直线的参数方程 编稿：赵雷 审稿：李霞
【学习目标】
1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】
要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式：
经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：
00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数t 的几何意义：
参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。
当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =；
要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为???=+=0
0y y t
x x .
要点二、直线的参数方程的一般形式
过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=
a
b
的直线的参数方程是 ?
?
?+=+=bt y y at
x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a 2
+b 2
=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2
+b 2
≠1，则动点P 到定点P 0的距离是2
2b a +｜t ｜.
要点三、化直线参数方程的一般式为标准式
一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.
??
?+=+=bt
y y at
x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2
2
b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.
(2) 当2
2b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.
???+=+=bt y y at x x 00可化为???
????+++=+++=)
()(222202
2220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 2
2+ 则可得到标准式???
????'
++='++=t b a b
y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.
要点四、直线参数方程的应用
1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法： 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是
?
??+=+=a t y y a
t x x sin cos 00 （t 为参数）
若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则
（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;
(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=
2
2
1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2
2
1t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.
2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型： （1）有关弦长最值题型
过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。则A 、B 两点分别用参变量t1、t2表示。 一般情况A 、B 都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。
(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型
直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数12
=
2
t t t +中；若定点恰为AB 为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。
（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型
若F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|，
由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程 解决为好 【典型例题】
类型一、直线的参数方程
例1. 直线l 的参数方程为sin 203
cos 20x t y t =?+??
=-??
（t 为参数），求直线的倾斜角．
【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。
【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角． 把参数方程改写成3sin 20cos 20x t y t -=?
??
-=?
?，
消去t ，有(3)cot 20y x =--?，
即(3)tan110y x =-?，所以直线的倾斜角为110°．
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程3()cos110()sin110x t y t =+-?
??
=-?
?，
令－t=t ＇，则3'cos110'sin110x t y t =+?
??=??
，所以直线的倾斜角为110°．
【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如2cos 204sin 20x t y t =+?
??
=-+?
?（t 为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°．
但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。 举一反三：
【变式1】 已知直线l
的参数方程为22x y t
?=-+??=-??（t 为参数），求直线l 的倾斜角．
【答案】 关键是将已知的参数方程化为0cos 0sin x x t y y t α
α
=+??
=+?的形式。
若化成另一种形式2(2)2
12(2)2x t y t ?=-+??????=+- ?????
，
若2t
为一个参数，则cos 1sin 2
αα?=???
?=-??，在[0,)απ∈内无解；
而化成2(2)212(2)2x t y t ??=-+--? ???????
=+- ?????
时，则cos 1sin 2αα?=???
?=??得56πα=． 故直线l 的倾斜角为56
π
．
【变式2】求直线34()45x t
t y t =+??=-?
为参数的斜率。
【答案】3434()4545x t x t
t y t y t
=+-=????
?
=--=-??为参数 ∴455
344
y t k x t --=
==-- 【变式3】α为锐角，直线31cos()2
32sin()2
x t y t απαπ?
=++????=++??的倾斜角（ ）。
A 、α
B 、2π-
α C 、2π+α D 、π+α2
3 【答案】31cos()2
32sin()
2
x t y t απαπ?
-=+????-=+??，相除得23tan()tan()122y x παπα-=+=+-，
∵),2(2ππ∈π+
α，∴倾角为α+π
2
，选C 。 【变式4】 已知直线1l 的参数方程为1214x t y t =-+??=-+?，2l 的参数方程为1252
x t
y t =+??
?=--??．试判断1l 与2l 的位
置关系． 【答案】
解法一：将直线1l 化为普通方程，得y=2x+1，将2l 化为普通方程，得1
22
y x =--． 因为121212k k ??
?=?-
=- ???
，所以两直线垂直． 解法二：由参数方程可知1l 的方向向量是a 1=（2，4），2l 的方向向量是a 2=（2，－1），又2×2+4×(－1)=0， ∴12l l ⊥． 即两条直线垂直．
【高清课堂：直线的参数方程406451例题1】
例2．设直线的参数方程为
53
104
x t
y t
=+
?
?
=-
?
