第二节 纠错编码原理
一、纠错编码的原理
一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。例如，要传送的消息为A 和B ，则我们可以用1表示A ，0表示B 。在信道传输后产生了误码，0错为1，或1错为0，但接收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。如果在0或1的后面加上一位监督位（也称校验位），如以00表示A ，11表示B 。长度为2的二进制序列共有种组合，即00、01、10、11。00和11是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10为禁用码。当干扰只使其中一位发生错误，例如00变成了01或10，接收端的译码器就认为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码11也可能变为01或10，因而不能自动纠错。如果在传输中两位码发生了错误，例如由00变成了11，译码器会将它判为B ，造成差错，所以这种1位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误码。
224=按照这种思路，使码的长度再增加，用000表示A ，111表示B ，这样势必会增强码的抗干扰能力。长度为3的二进制序列，共有8中组合：000、001、010、011、100、101、110、111。这8种组合中有三种编码方案：第一种是把8种组合都作为码字，可以表示8种不同的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4种组合作为禁用码，虽然只能传送4种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。例如，若000中错了一位，变为100，或001或010，而这3种码为禁用码组。接收端收到禁用码组时，就认为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。第三种方案中规定许用码组为000和111两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。例如，在收到禁用码组100时，若当作仅有一位错码，则可判断出该错码发生在“1”的位置，从而纠正为000，即这种编码可以纠正一位差错。但若假定错码数不超出两位，则存在两种可能性，000错一位及111错两位都可能变为100，因而只能检错而不能纠错。
从上面的例子可以得到关于“分组码”的一般概念。如果不要求检错或纠错，为了传输两种不同的信息，只用1位码就够了，我们把代表所传信息的这位码称为信息位。若使用了2位码或3位码，多增加的码位数称为监督位。我们把每组信息码附加若干监督码的编码称为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。
图8-2分组码的结构
分组码一般用符号(表示，
其中k 是每组码中信息码元的数目，n 是码组的总位数，又称为码组的长度（码长），为每码组中的监督码元数目，或称为监督位数目。通常将分组码规定为如图8-2所示的结构，图中前面位为信息位，后面附
)n n a a ??,n k n k r ?=k 12(,,...,)r a
加个监督位，此码又称为系统码。
r 10(,...,)r a a ?二、差错控制编码的基本概念
1、编码效率
设编码后的码组长度、码组中所含信息码元以及监督码元的个数分别为和，三者之间满足，编码效率。,n k r n k r =+/1/R k n r n ==?R 越大，说明信息位所占的比重越大，码组传输信息的有效性越高。所以，R 说明了分组码传输信息的有效性。
2、编码分类
① 根据已编码组中信息码元与监督码元之间的函数关系，可分为线性码和非线性码。若监督码元与信息码元之间的关系呈线性，即满足一组线性方程式，称为线性码。
② 根据信息码元与监督码元之间的约束方式不同，可分为分组码和卷积码。分组码的监督码元仅与本码组的信息码元有关；卷积码的监督码元不仅与本码组的信息码元有关，而且与前面码组的信息码元有约束关系。
③ 根据编码后信息码元是否保持原来的形式，可分为系统码和非系统码。在系统码中，编码后的信息码元保持原样，而非系统码中的信息码元则改变了原来的信号形式。
④ 根据编码的不同功能，可分为检错码和纠错码。
⑤ 根据纠、检错误类型的不同，可分为纠、检随机性错误的码和纠、检突发性错误的码。
⑥ 根据码元取值的不同，可分为二进制码和多进制码。
本章只介绍二进制纠错码和检错码。
3、编码增益
由于编码系统具有纠错能力，因此在达到同样误码率要求时，编码系统会使所要求的输入信噪比低于非编码系统，为此引入了编码增益的概念。其定义为：对于相同的信息传输速
率，在给定误码率下，非编码系统与编码系统之间所需信噪比之差（用dB 表示）
。采用不同的编码会得到不同的编码增益，但编码增益的提高要以增加系统带宽或复杂度来换取。
0/S N 04、码重和码距
对于二进制码组，码组中“1”码元的个数称为码组的重量，简称码重，用W 表示。例如码组11001，它的码重
2W =两个等长码组之间对应位不同的个数称为这两个码组的汉明距离，简称码距。例如码组10001和01101，有三个位置的码元不同，所以码距d 3d =。码组集合中各码组之间距离的最小值称为码组的最小距离，用表示。最小码距是信道编码的一个重要参数，它体现了该码组的纠、检错能力。越大，说明码字间最小差别越大，抗干扰能力越强。但与所加的监督位数有关，所加的监督位越多，就越大，这又引起了编码效率0d 0d 0d 0d 0d R 的降低，所以编码效率与最小码距是一对矛盾。
R 0d 根据编码理论，一种编码的检错或纠错能力与码字间的最小距离有关。在一般情况下，分组码的最小汉明距离与检错和纠错能力之间满足下列关系：
0d ① 当码字用于检测错误时，为了能检测出任意e ≤个错误，最小码距应满足：
01d e ≥+ （8-1）
这可以用图8-3来说明。设一码组()a A 位于O 点，另一码组B 与A 最小码距为。
0d
当A 码组发生个误码时，可以认为e A 的位置将移动到以O 为圆心、以e 为半径的圆上，但其位置不会超出此圆。只要e 比小1，发生个错码后错成的码组不可能变成另一任何许用码组，即有。
0d e 01e d ≤?② 当码字用于纠错时，为了能纠正任意t ≤个错误，最小码距应满足：
