1．计算下列定积分： ⑴
3sin()3x dx π
ππ
+?；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
3sin()3x dx π
π
π
+?3sin()()33x d x π
πππ=++?3
cos()
3x ππ
π
=-+
[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033
ππ
=----=。
【解法二】应用定积分换元法
令3
x u π
+
=，则d x d u =，当x 从
3
π单调变化到π时，u 从
23π单调变化到43π
，于是有
3sin()3x dx π
ππ
+?4323
sin udu ππ=?4323
cos u
π
π=-42[cos
cos ]33
ππ=-- [cos
(cos )]033
π
π
=----=。
⑵
1
32(115)dx
x -+?；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
1
32(115)dx x -+?13
2
1(115)(115)5x d x --=++?212
11(115)52
x --=?+-
22
111
[]10(1151)(1152)
=-
-+?-?211(1)1016=--51512=。 【解法二】应用定积分换元法
令115x u +=，则1
5
dx du =
，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有
1
32(115)dx
x -+?1631
15u du -=?2161
1152
u -=?-211
(1)1016
=-
-51512=。
⑶
32
sin cos d π
????
；
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
3
20sin cos d π????3
2
cos cos d π??=-?420
1cos 4
π
?=-441[cos cos 0]42
π
=--
1
[01]4
=--14=。
【解法二】应用定积分换元法
令cos u ?=，则sin d du ??-=，当?从0单调变化到
2
π
时，u 从1单调变化到0，于是有
320
sin cos d π
????
031u du =-?130u du =?4
1
1
4
u =14
=
。 ⑷
30
(1sin )d π
θθ-?
；
【解】被积式为3
(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是
独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3
sin d θθ的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：
sin cos d d θθθ=-，余下的22sin 1cos θθ=-，这样得到的2(1cos )cos d θθ--便为变
量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
3
(1sin )d π
θθ-?
20
1sin sin d d ππ
θθθθ=-??20
(1cos )cos d π
π
θ
θθ=+-?
301
(cos cos )3
ππθθ=+-
331
(cos cos 0)(cos cos 0)3
πππ=+---
1
(11)(11)3
π=+-----43π=-。
【解法二】应用定积分换元法
令cos u ?=，则sin d du ??-=，当?从0单调变化到π时，u 从1单调变化
到1-，于是有
3
(1sin )d π
θθ-?
20
1sin sin d d ππ
θθθθ=-??20
(1cos )cos d π
π
θ
θθ=+-?
121(1)u du π-=+-?31
1
1()3
u u π-=+- 1
(11)(11)3
π=+-----43π=-。
⑸
22
6
cos udu π
π
?；
【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：
2
1cos cos 22u u +=，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：21cos 2cos 2
u u +=，使之可以换元成为基本可积形式： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
2
26cos udu π
π?261cos 22u du π
π+=?226611
(cos 22)22du ud u ππ
ππ=+?? 2
2
6
6
11(sin 2)2
2u u ππ
π
π=+11[()(sin sin )]22623ππππ=-+-
13
()234
π=-。 【解法二】应用定积分换元法
令2u x =，则1
2
du dx =
，当u 从6π单调变化到2π时，x 从3π单调变化到π，
于是有
2
26cos udu π
π?261cos 22u du π
π+=?226611
(cos 22)22du ud u ππ
ππ=+?? 2
36
1
1(cos )2
2u xdx ππππ
=+?3
11
[()sin ]2262x ππππ=-+ 11[(sin sin )]2323πππ=+-13
()234
π=-。 ⑹
2
20
2x dx -?
；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令2sin x u =，当x 从0单调
变化到
2时，u 从0单调变化到
2
π
，且22222sin 2cos x u u -=-=，2cos dx udu =，使得
2
2
2x dx -?
20
2cos 2cos u udu π
=??2
1cos 222
u
du π
+=? 220
cos 2du udu π
π
=+??220
1cos 222u
ud u π
π
=+? 220
1
sin 22
u
u π
π
=+1
(sin 0)22
π
π=
+-2π=。
⑺
2
112
2
1x dx x
-?
； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x u =，当x 从
1
2
单调变化到1时，u 从4π单调变化到2π，且2222211sin cos sin sin x u u
x u u
--==，cos dx udu =，
使得
211
22
1x dx x -?