．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）化参数方程为标准形式．
【思路点拨】
在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y值中t的系数一定为正．
【解析】（1）把
5
3
x
t
-
=代入y的表达式，
得
4(5)
10
3
x
y
-
=-，
化简得4x+3y－50=0．
所以直线的直角坐标方程为4x+3y－50=0．（2）把方程变形为
3
55(5)
5
4
1010(5)
5
x t
y t
?
=+=+?
?
?
?
?=-=-?
??
，
令u=－5t，则方程变为
3
5
5
4
10
5
x u
y u
?
=-
??
?
?=+
??
．
记
3
cos
5
α=-，
4
sin
5
α=，
∴直线参数方程的标准形式是：
5cos
10sin
x u
y u
α
α
=+
?
?
=+
?
【总结升华】
已知直线的参数方程为0
x x at
y y bt
=+
?
?
=+
?
（t为参数），由直线的参数方程的标准形式0
cos
sin
x x t
y y t
α
α
=+
?
?
=+
?
可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化
为0
x x
y y
?
=+
?
?
?
?=
??
再令cosα=
，sinα=，由直线倾斜角的范围，使α在[0，π）范围内取值，
并且把看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+?（t 为参数）．由上述过程可知，
具有标准形式参数方程中参数t 的几何意义。 举一反三：
【变式1】写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为4
3π
的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.
【答案】直线l 的标准参数方程为?????
+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即???
????+
=--=t y t x 2
2322
2（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t, 则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式
当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）. 【变式2】直线的参数方程??
?+=+= t
331y t
x 能否化为标准形式？
【答案】 是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)
??
?+=+= t 331y
t x ????
????+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222
222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式???
???
?'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 【变式3】化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的 几何意义.
【答案】令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－3
1=－33
设倾斜角为α，tg α=－33,α= π6
5
, cos α =－23, sin α=21
1l 的参数方程为???
???
?=-=t y t x 2123
1 （t 为参数） t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由??????
?
=-=-(2) 21(1)
23
1t y t x (1)、(2)两式平方相加,得2
22)1(t y x =+-
∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长. 类型二、直线的标准参数方程的初步应用
例3． 设直线1l 过点A （2，－4），倾斜角为5
6
π． （1）求1l 的参数方程；
（2）设直线2:10l x y -+=，2l 与1l 的交点为B ，求点B 与点A 的距离．
【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求较容易.
【解析】（1）直线的参数方程为52cos 654sin 6x t y t ππ?=+????=-+??， 即322142
x t y t ?=-????=-+??（t 为参数）．
（2）如图所示，B 点在1l 上，只要求出B 点对应的参数值t ，则|t|就是B 到A 的距离．
把1l 的参数方程代入2l 的方程中，
得3124102t t ????
---++= ? ? ??
???， ∴
31
7t +=， ∴7(31)31
t =
=++． 由t 为正值，知||7(31)AB =-．
【总结升华】
（1）求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式．而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程．
（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点． 举一反三：
【变式1】已知直线113:()24x t
l t y t =+??=-?
为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
则AB =_______________。
【答案】
52。 将1324x t y t
=+??=-?代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得5
2AB =
【变式2】已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为
3
4． (1)求直线l 1的参数方程；
(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值． 【答案】(1) 设直线的倾斜角为α，由题意知tan α＝
3
4， 所以sin α＝54，cos α＝53，故l 1的参数方程为????
???t
y t x 5
4＝53＋＝2(t 为参数)．
(2)将???????t
y t x 5
4＝53＋＝2代入l 2的方程得：2＋53t ＋54t ＋5＝0，解得t ＝－5，即Q (－1，－4)，所以|PQ |＝5．
【变式3】求点A （?1，?2）关于直线l ：2x ?3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。 【答案】
由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ??
?x = ?1 ? 2
13
t ，y = ?2
+
313
t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d =
513， ∴ t = AA ' = 1013
， 代入直线的参数方程得A ' (? 3313，4
13)。
【变式4】 已知直线l 过点P （3，2），且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l 的方程． 【答案】设直线的倾斜角为α，
则它的参数方程为3cos 2sin x t y t αα=+??=+?
（t 为参数）．
由A 、B 分别是x 轴、y 轴上的点知y A =0，x B =0，
∴0=2+t sin α，即2
||||sin PA t α==； 0=3+t cos α，即3
||||cos PB t α
==-．
故23
12||||sin cos sin 2PA PB ααα???=
-=-
?
