CAB ＝BC AB ＝3
3
，
所以∠CAB ＝π
6
，满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内，且AP 与AC 相交时，即直
线AP 与线段BC 有公共点，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝∠CAB ∠DAB ＝π
6π2
＝1
3
.
[答案]
13
[规律探求]
看
个 性 类型(一)与类型(四)分别讲的是与长度有关和与角度有关的几何概型.
要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度). 类型(二)是与面积有关的几何概型.
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 类型(三)是与体积有关的几何概型.
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解
找 共 性 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.
(1)若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型
1.(2019·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )
A.3
4 B.23 C.13
D.12
解析：选D 由题图可知V F -AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE ＝12a 3
， 所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率P ＝14a 3
12a 3＝1
2.
2.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥
2
2
”发生的概率为________. 解析：由题意可得?????
sin x ＋cos x ≥22，
0≤x ≤π，
即?????
sin ????x ＋π4≥12，0≤x ≤π，解得0≤x ≤7π12
，
故所求的概率为7π
12π＝7
12.
答案：
712
3.(2018·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________.
解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－
12×2×3＝2
3
π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该
点落在x 轴下方的概率P ＝16－3
4π
.
答案：16－3
4π
[课时跟踪检测]
一、题点全面练
1.(2019·衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )
A.363π10 mm 2
B.363π5 mm 2
C.726π5
mm 2
D.363π20
mm 2 解析：选A 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π
10
(mm 2).
2.(2019·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )
A.15
B.13
C.14
D.16
解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是1
3
.
3.(2019·郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
A.110
B.15
C.310
D.25
解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120(种)不同的取法，若活动恰好
在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有C 23C 12A 3
3
＝36(种)取法，所以P ＝
36120＝310
. 4.(2019·长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A.π8
B.π16
C.1－π8
D.1－
π16
解析：选C 正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为
82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为
P ＝82－8π82＝1－π8
.
5.(2019·郑州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x ＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )
A.1
2 B.2－22
C.3－33
D.2－32
解析：选C 圆C ：x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，半径r ＝1，圆心到直线l ：y ＝k (x ＋2)的距离d ＝|0×k －0＋2k |k 2＋(－1)2＝2|k |k 2＋1，直线l 与圆C 相离时d ＞r ，即2|k |k 2＋1＞1，解得k ＜－
3
3或k ＞3
3，故所求的概率P ＝2×?
?
??
1－
331－(－1)
＝3－33.
6.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________.
解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 79＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C 34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P ＝
436＝19
. 答案：19
7.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________.
解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A 34
＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1,2,3或1,3,4，所以共组成2A 33＝12个“好数”，故所求概
率P ＝1224＝12
.
答案：1
2
8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π
6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其
中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.
解析：根据题意，大圆的直径为函数y ＝3sin π6x 的最小正周期T ，又T ＝2π
π
6＝12，所以
大圆的面积S ＝π·????1222
＝36π，一个小圆的面积S ′＝π·12
＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率P ＝2S ′S ＝2π36π＝118
.
答案：
118
9.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.
解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种.
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种.
所以事件M 发生的概率P (M )＝
5
21
.
10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率.
解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33
C 25A 44＝140，
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1
40
.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝1
10
，所以甲、
乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝9
10
.
(3)因为有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33
C 25A 44＝14
，所以仅有一人参加A 岗位服
务的概率P 1＝1－P 2＝3
4
.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.(2019·太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是( )
A.18
B.14
C.38
D.58
解析：选C 建立平面直角坐标系如图，x ，y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点(x ，y )可对应甲、乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是????
?
y －x ≥5，0≤x ≤20，
5≤y ≤20，其构成的区域
为如图阴影部分，则所求的概率P ＝1
2×15×1520×15
＝3
8.
2.(2019·开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
A.1
7
B.27
C.37
D.47
解析：选B 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路线共有A 77＝5 040(种).∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A 44.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A 35，则最近的
行走路线中不连续向上攀登的路线共有A 44A 35
＝1 440(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P ＝1 4405 040＝27
.故选B.
