直线的参数方程
教学目标：
1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．
3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．
教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．
教学方式：启发、探究、交流与讨论.
教学手段：多媒体课件．
教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫
教师提出问题：
1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．
2.直线的方向向量的概念．
0 / 13
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5.如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．
【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．
二、直线参数方程探究
1．回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么：
①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
2.类比分析，异曲同工
问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的
任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点
就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利
于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下
结论：选取直线l上的定点
M为原点，与直线l平
行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
3. 选好参数，柳暗花明
问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线
l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．
【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单
位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上
启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l
的方向向量可以由倾斜角α来确定．
当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方
向向量e 的方向总是向上．
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4. 等价转化，深入探究
问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、
，怎样用参数t 表示,x y ？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：
因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，
0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即
00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．
于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，
即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．
因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为
???+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．
教师提出如下问题让学生加强认识：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
②参数t 的取值范围是什么？
③参数t 的几何意义是什么？
总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；
②t R ∈；
③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的
动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
三、运用知识，培养能力
例1.已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点
(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：
解法一：由210x y y x +-=??=?，得210(*)x x +-=．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-?=-，．
AB ∴===
由（*
）解得12x x =
=
123322
y y +∴==．
所以A B ，．
则MA MB ?=
2===．
解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34
π，所以它的参数方程是 31cos 432sin 4x t y t ππ?=-+????=+?? （t 为参数），
即122
x y ?=-????=+?? （t 为参数）．
把它代入抛物线的方程，得220t +-=，
解得1t =
，2t =． 由参数t
的几何意义得：12AB t t =-=
122MA MB t t ?==．
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
探究：直线 ???+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t ．
（1）曲线的弦12M M 的长是多少？
（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？
先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：
12121M M t t =-（）， 1222
t t t +=（） 【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．
例2、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆22
1164
x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为
线段AB的中点，求直线
l 的方程．
分析：引导学生以M 作为直线l 上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则由120t t +=求出直线l 的斜率．教师板书，过程如下：
解：设过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα
=+??=+?（t 为参数），
代入椭圆方程，整理得
22(3sin 1)4(cos 2sin )80t ααα+++-=．
因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1224(cos 2sin )3sin 1
t t ααα++=-+． 因为点M 为线段AB 的中点，所以
1202t t +=，即cos 2sin 0αα+=． 于是直线l 的斜率1tan 2
k α==-． 因此，直线l 的方程是11(2)2
y x -=--，即240x y +-=． 教师引导学生课下用其他方法解决．
思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．
【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．
四、自主解决，深入理解
已知过点(2,0)P ，斜率为
43
的直线和抛物线22y x =相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M ，求点M 的坐标． 本题由学生独立完成，教师补充完善．
解：设过点(2,0)P 的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得：3cos 5α=，4sin 5
α=． 所以，直线的参数方程为32545x t y t ?=+????=??（t 为参数）． 代入22y x =，整理得2815500t t --=．
中点M 的相应参数是1215216t t t +=
=， 所以点M 的坐标是413(,)164
． 【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．
五、归纳总结，提升认识
先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在 学生总结的基础上再进行概括．
1．知识小结
本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．
2．思想方法小结
附件：教学设计方案模板
t> 致时），0 当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时）OM t=．教师用几何画板软件演示上述过程． |
