【不定积分的第一类换元法】 已知
()()f u du F u C =+?
求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????=
=?
?? 【凑微分】
()()f u du F u C =
=+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】
(())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】
【求不定积分()g x dx ?
的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=??
（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????=
=???
（3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==?
??()u f u d =?
（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数：
()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+?
（5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：
()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】
1、9
9
9
9
(57)(57)(5711(57)(57)55
)(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=
+?++?
?
?
? 110091(57)(57)(57)10111
(57)5550
d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1
(57)'5,(57)5,(57)5
x d x dx dx d x +=+==+??
2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=????
221
(l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+?
【注】111
(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x
===??
3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x
x --=
===?
????
【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x
x x x =
==?
???
sin ln |si ln |sin |n |sin x
x d C x C x
==+=+?
【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1）
1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x
C ++=?=+=+++?
【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2）
1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a
C --=?=+=--+?
【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-??
4（3）
22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+???
=-+?==- ?-??????? ()11ln ||ln ||ln
22x a
x a x a C C a a x a
-=
--++=++
5（1）2sec ()sec tan sec sec tan sec tan sec sec tan x x x x x
dx x x x xdx dx x x +==?+++??
? tan sec tan sec sec ()()ln |sec tan |se tan c tan d x x x x x x
d x x C x x +===+++++?
?
5（2）2221cos sec cos c cos sin os cos 1sin x xdx dx dx x x
x dx d x x x ====-?????? 2sin si 1111sin 111sin ln ln 1n sin 2112sin 121s sin sin in d x x x x x x d C C x x
x --??==-?=+=+ ?--+++???
? 6（1）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x x
dx x x x xdx dx x x
+==?+++??
? ()()ln |csc cot |csc c cot csc csc cot csc o ot t c d d x x x x x x
x x C x x --+=-==+-+++?
?
6（2）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x x
dx x x x xdx dx x x
==?----??
?
()(cot csc csc co )
ln |csc t csc co cot |c t sc cot d x x x x d x x x
x x C x -+-=---==+?
?
7（1
）
arcsin x C ==+
7（2
）
arcsin d x
C a x d x =====+?? ??? ??
?
8（1）
221arctan 11dx dx x C x x ==+++??
8（2）2222
22221111arctan 111d dx x dx C a x a x a a a x x x d dx x a x a a a a a a ????
?
=====+++??????++????
?+??
? ????????
???????????，
（0a >）
9（1）352525
s sin cos sin cos sin i c s o c n o s xd x xdx x x x x x d x =?-?=???
862
5
7
5
cos cos (1cos )cos cos (cos cos )cos 86
x x
x x d x x x d x C =--??=-?=-+??
9（2）353434
c sin cos sin cos sin cos os sin x x xdx x x x dx
d x x =?=????
4683
2
2
3
5
7
sin sin sin sin (1sin )sin (sin 2sin sin )sin 438
x x x
x x d x x x x d x C =-?=-+?=-++??
10（1）1ln 111
l l n ln ln l ln n n ln dx d x C x x x x dx d x x x x =?=?=?=+????? 10（2）22221111
1ln ln ln ln ln n ln l dx d C x x x x d x x
x x d x x ?=?=?=?=-+????
11（1）2
42424222222()arctan(21)222)121122(xdx d x C x x x x x x x x dx x dx ====+++++++++++???? 11（2）2242422422
121()2521112252524()
xdx d x xdx d x x x x x x x x +===++++++++???? 22
22222121(1)111arctan()8442111122x d d x x C x x ??+ ?++??===+????
++++ ? ?
????
??
12
、
s 22dx dx dx =?=?=???
2s i 2s C C =?=-+=-+?
13、22221122212
2x
x x
x e dx e d x d e x C e ===+?
??
14、 43
3
3
3
co sin sin cos sin sin s sin i 4
sin s n x
x xdx x x d C dx x x x d x =?=?=?=+????
15、100
(25)x dx +?100
10010011(25)(25)2(25)
(25)(25)2
dx d x x x x d x =+?=+++?+?=??? 1001100111(25)(25)(25)101111(25)22202
x x x d C x C =?=?+=+++++?
16、222
22
2
2111sin sin s 2in sin cos 22
x x x x x dx x xdx dx x d C =?=?=?=-+?
?
?? 17
、
ln 1ln dx d dx d x x x ===
31
2
2ln ln (1ln )(1ln )2(1ln )2(1ln )3
d x d x
d x d x x x C =-=
+-+=+-++??
18、arctan arctan arctan arc arct 2tan 2an arcta 11arct 1n an x x x x
x e dx e e e d e C x dx d x x
x +=?=?=?=++???? 19
、
22(1)x d xd dx x ===--
2(1)d x C -=-=
20
、si n cos x dx d x =-=3
2
2
1cos
cos 2cos
x C x d x -
-
=-=+?
21、111()ln(22222)2x x x x x x
x x x e dx d e e dx d e C e
e e e e =?=?==+++++++????