02d t ≥+1 （8-2）
这可以用图8-3来说明。若码组A 和码组B 发生不多于t 位的错误，则其位置均不超出以和为圆心，t 为半径的圆。只要这两个圆不相交，则当误码小于t 时，根据它们落入哪个圆内，就可以正确地判断()b 1O 2O A 或B ，即可以纠正错误。以和为圆心，t 为半径的两圆不相交的最近圆心距离为1O 2O 21t +，此即为纠正t 个误码的最小码距。
③ 为了能纠正任意个错误，同时又能检测出任意t ≤e ≤个错误，最小码距应满足：
01(d e t e t ≥++>) （8-3）
在解释此式之前，先来说明什么是“纠正个错码，同时又检测e 个错码”
（简称纠检结合）。在某些情况下，要求对于出现较频繁但错码数很少的码组按前向纠错方式工作，以节省反馈重发时间，同时又希望对一些错码数较多的码组，在超过该码的纠错能力时，能自动按检错重发方式工作，以降低系统的总误码率。这种工作方式就是“纠检结合”。 t
()a ()b ()
c
图8-3 码距与检错和纠错能力之间的关系
在上述“纠检结合”系统中，差错控制设备按照接收码组与许用码组的距离自动改变工
作方式。若接收码组与某一许用码组间的距离在纠错能力t 的范围内，
则将按纠错方式工作，否则按检错方式工作。现用图8-3(来说明。若设码组的检错能力为，则当码组)c e A 中存在个错码时，该码组与任一许用码组e B 的距离至少应有1t +，否则将进入许用码组B 的纠错能力范围内，而被错纠为B ，这就要求最小码距应满足式（8-3）。
汉明码的编码检错原理 针对4位数据的汉明码编码示意图 汉明码是一个在原有数据中插入若干校验码来进行错误检查和纠正的编码技术。以典型的4位数据编码为例，汉明码将加入3个校验码，从而使实际传输的数据位达到7个（位），它们的位置如果把上图中的位置横过来就是： 数据位1234567 代码P1P2D8P3D4D2D1 说明第1个 汉明码 第2个 汉明码 第1个 数据码 第3个 汉明码 第2个 数据码 第3个 数据码 第4个 数据码 注：Dx中的x是2的整数幂（下面的幂都是指整数幂）结果，多少幂取决于码位，D1是0次幂，D8是3次幂，想想二进制编码就知道了 现以数据码1101为例讲讲汉明码的编码原理，此时D8=1、D4=1、D2=0、D1=1，在P1编码时，先将D8、D4、D1的二进制码相加，结果为奇数3，汉明码对奇数结果编码为1，偶数结果为0，因此P1值为1，D8+D2+D1=2，为偶数，那么P2值为0，D4+D2+D1=2，为偶数，P3值为0。这样，参照上文的位置表，汉明码处理的结果就是1010101。在这个4位数据码的例子中，我们可以发现每个汉明码都是以三个数据码为基准进行编码的。下面就是它们的对应表： 汉明码编码用的数据码 P1D8、D4、D1 P2D8、D2、D1 P3D4、D2、D1 从编码形式上，我们可以发现汉明码是一个校验很严谨的编码方式。在这个例子中，通过对4个数据位的3个位的3次组合检测来达到具体码位的校验与修正目的（不过只允许一个位出错，两个出错就无法检查出来了，这从下面的纠错例子中就能体现出来）。在校验时则把每个汉明码与各自对应的数据位值相加，如果结果为偶数（纠错代码为0）就是正确，如果为奇数（纠错代码为1）则说明当前汉明码所对应的三个数据位中有错误，此时再通过其他两个汉明码各自的运算来确定具体是哪个位出了问题。 还是刚才的1101的例子，正确的编码应该是1010101，如果第三个数据位在传输途中因干扰而变成了1，就成了1010111。检测时，P1+D8+D4+D1的结果是偶数4，第一位纠错代码为0，正确。P1+D8+D2+D1的结果是奇数3，第二位纠错代码为1，有错误。P3+D4+D2+D1的结果是奇数3，第三但纠错代码代码为1，有错误。那么具体是哪个位有错误呢？三个纠错代码从高到低排列为二进制编码110，换算成十进制就是6，也就是
《信息理论与编码》习题参考答案 1. 信息是什么信息与消息有什么区别和联系 答：信息是对事物存在和运动过程中的不确定性的描述。信息就是各种消息符号所包含的具有特定意义的抽象内容，而消息是信息这一抽象内容通过语言、文字、图像和数据等的具体表现形式。 2. 语法信息、语义信息和语用信息的定义是什么三者的关系是什么 答：语法信息是最基本最抽象的类型，它只是表现事物的现象而不考虑信息的内涵。语义信息是对客观现象的具体描述，不对现象本身做出优劣判断。语用信息是信息的最高层次。它以语法、语义信息为基础，不仅要考虑状态和状态之间关系以及它们的含义，还要进一步考察这种关系及含义对于信息使用者的效用和价值。三者之间是内涵与外延的关系。 第2章 1. 一个布袋内放100个球，其中80个球是红色的，20个球是白色的，若随机摸取一个球，猜测其颜色，求平均摸取一次所能获得的自信息量 答：依据题意，这一随机事件的概率空间为 120.80.2X x x P ????=???????? 其中： 1 x 表示摸出的球为红球事件， 2 x 表示摸出的球是白球事件。 a)如果摸出的是红球，则获得的信息量是 ()()11log log0.8 I x p x =-=-（比特） b)如果摸出的是白球，则获得的信息量是 ()()22log log0.2 I x p x =-=-（比特） c) 如果每次摸出一个球后又放回袋中，再进行下一次摸取。则如此摸取n 次，红球出现的次数为 () 1np x 次，白球出现的次数为 () 2np x 次。随机摸取n 次后总共所获得信息量为 ()()()() 1122np x I x np x I x + d)则平均随机摸取一次所获得的信息量为 ()()()()()()()()()112211221 log log 0.72 H X np x I x np x I x n p x p x p x p x =+????=-+????=比特/次