2.类比分析，异曲同工 问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？ （2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？ 教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论： 问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？ 让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有 0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选 择t 作为参数来获取直线l 的参数方程． （2）：如何确定直线l 的单问 题 向量e ？教师启发学生：如位方向果所有 单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向 量． 教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出 (cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定． 当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上． 学生得出结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定 直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量 的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种 坐标（一维坐标和二维坐 2、使学 生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间教学难点：通过向量法，建立参数y,x的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． t，那的坐标为，数轴上点所对应的点为，数教师引导学生明确：如果数轴原点为O1AM 么： OAOMOM?tOAOAOA方②当与方向与数轴的正方向一致，且①为数轴的单位方向向量，；0t?OM的方向与数轴正方向一致时），；向一致时（即0t?OMOMOA 的方向与数轴正方向相反时），与方向相反时（即当；0t? M与O重合时，；当．教师用几何画板软件演示上述过程．③t|OM|?【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工 任意一条平面直角坐标系中的）类比数轴概念，问题：（1 直线能否定义成数轴？就有两种）把直线当成数轴后，直线上任意一点（2两种坐标坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这之间的关系？选取结论：教师提出问题后，引导学生思考并得出以下lll的(向上M平行且方向上的定点直线为原点，与直线0llle 的正方向，同时在直线确定直线时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量倾斜角不为0ll（一于是，直线上确定进行度量的单位长度，这时直线上的点就有了
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
《直线的参数方程》教学反思 我所教班级是文科班，学生的总体数学水平处于我校的中等水平，学生们对于数学这个学科本身的兴趣有限，对前面学过的有关直线和圆中的基本知识点掌握的一般。针对以上实际情况，我采用如下方案对参数方程进行了讲解。 一、讲解情况 第一，讲解学习本章的重要意义。通过本章节的教学使学生明白现实世界的问题是多维度的、多种多样的，仅仅用一种坐标系，一种方程来研究是很难解决现实世界中的复杂的问题的。在这一点上，参数方程有其自身的优越性，学习参数方程有其必要性。 第二，讲解参数方程的基本原理和基本知识。通过学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法，以及方程之间、坐标之间的互化，使学生明白坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要，主观能动地加以选择的。 第三，讲解典型例题和解题方法。通过例题的讲解让学生们进一步巩固基础知识，同时还能熟练解题方法，为进一步学习数学和其他自然科学知识打好基础。 第四，布置课后练习。既可以巩固学过的知识，又可以达到温故而知新的效果。 二、成功之处 第一，突出教学内容的本质，注重学以致用。课堂不应该是“一言堂”，
学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上，老师应为学生讲清楚相关理论、原理及思维方法，做到授之以渔，而非仅是授之以鱼。 第二，保证活跃的课堂气氛，进一步激发了学生的学习潜能。实践证明，刻板的课堂气氛往往禁锢学生的思维，致使学习积极参与度下降，学习兴趣下降，最终影响学习成绩和创造性思维的发展。 第三，结合本节课的具体内容，确立互动式教学法进行教学。积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点，调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，进而完成知识的转化，即变书本的知识、老师的知识为自己的知识。 第四，有效地提高教学实效。通过老师的讲解和学生的练习，让学生不断地巩固基础知识的同时，让学生们既要能做这道题，还要能做类似的题目，做到既知其然，又知其所以然，举一反三，触类旁通，把知识灵活运用。 三、不足之处 第一，本节课的知识量比较大，而且是建立在向量定义基础之上。这些知识学生都已经学过了，在课堂上只做了一个简单的复习。但是在接下来的课堂上发现一部分学生由于基础知识不扎实，导致课堂上简单的计算出错，从而影响到学生在做练习时反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题。从课堂的效果来看学生对运算的熟练程度还不够，一定程度上存在很大的惰性，不愿动笔的问题存在，有待于在以后的教学中督促学生加强动笔的频率，减少惰性。 以上就是我的教学反思。
§16.1坐标轴的平移（一） 【教学目标】 知识目标： （1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标： 通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高． 【教学重点】 坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算． 【教学难点】 坐标轴平移的坐标变换公式的运用． 【教学设计】 学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方． 【课时安排】 1课时． 【教学过程】 揭示课题 2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入 在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系． 例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为 1)1()2(22=-+-y x ．
对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是 12121=+y x ． 图2-1 动脑思考 探索新知 只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移． 下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式． 图2-2 如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为 ),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向 量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有 OP = x i +y j ，1O P = x 1i +y 1 j ， 1OO = x 0i +y o j ， 因为 11OP OO O P =+ ， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节）
参数方程教案 第一节 曲线的参数方程 【教学目标】 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 【教学重点与难点】 重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】 一． 复习： 1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？ 曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线． 2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2 +y 2 =r 2 ； ⊙O 的参数方程是： ?? ?==θ θ sin cos r y r x （θ为参数） 这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式．
二．新课： 1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数 ?? ?==) () (t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。 2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。 我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？ （1）建系：建立适当的直角坐标系； 以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。 （2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)． (3)列式：即找出x 与y 之间的关系。 怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。 这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x 、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x 、y 都与时间t 有关． 在水平方向的初速度是v 0cos α，在竖直方向的初速度是v 0sin α. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v 0cos α; 在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v 0sin α·t-2 1gt 2 这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t 表示出来了，即把x 、y 都表示成了t 的函数，t 应该有一个确定的范围？ 令y=0，得t=0或t = g v α sin 20， ∴0≤t ≤ g v αsin 20。