22、23222
ln ln ln l 1ln ln ln n 3
x x dx x x x x d C x dx d x x =?=?=?=+???? 23
、C ====+
24
、2221()
177112()()()22424d x dx x x x x d x dx -===-+-+-+-???
1()1d x C C x -
==-=+ 25
、计算
，22a b ≠
【分析】因为：2
2
2
2
2
2
2
2
(sin cos )'2sin cos 2cos (sin )2()sin cos a x b x a x x b x x a b x x +=+-=- 所以：2
2
2
2
2
2
(sin cos )2()sin cos d a x b x a b x xdx +=- 222222
1
sin cos (sin cos )2()
x xdx d a x b x a b =
?+-
【解答】
2222221a b ==-
2222221C a b =+-
【不定积分的第二类换元法】 已知
()()f t dt F t C =+?
求()(())()(())'()g x dx g t d t g t t dt ????==?
?
?
【做变换，令()x t ?=，再求微分】 ()()f t dt F t C =
=+? 【求积分】
1(())F x C ?-=+ 【变量还原，1()t x ?-=】
__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】
1
、2
2sin sin 2si 2n t x t t t tdt t t dt tdt =?=?=????
2cos 2cos t t C C =-+-变量还原
2（1
）2
2
11122111211t x t dt td t dt dt t t t t t =???=?==- ?++++??
????? (
))
2l n |1|l |
t t t C C =-++-
++变量还原
2（2
）2
2
(1)(11)2(1)1111221t x t d t dt dt t t t t dt t t =--???=?==- ???
--?????令 (
)()
12ln ||21ln |1t t t C C ==-++++变量还原
3
、
343324332
(1)111(1)(1)4(1)3t
x t dx t t t d t t t dt =-?=--???-? 74
6312()1274t t t t dt C ??=-=-+ ???
?12t C +??
变量还原
4
、
2
2222
1112(1)(1)12t x t dt td dt t t t t t t =?=?=+++???
5、ln 111111111(1)11ln x
x e t x t dx dt dt e t t t t t t t t t d d =========??
?=?==- ?+++++??
=?????令 l n ||l n |1|l n l n 11x
x
x t e t
e t t C C C t
e
========-++=
+++=+变量还原
6
、6
2232365
22111661(1)(61)11t x t t dt dt t t t t t dt t t d t =???=?==- ?++++==??
????
6(arctan )arctan t t t C C +=-+变量还原
【注】被积函数中出现了两个根式
时，可令t =，其中k 为,
m n 的最小公倍数。
7（1
）3
22233ln |1|12t
x t t t dt t t C t =-??=-+++ ?+??
?
3ln |12t C ??++???
变量还原
7（2
）1x ?
112
22222ln |1|ln |1|1t x t t dt t t t C t =--=-++--+-?
12ln |1|ln |1|t x
C
x +-+--+变量还原
【注】
被积函数中含有简单根式
或
t ，即可消去根式。
8(1)8
2(1)
dx
x x +?86422282822111111111111
1t x t t dt t t t dt t t t t t t d
dt
t
t ==??==-=--+-+ ?++??????++ ? ?
????
===-=????1
令x
75311111
arctan arctan t t t t t C C =-+-+-+====-+-+-+=变量还原
8（2）()22221211
1ln
1ln
1ln 1ln (ln )1l 1n 11111ln ln t x t
x t t t dx dt x x t t d dt t t t
t t t ==---+?=?=--+????-- ? ?
?-??====?????1
令x
()()
22
1
11
1
1ln 1ln 1ln 111(1ln )(1ln )ln 1ln t x
C t t t t t t x
C C x t dt x x d t t x
==-?=-?=+++++=++-=++====
??变量还原
【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。
9、tan 2
2arctan 222222222
22111sin 112121sin (1cos )(1)(1)122arctan 11211x
t
x t t t t
x t t dx t t t
t x x d t t t t
t d t ==+
++++?=?--++===++++=+=+=???令
2121112l n ||242
t a n 12t a n l n |t a n |
4222t x
t t d t t t C t x
x x C =
====??=++=+++ ???++=+?变量还原 【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。
10（1
）
sin ||2
ar 2i 2cs n
sin cos x a t t x
t a
da t a tdt π
=<
=========?令，
sin ||2
ar a csin rcsi n
arcsin x a t t x
t a
a
x t x
dt t C C a π
==<
===++==============?变量还令，原
arcsi 222
2n
1cos 2sin 2(1cos 2)22221
arcsin 22x t a
t a a t a dt t dt t C
a x C
a =+??
==+=++ ???
=====+==??变量还原 10（2
）
tan ||2
arctan
sec ln |sec tan |x a t t x
t a
tdt t t C π=<==========++?令，
x 变量还原
因为：2(x =
所以：2(x dx =-
?
?
即：
2
1(2x dx a
dx ??=+ ?
?
??
