2005-2006学年第1学期《线性代数Ⅱ》A 卷试题
答案及评分标准
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．43512132a a a a a k i 是5阶行列式中带负号的项，则i = , k = . 2．设
i
A A A A i 的第为设阶方阵为,4,3-=个列向量，
)
,,(321A A A A =，则行列式
=+12135,2,3A A A A .
3．设
A n A A 阶方阵分别为1,-*的伴随阵和逆矩阵，则=-*1A A .
4．矩阵?????
??
??
???---=30
3
00000301
2100
210A 对应的实二次型 =),,,(4321x x x x f .
5．设????
?
?????---=53
3
4
2
111
a A ，且2,6321===λλλ的特征值为A ， 如果
A 有三个线性无关的特征向量，则=a .
6、n 阶方阵
A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 条件.
1． i = 5 , k = 4 ； 2．40 ；3． 2
-n A ；4．2
442222136x x x x x x --+ ；
5． 2-； 6. 充分。
二、简答题（每小题4分，12分）
1．举出任何反例皆可（2分）。当BA AB =时，等式2
222)(B AB A B A ++=+成立
（2分）。
2．一定不为零（2分）。若A 的特征值0=λ，则存在0 ≠x 使得0 ==x x A λ
即方程0
=x A 有非零解，所以0=A ，即A 不可逆，与已知矛盾（2分）。
3．不相似（2分）。否则有可逆阵C 使C -1AC=B,即A=B,矛盾（2分）。
三、计算题（一）（每小题8分，共32分）
1．值为120（答案错误可适当给步骤分）。
2．解：由X A E AX +=+2化简得))(()(E A E A X E A +-=-（4分），E A E A --=-故,1可逆（2分），所以????
?
?????=+=20
1
030
102
E A X （2分）。 3．
解：???????
???
??--=??????601424
52
71211
03121301,,,,54321T T T T T ααααα∽?????
?
??????00000110001011021301（6分）
故421,,ααα 或431,,ααα
为一个最大线性无关组（或其他正确答案）。（2分） 4．解：利用分块矩阵 ????
?
?????=??
?
???=??
????=11
3
23
2101
,8231
,212
1A A O A A O
A （2分），则 ????
???
???-----=??????--=--317024311
61,1238211211A A （4分） ???
????
?????????------=??????=---00021100023421616700031200211100
1
1
121O A A O
A （2分）
四、计算题（二）（每小题12分，共24分） 1．解：方程组的系数得列式)2()1(2
+-=λλD （1） 当21,0-≠≠≠λλ及即D 时，方程组有惟一解； 2
)1(,21,2
12321++=
+=
++-=λλλλλx x x （4分）
（2） 当1=λ时，原方程组的三个方程成为1321=++x x x
其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1，所以方程组有无穷多解， 其解为????
?
?????+??????????-+??????????-=????????
??00110101132321x x x x x （32,x x 为任意实数） 或写为3211x x x --=（32,x x 为任意实数）（4分）
（3）当2-=λ时，3)~
(2)(=≠=A R A R ，此时原方程无解。（4分）
2．解:(1)因[]
)()2(,)1(3)3()2(22b B E a a A E --=--++--=-λλλλλλλ,
B A 与相似,故B A 与有相同的特征多项式,即B E A E -=-λλ,解得.6,5==b a （4分）
(2)当2=λ时,求解齐次方程组0)2(
=-x A E ,其基础解系为
T T )1,0,1(,)0,1,1(21=-=αα
（3分）
当6=λ时, 求解齐次方程组0)6(
=-x A E ,其基础解系为T )3,2,1(3-=α （3分）
令
????