光电编码器的工作原理 光电编码器，是一种通过光电转换将输出轴上的机械几何位移量转换成脉冲或数字量的传感器。这是目前应用最多的传感器，光电编码器是由光栅盘和光电检测装置组成。光栅盘是在一定直径的圆板上等分地开通若干个长方形孔。由于光电码盘与电动机同轴，电动机旋转时，光栅盘与电动机同速旋转，经发光二极管等电子元件组成的检测装置检测输出若干脉冲信号，其原理示意图如图1所示；通过计算每秒光电编码器输出脉冲的个数就能反映当前电动机的转速。此外，为判断旋转方向，码盘还可提供相位相差90。的两路脉冲信号。 编码器的分类 根据检测原理，编码器可分为光学式、磁式、感应式和电容式，根据其刻度方法及信号输出形式，可分为增量式、绝对式以及混合式三种。 1.1 增量式编码器增量式编码器是直接利用光电转换原理输出三组方波脉冲A、B和Z相；A、B两组脉冲相位差90。，从而可方便的判断出旋转方向，而Z相为每转一个脉冲，用于基准点定位。它的优点是原理构造简单，机械平均寿命可在几万小时以上，抗干扰能力强，可靠性高，适合于长距离传输。其缺点是无法输出轴转动的绝对位置信息。 1.2 绝对式编码器绝对式编码器是直接输出数字的传感器，在它的圆形码盘上沿径向有若干同心码盘，每条道上有透光和不透光的扇形区相间组成，相邻码道的扇区树木是双倍关系，码盘上的码道数是它的二进制数码的位数，在吗盘的一侧是光源，另一侧对应每一码道有一光敏元件，当吗盘处于不同位置时，各光敏元件根据受光照与否转换出相应的电平信号，形成二进制数。这种编码器的特点是不要计数器，在转轴的任意位置都可读书一个固定的与位置相对应的数字码。显然，吗道必须N条吗道。目前国内已有16位的绝对编码器产品。 1.3 混合式绝对编码器混合式绝对编码器，它输出两组信息，一组信息用于检测磁极位置，带有绝对信息功能；另一组则完全同增量式编码器的输出信息。 光电编码器的应用 1、角度测量 汽车驾驶模拟器，对方向盘旋转角度的测量选用光电编码器作为传感器。重力测量仪，采用光电编码器，把他的转轴与重力测量仪中补偿旋钮轴相连，扭转角度仪，利用编码器测量扭转角度变化，如扭转实验机、渔竿扭转钓性测试等。摆锤冲击实验机，利用编码器计算冲击是摆角变化。 2、长度测量 计米器，利用滚轮周长来测量物体的长度和距离。 拉线位移传感器，利用收卷轮周长计量物体长度距离。 联轴直测，与驱动直线位移的动力装置的主轴联轴，通过输出脉冲数计量。 介质检测，在直齿条、转动链条的链轮、同步带轮等来传递直线位移信息。 3、速度测量 线速度，通过跟仪表连接，测量生产线的线速度 角速度，通过编码器测量电机、转轴等的速度测量 4、位置测量 机床方面，记忆机床各个坐标点的坐标位置，如钻床等 自动化控制方面，控制在牧歌位置进行指定动作。如电梯、提升机等 5、同步控制 通过角速度或线速度，对传动环节进行同步控制，以达到张力控制 光电旋转编码器在工业控制中的应用 -------------------------------------------------------------------------------- 1．概述 在工业控制领域，编码器以其高精度、高分辨率和高可靠性而被广泛用于各种位移测量。 目前，应用最广泛的是利用光电转换原理构成的非接触式光电编码器。光电编码器是一种集光、机、电为一体的数字检测装置。作为一次光电传感检测元件的光电编码器，具有精度高、响应快、抗干
1. 在无失真的信源中，信源输出由H (X )来度量；在有失真的信源中，信源输出由R (D )来度量。 2. 要使通信系统做到传输信息有效、可靠和XX ，必须首先信源编码， 然后_____加密____编码，再______信道_____编码，最后送入信道。 3. 带限AWGN 波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)C W SNR =+；当归一化信道容量C/W 趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b /N 0为-1.6dB ，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。 4. XX 系统的密钥量越小，密钥熵H (K )就越 小 ，其密文中含有的关于明文的信息量I (M ；C )就越 大 。 5. 设输入符号表为X ＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。输入信号的概率分布为p ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =2，d (1，0) = 1，则D min ＝0，R (D min )＝1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001?? ???? ；D max ＝0.5，R (D max )＝0，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010?? ???? 。 二、判断题 1. 可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。（√） 2. 线性码一定包含全零码。 （√ ） 3. 算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的 编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。（×） 4. 某一信源，不管它是否输出符号，只要这些符号具有某些概率特性，就有信息量。 （×） 5. 离散平稳有记忆信源符号序列的平均符号熵随着序列长度L 的增大而增大。 （×） 6. 限平均功率最大熵定理指出对于相关矩阵一定的随机矢量X ，当它是正态分布时具 有最大熵。 （√ ） 7. 循环码的码集中的任何一个码字的循环移位仍是码字。 （√ ） 8. 信道容量是信道中能够传输的最小信息量。（×） 9. 香农信源编码方法在进行编码时不需要预先计算每个码字的长度。 （×） 10. 在已知收码R 的条件下找出可能性最大的发码i C 作为译码估计值，这种译码方 法叫做最佳译码。（√ ） 三、计算题 某系统（7，4）码 )()(01201230123456c c c m m m m c c c c c c c ==c 其三位校验 位与信息位的关系为：