224cos cos sin u udu u ππ=??224cot udu ππ=?224
(csc 1)u du π
π=-? 24
(cot )
u u π
π
=--[(cot
cot )()]2424
π
πππ
=--+-14π=-。
⑻
2220
a
x a x dx -?
（0a >）
； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x a u =，当x 从0单调变
化到a 时，u 从0单调变化到
2
π，且22222
222s i n s i n s i n c o s x a x a u a u u a u -=-=?，
cos dx a udu =，使得
2
220
a
x
a x dx -?
22
20sin cos cos a u a u a udu π=???422
sin 24
a
udu π
=
?
4
201cos 442a u du π
+=?42
1(sin 4)84a u u π
=+
41
[(sin 20)]824
a ππ=+-4116a π=。
⑼
3
2
2
1
1dx x
x
+?
；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令tan x u =，当x 从1单调变
化到3时，u 从
4π单调变化到3
π
，且 2222
222sec sec tan sec 1tan 1tan dx udu
udu
u u x x u u ==++2cos sin u du u
=21sin sin d u u = 使得
3
22
1
1dx x x +?
3
2
4
1
sin sin d u u
π
π=? 这时，再令sin u t =，当u 从
4π单调变化到3π时，t 从22单调变化到32
， 又得32
41sin sin d u u π
π?32
222
1dt t =?3
222
1t =-22(
)32=--2
23
=-。 ⑽
1
20
2x x dx -?
；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转
化为标准形：
22221(12)1(1)x x x x x -=--+=--，
现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令
1sin x u -=，当x 从0单调变化到1时，1x -从1-单调变化到0，从而u 对应从2
π
-
单调
变化到0，
而且22221sin cos cos x x u u u -=-==，cos dx udu =，于是
1
20
2x x dx -?
2
cos cos u udu π-=??0
2
1cos 22u du π
-+=?
02
11(sin 2)22u u π
-
=+
11
{[0()][sin 0sin()]}222
ππ=--+--4π=。
⑾
4
1
1dx
x
+?
；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
【解法一】令x u =，当x 从1单调变化到4时，u 从1单调变化到2，且由此得2
x u =，
2dx udu =，
11
11u x
=++，于是 4
1
1dx x
+?
2121udu u =+?2112(1)1du u =-+?2
12(ln 1)u u =-+
2[(21)(ln3ln 2)]
=---32(1ln )2=-2
2(1ln )3
=+。 【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1x u +
=，当x 从1单调
变化到4时，u 从2单调变化到3，且由此得2(1)x u =-，2(1)dx u du =-，11
1u
x =+，
于是
4
1
1dx
x
+?
322(1)u du u -=?3212(1)du u =-?3
2
2(ln )u u =-
2[(32)(ln3ln 2)]=---3
2(1ln )2
=-。
⑿
1
34
11
dx
x --?
；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
【解法一】令1x u -=，当x 从
34单调变化到1时，u 从1
2
单调变化到0，且由此得21x u =-，2dx udu =-，
111
11u x =---，于是
1
34
11dx x --?
01221
u du u -=-?12012(1)1du u =+
-?1
202(ln 1)u u =+-
11
2(ln ln1)22
=+-12ln 2=-。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令11x u --=，当x 从3
4
单调变化到1时，u 从1
2
-
单调变化到1-，且由此得21(1)x u =-+，2(1)dx u du =-+，11
11u
x =--，于是
1
34
11dx
x --?
112
2(1)u du u ---+=?12112(1)du u --=+?1
212(ln )
u u -
-=+
11
2[()(1)ln ln 1)]22
=---+---12ln 2=-。
⒀
1
1
54xdx
x
--?
；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
令54x u -=，当x 从1-单调变化到1时，u 从3单调变化到1，且由此得
21(5)4x u =--，12dx udu =-，1154u
x =-，于是
1
1
54xdx
x
--?
123111(5)42u udu u --=?-??1231(5)8u du =-?31311(5)83u u =- 311
[(13)5(13)]83
=---16=。
⒁
12
2
1
x
e
dx x ?
； 【解】由于11
221
x
x e dx e dx x x
=?，为含复合函数1x e 的积分，且微分部份21dx x 仅与复合函数1x
e 之中间变量1x 的微分21
dx x
-相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
12
21
x
e dx x ?