??????--==31
020
1
111
)(32
1ααα
P ,则有B AP P =-1
使（2分）
五．证明题（每小题7分，共14分）
1．证明：由01,1111≠=?===-*-**-n n A A
A A A A A A A A 故得，所以*
A 可逆。
（4分） 由*-=
A A A
11
，左乘A 得*=AA A E 1，所以.1)(1A A
A =-*（3分） 2．证明：必要性
反证法，设s ααα
,,,21???线性相关，则有不全为零的数s k k k ???,,21，使得
02211
=+???++s s k k k ααα s αααβ
,,,21???可由线性表出，设表示式为 βααα
=+???++s s k k k ~~~2211
两式相加得：βααα
=++???++++s s s k k k k k k )~()~()~(222111
因s k k k ???,,21不全为零，故s k k k ~,~,~21???与s s k k k k k k ~
,,~,~2211+???++是两组不同的数，
这与s αααβ
,,,21???可由线性表示且表示法惟一矛盾。（4分）
充分性：设β
有两种表示
βααα
=+???++s s k k k 2211 βααα
=+???++s s k k k ~~~2211
则两式相减，得
0)~()~()~(222111 =-+???+-+-s s s k k k k k k ααα
由s ααα ,,,21???线性无关知s s k k k k k k ~
,,~,~2211=???==，故表示法惟一（3分）。
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -=
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；
() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；
考试科目： 线性代数 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内 1.设n B A 均为,阶方阵，则必有（ D ） (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) 111)(---+=+B A B A (D) BA AB = 2. 已知,A B 均为n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 一定是( C ) (A) 对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵 3．设矩阵142242A ab a 2 1?? ? =2 + ? ? + ?? 的秩为2，则( C ) (A) 0,0a b == (B) 0,0a b =≠ (C) 0,0a b ≠= (D) 0,0a b ≠≠ 4．设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则2*-A =（ A ） 5. 设 (),ij n n A a ?=且A 的行列式A =0, 但A 中某元素kl a 的代数余子式 0,kl A ≠ 则齐次线性方程组0AX =的基础解系中解向量个数是( A ) 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 6. 设四阶行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3且他们对应的余子式分别为2,3,1,2-，则D=______2_______． 7. 向量[1,4,0,2α=与 [2,2,1,3]β=-的距离和内积分别为_________和___0____. 8. 设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k ==-αβ(1,1,4)=--T γ线性相关，则k =___1___. (A) 52- (B) 32- (C) 32 (D) 52 (A) 1 (B) k (C) l (D) n
2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解 一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项 ( B ) (A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a 解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断). 题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号. 选项(A)错误。其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为 t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415 变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。所以选项(A)缺少“-”. 选项(B)正确。其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得 a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”. 同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”. 2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~ ， 则D ~ 的值为 ( C ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2 解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C). 参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答. 3. n 阶行列式D n =0的必要条件是 ( D ) (A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零 (D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D) 为充分必要条件. 4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是 ( D ) (A) 若A B ，则A B (B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E ) 解 答案为(D). 选项(A)错误，反例：???? ??=1001A , ??? ? ??=1112B 选项(B)错误。“两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如 ???? ??=???? ?????? ??000030000002，因此， (A -E )(B -E )=O A -E =O 或 B -E =O ，反例：???? ??=1002A , ??? ? ??=2201B 选项(C)错误。因为(A +B )(A -B )=A 2-AB +BA -B 2，所以，当且仅当A , B 可交换时，才会有(A +B )(A -B )=A 2-B 2. 选项(D)正确。因为AE =EA =A ，即A , E 可交换，所以，(A +E )(A -E )=A 2-AE +EA -E 2=A 2-E . 5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列命题中正确的是 ( A ) (A) (A 2)-1=(A -1)2 (B) (k A )-1=k A -1 (k 0) (C) (A +B )-1= A -1+B -1 (D) A -1BA =B 解 选项(A)正确。根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质，有(A 2)-1=(AA )-1 = A -1A -1 =(A -1)2 选项(B)错误。应该是(k A )-1=k -1A -1 (k 0) 选项(C)错误。A , B 均为n 阶可逆矩阵时，A +B 不一定可逆；即使 A + B 可逆，(A +B )-1也不一定是A -1+B -1。反例：???? ??-=1001A , ???? ??=1002B ，或者???? ??=1001A , ???? ??=1002B 选项(D)错误。矩阵乘法一般不满足交换律，故A -1BA A -1A B = B 。 二、填空题 (每小题4分，共20分)
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期 课程考试试卷（A ）卷。 一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若 122 21 1211=a a a a ，则=1 6 0030 322 2112 11a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则 __________1=-B 。 4. 若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ______________。 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。 6. 设A 为三阶可逆阵，??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 234532********* 14035 4321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）为______________ 。 10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则( ) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s < 2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A ( ) Ａ．8 Ｂ．8-