2.5《直线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程 (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. 圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)-()(参数方程为：???+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ 为参数) 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参数方程？ (二)、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是 30 ，并且经过点P(2，3)，如何描述直 线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q(1，1)，P(4，3)， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： (1)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程 ???+=+=αα sin cos t y y t x x 00 (t 为参数【辨析直线的参数方程】：设M(x ，y)从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM (2)、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12≠)的直线的参数方程为
曲线的参数方程（孙雷） 教材人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节 授课教师孙雷 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 当两个齿轮接触时，蓝色齿轮会带动红色齿轮转动，当两个齿轮没有接触时，蓝齿轮要带动红色齿轮转动，有一种方法是加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮同时接触。 (上述过程让学生感受中间变量的作用，为参数方程中的参变量的引出作铺垫。) 思考1： 若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______________； (2) 第二组图中，A与C角速度之间的关系是_______________； B与C角速度之间的关系是________________； 思考2： 思考： 若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是_________________；
(2) 第二组图中，它们角速度之间的关系是_________________； 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 例1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在 直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原 点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系 该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈? ??==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈? ??==θθθr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力） （3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。 对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；） （4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？ )2,0[s i n c o s ωπωω∈???==t t r y t r x ， )2,0[s i n c o s πθθθ∈???==r y r x （5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 （6）圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθ θ∈???==y x 是否表示同一曲线？为什么？ （ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程： ①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）；
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
教学过程 一、复习预习 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ?? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a b 的直线的参数方程是 ? ? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ?? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是?? ?+=+=? ? sin cos r b y r a x (φ是参数) φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图) (2)椭圆 椭圆122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是 ?? ?==?? sin cos b y a x (φ为参数) 椭圆 122 22=+b y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是 ?? ?==? ? sin cos a y b x (φ为参数)
第二章 参数方程 【课标要求】 1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。 2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。 3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。 第一课时 参数方程的概念 一、教学目标： 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。 二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。 教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。 三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程 （一）．参数方程的概念 1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν ，与地面成 α 角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动： 为参数） t gt t v y t v x (21sin cos 200?? ? ??-?=?=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。（见课本第27页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 （3）平抛运动：【课本P27页例题】 为参数） t gt y t x (215001002?? ? ??-==
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹 的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。 （二）、应用举例： 例1、（课本第28页例1）已知曲线C 的参数方程是???+==1 232 t y t x (t 为参数)（1）判断点 1 M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。 分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。 例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60π rad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。 解析：如图，运动开始时质点位于A 点处，此时t=0，设动点M （x,y ）对应时刻t,由图可知2cos 602sin { x y t θθ θ=π ==又，得参数方程为 6060 2cos 2sin (0){ x t y t t ππ==≥。 反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。 （三）、课堂练习：课本P28页中练习题1、2 （四）、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。
