直线的参数方程
广东信宜中学
杨凡军
一、知识的引入：
我们前面已经学习了直线的普通方程，还有直线的极坐标方程，现在大家来考虑直线是否还有其他形式的方程吗？
二、练习
三、探究： (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？
(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？
四、例题讲解： 例1、已知直线l :x + y -1=0与抛物线y = x 2 交于A, B 两点,求线段AB 的长和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积
思考：①例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？②把“中点”改为“三等分点”
直线 l 的方程怎样求？③n 等分点呢
五、课堂训练：
① 已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半 轴分别交于A,B 两点,求│PA │·│PB │的值 为最小时的直线l 的方程
?
,0的几何意义吗参数你能得到由e t M M =t =的距离
到定点点对应的
表示参数即0M M t t 义
.
,,M )
()(sin cos 2
1210
0t t ，M x f y t t y y t x x 对应的参数分别为两点交于与曲线为参数直线=???α+=α+=2
121t t M M -=22
1t t t +=
.,,,1416(2,1).22
2的方程求直线的中点为线段恰好
如果点两点于交椭圆作直线经过点例l AB M B A y x l M =+),MB 2AM ：(=例如
解:设过点M 的参数方程为: 所以直线的普通方程为:x+y-5=0
② 直线l 过P （2，1），倾斜角为θ，它和曲线C ：4x 2＋9y 2＝36，交于A,B
两点，θ为何值时，|PA||PB|有最大值和最小 值？并求出相应的最值
六、直线参数方程（标准形式）： （常解决问题类型） (1)利用参数求弦长
(2)利用参数求直线方程(即求斜率)
直线参数方程（一般形式）：
一般形式与标准形式的互化：
七、例题与练习：
例3、当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围, 那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?受到侵袭的时间有多久?
八、小结
九、作业布置
十、优点，不足及建议
这是卢耀才老师成功的一节课，虽然学生对直线的参数方程的知识感到有点难度，但是经过卢老师的详细分析，讲解细仔，让难点和重点突出，层层加深，突破难点，讲得通俗易懂，作到化难为易，非常成功。从教案的布置，知识点之间的联系和课堂气氛来看，都非常好，再加上学生的知识底子较好，达到因材施教，黑板书写条理清晰，把重点一一列出，难点反复练习，加深理解，对于容易出错的地方，肯定地提出并要学生记写和让学生做相应的一些练习。 参数方程是一个重点，直线的参数方程又是一大难点，它为我们学习过程中提供了另外的一种方法，在许多的情况下，使用参数方程去解决实际问题显得更加容易，所以让学生认真学习好参数方程。
{
)
(sin 2cos 3为参数t t y t x α+=α+=)t (2
2
2223为参数???
?
?+=-=t y t x 9
11
24110时有最小值
＝，时有最大值＝当πθθ)(sin cos 0
0是参数t t y y t x x ??
?α
+=α
+=)(t 0
为参数?