1211
x e d x
=-?1
21
x e =-112
()e e =--e e =-。
【解法二】应用定积分的换元法
令
1u x =，当x 从1单调变化到2时，u 从1单调变化到12，且由此得21dx du x
-=，
于是
1
2
2
1
x
e dx x ?
12211x e dx x =?121
u e du =-?121
u e =-112
()e e =--e e =-。
⒂
212
t te
dt -
?；
【解】为含复合函数22
t e -的积分，且微分部份tdt 与复合函数22
t e
-之中间变量2
2
t -的微分
tdt -仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
21
2
0t te dt -
?22
12
()2
t t
e d -
=--?2
1
20
t e -
=-102
()e e -
=--11e
=-
。 【解法二】应用定积分的换元法
令2
2
t u -=，当x 从0单调变化到1时，u 从0单调变化到12-，
且由此得tdt du -=，于是
2
1
2
t te
dt -
?
12
u e du -
=-?0
12
u e du -
=?012
u e
-=10
2
e e
-
=-11e
=-
。 ⒃
2
1
1ln e dx
x x
+?
；
【解】为含复合函数的积分，且微分部份
dx x 与复合函数11ln x
+之中间变量1ln x +的微分
1
dx x
相等，可以应用第一换元积分法： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
2
1
1ln e dx x x +?
21
1(1ln )1ln e d x x
=++?2
1
21ln e x =+
22(1ln 1ln1)e =+-+2(1210)=+-+2(31)=-。
【解法二】应用定积分的换元法
令1ln x u +=，当x 从1单调变化到2
e 时，u 从1单调变化到3，且由此得
1
dx du x
=，于是 2
1
1ln e dx
x x
+?
31
1du u =?3
1
2u =2(31)=-。
⒄
22(2)22x dx x x -+++?；
【解】为含复合函数的积分，被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子比分母低一次，可以分解为两个可积基本分式的积分：
22(2)22x dx x x -+++?0221(22)2
222x dx x x -++=++? 00222212212222222
x dx dx x x x x --+=+++++?? 002
2222111(22)(1)222(1)1
d x x d x x x x --=++++++++?? 200
221ln(22)arctan(1)2x x x --=
++++ 1
(ln 2ln 2)arctan1arctan(1)2=-+-- ()44ππ=--2
π=。 ⒅
2
3
1(1)
dx x x +++?
；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：
令
1x u +=，当x 从0单调变化到2时，u 从1单调变化到3，
且由此得21x u =-，2dx udu =，
3
311
1(1)u u x x =
++++，于是 2
30
1(1)
dx
x x +++?
3
31
12udu u u =?+?
3211
21du u
=+?31
2arctan u =
2(arctan 3arctan1)=-2()34
ππ
=-6π=。
⒆
322
cos cos x xdx π
π
-
-?；
【解】由于3cos cos x x -2cos (1cos )x x =
-2cos sin x x =cos sin x x =，
所以
3
22
cos cos x xdx π
π
-
-?0
3
320
2
cos cos cos cos x xdx x xdx π
π-=-+-??
20
2
cos (sin )cos sin x x dx x xdx π
π
-
=-+?
?
20
2
cos cos cos cos xd x xd x π
π
-
=-?
?
于是有
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
3
22
cos cos x xdx π
π
-
-?110
22
2
2
(cos )cos (cos )cos x d x x d x π
π-=-??
3
3
02220
2
2
2
(cos )(cos )3
3
x x π
π
-
=-
22
(10)(01)33
=
---43=。
【解法二】应用定积分的换元法
令cos x u =，当x 从2
π
-
单调变化到0时，u 从0单调变化到1，当x 从0单
调变化到
2
π
时，u 从1单调变化到0，且由此得sin xdx du -=，于是 3
22
cos cos x xdx π
π
-
-?0
20
2
cos (sin )cos sin x x dx x xdx π
π-=-+??
1
1
udu udu =-?
?
111
1
2
2
00u du u du =+??
33
1
1122
0223
3u du u =+?2233=
+43
=。 ⒇
1cos 2xdx π
+?
。
【解】由于21cos 22cos 2cos x x x +=
=，
所以
1cos 2xdx π
+?