******************************************************************************* 从编码器使用的计数来分类，有二进制编码、二进制循环编码（葛莱码）、二-十进制吗等编码器。 从结构原理来分类，有接触式、光电式和电磁式等几种。最常用的是光电式二进制循环码编码器。码盘上有许多同心圆，它代表某种计数制的一位，每个同心圆上有透光与不透光的部分，透光部分为1，不透光部分为0，这样组成了不同的图案。每一径向，若干同心圆组成的图案带标了某一绝对计数值。二进制码盘每转一个角度，计数图案的改变按二进制规律变化。葛莱码的计数图案的切换每次只改变一位，误差可以控制在一个单位内。精度受到最低位分段宽度的限制。要求更大计数长度，可采用粗精测量组合码盘。 接触式码盘可以做到9位二进制，它的优点是简单、体积小输出信号强，不需要放大；缺点是电刷摩擦是、寿命低、转速不能太高。 光电式码盘没有接触磨损寿命长，转速高，最外层每片宽度可以做得更小，因而精度高。每个码盘可以做到18位进制。缺点是结构复杂价格高。 电磁码盘是在导磁性好的软铁和坡莫合金原盘上，用腐蚀的办法作成相位码制的凹凸图形，当磁通通过码盘时，由于磁导大小不一样，其感应电势也不同，因而可区分0和1，到达测量的目的。该种码盘是一种无接触式码盘，具有寿命长‘转速高等优点。它是一种发展前途的直接编码式测量元件。 工作原理，接触式码盘，每个码道上有一个电刷与之接触，最里面一层有一导电公用区，与各码道到点部分连在一起，而与绝缘部分分开。导电公用区接到电源负极。当被测对象带动码盘一起转动时，与电刷串联的电阻上将会出现电流流过或没有电流流过两种情况，带标二进制的1或0.若码盘顺时针转动，就可依次得到按规定编码的数字信输出。如果电刷安装不准就会照成误差。葛莱码没转换一个数字编码，只改变一位，故照成的误差不会超过一个单位。 *******************************************************************************
最小码距和检错纠错能力关系 一、码距？ 码距就是两个码字C1与C2之间不同的比特数。如：1100与1010的码距为2;1111与0000的码距为4。 一个编码系统的码距就是整个编码系统中任意(所有)两个码字的最小距离。若一个编码系统有四种编码分别为：0000，0011，1100，1111，此编码系统中0000与1111的码距为4;0000与0011的码距为2，是此编码系统的最小码距。因此该编码系统的码距为2。 二、码距和检错纠错有何关联? 首先大家要了解以下两个概念： 1.在一个码组内为了检测e个误码，要求最小码距应该满足：d>=e+1 2.在一个码组内为了纠正t个误码，要求最小码距应该满足：d>=2t+1 现在举个例子来说明这个问题： 假如我们现在要对A，B两个字母进行编码。我们可以选用不同长度的编码，以产生不同码距的编码，分析它们的检错纠错能力。 ||-- 若用1位长度的二进制编码。若A=1，B=0。这样A，B之间的最小码距为1。 合法码：{0,1｝;非法码：{0,1｝; 根据上面的规则可知此编码的检错纠错能力均为0，即无检错纠错能力。其实道理很简单，这种编码无论由1错为0，或由0错为1，接收端都无法判断是否有错，因为1，0都是合法的编码。 ||-- 若用2位长度的二进制编码，可选用11，00作为合法编码，也可以选用01，10作为合法编码。若以A=11，B=00为例，A、B之间的最小码距为2。 合法码：{11,00｝;非法码：{01,10｝; 根据上面的规则可知此编码的检错位数为1位，无法纠错。因为无论A(11)或B(00)，如果发生一位错码，必将变成01或10，这都禁用码组(非法码)，故接收端可以判断为误码，却不能纠正其错误。因为无法判断误码(01或10)是A(00)错误还是B(11)错误造成，即无法判断原信息是A或B，或说A与B形成误码(01
移动通信的发展日新月异，从1978年第一代模拟蜂窝通信系统诞生至今，不过20多年的时间，就已经过三代的演变，成为拥有10亿多用户的全球电信业最活跃、最具发展潜力的业务。尤其是进几年来，随着第三代移动通信系统（3G）的渐行渐近，以及各国政府、运营商和制造商等各方面为之而投入的大量人力物力，移动通信又一次地在电信业乃至全社会掀起了滚滚热潮。虽然目前由于全球电信业的低迷以及3G系统自身存在的一些问题尚未完全解决等因素，3G业务的全面推行并不象计划中的顺利，但新一代移动通信网的到来必是大势所趋。因此，人们对新的移动通信技术的研究的热情始终未减。 移动通信的强大魅力之所在就是它能为人们提供了固话所不及的灵活、机动、高效的通信方式，非常适合信息社会发展的需要。但同时，这也使移动通信系统的研究、开发和实现比有线通信系统更复杂、更困难。实际上，移动无线信道是通信中最恶劣、最难预测的通信信道之一。由于无线电波传输不仅会随着传播距离的增加而造成能量损耗，并且会因为多径效应、多普勒频移和阴影效应等的影响而使信号快速衰落，码间干扰和信号失真严重，从而极大地影响了通信质量。 为了解决这些问题，人们不断地研究和寻找多种先进的通信技术以提高移动通信的性能。特别是数字移动通信系统出现后，促进了各种数字信号处理技术如多址技术、调制技术、纠错编码、分集技术、智能天线、软件无线电等的发展。本文将主要关注在几代移动通信系统中所使用的不同的纠错编码技术，以展示纠错编码在现代数字通信中的重要作用。 二、纠错编码基础知识 1948年，香农(Shannon)在他那篇著名的论文《通信的数学理论》中提出并证明了：对于一个信道容量为C的有扰信道，消息源产生信息的速率为R，只要R≤C，则总可以找到一种信道编码和译码方式使编码错误概率P随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值，表示为，这里E( R )称为误差指数；若R>C，则不存在编译码方式来实现无误传输。这一结论为信道编码指出了方向，但它仅是一个存在性定理，并未给出怎样
2、3 一副充分洗乱的牌(含52张),试问: (1)任一特定排列所给出的不确定性就是多少？ (2)随机抽取13张牌,13张牌的点数互不相同时的不确定性就是多少？ 解:(1)52张扑克牌可以按不同的顺序排列,所有可能的不同排列数就就是全排列种数,为 526752528.06610P =!≈? 因为扑克牌充分洗乱,任一特定排列出现的概率相等,设事件A 为任一特定排列,则其发生概 率为 ()681 1.241052P A -=≈?! 可得,该排列发生所给出的信息量为 ()()22log log 52225.58I A P A =-=!≈ bit 67.91≈ dit (2)设事件B 为从中抽取13张牌,所给出的点数互不相同。 扑克牌52张中抽取13张,不考虑排列顺序,共有13 52C 种可能的组合。13张牌点数互不 相同意味着点数包括A,2,…,K,而每一种点数有4种不同的花色意味着每个点数可以取4中花色。所以13张牌中所有的点数都不相同的组合数为13 4。