2
2
1l n ||22
a x C =+++
10（3
）
sec 02
sec ln |sec tan |x a t t tdt t t C π
=<<
==+=====+==
?令，
s c e ln |ln |x a t x C x C a ========+=+变量还原
因为：2(x =
所以：2(x dx =+
?
?
即：
2
11
(2x dx a
dx ??=- ??
??
??
2
1ln ||22
a x C =-++
_______________________________________________________________________________________________
【附加】【应用题】
已知生产x 单位的某种产品，边际单位成本是2()100
'()()'C x C x x x
==-，产量为 1 个单位时，成本为102，又知边际收益为'()120.1R x x =-，且(0)0R =， 求：（1）利润函数()L x ； （2）利润最大时的产量； （3）利润最大时的平均价格。
【解答】
（1）因为：2()100
'()(
)'C x C x x x ==- 所以：1100()C x C x =+，由1(1)102C =得：12C =，? 100
()2C x x
=+， ? ()1002C x x =+ 又已知：'()120.1R x x =-，(0)0R =，? 2
()120.05R x x x =- 于是：2
()()()100.05100L x R x C x x x =-=-- （2）令 '()100.10L x x =-=得：100x =
因为：'(100)0,"(100)0L L =<，所以当100x =时利润最大，max (100)400L = （3）利润最大时的平均价格为：(100)700
7100100
R P =
==
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1 ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+?
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1不定积分中第一换元法的定理形式 定理1若，且的原函数容易求出，记 ， 则 . 证明若，令，于是有 因而 得证。 1.2定积分中第一换元法的定理形式 定理2若连续，在上一阶连续可导，且，在构成的区间上连续，其中，则 . 证明令，由于在构成的区间上连续，记，则 得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了定义范围，要求换元函数在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。 例1求. 解因为 即有一个原函数，所以 例2 计算积分. 解由于 于是 2.第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1不定积分中第二换元法的定理形式 定理3设连续，及都连续，的反函数存在且连续，并且 ，（1）则 （2）
证明将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得 ， 这便证明了（2）式。 2.2定积分中第二换元法的定理形式 定理 4 设在连续，作代换，其中在构成的区间上有连续导数，且，则 证明设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是 ， 定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。 例3用第二换元法求解 解令，则
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）
1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3 π单调变化到π时，u 从 23π单调变化到43π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111[]10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du = ，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =--
【不定积分的第一类换元法】 已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?
【第一换元法例题】 1 、 (5x 7)9dx (5x 7)9dx (5x 1 9 1 1 5 (5x 7)d(5x 7) 5 10(5x 【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, 7)9；d(5x 7) 7)10C — (5x 50 1 d(5x 5 1 (5x 7)9d(5x 7) 5 7)10C % In x In x d ln x 1 x dx In x d In x x -W x)2 【注】(Inx)' 1 x d(ln x) 1 别nx) - dx, x 3 (1) tan xdx sinx , dx cosx sin xdx cosx 【注】 3 (2) 【注】 4 (1) dx 7) -dx x d(l n x) d cosx d cosx cosx cosx d cosx cosx (cosx)' cot xdx d sin x sin x (sin x)' In |cosx | C In |cosx| C sinx, d (cosx) 叱dx 竺型 sinx sinx sin xdx, sin xdx d(cos x) d sin x sin x In | sin x | C In |sin x | C cosx, d (sin x) cosxdx, cosxdx d (sin x) —dx a x 1 d(a a x d(a x) 【注 】 (a x)' 1, d (a x) dx, dx d (a x) 4 (2)1 dx 1 dx 1 d(x a) x a x a x a 1 d(x a) In |x a| C ln| x a | C x a 【注 】 (x a)' 1, d(x a) dx, dx d(x a) 4 (3) 1 J、, 1 1 1 1 1 1 dx dx 2 2dx 2 2dx 2a x a x a x a x a 2a x a x| C In |a x| C x) In |a 1 dx x a In | x a | 2a In | x a | C x a x a C 2a
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ?x x dx 2 ３）dx x ?-2)2( ４）dx x x ?+22 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(?+ ８） dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3 )23( ２） ? -3 32x dx ３） dt t t ? sin ４）? )ln(ln ln x x x dx ５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2? ８）dx x x ?-43 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122 x dx 12）dx x ? 3 cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+239 16)dx x x ?+22sin 4cos 31
17)dx x x ? -2 arccos 2110 18) dx x x x ? +) 1(arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ? sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,2 22 a dx x a x ５）? +3 2)1(x dx ６）?+ x dx 21 ７） ?-+2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?-2sin 2 ５）? xdx x arctan 2 ６）? xdx x cos 2 ７）? xdx 2 ln ８） dx x x 2cos 2 2? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １）dx x x ?+33 ２）?-++dx x x x 1033 22 3）?+)1(2x x dx （Ｂ）
不定积分练习题 一、选择题、填空题： 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) ： (x) (C) ： (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则： f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V