3.已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内作射线AM ，则使∠CAM ＜30°的概率为________.
解析：如图，在∠CAB 内作射线AM 0，使∠CAM 0＝30°，于是有P (∠CAM ＜30°)＝∠CAM 0∠CAB ＝3045＝2
3
.
答案：2
3
(二)交汇专练——融会巧迁移
4.[与平面向量交汇]已知P 是△ABC 所在平面内一点，且PB ―→＋PC ―→＋2PA ―→
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B.13
C.12
D.23
解析：选C 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，连接PD 交BC 于点O ，则PB ―→＋PC ―→＝PD ―→
. ∵PB ―→＋PC ―→＋2PA ―→
＝0，
∴PB ―→＋PC ―→＝－2PA ―→，即PD ―→＝－2PA ―→，
由此可得，P 是BC 边上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的12，∴S △PBC ＝1
2S △ABC ，∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12
. 5.[与定积分交汇]点集Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤e ，0≤y ≤e}，A ＝{(x ，y )|y ≥e x ，(x ，y )∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a ，则a ∈A 的概率为( )
A.1e
B.1e
2
C.e －1e
D.e 2－1e
2
解析：选B 如图，根据题意可知Ω表示的平面区域为正方形
BCDO ，面积为e 2，A 表示的区域为图中阴影部分，面积为∫10 (e －e x
)d x
＝(e x －e x )|10＝(e －e)－(－1)＝1，根据几何概型可知a ∈A 的概率P ＝1e 2.故选B.
6.[与数学文化交汇]如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色
部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )
A.p 1＝p 2
B.p 1＝p 3
C.p 2＝p 3
D.p 1＝p 2＋p 3
解析：选A 不妨设△ABC 为等腰直角三角形， AB ＝AC ＝2，则BC ＝22， 所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积， 为S 1＝1
2×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积
S 2＝π×12－
????
??π×(2)22－2＝2， 区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)2
2－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式， 得p 1＝p 2＝
2
π＋2，p 3＝π－2π＋2
， 所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A .
7.[与解析几何交汇]双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，
且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )
A.14
B.38
C.12
D.58
解析：选B 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b
a ＞1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(a ，
b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，
故概率为3
8
.
8.[与函数交汇]在区间[0,1]上随机取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋1
4b 有零点的概
率是________.
解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋1
4
b 有零点，则Δ＝a 2－b ≥0，∴b ≤a 2，∴函数f (x )＝x 2＋ax
＋14b 有零点的概率P ＝∫10a 2d a 1×1
＝1
3. 答案：13
古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析：1.C 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析：2.A 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以 小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 求解．所以本题求小花朵落在小正 方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）
古典概型与几何概型 1.1基本事件的特点 ①任何两个基本事件都是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 1.2古典概型 1.2.1古典概型的概念 我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 1.2.2古典概型的概率公式: 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个基本事件，那么事件A 的概率()n m A P = . 1.3几何概型 1.3.1几何概型的概率公式： 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A = A P 1．从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A ． 2 1 B ． 10 3 C ． 5 1 D ． 5 2 2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A ． 12 B ．13 C ． 14 D ．16 3．袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A ． 11 1 B ． 33 2 C ． 33 4 D ． 33 5 4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子 朝上的面的点数分别为X ，Y ，则1log 2=Y X 的概率为( ) A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 121 D ．2 1
1 古典概型和几何概型 一选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是 Ａ．这100个铜板两面是一样的 Ｂ．这100个铜板两面是不同的 Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是 A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7 3．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有一个红球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 4．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 A ．4030 B ．4012 C ．30 12 D ．以上都不对 5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 8 7 6．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B P A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A ? Ｄ． A 不包含B 7．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于 A.21 B. 32 C.53 D.5 2 8. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 A.157 B.158 C.5 3 D.1 9. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为 A.2251 B.3001 C.450 1 D.以上全不对 10. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是. A.21 B.31 C.4 1 D.不确定 11. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A. 101 B.91 C.111 D.8 1 12. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.251 1 B.2491 C.2501 D.2521
古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、 特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去．求两人能会面的概率．
知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） （1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈
2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型 基础巩固强化 一、选择题 1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ?α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析] ???? ?a ∥b a ⊥α?b ⊥α，故A 错； ? ??? ?a ∥b a ?α?b ∥α或b ?α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题． 2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.1 2 C.2 3 D.3 4 [答案] C [解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件． 其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件， ∴所求概率为P ＝46＝23 . (理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( ) A.112 B.1 18 C.136 D.7108 [答案] A [解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a 、b 、c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝1 12 ，故选A. 3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