因为每种组合都就是等概率发生的,所以 ()131341352441339 1.05681052P B C -?!! ==≈?! 则发生事件B 所得到的信息量为 ()()13 21352 4log log 13.208I B P B C =-=-≈ bit 3.976≈ dit 2、5 设在一只布袋中装有100只对人手的感觉完全相同的木球,每只上涂有1种颜色。100只球的颜色有下列三种情况: (1) 红色球与白色球各50只; (2) 红色球99只,白色球1只; (3) 红,黄,蓝,白色各25只。 求从布袋中随意取出一只球时,猜测其颜色所需要的信息量。 解:猜测木球颜色所需要的信息量等于木球颜色的不确定性。令 R ——“取到的就是红球”,W ——“取到的就是白球”, Y ——“取到的就是黄球”,B ——“取到的就是蓝球”。 (1)若布袋中有红色球与白色球各50只,即 ()()501 1002P R P W == = 则 ()()221 log log 212 I R I W ==-== bit (2)若布袋中红色球99只,白色球1只,即
编码器的工作原理及作用：它是一种将旋转位移转换成一串数字脉冲信号的旋转式传感器，这些脉冲能用来控制角位移，如果编码器与齿轮条或螺旋丝杠结合在一起，也可用于测量直线位移。 编码器产生电信号后由数控制置CNC、可编程逻辑控制器PLC、控制系统等来处理。这些传感器主要应用在下列方面：机床、材料加工、电动机反馈系统以及测量和控制设备。在ELTRA编码器中角位移的转换采用了光电扫描原理。读数系统是基于径向分度盘的旋转，该分度由交替的透光窗口和不透光窗口构成的。此系统全部用一个红外光源垂直照射，这样光就把盘子上的图像投射到接收器表面上，该接收器覆盖着一层光栅，称为准直仪，它具有和光盘相同的窗口。接收器的工作是感受光盘转动所产生的光变化，然后将光变化转换成相应的电变化。一般地，旋转编码器也能得到一个速度信号，这个信号要反馈给变频器，从而调节变频器的输出数据。故障现象：1、旋转编码器坏（无输出）时，变频器不能正常工作，变得运行速度很慢，而且一会儿变频器保护，显示“PG断开”...联合动作才能起作用。要使电信号上升到较高电平，并产生没有任何干扰的方波脉冲，这就必须用电子电路来处理。编码器pg接线与参数矢量变频器与编码器pg之间的连接方式,必须与编码器pg的型号相对应。一般而言,编码器pg型号分差动输出、集电极开路输出和推挽输出三种,其信号的传递方式必须考虑到变频器pg卡的接口,因此选择合适的pg卡型号或者设置合理. 编码器一般分为增量型与绝对型，它们存着最大的区别：在增量编码器的情况下，位置是从零位标记开始计算的脉冲数量确定的，而绝对型编码器的位置是由输出代码的读数确定的。在一圈里，每个位置的输出代码的读数是唯一的；因此，当电源断开时，绝对型编码器并不与实际的位置分离。如果电源再次接通，那么位置读数仍是当前的，有效的；不像增量编码器那样，必须去寻找零位标记。 现在编码器的厂家生产的系列都很全，一般都是专用的，如电梯专用型编码器、机床专用编码器、伺服电机专用型编码器等，并且编码器都是智能型的，有各种并行接口可以与其它设备通讯。 编码器是把角位移或直线位移转换成电信号的一种装置。前者成为码盘，后者称码尺．按照读出方式编码器可以分为接触式和非接触式两种．接触式采用电刷输出，一电刷接触导电区或绝缘区来表示代码的状态是“１”还是“０”；非接触式的接受敏感元件是光敏元件或磁敏元件，采用光敏元件时以透光区和不透光区来表示代码的状态是“１”还是“０”。 按照工作原理编码器可分为增量式和绝对式两类。增量式编码器是将位移转换成周期性的电信号，再把这个电信号转变成计数脉冲，用脉冲的个数表示位移的大小。绝对式编码器的每一个位置对应一个确定的数字码，因此它的示值只与测量的起始和终止位置有关，而与测量的中间过程无关。 旋转增量式编码器以转动时输出脉冲，通过计数设备来知道其位置，当编码器不动或停电时，依靠计数设备的内部记忆来记住位置。这样，当停电后，编码器不能有任何的移动，当来电工作时，编码器输出脉冲过程中，也不能有干扰而丢失脉冲，不然，计数设备记忆的零点就会偏移，而且这种偏移的量是无从知道的，只有错误的生产结果出现后才能知道。解决的方法是增加参考点，编码器每经过参考点，将参考位置修正进计数设备的记忆位置。在参考点以前，是不能保证位置的准确性的。为此，在工控中就有每次操作先找参考点，开机找零等方法。这样的编码器是由码盘的机械位置决定的，它不受停电、干扰的影响。 绝对编码器由机械位置决定的每个位置的唯一性，它无需记忆，无需找参考点，而且不用一直计数，什么时候需要知道位置，什么时候就去读取它的位置。这样，编码器的抗干扰特性、数据的可靠性大大提高了。 由于绝对编码器在定位方面明显地优于增量式编码器，已经越来越多地应用于工控定位中。绝对型编码器因其高精度，输出位数较多，如仍用并行输出，其每一位输出信号必须确保连接很好，对于较复杂工况还要隔离，连接电缆芯数多，由此带来诸多不便和降低可靠性，
目录 设计总说明 ............................................................... I Introduction ........................................................... III 1 绪论 (1) 2 纠错码的基本概念 (3) 2.1数字通信系统 (3) 2.1.1 数字通信系统的组成 (3) 2.1.2 信道模型 (4) 2.2差错控制系统和纠错码分类 (7) 2.2.1 差错控制系统的分类 (7) 2.2.2 纠错码的分类 (9) 3 线性分组码 (11) 3.1线性分组码的基本概念 (11) 3.2线性分组码的编码 (11) 3.2.1 生成矩阵 (11) 3.2.2 校验矩阵 (15) 3.2.3 编码的实现 (15) 3.3线性分组码的译码 (16) 3.3.1 线性分组码的纠检错能力 (17) 3.3.2 伴随式解码 (1) 4 循环码 (20) 4.1循环码的一般概念 (20) 4.1.1 循环码的定义 (20) 4.1.2 循环码的生成多项式 (20) 4.2循环码的编码 (20) 4.3循环码的译码 (22) 4.4 BCH码 (24) 4.4.1BCH的编码算法 (24)