??
． ∵90°＜α＜180°，
∴当2α=270°，即α=135°时，|PA|·|PB|有最小值．
∴直线方程为3222
x y ?
=-??
?
?=+??
（t 为参数）
，
化为普通方程为x+y －5=0．
类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用 例4. 经过点33,2A ??--
???
，倾斜角为α的直线l 与圆x 2+y 2
=25相交于B 、C 两点． （1）求弦BC 的长；
（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； （3）当|BC|=8时，求直线BC 的方程；
（4）当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程．
【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．
【解析】取AP=t 为参数（P 为l 上的动点），
则l 的参数方程为3cos 3
sin 2
x t y t α
α=-+??
?=-+??， 代入x 2+y 2=25，整理得 2
55
3(2cos sin )04
t t αα-+-
=． ∵Δ=9(2cos α+sin α)2+55＞0恒成立．
∴方程必有相异两实根t 1、t 2，且t 1+t 2=3(2cos α+sin α），12554
t t ?=-
． （1
）12||||BC t t =-== （2）∵A 为BC 中点，∴t 1+t 2=0， 即2cos α+sin α=0，∴tan α=－2．． 故直线BC 的方程为3
2(3)2
y x +=-+， 即4x+2y+15=0．
（3
）∵||8BC ==， ∴(2cos α+sin α)2=1，∴cos α=0或3tan 4
α=-． ∴直线BC 的方程是x=－3或3x+4y+15=0． （4）∵BC 的中点M 对应的参数是123
(2cos sin )22
t t t αα+=
=+，
∴点M 的轨迹方程为
33sin (2cos sin )233sin (2cos sin )22
x y αααααα?
=-++????=-++??(0)απ≤<，
∴331cos 2sin 2222331sin 2cos 2422x y αααα???
+=+ ????????
?+=- ?????
． ∴22
33452416x y ?
???+++= ? ??
???．
即点M 的轨迹是以33,24??
-
- ???
为半径的圆．
【总结升华】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便．
举一反三：
【变式1
】直线112()x t t y ?
=+??
??=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为
（ ） A ．(3,3)- B
．( C
．3)- D
．(3, 【答案】
D
221(1)()1622t t ++-=，得2880t t --=，12128,42
t t
t t ++==
中点为1143
24x x y y ?
=+??=??????
=?
??=-??【变式2
】求直线2x t y =+???=??（t 为参数）被双曲线22
1x y -=截得的弦长。
【答案】把直线参数方程化为标准参数方程为参数）
（ 23 212t t y t x ???
?
???
=+= 1 23 21212
2
2
2=???? ??-??? ?
?+=-t t y x ，得：代入 06 4 2
=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=?=+t t t t ， ()()10240644 4 22122121==--=
-+=
-=t t t t t t AB 从而弦长为
【变式3】过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t
t y t t ?
=+???
?=-??
为参数相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
【答案】直线的参数方程为32(12
x s s y s
?=--????=??为参数）曲线1(1x t t t y t t ?=+????=-??为参数）可以化为224x y -=．
将直线的参数方程代入上式，得2
100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，
∴
121210
s s s s +==．
AB
12s s =-
．
例5．经过点P (?1，2)，倾斜角为 4
π
的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求PA +PB 和PA · PB 的值。
【思路点拨】解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
【解析】直线
l
的方程可写成122x y ?
=-+??
?
?=??
，代入圆的方程整理得：t 2
t ?4=0，设点A ，B 对应的参数分别是t 1 ，t 2，则t 1 +t 2
，t 1 ·t 2 = ?4，由t 1 与t 2的符号相反知PA +PB = |t 1| +|t 2| = | t 1 ?t 2| =
，PA ·
PB =| t 1 · t 2 | = 4。 【总结升华】关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好，原因如下： 若F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2 , 则|FP|+|FQ|=| t1∣+∣t2|， |FP|·|FQ|=| t1·t2|，由韦达定理极为容易得出其值。 举一反三：
【高清课堂：直线的参数方程406451例题2】 【变式1】已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
【答案】（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??