2cos x dx π
=?20
2
2[cos cos ]x dx x dx π
π
π=+??
20
2
2[cos (cos )]xdx x dx π
π
π=+-??20
2
2[sin sin ]x
x π
ππ=-
2[(sin
0)(sin sin )]22
π
π
π=---2[1(1)]=--22=。 2．利用函数的奇偶性计算下列定积分： ⑴
4sin x xdx π
π
-
?；
【解】由于函数4sin y x x =是奇函数，即知
4sin 0x xdx π
π
-
=?。
⑵
42
2
4cos d π
π
θθ-
?
；
【解】由于函数4()4cos f θθ=是偶函数，且有
44cos θ21cos 24()2θ+=212cos 2cos 2θθ=++1cos 412cos 22θθ+=++ 31
2cos 2cos 422
θθ=++ 即得
4
2
2
4cos d ππθθ-?4
20
24cos d πθθ=?20312(2cos 2cos 4)22
d π
θθθ=++? 2
31
2(sin 2sin 4)
28
π
θθθ=++
31
2[(0)(sin 0)(sin 20)]228πππ=-+-+-
32
π=。 ⑶
12
212
2
(arcsin )1x dx x
--?
； 【解】由于函数2
2
(arcsin )1x y x
=
-是偶函数，所以
12
212
2
(arcsin )1x dx x --?
12
22
(arcsin )21x dx x =-?
1220
2(arcsin )arcsin x d x =?
1320
2
(arcsin )3
x =321[(arcsin )0]32=-32()36π=?3324
π=。 ⑷
1
212
2
arcsin 1x x dx x
--?
。
【解】由于函数2
arcsin 1x x y x
=
-是偶函数，所以
1212
2
arcsin 1x x dx x --?
122
arcsin 21x x dx x =-?
1220
2arcsin 1xd x =--?
112
2220
2[1arcsin 1arcsin ]x x
x d x =----?
120112[1arcsin 0]42dx =----?1
2032[]
26
x π=-?-316π=-。 3．证明：1
1
2
2111x
x dt dt t t =++??（0x >）。 【证明】作倒数变换1t u
=
，当t 从x 单调变化到1时，u 从1
x 单调变化到1，
且有2
22211111
1()u t u u
==+++，
21dt du u -= 于是有 1
2
1x dt t +?2
112211x u du u u -=?+?11211x du u =-+?12111x
du u =+? 1
2
1
1
1x dt t =+?
， 证毕。
4．证明：
20
sin 2sin n
n xdx xdx π
π
=?
?。
【证明】由于
sin n
xdx π
?
20
2
sin sin n n xdx xdx π
π
π=+??，
其中，对于
2
sin n xdx ππ
?
，作如下的处理：
作变换x u π=-，当x 从
2π单调变化到π时，u 从2
π
单调变化到0， 且有sin sin ()sin n
n
n
x u u π=-=，dx du =-，
于是，
2
sin n
xdx ππ
?
2
sin n
udu π=-?20
sin n
udu π
=?20
sin n xdx π
=?，
从而得
sin n
xdx π
?
20
2
sin sin n
n
xdx xdx π
π
π=+??20
2sin n xdx π
=?。证毕。
5．设()f t 为连续函数，证明： ⑴当()f t 是偶函数时，0
()()x
x f t dt ?=
?
为奇函数；
【证明】当()f t 是偶函数时，有()()f t f t -=，
使得 0()()x
x f t dt
?--=
?
t u =-0
()()x
f u d u --?
()x
f u du =-?()x ?=-，
可知此时0
()()x
x f t dt ?=
?
为奇函数，证毕。
⑵当()f t 是奇函数时，0
()()x
x f t dt ?=
?
为偶函数。
【证明】当()f t 是奇函数时，有()()f t f t -=-，
使得 0()()x
x f t dt
?--=
?
t u =-0
()()x
f u d u --?
()x
f u du =?()x ?=，
可知此时0
()()x
x f t dt ?=
?
为偶函数，证毕。
6．设()f x 是以T 为周期的连续函数，证明：对任意的常数a ，有
()()a T
T
a
f x dx f x dx +=?