4.4.2 BCH的译码算法 (25) 4.5 RS码 (26) 4.5.1 RS编码算法 (26) 4.5.2RS的译码 (26) 5 卷积码 (28) 5.1卷积码的表示 (28) 5.2卷积码的编码原理 (29) 5.3卷积码的译码 (29) 6 纠错码在移动通信中的应用 (32) 6.1移动通信的概述 (32) 6.2移动通信中的差错控制 (32) 6.2.1 移动通信中的差错控制 (32) 6.2.2 移动通信中常用的纠错方式 (33) 6.2.3 编码方法 (34) 6.3移动通信中纠错码的应用和发展 (34) 6.3.1 模拟移动通信系统中数字信令的BCH编码 (34) 6.3.2 GSM的FEC编码 (35) 6.3.3 DMA系统(IS-95)中的FEC编码 (35) 6.3.4．3G中的Turbo码 (36) 7 MATLAB简介及卷积码的仿真 (37) 7.1MATLAB (37) 7.2MATLAB在通信仿真中的应用 (37) 7.3卷积码的仿真 (38) 8 总结 (37) 参考文献................................................ 错误！未定义书签。 附录 (44) 致谢 (46)
1、有一个二元对称信道，其信道矩阵如下图所示。设该信道以1500个二元符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设在这消息中P(0)=P(1)=1/2。问从信息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真地传送完？ 解答：消息是一个二元序列，且为等概率分布，即P(0)=P(1)=1/2，故信源的熵为H(X)=1(bit/symbol)。则该消息序列含有的信息量＝14000(bit/symbol)。 下面计算该二元对称信道能传输的最大的信息传输速率： 信道传递矩阵为： 信道容量（最大信息传输率）为： C=1-H(P)=1-H(0.98)≈0.8586bit/symbol 得最大信息传输速率为： Rt ≈1500符号/秒× 0.8586比特/符号 ≈1287.9比特/秒 ≈1.288×103比特/秒 此信道10秒钟内能无失真传输得最大信息量＝10× Rt ≈ 1.288×104比特 可见，此信道10秒内能无失真传输得最大信息量小于这消息序列所含有的信息量，故从信息传输的角度来考虑，不可能在10秒钟内将这消息无失真的传送完。 2、若已知信道输入分布为等概率分布，且有如下两个信道，其转移概率矩阵分别为： 试求这两个信道的信道容量，并问这两个信道是否有噪声？ 3 、已知随即变量X 和Y 的联合分布如下所示： 01 100.980.020.020.98P ?? =?? ??11112222 1111222212111122221111222200000000000000000000000000000000P P ????????????==????????????11 222 2111 2222 2 log 4(00)1/()log 42/log 8(000000)2/(),H bit symbol H X bit symbol C C H bit symbol H X C =-===>=-==1解答：(1)由信道1的信道矩阵可知为对称信道故C 有熵损失，有噪声。(2)为对称信道，输入为等概率分布时达到信道容量无噪声
编码器工作原理及作用-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
编码器工作原理及作用 工作原理 德国siko编码器 由一个中心有轴的光电码盘，其上有环形通、暗的刻线，有光电发射和接收器件读取,获得四组正弦波信号组合成A、B、C、D,每个正弦波相差90度相位差（相对于一个周波为360度），将C、D信号反向，叠加在A、B两相上，可增强稳定信号；另每转输出一个Z相脉冲以代表零位参考位。 由于A、B两相相差90度，可通过比较A相在前还是B相在前，以判别编码器的正转与反转，通过零位脉冲，可获得编码器的零位参考位。编码器码盘的材料有玻璃、金属、塑料，玻璃码盘是在玻璃上沉积很薄的刻线，其热稳定性好，精度高，金属码盘直接以通和不通刻线，不易碎，但由于金属有一定的厚度，精度就有限制，其热稳定性就要比玻璃的差一个数量级，塑料码盘是经济型的，其成本低，但精度、热稳定性、寿命均要差一些。 分辨率—编码器以每旋转360度提供多少的通或暗刻线称为分辨率，也称解析分度、或直接称多少线，一般在每转分度5~10000线。 作用 它是一种将旋转位移转换成一串数字脉冲信号的旋转式传感器，这些脉冲能用来控制角位移，如果编码器与齿轮条或螺旋丝杠结合在一起，也可用于测量直线位移。 编码器产生电信号后由数控制置CNC、可编程逻辑控制器PLC、控制系统等来处理。这些传感器主要应用在下列方面：机床、材料加工、电动机反馈系统以及测量和控制设备。在ELTRA编码器中角位移的转换采用了光电扫描原理。读数系统是基于径向分度盘的旋转，该分度由交替的透光窗口和不透光窗口构成的。此系统全部用一个红外光源垂直照射，这样光就把盘子上的图像投射到接收器表面上，该接收器覆盖着一层光栅，称为准直仪，它具有和光盘相同的窗口。接收器的工作是感受光盘转动所产生的光变化，然后将光变化转换成相应的电变化。一般地，旋转编码器也能得到一个速度信
计算机网络检错码与纠错码 在通信系统中广泛应用的差错控制技术是差错控制编码技术。而差错控制编码包括检错码和纠错码两种，其中检错码是为传输的数据信号增加冗余码，以便发现数据信号中的错码，但不能纠正错码；纠错码是为传输的数据信号增加冗余码，以便发现数据信号中的错码，并自动纠正这些错码。下面介绍几种检错码和纠错码的校验方法。 1．奇偶校验码 奇偶校验码是一种最简单的无纠错能力的检错码，其编码规则是先将数据代码分组，例如，将ASCⅡ码中的一个字符或若干个字符分为一组。在各组数据后面附加一位校验位，使该数据连校验位在内的码元中1的个数恒为偶数则为偶校验，恒为奇数则为奇校验。奇偶校验无纠错能力，它只能检测出码元中的任意奇数个错误，若有偶数个错误必定漏检。由于奇偶校验码容易实现，所以当信道干扰较弱，并且数据码长较短时，使用奇偶校验码效果很好，在计算机网络的数据传输中经常使用该检错码。 根据数据代码的分组方法，奇偶校验码可以分为水平奇偶校验、垂直奇偶校验和垂直水平奇偶校验。 ●水平奇偶校验 如表3-1所示，在水平奇偶校验中，把数据先以适当的长度划分成小组，并把码元按表中所示的顺序一列一列地排列起来，然后对水平方向的码元进行奇偶校验，得到一列校验位，附加在其他各列之后，最后按行的顺序进行传输。水平奇偶校验能查出水平方向上奇数个错误和不大于数据代码长度的突发错误，无纠错能力，但产生校验码及校验逻辑相对复杂。 表3-1 水平奇偶校验 ●垂直奇偶校验 如表3-2所示，在垂直奇偶校验中，把数据先以适当的长度划分成小组，并把码元按表中所示的顺序一列一列地排列起来，然后对垂直方向的码元进行奇偶校验，得到一行校验位，附加在其他各行之后，然后按列的顺序进行传输。垂直奇偶校验能够查出列上的奇数个错误，只能查处50%的突发错误，无纠错能力，但产生校验码及校验逻辑相对简单。 表3-2 垂直奇偶校验