，即12112x y t ?=+????=+?? （2
）把直线12112
x y t ?=+????=+??代入422=+y x
得2221
(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
【变式2
】过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ?的最小值及相应的α的值。
【答案】设直线为cos ()sin x t t y t αα?=
+???=?
为参数，
代入曲线方程并整理得2
23(1sin
))02
t t αα+++=
则122321sin PM PN t t α
?==+ 所以当2
sin 1α=时，即2
π
α=
，PM PN ?的最小值为
34，此时2
πα=。
【变式3】 设M 、N 是抛物线y 2
=2px (p>0)的对称轴上的相异两点，且|OM|=|ON|（O 为坐标轴原点），过M 、N 作两条相互平行的直线，分别交抛物线于P 1、P 2两点和Q 1、Q 2两点.求证：|MP 1|·|MP 2|=|NQ 1|·|NQ 2|
【答案】设点M 、N 的坐标为M(a ，0)，N(-a ，0) (a>0)，
两平行线P 1P 2，Q 1Q 2的倾角为α，则直线P 1P 2的标准参数方程为cos ()sin x a t t y t αα=+??=?
为参数代入抛物线方
程y 2
=2px ，得t 2
sin 2
α-2ptcosα-2pa=0 由t 的几何意义得
同理Q 1Q 2的参数方程为cos ()sin x a t y γα
γα
=-+??=?为参数
得12122
2sin pa
NQ NQ γγα
==
∴|MP 1|·|MP 2|=|NQ 1|·|NQ 2|
直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ） 当 x 1 = x 2 时， =900 ， 不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 （ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜
高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
高中数学直线与圆的方 程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'
例1：什么叫比例比例的意义 比例基本性质 2 例2例3：解比例 4：例5例6求实际、图上距离，比例尺 3：成正比例的量 4——例6：成反比例的量 7：正比例和反比例的比较 ：圆锥的体积计算 例2：圆锥的重量计算 ：填写统计表 ：制作单式条形统计图 ：制作复式条形统计图 数的改写 数的整除分数小数的基本性质 运算定律和简便算法 简易方程 例4：分数应用题 例5：用比例解应用题 质量单位 名数的改写 平面图形的周长和面积 立体图形的表面积和体积
1.比例：表示两个相等的式子叫做比例。 2.基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 外项 3.组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 4.两个数相除又叫做两个数的比， 5.比的前项除以比的后项所得商，叫做比值。 6.比例的意义： 两个比值相等的两个比，用等于连接起来 80：2＝200：5 80：200＝2：5 师：以上这些比中，有整数比也有小数比和分数比，只要两个比的比值相等，我们就可以用等号把它们连接起来。把两个比值相等的比用等号连接起来的式子叫比例式。这节课我们就来学习比例的意义。（板书课题） 师：通过学习要求同学们明确比例的意义，掌握组成比例的条件，并根据不同要求，正确地列出比例式。师：什么叫比例？（启发学生回答并板书：表示两个比相等的式子叫做比例。） 师：（1）比例是由几个比组成的？（两个） （2）是否任意的两个比都能组成比例呢？（不是） （3）组成比例的条件是什么？（比值相等） 师：只要两个比的比值相等，就可以连成比例式。这就是判断两个比是否组成比例的条件。 7.正比例和反比例的意义 正比例和反比例 - 正比例 1.、用文字来描述：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，正比例的图像是一条直线
初中数学知识结构图 两点说明： 一、初中数学知识总共包括代数、几何、统计概率三部分。本资料亦按照这一架构汇总。 二、背诵本资料请一定把握以下三点： 1、背诵定义，不仅要背诵定义内容，而且一定要牢记定义中的条件要素； （注：大部分定义等同于公式，同样可以用于解题。比如定义的条件就是选择、填空甚至大题必考的考点。） 2、背诵公式，不仅要背诵公式内容，而且一定要熟记书上的标记例题，掌握公式的运用； 3、不管是背诵定义还是公式，头脑中务必要时刻与平时所做的练习题尤其是错题结合起来，加深对有关公式 定义的理解。 （注：以上三条同样适用于其他各学科。） 1 / 16
2 / 16 1、代数（这部分主要包括实数、代数式、方程式、不等式、函数五个内容。） 1.1 实数 有理数和无理数统称为实数。（实数包括有理数和无理数。） 有理数：整数与分数统称为有理数。它是有限小数或无限循环小数（带循环节符号，如5.? 36?4）。 1.1.1概念 无理数：无限不循环小数叫无理数。（无限不循环小数：①带省略号......；②与π 有关；③带根号且开不尽。如5.63……；3π；3；33） 正整数：如1,2,3...... 整数 零： 0 （0既不是正数也不是负数） 负整数：如 -1，-2....... ① 正分数：如21，34，5.2 ...... 分数 负分数：如-3.5，-65...... 有理数 （通常有 正整数（正数“+”可省略不写，“-”不行。但具体生活题最好写正号，如往东100米写作“+100”） 两种分 正有理数 （我们常常用正数和负数表示一些具有相反意义的量。如往东计正，往西就计负） 类方法） 正分数 ② 零：0 ① 负整数 负有理数 1.1.2 负分数 实数 正无理数 分类 无理数 （通常 负无理数 两种） 正实数（包括正有理数和正无理数）
第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=
2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α?≤
直线和圆的方程知识 点总结
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠
第一章：有理数 ★知识结构图： 正分数负分数 正整数0 负整数 ★正数和负数 概念、定义：