??+=+=bt y y at
x x |||,|.,,,(y x (2
10212
10
00
00P P P P t t t P P P t bt
y y at x x P 求，数值为分别为参是直线上的点，对应的是参数））的直线参数方程为，过???+=+=||||2
20
t b a P P +=||||2
12
221t t b a P P -+={
.41035.式化为参数方程的标准形把直线的参数方程
练习：t
y t
x -=+=)(5
410)53(5为参数t t y t x '?????'+='
-+=
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α α sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； x y ,) x
第六节 空间直线及其方程 Straight Line in Space and Equation 教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两 直线的位置关系,并会建立直线方程. 课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的 条件. 教学重点: 空间直线的图形及其方程 教学难点: 空间直线方程的求解 教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程 教学内容: 一、直线的标准方程 如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量. 设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =--- ,且0M M s ,则有 000x x y y z z m n p ---== (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数. 【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即 {2,3,5}=-s 由式(1)可得直线方程为 123235x y z --+==- 【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M = 为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为 123369 x y z -++== 即 123123x y z -++== 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行; 2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的; 3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零. 由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为 111212121 x x y y z z x x y y z z ---==--- 称此方程为直线的两点式方程. 二、直线的参数方程
2.5《直线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程 (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. 圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)-()(参数方程为：???+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ 为参数) 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参数方程？ (二)、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是 30 ，并且经过点P(2，3)，如何描述直 线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q(1，1)，P(4，3)， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： (1)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程 ???+=+=αα sin cos t y y t x x 00 (t 为参数【辨析直线的参数方程】：设M(x ，y)从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM (2)、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12≠)的直线的参数方程为
直线的参数方程 【学习目标】 1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】 要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式： 经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为： 00cos sin x x t y y t αα=+??=+? （t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数t 的几何意义： 参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正 负号，也即0||||M M t = ，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。 当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =； 要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为? ??=+=00y y t x x . 要点二、直线的参数方程的一般形式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a b 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜. 要点三、化直线参数方程的一般式为标准式 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2 2b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义 .
专题直线参数方程中t 的意义理解高中数学精 华修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析 一． 知识点概述： ★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则 |MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==， ； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+； |MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ?=?； |PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ?-+=-=-=，即. ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：??? ????+++=+=+++=+=2) sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或??? ????++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中 中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：???+=+=t p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，
15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核： 学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义； 2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程. 学习重点：直线参数方程的简单应用. 学习难点：直线参数方程中参数意义的理解. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题： 1.将参数方程122x t y t =-??=+? （t 为参数）化为普通方程是250x y +-=. 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 答：一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线，方程为0 0tan ()y y x x α-=-. 3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？ 答：当一条直线确定了之后，唯一变化的就是直线上的点，因此，可以以某一个定点为参照，定点到动点的向量作为参数. 二、新课导学： （一）新知： 直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？ 答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ， 所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=， 所以00cos sin x x t y y t αα=+??=+? （t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程. (3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =. （4）练习：①直线003sin20cos20 x t y t ?=+?=?（t 为参数）的倾斜角为70 ； ②直线10x y +-= 的一个参数方程是2()1x t y ?=????=??为参数. (二)典型例题： 【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB 的长和点
空间直线与平面的方程及其位置关系
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空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
利用直线参数方程t 的几何性质解题 山东平邑县第一中学（273300）李志勤 过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为???+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）， 其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为 B A t t ,，则 性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t 性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为 2 B A t t +，若0M 是线段A B 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。 在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。 应用一：求距离 例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6 π ，且与圆722=+y x 相交于A 、B 两点。 （1）求弦长AB. （2）求A P 0和B P 0的长。 解：因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为 6 π ，所以直线l 的参数方程为 ?????? ?+=+-=6sin 06cos 4π πt y t x ，即??? ????=+-=t y t x 212 3 4，（t 为参数），代入圆方程，得 7)2 1( )2 34(2 2 =++-t t ，整理得09342 =+-t t （1）设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，所以3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(212 21=-+= t t t t （2）解方程09342 =+-t t 得，3,3321==t t ， 所以A P 033||1==t ，B P 0.3||2= =t
直线的参数方程 1.设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5 6π，则直线l 的参数方程是____________． 解析：直线l 的参数方程为? ?? x ＝2＋t cos 5 6 π， y ＝－4＋t sin 5 6 π (t 为参数)， 即???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数) 2.设直线l 过点(1，－1)，倾斜角为5π 6 ，则直线l 的参数方程为____________． 解析：直线l 的参数方程为??? x ＝1＋t cos 5π 6 y ＝－1＋t sin 5π 6，(t 为参数)， 即???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 答案：???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 3.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π 6 . 写出直线l 的参数方程； 解：①直线l 的参数方程为?????x ＝1＋3 2t y ＝1＋12t ，(t 是参数)． 4.已知直线l 经过点P ????12，1，倾斜角α＝π 6 ， 写出直线l 的参数方程. [解] (1)直线l 的参数方程为???x ＝12＋t cos π 6 y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即???x ＝12＋3 2 t y ＝1＋1 2t ，(t 为参 数).2分 5.已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，则直线l 的参数方程为____________． 解析：∵直线的斜率为－1， ∴直线的倾斜角α＝135°. ∴cos α＝－ 22，sin α＝2 2 . ∴直线l 的参数方程为???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2 t ，(t 为参数) 6.已知直线l ：???x ＝－3＋32t y ＝2＋1 2t ，(t 为参数) , 求直线l 的倾斜角； 解：(1)由于直线l ：? ??x ＝－3＋t cos π 6 ， y ＝2＋t sin π 6 (t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率
二轮复习：选修4-4 直线的标准参数方程t 的几何意义应用 一.考纲要求： 参数方程 1. 了解参数方程，了解参数的意义； 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 二. 一轮知识课前回顾（请同学们独立默写完成） 1. 过点，倾斜角为的直线标准参数方程为____________________ 其中t 的意义如下： 设,则是直线方向上的单位向量， 若M 为直线上任一点，则， ,即直线上动点M 到定点的距离，等于直线标准参数方程中参数t 的__________ 即 ?? ?+=+=)(为参数t Bt n y At m x 为直线标准参数方程的条件为:①=+22B A __________ ②______>0 2.直线的非标准参数处理方案 ①转为________方程解决问题. ②转为标准参数方程： 如： 将直线：（为参数）的方程化为标准参数方程____________________ 3.已知过点M 0(x 0，y 0)的直线的参数方程为：（为参数），点M 、N 为直线l 上相异两点，点M 、N 所对应的参数分别为、， 请根据下列图象判断、的符号以及用、表示下列线段长度： （2） (3） 请用、表示线段长度: 4.若点Q 是线段MN 的中点，则点Q 对应的参数t=_________ ()000,y x M αl ()ααsin ,cos =e l ______=l e t M M =0_________=()000,y x M l ???? ?= 方向向下 ，若方向向上 若M M M M 000______,||l 222x t y t =+??=-? t l ???+=+=α α sin cos 00t y y t x x t 1t 2t 1t 2t 1t 2t ()11t 2t
第二讲参数方程 2.3直线的参数方程（第一课时）(谷杨华) 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点． （二）学习目标 1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系． 2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义． 3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性． （三）学习重点 1．直线参数方程的推导． 2．直线参数方程中参数的几何意义． 3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用． （四）学习难点 1．对直线参数方程的几何意义的理解． 2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．
二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 读一读：阅读教材第35页至第36页，填空： 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ?? ?+=+=αα ，这种形式称为直线参数方程的标准形式． 其中参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |. 若_0>t ，则0M M 的方向向上； 若_0 直线的参数方程 广东信宜中学 杨凡军 一、知识的引入： 我们前面已经学习了直线的普通方程，还有直线的极坐标方程，现在大家来考虑直线是否还有其他形式的方程吗？ 二、练习 三、探究： (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？ (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？ 四、例题讲解： 例1、已知直线l :x + y -1=0与抛物线y = x 2 交于A, B 两点,求线段AB 的长和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积 思考：①例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？②把“中点”改为“三等分点” 直线 l 的方程怎样求？③n 等分点呢 五、课堂训练： ① 已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半 轴分别交于A,B 两点,求│PA │·│PB │的值 为最小时的直线l 的方程 ? ,0的几何意义吗参数你能得到由e t M M =t =的距离 到定点点对应的 表示参数即0M M t t 义 . ,,M ) ()(sin cos 2 1210 0t t ，M x f y t t y y t x x 对应的参数分别为两点交于与曲线为参数直线=???α+=α+=2 121t t M M -=22 1t t t += .,,,1416(2,1).22 2的方程求直线的中点为线段恰好 如果点两点于交椭圆作直线经过点例l AB M B A y x l M =+),MB 2AM ：(=例如 解:设过点M 的参数方程为: 所以直线的普通方程为:x+y-5=0 ② 直线l 过P （2，1），倾斜角为θ，它和曲线C ：4x 2＋9y 2＝36，交于A,B 两点，θ为何值时，|PA||PB|有最大值和最小 值？并求出相应的最值 六、直线参数方程（标准形式）： （常解决问题类型） (1)利用参数求弦长 (2)利用参数求直线方程(即求斜率) 直线参数方程（一般形式）： 一般形式与标准形式的互化： 七、例题与练习： 例3、当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围, 那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?受到侵袭的时间有多久? 八、小结 九、作业布置 十、优点，不足及建议 这是卢耀才老师成功的一节课，虽然学生对直线的参数方程的知识感到有点难度，但是经过卢老师的详细分析，讲解细仔，让难点和重点突出，层层加深，突破难点，讲得通俗易懂，作到化难为易，非常成功。从教案的布置，知识点之间的联系和课堂气氛来看，都非常好，再加上学生的知识底子较好，达到因材施教，黑板书写条理清晰，把重点一一列出，难点反复练习，加深理解，对于容易出错的地方，肯定地提出并要学生记写和让学生做相应的一些练习。 参数方程是一个重点，直线的参数方程又是一大难点，它为我们学习过程中提供了另外的一种方法，在许多的情况下，使用参数方程去解决实际问题显得更加容易，所以让学生认真学习好参数方程。 { ) (sin 2cos 3为参数t t y t x α+=α+=)t (2 2 2223为参数??? ? ?+=-=t y t x 9 11 24110时有最小值 ＝，时有最大值＝当πθθ)(sin cos 0 0是参数t t y y t x x ?? ?α +=α +=)(t 0 为参数? ??+=+=bt y y at x x |||,|.,,,(y x (2 10212 10 00 00P P P P t t t P P P t bt y y at x x P 求，数值为分别为参是直线上的点，对应的是参数））的直线参数方程为，过???+=+=||||2 20 t b a P P +=||||2 12 221t t b a P P -+={ .41035.式化为参数方程的标准形把直线的参数方程 练习：t y t x -=+=)(5 410)53(5为参数t t y t x '?????'+=' -+= 专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析 一． 知识点概述： ★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 为参数，t t y y t x x ?? ?+=+=α α sin cos 00 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则 |MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+； |MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ?=?； |PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ?-+= -=-=，即. ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为： ??? ??? ?+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或??? ??? ?++=+++=+=++=+++=+=) (22)()(2)(22) ()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中 中点M 的相应参数为t ，而22 1t t t +=，所以中点坐标也为：? ??+=+=t p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点， 则中点M 的相应参数：2 2 1t t t += =0 （因为???+=+=t p y y t p x x 200 100，而21p p ，均不为0，所以t=0） 体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程，并且一定要强调其中参数T 的由来。 实际上由新课程标准人教A 版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平面内过定点),(000y x p 、倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0p 为起点，任 意一点P （x ，y ）为终点的有向线段P P 0的数量，当P 点在0p 上方时t 为正，当P 点在0p 下方时t 为负。 体会二：教学中必须要强调参数T 的几何意义及两个结论的引导应用示范。 实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义等知识，很容易得参数t 具有如下的 直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程． 直线的参数方程及应用 问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？ 我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、 问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x 利用直线参数方程t 的几何意义 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点， （规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x 平面空间直线及其方程 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点.(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向) 二、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： +D Cz By Ax + = + 几个平面图形特点： 1）D＝0：通过原点的平面。 2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ???=+++=+++002222 1111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x直线的参数方程
专题：直线参数方程中t的意义理解(高中数学精华)
直线的参数方程教案
直线的参数方程及其应用举例
直线参数方程t的几何意义 (1)
平面空间直线及其方程
直线的参数方程及其应用举例
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