第五章 纠错编码习题解答 1、已知一纠错码的三个码组为(001010)、(101101)、(010001)。若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若纠检错结合，则能纠正几位错码同时检出几位错码？ [解]该码的最小码距为d 0=4，所以有： 若用于检错，由d 0≥e +1，可得e =3，即能检出3位错码； 若用于纠错，由d 0≥2t +1，可得t =1，即能检出1位错码； 若纠检错结合，由d 0≥e +t +1 （e >t ），可得t =1，e =2，即能纠正1位错码同时能检出2位错码。 2、设某(n ,k )线性分组码的生成矩阵为： 001011100101010110G ?? ??=?????? ①试确定该(n ,k )码中的n 和k ； ②试求该码的典型监督矩阵H ； ③试写出该码的监督方程； ④试列出该码的所有码字； ⑤试列出该码的错误图样表； ⑥试确定该码的最小码距。 [解] ①由于生成矩阵G 是k 行n 列，所以k =3，n =6。 ②通过初等行变换，将生成矩阵G 变换成典型生成矩阵
[] 100101010110001011k G I Q ?? ??==?????? 由于101110110011011101T Q P Q ???? ????=???? ????????， ＝＝，可知典型监督矩阵为 []110100011010101001r H PI ?? ??=?? ????＝ ③监督方程为5424315 300 00 a a a a a a a a a ⊕⊕=??⊕⊕=??⊕⊕=? ④所有码字见下表 ⑤错误图样表即错误图样与校正子关系表，见下表
一、填空题（每空1分，共35分） 1、1948年，美国数学家 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。信息论的基础理论是 ，它属于狭义信息论。 2、信号是 的载体，消息是 的载体。 3、某信源有五种符号}{,,,,a b c d e ，先验概率分别为5.0=a P ，25.0=b P ，125.0=c P ，0625.0==e d P P ， 则符号“a ”的自信息量为 bit ，此信源的熵为 bit/符号。 4、某离散无记忆信源X ，其概率空间和重量空间分别为1 234 0.50.250.1250.125X x x x x P ????=??? ?????和1234 0.5122X x x x x w ???? =??????? ? ，则其信源熵和加权熵分别为 和 。 5、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二是 。 6、平均互信息量与信息熵、联合熵的关系是 。 7、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为 信道。 8、马尔可夫信源需要满足两个条件：一、 ； 二、 。 9、若某信道矩阵为????? ????? ??01000 1 000001 100，则该信道的信道容量C=__________。 10、根据是否允许失真，信源编码可分为 和 。 12、在现代通信系统中，信源编码主要用于解决信息传输中的 性，信道编码主要用 于解决信息传输中的 性，保密密编码主要用于解决信息传输中的安全性。 13、差错控制的基本方式大致可以分为 、 和混合纠错。 14、某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出 个随机错，最多能纠正 个随机错。 15、码字101111101、011111101、100111001之间的最小汉明距离为 。 16、对于密码系统安全性的评价，通常分为 和 两种标准。 17、单密钥体制是 指 。 18、现代数据加密体制主要分为 和 两种体制。 19、评价密码体制安全性有不同的途径，包括无条件安全性、 和 。 20、时间戳根据产生方式的不同分为两类：即 和 。 二、选择题（每小题1分，共10分） 1、下列不属于消息的是（ ）。 A. 文字 B. 信号 C. 图像 D. 语言 2、设有一个无记忆信源发出符号A 和B ，已知43 41)(,)(==B p A p ，发出二重符号序列消息的信源，无记忆信源熵)(2 X H 为（ ）。 A. 0.81bit/二重符号 B. 1.62bit/二重符号 C. 0.93 bit/二重符号 D . 1.86 bit/二重符号 信息论与编码
1. 编码器的特点及用途 编码器是通过把机械角度物理量的变化转变成电信号的一种装置；在传感器的分类中，他归属于角位移传感器。 根据编码器的这一特性，编码器主要用于测量转动物体的角位移量，角速度，角加速度，通过编码器把这些物理量转变成电信号输出给控制系统或仪表，控制系统或仪表根据这些量来控制驱动装置。 2. 编码器的主要应用场合： 2.1数控机床及机械附件。 2.2 机器人、自动装配机、自动生产线。 2.3 电梯、纺织机械、缝制机械、包装机械（定长）、印刷机械（同步）、木工机械、塑料机械（定数）、橡塑机械。 2.4 制图仪、测角仪、疗养器雷达等。 最常用的有两种：绝对值编码器和增量式编码器。 信号输出有正弦波（电流或电压）,方波（TTL、HTL）,集电极开路（PNP、NPN）,推拉式多种形式，其中TTL为长线差分驱动（对称A,A-;B,B-;Z,Z-）,HTL也称推拉式、推挽式输出，编码器的信号接收设备接口应与编码器对应。 传感器电源电压一般分为：5V和24V。信号类型： 1、A/B/Z型 2、RS422差分 3、SSI（格雷码） 信号有正弦波的，有方波的。 信号有电流型的，有电压型的 另外SSI编码器输出除了格雷码，也有二进制码的。电压的范围也不仅限于5V和24V 3. 基本原理