古典概型与几何概型 基础训练： 1．甲乙两人从{0，1，2，3，4，5}中各取一个数a,b,则“恰有a+b 3”的概率等于______________ 2.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____ 3.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 5.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的 概率为_________ 6.一只口袋装有形状大小都相同的6只球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则2只球都是红色的概率为_______，2只球同色的概率为________，恰有一只球是白球的概率为_________ 典型例题： 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123， ，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45?的概率是 ． 检测与反馈： 1.已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -??=-<<=>??-?? ，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈?”的概率是 ________ ． 2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未被击毁的概率为_______ 3．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过 大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在 附近，那么点和点到直线的距离之比约为 ． 4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的 空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此 板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性 都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ___． 5.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ABCD 49A C BD D
古典概型和几何概型的意义和主要区别 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。 一、古典概型和几何概型的意义 （一）.几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 1.几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 ．．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2.几何概型求事件A的概率公式： P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) （二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍
1. 古典概型的特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2. 古典概型求事件A的概率公式： P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别 几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。 三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模 题组一： 情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率 情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？ 情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？
专题六作业： 3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明； 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。 一、古典概型 1、古典概型的意义 如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型. 2.古典概型的两个基本特点 （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。（2）每个基本事件出现的可能性相等. 2、常见的三种古典概型基本模型 (1) 摸球模型；同类型的问题还有 1) 中彩问题； 2) 抽签问题； 3) 分组问题； 4) 产品检验问题； 5) 扑克牌花色问题； 6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题. (2) 分房问题；同类型的问题还有： 1) 电话号码问题 2) 骰子问题 3) 英文单词、书、报等排列问题. (3) 随机取数问题.同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题(球→人，杯→房) 2) 生日问题；(日→房，N=365天) ( 或月→房，N=12月) 3) 旅客下站问题；( 站→房) 4) 印刷错误问题；(印刷错误→人，页→房) 5) 性别问题(性别→房，N=2) 在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。 二、几何概型 1 ．几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理
时跟踪检测（五十九） 古典概型与几何概型 1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( ) A.25 B.35 C.13 D.23 解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率 为P ＝m n ＝610＝35 .故选B. 2．(2019·合肥质检)某小组有男生8人，女生3人，从中随机抽取男生1人，女生2人，则男生甲和女生乙都被抽到的概率为( ) A.16 B.18 C.112 D.124 解析：选C 某小组有男生8人，分别记为M 甲，M 2，M 3，M 4，M 5，M 6，M 7，M 8，女生3人，分别记为W 乙，W 2，W 3.从中随机抽取男生1人，女生2人的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙，W 3)，(M 甲，W 2，W 3)，…，(M 8，W 乙，W 2)，(M 8，W 乙，W 3)，(M 8，W 2，W 3)，共24个，男生甲和女生乙都被抽到的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙， W 3)，共2个，所以男生甲和女生乙都被抽到的概率为224＝112 .故选C. 3．(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：选C 在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概 率P ＝28＝14 ，选C. 4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20 解析：选D 直角三角形的斜边长为82＋152＝17， 设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3. ∴内切圆的面积为πr 2＝9π，
古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事 件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义； 了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的 点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 5 6 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离 去．求两人能会面的概率．
古典概型与几何概型 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题6分，共48分) 1．(2011·理，4)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 部的概率等于( ) A.1 4 B.13 C.12 D.23 【答案】 C 【解析】 本题主要考查几何概型． ∵E 为CD 的中点，则△AEB 的面积为矩形面积的一半， ∴所求概率为P ＝121＝1 2 ，故选C. 2．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，
每袋食品随机装入一卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为( ) A.31 81 B.33 81 C.48 81 D.5081 【答案】 D 【解析】 运用对立事件的概率的求法，可先求不获奖的概率为P 1＝3×25－335，所以获奖概率为P ＝1－P 1＝5081 ，选D. 3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( ) A.1180 B.1288 C.1360 D.1480 【答案】 C 【解析】 由时间特点知后2个数字之和最大为5＋9＝14， 故前2个数字之和不能小于9， 前2个数字只可能为：09,18,19. ∴只有在09：59,18：59,19：58与19：49时，四个数字之和为23. 又一天共有60×24＝1440分钟， 即只能显示1440个数字， ∴所求概率为41440＝1 360 .