?。
【证明】题设()f x 是以T 为周期的连续函数，可知成立()()f x T f x ±=，
由于
()a T
a
f x dx +?
00
()()()T a T
a
T f x dx f x dx f x dx +=++???
()()()a
T
a T
T
f x dx f x dx f x dx +=-++???
其中，对于
()a T
T
f x dx +?，作如下的处理：
令x u T =+，当x 从T 单调变化到a T +时，u 从0单调变化到a ， 使得
()a T T
f x dx
+?
x u T =+0
()()a
f u T d u T ++?
()a
f u du =?0
()a f x dx =?，
于是有 ()a T
a
f x dx +?
()()()a T a f x dx f x dx f x dx =-++???0
()T
f x dx =?，
证毕。
7．计算下列定积分： ⑴
1
x xe dx -?
；
【解】被积函数属分部积分第一类，应选x
e -为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，
1
x
xe dx -?
1
()x
xd e -=-?1
1
()x x xe
e dx --=---?1
1
0x e e dx --=--+?
110
x
e e --=--110()e e e --=---112e -=-。
【解法二】应用列表法
1 0 x x
x
x e e
e ---+---符号求导积分
\\
可得
1
x xe dx -?
10
()
x x xe e --=--1100(1)(0)e e e e --=-----112e -=-。
⑵
1
ln e
x xdx ?
；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选x 为先积分部份，
1
ln e
x xdx ?
211ln 2e
xd
x =?221111ln ln 2
2e e
x x x d x =-?
221111(ln 022e e e x dx x
=--??）211122e e xdx =-? 2211124e e x =-2211(1)24e e =--21(1)4e =+。 （含不可直接积分部份的分部积分不应使用列表法）
⑶
1
arctan x xdx ?
；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选x 为先积分部份，
1
arctan x xdx ?
1
201arctan 2xd
x =?1212
0011arctan arctan 22x x x d x =-? 122
0111
arctan1221x dx
x =-?+?12011(1)821dx x π=--+? 10
1(arctan )82
x x π=--1(1)824ππ=--142π=-。 ⑷
2
sin 2x xdx π
?
；
【解】被积函数属分部积分第一类，应选sin 2x 为先积分部份， 【解法一】套用分部积分公式，
20
sin 2x xdx π
?
20
1(cos 2)2xd x π
=-?
22
01
1
cos 2(cos 2)2
2
x x
x dx π
π
=---?
2011(cos 0)cos 2222xdx πππ=--+?2
1
(1)sin 244x
π
π=--+
1
(sin 0)44
π
π=
+-4π=。
【解法二】应用列表法
sin 21
1 cos 221
0 sin 24
x x x x
+--+-符号求导积分
\\
可得 20sin 2x xdx π?2
11
(cos 2sin 2)
24
x x x π
=-+11
(cos 0)(sin sin 0)224
πππ=--+-
11
()(00)224
π=--+-4π=。
⑸
4
1
ln x
dx x
?
； 【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，应选
1
x
为先积分部份， 4
1
ln x dx x
?
41ln 2xd x =?44
11
2ln 2ln x x xd x =-?
441112ln 2x x x dx x =-??44
1112ln 2x x dx x =-?
4
4
11
2ln 4x x x
=-4
12(ln 2)x x =-
2[4(ln 42)1(ln12)]=---4[ln 41]=-4(2ln 21)=-。
⑹
3
2
4
sin x
dx x
π
π
?； 【解】被积函数属分部积分第一类，应选21
sin x
为先积分部份， 【解法一】套用分部积分公式，
324sin x
dx x ππ?34(cot )xd x π
π=-?334
4
cot (cot )x x
x dx ππ
ππ
=---?
334
4
cos cot sin x x x
dx x π
πππ
=-+?33
4
4
1
cot sin sin x x
d x x
ππ
ππ
=-+? 334
4
cot ln sin x x
x
π
π
π
π
=-+34
(cot ln sin )
x x x π
π
=-+
(cot
ln sin
)(cot
ln sin
)3
3
3
4
4
4
π
π
π
π
π
π
=-
+--
+
132(ln )(ln )3
2423
π
π=-
?