3.1 构造 编码器主要是由码盘(圆光栅、指示光栅)、机体、发光器件、感光器件等部件组成。 （1）圆光栅是由涂膜在透明材料或刻画在金属材料上的成放射状的明暗相间的条纹组成的。一个相邻条纹间距称为一个栅节,光栅整周栅节数就是编码器的脉冲数(分辨率)。（注:本公司码盘有三种金属、玻璃、菲林(类似塑料) 三种）。 （2）指示光栅是一片固定不动的,但窗口条纹刻线同圆光栅条纹刻线完全相同的光栅片。 （3）机体是装配圆光栅,指示光栅等部件的载体。 （4）发光器件一般是红外发光管。 （5）感光器件是高频光敏元件;一般有硅光电池和光敏三极管。 3.2 工作原理 由圆光栅和指示光栅组成一对扫描系统,在扫描系统的一侧投射一束红外光,在扫描系统的另一侧的感光器件就可以收到扫描光信号;当圆光栅转动时,感光器件接收到的扫描光信号会发生变化,感光器件可以把光信号转变成电信号并输出给控制系统或仪表。 一般编码器的输出信号为两列成90度相位差的Sin信号和Cos信号(这是由指示光栅的窗口条纹刻线保证的);这些信号的周期等于圆光栅转过一个栅节(P)的移动时间,对Sin信号和Cos信号进行放大及整形就可输出方波脉冲信号。 4. 应用举例 编码器的应用场合十分的广泛，在此列举几个简单事例： (1) 数控机床对加工工件自动检测就是通过编码器来进行检测的：数控机床刀架的对零校准也是通过编码器来实施的。 (2) 编码器在PLC上的应用：一般PLC上都有高速信号输入口，编码器可以作为高速信号输入元件，使PLC更加迅速和精准地实施闭环控制。而在变频器上其一般接变频器的PG卡上。
RS 基本概念 GF(2m )域 域在RS 编码理论中起着至关重要的作用。 简单点说域m GF(2)有m 2(设m 2= q )个符号 且具有以下性质： 域中的每个元素都可以用a 0，a 1，a 2，a m-1 的和来表示。除0、1外其余所有元素由本原多项式 P (x )生成。本原多项式的特性是得到的余式等于0。 在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行 在GF 域上的加、减、乘、除运算定义如下（GF(4 2)为例）： 1、 加、减运算均定义为元素的二进制表示方式进行异或运算。如：a 8 +a 10 ，先查表， 将其化为二进制表示方式得0101+0111，经过异或运算得0010，再查表得a 1，即：a 8+a 10= a 1 。 减运算与加运算相同，即：a 8-a 10= a 1 。 2、 乘运算定义为元素的指数相加后进行模15运算后所得的新元素，但若有一个元素 为0，则相乘结果为0。如：a 7*a 13，(7+13)mod 15=5，即a 7*a 13= a 5 。 3、 除运算定义为元素的指数相减后进行模15运算后所得的新元素(指数为正数)。若 被除数为0，则结果为0。如：a 5/a 9，(5-9)mod 15=11，即a 5/a 9= a 11 。 下面以一个较简单例子说明域的构造。 GF (42) 的所有元素 例：m=4,本原多项式 4p(x)=x +x+1求GF (4 2) 的所有元素： 因为α为p (x )的根得到4 ++1αα=0 或4 =+1αα (根据运算规则)
符号(n，k)RS GF(2)域中，符号(n，k)RS的含义如下： 在介绍之前需要说明一些符号。在4 m表示符号的大小，如m = 8表示符号由8位二进制数组成 n表示码块长度， k表示码块中的信息长度 K=n－k = 2t表示校验码的符号数 t表示能够纠正的错误数目 RS的编码算法 GF(2)域上的RS(15,11)码，码长n=15字符，码元长k=11本项目RS纠错算法选择在4 字符，码距d=5，纠错能力t=2字符，每字符为4bits，即一个码组合7.5字节。每11个有效字节加4个纠错字节。每一帧报文分成若干组，以11个字节为一组，对这11个字节作纠错，生成4字节里德-所罗门码纠错码，和前11个字节一起共15个字节构成纠错后的一组报文。一帧报文以每11个字节分组后，若最后一组字节数不满11个字节，剩余字节填77H，凑满11个字节再进行纠错。 对一个信息码符多项式，RS校验码生成多项式的一般形式为 (13－2) 式中，m0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1，而(n-k)≥2t (t为要校正的错误符号数)。 x+a x+a x+a x+a 对于R（15，11）对应生成多项式为g(x)=413362310 信息码符多项式为
汉明码计算及其纠错原理详解 当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell 实验室的R.W.Hamming 发明，因此定名为汉明码。 汉明码（Hamming Code），是在电信领域的一种线性调试码，以发明者理查德·卫斯里·汉明的名字命名。汉明码在传输的消息流中插入验证码，以侦测并更正单一比特错误。由于汉明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM ）。其SECDED （single error correction，double error detection）版本另外加入一检测比特，可以侦测两个或以下同时发生的比特错误，并能够更正单一比特的错误。因此，当发送端与接收端的比特样式的汉明距离（Hamming distance）小于或等于1时（仅有1 bit发生错误），可实现可靠的通信。相对的，简单的奇偶检验码除了不能纠正错误之外，也只能侦测出奇数个的错误。 在数学方面，汉明码是一种二元线性码。对于每一个整数，存在一个编码，带有个奇偶校验位个数据位。该奇偶检验矩阵的汉明码是通过列出所有米栏的长度是两两独立。 汉明码的定义和汉明码不等式：设：m=数据位数，k=校验位数为，n=总编码位数＝m+k，有Hamming不等式： a）总数据长度为N，如果每一位数据是否错误都要记录，就需要N位来存储。 b）每个校验位都可以表示：对或错；校验位共K位，共可表示2k种状态 c）总编码长度为N，所以包含某一位错和全对共N+1种状态。 d）所以2k≧N+1 e）数据表见下 无法实现2位或2位以上的纠错，Hamming码只能实现一位纠错。 以典型的4位数据编码为例，演示汉明码的工作 D8=1、D4=1、D2=0、D1=1， P1 =1，P2=0、P3=0。 汉明码处理的结果就是1010101 假设：D8出错，P3’P2’P1’=011=十进制的3，即表示编码后第三位出错，对照存储