1.大于0的数叫做正数（positive number）。 2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数（negative number）。 3.整数和分数统称为有理数（rational number）。 4.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（number axis）。 5.在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）。 6.一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）。 7.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 8.正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。 ★有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。
4.有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。 5.有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先将后两个数相加，和不变。 6.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ★有理数乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘；任何数同0相乘，都得0。 2. 有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。 3. 一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 4.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 5.一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 ★有理数除法法则 1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。★做有理数混合运算时，应注意以下运算顺序：
高一数学知识框架第一章集合与函数概念
第二章基本初等函数（I）
必修二立体几何 第一章空间几何体知识结构如下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面 （3）画侧棱（4）成图
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识结构如下 第三章 直线与方程 从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量） 直线的倾斜角概念：当直线l 与x 轴相交时, 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 .特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0° 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等， 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的 大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递 性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 直线与平面有三种位置关系： 1）直线在平面内：有无数个公共点 2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 3）直线在平面平行： 没有公共点 平面平行：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 平面互相垂直：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 斜率公式： 点到线距离： 平行线距离：
数学基础知识与典型例题 直线和圆的方程 直线和 圆的方 程知识 关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2)是 直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标 轴平行的直线不能用 此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零
两直线的位置关系⑵两条相交直线 1 l与 2 l的夹角： 两条相交直线 1 l与 2 l的夹角，是指由 1 l与 2 l相交所成的四 个角中最小的正角θ，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围 是0, 2 π ?? ? ? ? ,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时， 则有21 12 tan 1 k k k k θ - = + . 4.距离公式。 ⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：A x+B y+C=0，则点P到直线l 的距离d=00 22 || Ax By C A B ++ + ； ⑵两平行直线l1:A x+B y+C1=0，l2:A x+B y+C2=0之间的距离 d=12 22 || C C A B - + 。 5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数. 含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的， 即旋转直线系和平行直线系. ⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中， ①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的 旋转直线系， ②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系. ⑵已知直线l：A x+B y+C=0， 则①方程A x+B y+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系； ②方程-B x+A y+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。 ⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0， 直线l2：A2x+B2y+C2=0， 则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示过l1与l2交点的直线系（不含l2） 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思 路. 例10. 经过两直线 11x－3y－9＝0与 12x＋y－19＝0的交点，且过 点(3,-2)的直线方程为 _______. 例11. 已知△ABC中，A（2， -1），B（4，3）， C（3，-2），求： ⑴BC边上的高所在直线方 程；⑵AB边中垂线方程；⑶ ∠A平分线所在直线方程. 例12. 已知定点 P（6，4）与定直线l1：y=4x， 过P点的直线l与l1交于第一 象限Q点，与x轴正半轴交 于点M，求使△OQM面积最 小的直线l方程. 简单的线性规划线性规划 ⑴当点P(x0，y0)在直线A x+B y+C=0上时，其坐标满足方程A x0+B y0+C=0； ⑵当P不在直线A x+B y+C=0上时，A x0+B y0+C≠0，即A x0+B y0+C>0或A x0+B y0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式A x+B y+C>0（或<0）表示直线A x+B y+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。 利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。