4．(2011·哈六中期末)在区间[－π2，π 2]上随机取一个数x ， 则cos x 的值介于0到1 2 之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12 D.23 【答案】 A 【解析】 ∵0≤cos x ≤12，x ∈[－π2，π 2]， ∴－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π 2 ， ∴所求概率为P ＝2×? ??? ? π2 －π3π2－ ? ?? ??－π2＝13，故选A. 5．(2011·学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1随机取 一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 【答案】 B 【解析】 以点O 为圆心，半径为1的半球的体积为V ＝12×4 3πR 3 ＝2π 3 ，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P 到点O 的距离大
第四节 古典概型与几何概型 [考纲要求] 1．理解古典概型及其概率计算公式． 2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 4．了解几何概型的意义． 突破点一 古典概型 [基本知识] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数 . [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发 芽与不发芽”．( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等 可能事件．( ) (3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概 型．( ) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组 的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13 .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题 1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．
答案：2 5 2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________． 答案：9 10 3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 答案：5 6 [典例](2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． [解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． (2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． ②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 所以事件M发生的概率P(M)＝5 21. [方法技巧] 1．求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A； (2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m； (3)利用公式P(A)＝m n，求出事件A的概率．
一、古典概型 1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件. ２)基本事件得特点: ①任何两个基本事件就是互斥得; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与. ３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是: ①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。 ②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型. ４)基本事件得探索方法: ①列举法:此法适用于较简单得实验. ②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。 5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法: ①有放回得抽样 每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去. ②无放回得抽样 每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次. 二、古典概型计算公式 １)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是; 2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率. ３)事件与事件就是互斥事件 4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。 古典概型注意:
①列举法:适合于较简单得试验。 ②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、 三、几何概型 事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型. 四、几何概型得计算 １)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。 2)两种类型 线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。 面型几何概型:当基本事件受两个连续得变量控制时,一般就是把两个变量分别作为一个点得横坐标与纵坐标,这样基本事件就构成了平面上得一个区域,即可借助平面区域解决、 五、几何概型具备以下两个特征: 1)无限性:即每次试验得结果(基本事件)有无限多个,且全体结果可用一个有度量得几何区域来表示; 2)等可能性:即每次试验得各种结果(基本事件)发生得概率都相等. 一、古典概型 古典概型就是基本事件个数有限,每个基本事件发生得概率相等得一种概率模型,其概率等于随机事件所包含得基本事件得个数与基本事件得总个数得比值、 【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜得概率相等,现任意将这个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇得概率为( ) A、Ｂ. ?? C、??Ｄ. 【答案】D。 【解析】甲、乙在同一组:、甲、乙不在同一组,但相遇得概率:. 【点评】
一、古典概型 1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 2）基本事件的特点： ① 任何两个基本事件是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： ①有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型． 4）基本事件的探索方法： ① 列举法：此法适用于较简单的实验． ② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索． 5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有n 个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法： ① 有放回的抽样 每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去． ② 无放回的抽样 每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次． 二、古典概型计算公式 1）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n ； 2）如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率()m P A n =． 3）事件A 与事件B 是互斥事件()()()P A B P A P B =+ 4）事件A 与事件B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件 ()()()()P A B P A P B P A B =+- ． 古典概型注意： ① 列举法：适合于较简单的试验． ② 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时， (),x y 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如()1,2与