Ｃ．34 Ｄ．3 4- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()* kA 等于_____。 )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。 )(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分） 1. 计算n 阶行列式22221 M =D 2 22 22M 2 2322M ΛΛO ΛΛΛ 2 1222-n M n 22 22M 。 2．设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且2 1 =A ，求*A A 2)3(1--. 3．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ??? 4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2 123123123 1x x x x x x x x x λλλλλ?++=? ++=??++=? ① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。 5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。 ??? ??=++=+++=+++5 221322431 43214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组()T 32011=α、()T 53112=α、()T 13113-=α、 ()T 94214=α、()T 52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余
一、选择题（每小题5分，共20分） 1． 设A 为n 阶方阵且0A =，则 （ ） （A ） 矩阵A 必有两行（列）的元素对应成比例。 （B ） 矩阵A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 （C ） 矩阵A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 （D ） 矩阵A 中至少有一行（列）的元素全为零。 2． 设A 是m n ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B AC =的秩为1r ，则（ ） （A ） 1r r =。 （B ） 1r r >。 （C ） 1r r <。 （D ） 1r r 与的关系依C 而定。 3．设12,x x 是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同解，则也是方程组Ax b =的解是（ ）。 （A ） 12x x +。 （B ） 12x x -。 （C ） 12 22 x x +。 （D ） 212x x -。 4．若三阶矩阵A 的特征值为2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵A * 的特征值为（ ） （A ） 12, 8, 4 （B ） 12, 8, 6 （C ） 8, 6, 3 （D ） 6, 3, 2。 二、填空题：（每小题5分，共20分） 1．设121201101A t t t ?? ??=?? ???? ，且线性方程组0Ax =的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参 数t 等于 。 2．设α1 = (1，2，1)T ，α2 = (2，3，4)T ，α3 = (3，4，3)T 是R 3的一组基，R 3的向量 α = (1, 1, 1)T 关于这组基的坐标为 。 3．将 1234?? ?? ?? 写成初等矩阵的乘积是 。 4. 若二次型 22212312 31223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++ 是正定的，则a 的取值范围 是 。 《线性代数》课程试卷 ＿＿＿＿＿＿学院(系)＿＿＿＿年级＿＿＿＿＿专业 主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）
《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：
《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分）
1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）
第一部分选择题（共28分） 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分,共28分）在每小题列出的四个选项中只有一 个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1。设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B。-（m+n） C。 n-m D。 m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于( ） A。 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3。设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A＊是A的伴随矩阵，则A＊中位于（1，2）的元素是( ） A。–6 B。 6 C. 2 D. –2 4。设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（） A。A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. ｜A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B。 2 C. 3 D. 4 6。设两个向量组α1，α2,…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关,则( ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C。有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs—β s)=0 D.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λs αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中( ） A.所有r—1阶子式都不为0 B.所有r—1阶子式全为0 C。至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0 8。设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ) A。η1+η2是Ax=0的一个解B。1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
线性代数试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
04184线性代数（经管类）2 一、 二、单选题 1、 A:-3 B:-1 C:1 D:3 做题结果：A 参考答案：D 2、 A:abcd B:d C:6 D:0 做题结果：A 参考答案：D 3、 A:18 B:15 C:12 D:24 做题结果：A 参考答案：B 4、 A:-3 B:-1 C:1 D:3 做题结果：A 参考答案：D 6、 A:18 B:15 C:12 D:24 做题结果：A 参考答案：B 20、 A:k-1 B:k C:1 D:k+1 做题结果：A 参考答案：B 21、 行列式D如果按照第n列展开是【】 A., B., C. 做题结果：A
22、 关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】 A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解C:如果行列式等于0，则方程组必有唯一解D:如果行列式等于0，则方程组必有零解做题结果：A 参考答案：B 23、 已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。【】A:-3 B:-7 C:3 D:7 做题结果：A 参考答案：A 24、 A:0 B:1 C:-2 D:2 做题结果：A 参考答案：C 25、 A:abcd B:d C:6 D:0 做题结果：A 参考答案：D 26、 A:a≠2 B:a≠0 C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0 做题结果：A 参考答案：D 27、 A., B., C., D. 做题结果：B 参考答案：B 28、 A:-2|A| B:16|A| C:2|A| D:|A| 做题结果：A 参考答案：B 29、