+--+
3
11
2()ln 43322
π=-+1113()ln 42233π=-
+。 【解法二】应用列表法
2 1 sin 1 cot 0 ln sin x x
x x
+--+-符号求导积分
\\
可得
3
24
sin x
dx x
π
π
?34
(cot ln sin )x x x ππ
=-+
(cot
ln sin
)(cot
ln sin
)3
3
3
4
4
4
π
π
π
π
π
π
=-
+--
+
132(ln )(ln )3
2423
π
π=-
?
+--+
3
11
2()ln 43322
π=-+1113()ln 42233π=-
+。 ⑺
220
cos x e xdx π
?
；
【解】被积函数属分部积分第一类，2x
e 与cos x 均可选为先积分部份， 【解法一】套用分部积分公式，选2x
e 为先积分部份，
220
cos x e xdx π?2201cos 2x xd e π=?2222
011
cos cos 2
2
x
x e x e d x π
π
=-? 022011
(cos cos 0)sin 222x e e e xdx π
ππ=-+?
220111(01)sin 222x xd e π
=-+?2222
011
1
sin sin 24
4
x x e x
e d x π
π
=-+-? 0220
111(sin sin 0)cos 2424x e e e xdx π
ππ=-+--?
即得 222200
11
cos cos 244x
x e e xdx e xdx π
ππ
=-+
-??， 移项，整理得
22
1
cos (2)5
x e xdx e π
π=-?
。
【解法二】套用分部积分公式，选cos x 为先积分部份，
220
cos x
e xdx π
?
220
sin x
e d x π
=?22220
sin sin x
x e x
xde π
π
=-?
220
(sin
0)2sin 2
x
e e xdx ππ
π
=--?220
2(cos )x e e d x π
π
=--?
22220
[2(cos )
(cos )2]x
x e e x x d e π
π
π=----?
22220
2cos 4cos x
x e e x
e xdx π
π
π=+-?
220
2(cos
cos 0)4cos 2
x e e e e xdx π
ππ
π
=+--?
即得
22220
cos 24cos x x e xdx e e xdx π
π
π
=--?
?，
移项，整理得
220
1
cos (2)5
x e xdx e π
π=-?
。
⑻
2
21
log x xdx ?
；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选x 为先积分部份，
2
21
log x xdx ?
2
2211log 2xd x =?222
2212111log log 2
2x x x d x =-?
2221111
(4log 20)22ln 2
x dx x =--??21122ln 2xdx =-? 2211122ln 22x =-?12(41)4ln 2=--3
24ln 2
=-。
⑼
220
cos x xdx π
?
；
【解】将三角函数降次后求解，
220
cos x xdx π
?
20
1cos 22
x
x dx π
+=?
?201(cos 2)2x x x dx π=+?
2220011(cos 2)22
x x xdx ππ
=
+?
22
1cos 22x xdx ππ=+?
其中，积分
20
cos 2x xdx π
?
中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选
cos 2x 为先积分部份，得
20cos 2x xdx π?201sin 22xd x π
=?220011sin 2sin 222x x xdx ππ
=-?
201sin 40cos 24x π
ππ=-+100(cos 4cos 0)4
π=-+-
1
(11)04=-=， 从而得 22
0cos x xdx π?220
1cos 22x xdx ππ=+?2102π=+?2π=。
⑽
1
sin(ln )e
x dx ?
；
【解】被积函数属分部积分第二类，且已经具有udv ?
的结构，直接套用分部积分公式得
1
sin(ln )e
x dx ?
11
sin(ln )sin(ln )e
e
x x xd x =-?
11
sin(ln )0cos(ln )e
e e x x dx x
=--???
1
sin1cos(ln )e
e x dx =-?
11
sin1[cos(ln )cos(ln )]e
e
e x x xd x =--?
11sin1[cos(ln )cos(ln1)][sin(ln )]e
e e e x x dx x
=--+-?
1
sin1cos11sin(ln )e
e e x dx =-+-?
即得
1
1
sin(ln )(sin1cos1)1sin(ln )e
e
x dx e x dx =-+-?
?，
移项、整理得
1
1
sin(ln )[(sin1cos1)1]2
e
x dx e =-+?。 ⑾
1ln e
e
x dx ?
；
【解】
1ln e
e
x dx ?
1
11
ln ln e
e
x dx x dx =+??1
11
(ln )ln e
e
x dx xdx =-+??