古典概型和几何概型检测试题 1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ） A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（ ） A ．3 10 B ．15 C ．25 D ．4 5 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ） A ．116 B ．2 16 C ．3 16 D ．1 4 4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ ） A ．34 B ．38 C ．14 D ．18 5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ） A ．13 B ．49 C ．59 D ．710 6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率 为（ ） A ．2 π B ．1 π C ．23 D ．13 7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45o ，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ） 甲 乙 1 2 3 4 1 2 3 4
A．1 8B．1 4 C．1 2 D．3 4 8．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（） A．1 100 B．1 20 C．1 10 D．1 5 9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（） A．1 4 B． 1 8 C． 1 10 D． 1 12 10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（） A．1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 2 7 11．若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 12 12．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定 13．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r 第十二章概率与统计 专题1古典概型的概率 ■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,古典概型的概率,填空题,理15)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率 是. 答案: 解析:第一次位置调换之后有乙甲丙、甲丙乙、丙乙甲三种情况,第二次位置调换之后各有甲乙丙、 丙甲乙、乙丙甲这三种情况,而甲在乙左边的情况有甲乙丙、丙甲乙两种情况,所以甲在乙左边的概 率是. ■(2015辽宁大连高三双基测试,古典概型的概率,填空题,理14)5人随机站成一排,甲、乙两人不相邻 的概率是. 答案: 解析:依题意,所求的概率等于1-=1-. ■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,古典概型的概率,填空题,理14)有一名同学在书写英文单词“error”时,只是记不清字母的顺序,那么他写错这个单词的概率是. 答案: 解析:将此问题转化为插空问题;先将3个r排好,此时产生4个空位,当e和o分别插不同的2个空位时,共有=12种方法;当e和o插入同一个空位时,共有4=8种方法;因为正确的写法只有1种,故所求 概率P=1-. ■(2015银川二中高三一模,古典概型的概率,选择题,理6)将三封信件投入两个邮箱,每个邮箱都有信 件的概率是() A.1 B. C. D. 答案:B 解析:依题意,所求概率P=1-,故选B. ■(2015银川一中高三二模,古典概型的概率,填空题,理14)从某地高中男生中随机抽取100名同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知体重的平均值为 kg;若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动, 再从这12人中选两人当正副队长,则这两人体重不在同一组内的概率为. 答案:64.5 解析:依题意,由图中数据可知体重的平均值为 45×0.05+55×0.35+65×0.30+75×0.20+85×0.10=64.5kg;若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的 男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,其中应从这三组中分别抽取6,4,2人,再从这12 人选两人当正副队长,则这两人体重不在同一组内的概率为1-. 专题2古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等) 17、概率 17．2 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概 念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．29 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． [例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了． 某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”． 方案1：总点数是几就送礼券几十元． 方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元． 方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元． 如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决． 版块一：古典概型 1．古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑴等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义： 随机事件A 的概率定义为()P A =A 事件包含的基本事件数 试验的基本事件总数 ． 版块二：几何概型 几何概型 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ =，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量． 题型一 基础题型 【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一 位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先 到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____ 【例2】 （2010崇文一模） 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______． 【例3】 （2010上海卷高考） 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B =U （结果用最简分数表示）． 知识内容 典例分析 板块一.古典概型 【例4】 （2010湖北高考） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A ．512 B ．12 C ．712 D ．3 4 【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ） A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．16 【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C ．1 3 D ．12 【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？ 【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随 意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通 晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑴求1B 和1C 全被选中的概率．高考数学古典概型与几何概型
17.2 古典概型与几何概型
高中数学完整讲义——概率-古典概型与几何概型1.古典概型
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