线性代数（试卷一） 一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若 122 21 12 11 =a a a a ，则=1 6 030 322211211 a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 __2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵，??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）______________ 。 10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s < 2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)
Ａ．8 Ｂ．8- Ｃ． 3 4 Ｄ．3 4- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A * kA )(B * A k n )(C *-A k n 1 )(D *A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。 )(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)( )(D 2 2 ))((B A B A B A -=-+ 三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分） 1. 计算n 阶行列式22221 M =D 22222M 22322M ΛΛO ΛΛΛ 2 12 2 2 -n M n 2 222M 。 2．设A 为三阶矩阵，* A 为A 的伴随矩阵，且2 1=A ，求*A A 2)3(1--. 3．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ??? 4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2 123123123 1x x x x x x x x x λλλλλ?++=? ++=??++=? ① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。 5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 3231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31232221 13 1211 222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组????? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a 。 5.A 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则 *A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的围是 。 9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n =
线性代数试题及详细答案
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线性代数（试卷一） 一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若 122 21 12 11=a a a a ，则=1 6 030 322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 __2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵，??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数）______________ 。 10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s < 2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ．8 Ｂ．8-
得分评卷人 （线性代数） （ A 卷） 专业年级： 学号： 姓 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合 题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。 1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的 (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。 2．已知为四维列向量组，且行列式 ， ，则行列式 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 3．设向量组线性无关，且可由向量组线 性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组线性无关； (B) 对任一个，向量组线性相关； (C) 存在一个，向量组线性无关； (D) 向量组与向量组等价。 4．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是 (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解； (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解； (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；
得分 评卷人 得分评卷人 (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6． 列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量.则＝ ，＝ ，＝ 。 7．设阶向量，；矩阵 ,且 ，则___ ______。 8．已知实二次型正定,则常数的 取值范围为________________。 9．设矩阵，是中元素的代数余子式，，，已知，则 。10．设，，已知向量与线性相关，则＝ 。 三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10 分，共50分) 11． (1) 求方程的根，其中 ；
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的 秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=33133212311113121123 2221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ）
. （试卷一） 一、填空题（本题总计20 分，每小题 2 分） 1.排列 7623451 的逆序数是_______。 a 11 a 12 a 11 3a12 0 1，则a21 2.若 a21 a 22 3a22 0 0 6 1 3.已知 n 阶矩阵A、B和C满足ABC E，其中E为 n 阶单位矩阵，则B1CA。 4.若 A 为m n矩阵，则非齐次线性方程组 AX b 有唯一解的充分要条件是 _________ 5.设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维 数为 __2。 6.设 A 为三阶可逆阵， 1 0 0 ，则 A* A 1 2 1 0 3 2 1
. 7.若 A 为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax0 有 非零解的充分必要条件是 1 2 3 4 5 3 0 4 1 2 8.已知五阶行列式D11 1 1 1 ，则 1 1 0 2 3 5 4 3 2 1 A41A42A43A44A45 9. 向量( 2,1,0,2)T的模（范数）______________。 10. 若 1 k 1 T与12 1 T正交，则k 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分） 1. 向量组1,2, ,r线性相关且秩为 s，则 (D) Ａ． r sＢ． Ｃ． s rＤ．r s s r 2. 若 A 为三阶方阵，且A 2E 0, 2A E 0,3A 4E 0，则A(A)
. Ａ．Ｃ．8Ｂ．8 4 Ｄ． 4 3 3 3．设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( d ) Ａ． R(B) R( A)Ｂ．R( B) R( A) Ｃ． R( B) R( A)Ｄ．R( B) R( A) 4.设 n 阶矩阵A的行列式等于D，则kA 等于 _____。c ( A) kA( B) k n A(C )k n 1 A (D) A 5.设 n 阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的 是 _____。 (A)AB AC则 B C(B)AB 0,则A 0或 B 0 (C) (AB)T A T B T(D) (A B)( A B) A2B2