1
11
ln ln e
e
xdx xdx =-+??111111
[ln ln ]ln ln e
e
e
e
x x
xd x x x xd x =--+-?? 1111111(0ln )ln 0e e
x dx e e x dx e e x x =--+?+--???1
111e e dx e dx e =-++-??
111
1
e
e
x e x
e =-++-111(1)e e e e
=-+-+--22e =-。
⑿
2
ln 2
30
x x e dx ?
。
【解】这是含复合函数的积分，可用第一换元积分法，
令2
x u =，当x 从0单调变化到ln 2时，u 从0单调变化到ln 2，
得
2
l n 2
30
x x e d x
?2l n 2220
12x x e dx =?l n 2012u u e d u =?l n 2012u
ude =? ln 2ln 2001()2u u ue e du =-?ln 2ln 2
011(ln 20)22
u e e =?-- ln 201ln 2()2e e =--1ln 2(21)2=--1
ln 22
=-。
8．设21sin ()x t f x dt t
=?，求1
0()xf x dx ?。 【解】sin t
dt t ?是著名的无法用初等函数表示结果的一道积分题，
因此，无法通过确定()f x 的表达式来求解积分
1
()xf x dx ?
，
但明显可见，易于求出'()f x ：
22221sin sin '()()'x d t x f x dt x dx t x
==?22sin 2x x x =?2
2sin x x =， 于是，可以通过分部积分法，由
1
()xf x dx ?
转化出'()f x 从而解决问题：
10()xf x dx ?1
201()2f x d x =?1212
0011()()22x f x x df x =-?
12201
1[1(1)0]'()2
2f x f x dx =--?12011(1)'()22f x f x dx =-?
1220112
(1)sin 22f x x dx x
=-??1201(1)sin 2f x x dx =-?
122011(1)sin 22f x dx =-?21011
(1)cos 22f x =+ 11(1)(cos11)22f =+-1
[(1)cos11]2f =+- 由题设21sin ()x t f x dt t =?，可得11sin (1)0t
f dt t
==?， 最终得到 10()xf x dx ?1
(cos11)2
=-。
9．设0
()()cos f x x f x xdx π
=-?
，求()f x 。
【解】由于
()cos f x xdx π
?
为常数，可知'()1f x =，
由此得
()cos f x xdx π
?
()sin f x d x π
=?0
()sin sin ()f x x
xdf x π
π
=-?
()sin (0)sin 0sin '()f f xf x dx π
ππ=--?
00sin xdx π
=--?0
cos x
π=cos cos 02π=-=-，
于是，0
()()cos f x x f x xdx π
=-
?
(2)x =--2x =+。
1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43 π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111 []10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =--
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， dx x x d )()(?'=? . 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据 复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的 微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它 内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++.
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的 形式 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学 习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为 有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx =
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1 ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+?
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??= ?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????= =???()u f u d =? （4）利用基本积分公式 ()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、999 9(57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111(57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5x d x dx dx d x +=+==+?? 2、 1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221(l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+? 【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --====?????
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式 定理1若，且的原函数容易求出，记 ， 则 . 证明若，令，于是有 因而 得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式 定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则 得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。 例1求. 解因为 即有一个原函数，所以 例2 计算积分. 解由于 于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式 定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且 ，（1）则 （2）
证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得 ， 这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式 定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则 证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是 ， 定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。 例3用第二换元法求解 解令，则
=—[cos (二 )一cos( )] = -[-cos —(-cos )] = 0。 3 3 3 3 3 【解法二】应用定积分换元法 , n n 于是有 二sin(x )dx 3 23- - -[cos —— cos ——] 2 3 3n n: =-[-cos - (- cos )] = 0。 3 3 【解法二】应用定积分换元法 则dx = 1 du ，当x 从-2单调变化到1时, 5 16,于是有 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1计算下列定积分: I 、 ■■兀 n ⑴！ :...s in (x )dx 3 3 【解法一】应用牛顿 -莱布尼兹公式 71 二sin(x c )dx _ :sin(x 3)d(x 3) =_cos(x ) 3 兀 JI 3 令x u ，则d di 3 ，当x 从一单调变化到 3 二时，u 从 3 4n 单调变化到 ， dx 1 ⑵"11 5犷 【解法一】应用牛顿 -莱布尼兹公式 1 dx 2(11 5x)3 5 ； (11 5x)'d(11 5x)二 1 1 (11 5x) -2 1 1 10[(11 5 1)2 (11一5 2)' - 10 (162 1) 1 [ (1) 51 512 ° ⑶ 2 sin : 1 dx 2(11 5x)3 5 cos 3 d ； 16 u "du 5 -2 1 u" 16 1 10( 16 2_1) 51 512 ° o 2 sin Z -， o 2 cos ： 3 dcos JI 2 0 1 4心 4 一 [cos — cos 0] 4 2 JI JI 二 23 sinudu 二-cosu 令 11 5x = u ， u 从1单调变化到
【不定积分的第一类换元法】 已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?