【人教版初中数学知识结构图】 1、有理数（正数与负数） 2、数轴 6、有理数的概念3、相反数 4、绝对值 5、有理数从大到小的比较 7、有理数的加法、加法运算律 17、有理数8、有理数的减法 9、有理数的加减混合运算 10、有理数的乘法、乘法运算律 16、有理数的运算11、有理数的除法、倒数 12、有理数的乘方 13、有理数的混合运算 21、代数式14、科学记数法、近似数与有效数字 22、列代数式15、用计算器进行简单的数的运算 23、代数式的值18、单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 198 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法 初31、一元一次方程的应用33、代入（消元）法 中35、二元一次方程组的解法34、加减（消元）法 数193 36、相关概念及性质 学数39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例 与38、一元方程组的应用40、一元一次不等式及其解法 代45、一元一次不等式43、一元一次不等式41、不等式的解集 数和一元一次不等式组44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘方、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方公式 52、多项式除以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取公因式法 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的一元 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一次方程 72、分式69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、 70、分式的意义和性质增根 71、分式的加减法68、分式方程的应用 75、数的开方73、平方根与立方根 74、实数 86、二次根式的意义76、最简二次根式 79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法
圆的方程，直线、圆的位置关系 一·圆的方程 1. 圆的标准方程： 求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.圆的一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x 22 40D E F +->表示圆，圆心C （,22D E -- 2240D E F +-=表示点（,22 D E --） 2240D E F +-<不表示任何图形 二·直线、圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系： 点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法： （1）圆方程为标准式222 ()()x a y b r -+-= 222()()x a y b r -+->?点在圆外 222()()x a y b r -+-=?点在圆上 222()()x a y b r -+-?点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ?点在圆上
220x y Dx Ey F ++++?直线l 与圆C 相离?直线l 与圆C 无交点 r d =?直线l 与圆C 相切?直线l 与圆C 有一交点 r d V ?直线l 与圆C 相交?直线l 与圆C 有两交点 3. 圆与圆的位置关系： 圆与圆的位置关系判断方法 求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r 1212C C r r >+?圆1C 与圆2C 相离?有4条公切线 1212C C r r =+?圆1C 与圆2C 外切?有3条公切线 121212||r r C C r r -<<+?圆1C 与圆2C 相交?有2条公切线 1212||C C r r =-?圆1C 与圆2C 内切?有1条公切线 1212||C C r r <-?圆1C 与圆2C 内含?有0条公切线 补充：直径圆方程： (x-x 1)(x -x 2)-(y -y 1)(y -y 2)=0 圆系方程： 设圆C 1 : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1=0, C 2 : x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2=0,则方 程C : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1 + m(x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2)=0表示过两圆C 1、C 2的交点的圆系方程(m 不为-1，且不含圆C 2). 其中一圆可以退化成直线。 圆的参数方程： ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ =?+=>??=?，θ为参数 ()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+?-+-=>??=+?，θ为参数
新人教版小学六年级数学上册“圆的认识”单元知识结构框架在各个学段中，《课程标准》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。 在空间与图形方面，本册教材安排了《位置》、《圆》两个单元。在《圆》这一单元中，通过对曲线图形——圆的特征和有关知识的探索与学习，初步认识研究曲线图形的基本方法，促进学生空间观念的进一步发展。下面，我将从以下几个方面来谈我对这一单元教材的认识和我的主要教学策略： 一、课标要求： 关于圆，在第一学段（1—3年级）的要求是： 1．会辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。 2．能用简单的语言描述它的特征。初步了解它是轴对称图形。 3．能对简单图形进行分类并会用各种平面图形拼图。 在本学段，即第二学段（4—6年级）的要求是： 1．通过观察、操作，认识圆，掌握圆的特征，会用圆规画圆； 2．知道圆是轴对称图形，进一步认识轴对称图形，能运用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。 3．探索并掌握圆的周长和面积公式，能够正确计算圆的周长和面积。 4．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会圆的知识在生活中的广泛应用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生系统认识曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但只是直观的认识，比如：
人教版一年级上册第四、五单元《认识物体和图形》《分类》，初步认识圆并能够对基本图形进行分类。 一年级下册第三单元《图形的拼组》，尝试用不同的立体图形或平面图形进行设计和拼组。 二年级上册第五单元《观察物体》，初步了解圆是轴对称图形，并知道它有无数条对称轴。 本册的第四单元《圆》，要认识圆的基本特征，会画圆，会计算圆的周长和面积并会灵活应用这些知识解决实际问题。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身、还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。在这一单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步认识探讨圆的轴对称特点，给出轴对称图形的概念，使学生关于轴对称图形的知识系统化，从而更好地发展学生的空间观察。 这一单元是一年级认识的基本平面图形（圆形）的延伸，也是学习六年级下册第二单元《圆柱与圆锥》相关知识的基础，更是学生在第三学段学习更多相关几何知识的起点，可见这部分知识的重要性。 三、知识结构： 本单元教材主要内容有：认识圆、圆的周长和圆的面积等。 圆的认识包括圆的基本特征（认识圆心、半径和直径、半径和直径的长度间的关系）、掌握用圆规画圆的方法（加深对圆的认识）、圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 圆的周长和面积计算公式的教学，加强了启发性和探索性，注意让学生动手操作，使学生在实践活动中通过交流、思考来探究圆的周长和面积计算方法，逐步导出和掌握计算公式。对于圆的周长，让学生通过用线绕一绕，把圆放在直尺上滚一滚等方法来测量，然后再通过填表，运用不完全归纳法来探寻周长与直径的比值的规律，从而引出圆周率的概念。对于
七年级下册 第五章相交线与平行线 一、知识结构图 相交线 相交线垂线 同位角、内错角、同旁内角 平行线 平行线及其判定平行线的判定 平行线的性质 平移命题、定理 二、知识定义 邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 命题：判断一件事情的语句叫命题。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 三、定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 1
平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 第六章实数 【自然数】表示物体个数的1、2、3、4???等都称为自然数 【质数与合数】一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。 【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。 【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。 从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。 【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。 【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。 【方根】如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。 【开方】求一数的方根的运算叫做开方。 【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。 【代数式】用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。 【代数式的值】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。 【代数式的分类】 【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式 【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式 【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式 【分式】除式中含字母的有理式叫分式 2
高中数学知识结构图 集合的概念与表示方法 集合集合的性质 集合之间的关系与运算 解析法 函数的概念与表示方法列表法 图像法 定义域 函数的三要素对应关系 值域 单调性 奇偶性 函数的性质周期性 极值 最值一次、二次函数 反比例函数 基本初等函数指数函数与对数函数图像、性质和应用函数函数的分类幂函数 复合函数三角函数 分段函数 函数图像及其变换平移、对称、翻折和伸缩变换 概念 反函数存在条件 与原函数的关系 函数与方程函数的零点对应方程的解 函数的应用建立函数模型 任意角弧度制与三角函数 同角三角函数关系 诱导公式 三角函数中的公式和角、差角公式 二倍角公式与半角公式 三角函数和差化积与积化和差公式 正弦函数三要素 三角函数余弦函数性质 正切函数图像及其变换 正弦定理 解三角形余弦定理 三角形面积
柱体结构 椎体 空间几何体台体三视图和直观图 球体 简单组合体表面积与体积 点、直线、平面的位置关系 点、直线、平面的关系直线、平面平行的性质和判定 直线、平面垂直的性质和判定立体几何点到点的距离 点到直线的距离 空间距离点到平面的距离 直线到平面的距离 平行平面间的距离 异面直线形成的角 空间的角直线与平面形成的角 倾斜角、斜率和截距 点斜式 斜截式 直线直线与方程两点式 截距式 一般式 直线之间的位置关系垂直与平行的条件 圆与方程一般方程与标准方程 几何圆点与圆的位置关系 位置关系直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 解析几何 圆锥曲线椭圆定义及标准方程 双曲线性质 离心率 点到点的距离 点到直线的距离 平面距离点到圆的距离 两平行线的距离 直线到圆的距离 相离圆的距离 对称问题中心对称关于点对称 轴对称关于直线对称 平面向量概念 向量加减法 向量运算向量的数乘 向量的数量积 空间向量几何意义及应用