2.2.3直线的参数方程（教学设计）(2课时) 教学目标： 知识与技能： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 通过建立直线参数方 程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 教学过程： 一、复习回顾： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 二、师生互动，新课讲解 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA = ；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =；
直线参数方程（第一课时）学案 目标点击： 1．掌握直线参数方程地标准形式和一般形式，理解参数地几何意义； 2．熟悉直线地参数方程与普通方程之间地互化； 基础知识点击： 1、直线参数方程地标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l 地参数方程是 ? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x （t 为参 数）t 地几何意义：t 表示有向线段0p p u u u u r 地数量，P(y x ,) 为直线上任意一点.则0p p u u u u r =t ∣0p p u u u u r ∣=∣t ∣(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应地参数分别为t 1、t 2，则1p p u u u r =t 2－t 1∣1p p u u u r ∣ =∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上地点，所对应地参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3 地参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2地中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程地一般式过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 地直线地参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 一、直线地参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，直线L 地正方向）过点P 作y 轴地平行线，过P 0轴地平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝ Q P ＝0y y -∴0y y -=t sin α即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 求地直线l 地参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)P 在点P 0地上方；2.当t ＝0时，点P 与点P 0重合；3.当t<0时，点P 在点P 0地下方；x l
《2.2.1 直线的参数方程》教学案2 教学目标： 1.了解直线的参数方程的推导过程，进一步理解参数方程的重要性； 2.体会参数方程在解题中的应用； 3.通过本节学习，进一步明确求曲线的参数方程的一般步骤. 教学重点： 直线的参数方程的推导过程及其参数方程在解题中的应用. 教学难点： 直线的参数方程的推导过程. 授课类型： 新授课 教学过程： 一、复习引入： 我们学过的直线的普通方程都有哪些？ 1.点斜式： 2.斜截式： 3.两点式： 4.截距式： 5.一般式： 二．新课讲解： 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α)(2πα≠ 的直线l 的普通方程是y -y 0=tan α(x -x 0)，怎 样建立直线l 的参数方程呢？ 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 为参数）(.sin ,cos t t y y t x x ? ??+=+=αα00 思考：参数方程中t 的几何意义是什么？ 重合。M 与点M 则点， t 的方向向下；若M M ，则0t 的方向向上；若M M 则， 0t 的方向总是向上，若e 的单位方向向量l 直线,0000=<>=t
三．例题讲解 探究： 思考： 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？ 例3.当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300Km 处生成，并以40km /h 的速度向西偏北4521.:10l x y y x +-==例已知直线与抛物线交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。12121212(),,.(1)2y f x M M t t M M M M M t =直线与曲线交于两点，对应的参数 分别为曲线的弦的长是多少？（）线段的中点对应的参数的值是多少？2 214,y A B +=2x 例。经过点M(2,1)作直线L ，交椭圆16于两点。如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直 线L 的方程。
《直线的参数方程》教学设计 紫云民族高级中学高二数学组教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.共线向量的条件是什么？ → → → → → → ) // bλ ( ≠a = ? b a a 2.直线方程的有几种形式？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。 【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为 ? ?? ? ?≠ 2παα 的直线 l 的 普通方程是________________________; 合作探究：过定点0M ),(00y x ,倾斜角为α的直线L 的参数方程如何建立？ )sin ,(cos αα=→ e )(),(000y x y x M M --= ),(00y y x x --= y x O ) ,(y x M → e ) ,(000y x M α l e M M //0 1.由图可以看出： ) sin ,(cos ),(00ααt y y x x =--α cos 0t x x =-α sin 0t y y =-???+=+=α αsin cos 00t y y t x x ∴∴存在唯一的实数 使得 R t ∈e t M M =0
2.1平面直角坐标系下曲线的参数方程教案 课题：2.1平面直角坐标系下曲线的参数方程(1) 最新 考纲 1.了解平面直角坐标系下参数方程定义与引入意义。 2.掌握参数方程与普通方程的相互转化。 学习 过程 复习引入： 1.研究平面曲线的方程，我们有哪些途径？ 今天我们将在直角坐标系下，进一步学习平面曲线的参数方程，什么是曲线的参数方程？有什么作用？ 新课教学： 探究一：平面直角坐标系下曲线的参数方程 问题情境：2020年3月29日最新疫情播报： 疫情地区现有累计治愈死亡 美国121379 124665 1095 2191 意大利70065 92472 12384 10023 西班牙54968 73235 12285 5982 德国48781 57695 8481 433 法国30064 38105 5724 2317 伊朗21212 35408 11679 2517 英国16140 17312 151 1021 韩国4398 9583 5033 152 日本1383 1810 372 55 ....... ..... ..... .... ..... 中国疫情播报：
本次疫情最为严重的是湖北武汉，白衣天使与人民解放军成为了最可敬的人。 问题：一架救援军用飞机在离地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行，为了使投放的物资准确地落于指定的地面，飞行员应如何把握投放时间? （1）建立直角坐标系，设出参数。 （2）由参数意义建立横纵坐标的函数关系 （3）化解横纵坐标的函数关系并写出参数的范围。 思考：1.s t 6=时,炸弹在什么位置？ 2.x 与y 的函数关系是什么？ 知识点一（P22）：一般的在平面直角坐标系下某曲线上任意一点),(y x M 的 坐标都是某个变数t 的函数? ??==)()(t g y t f x ，把这个方程叫曲线的参数方程，t 叫参变数。 相对于参数方程而言，直接给出曲线坐标),(y x M 的关系的方程叫普通方程。 典型例题： 例1（P22）：已知曲线C 的参数方程为)(1232 为参数t t y t x ? ??+== （1）判断点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系； （2）若点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值。 变式提高：(1)曲线C 的轨迹是什么？(2)曲线C 的极坐标方程是什么？ 自我总结： 参数方程 普通方程 方程格式 ? ? ?==)() (t g y t f x 0),(=y x f 区别 （1）普通方程是直接建立曲线横纵坐标的关系，但有 的曲线不易直接建立或建立之后不易研究问题。 （2）参数方程是间接建立曲线横纵坐标的关系，即通过参数t 建立曲线横纵坐标的关系且参数t 有某种意义。 （3）参数方程可以不止一种，而普通方程却只有一个。 联系 0),()()(=???→?? ? ?==y x f t g y t f x t 消掉参数
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置