【第一换元法例题】 1 、 (5x 7)9dx (5x 7)9dx (5x 1 9 1 1 5 (5x 7)d(5x 7) 5 10(5x 【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, 7)9；d(5x 7) 7)10C — (5x 50 1 d(5x 5 1 (5x 7)9d(5x 7) 5 7)10C % In x In x d ln x 1 x dx In x d In x x -W x)2 【注】(Inx)' 1 x d(ln x) 1 别nx) - dx, x 3 (1) tan xdx sinx , dx cosx sin xdx cosx 【注】 3 (2) 【注】 4 (1) dx 7) -dx x d(l n x) d cosx d cosx cosx cosx d cosx cosx (cosx)' cot xdx d sin x sin x (sin x)' In |cosx | C In |cosx| C sinx, d (cosx) 叱dx 竺型 sinx sinx sin xdx, sin xdx d(cos x) d sin x sin x In | sin x | C In |sin x | C cosx, d (sin x) cosxdx, cosxdx d (sin x) —dx a x 1 d(a a x d(a x) 【注 】 (a x)' 1, d (a x) dx, dx d (a x) 4 (2)1 dx 1 dx 1 d(x a) x a x a x a 1 d(x a) In |x a| C ln| x a | C x a 【注 】 (x a)' 1, d(x a) dx, dx d(x a) 4 (3) 1 J、, 1 1 1 1 1 1 dx dx 2 2dx 2 2dx 2a x a x a x a x a 2a x a x| C In |a x| C x) In |a 1 dx x a In | x a | 2a In | x a | C x a x a C 2a
定积分换元法与分部积分法习题
1．计算下列定积分： ⑴3 sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x π ππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3 π单调变化到π时，u 从23π 单调变 化到43π，于是有 3sin()3x dx πππ+?43 23 sin udu π π=?4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ =-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵1 3 2(115)dx x -+? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111[]10(1151)(1152)=- -+?-?2 11(1)1016=--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调 变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。
⑶320 sin cos d π ????； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20 sin cos d π ??? ? 3 20 cos cos d π ?? =-?420 1 cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =-- 1 [01]4 =--14=。 【解法二】应用定积分换元法 令cos u ?=，则sin d du ??-=，当?从0单调变化到 2 π 时，u 从1单调变化到0，于是有 320 sin cos d π ???? 031u du =-?130u du =?4 1 1 4 u =14 = 。 ⑷30 (1sin )d πθθ-?； 【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3sin d θθ的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sin cos d d θθθ=-，余下的22sin 1cos θθ=-，这样得到的 2(1cos )cos d θθ--便为变量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 (1sin )d π θθ-? 20 1sin sin d d ππ θθθθ=-??20 (1cos )cos d π πθ θθ=+-? 301 (cos cos )3 ππθθ=+- 331 (cos cos0)(cos cos 0)3 πππ=+--- 1 (11)(11)3 π=+-----43π=-。 【解法二】应用定积分换元法
不定积分的例题分析及解法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dx x x ? sin ；dx e x ?-2 ；dx x ? ln 1；? -x k dx 2 2 sin 1（其中10<
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1x d x 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0s i n ) 3x d x ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1a r c t a n ) 1x d x x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ? 2 1 ln ) 1xdx 与dx x ?21 2)(ln dx e x ?10 )2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+202 1)1 ?+324 1)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数?-=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1 >≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0c o s )1k x d x ππ π =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0s i n c o s )3l x d x kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx