数学中的对称美
古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美．”作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的美，即数学美．数学美是一种理性的美、抽象的美．数学美的主要特征有：简洁性、对称性、统一性、奇异性．它们各有其独特的魅力，给人带来不同的愉悦和享受．在初等数学和高等数学中，对称美表现得尤为突出．
对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系．自然界的许多事物都呈现对称性，例如，人体是左右对称的，太阳是对称的，就连蜂巢、蛛网也成正多边形等等．从数学的观点看，对称有两方面的含义：第一，对称只不过是一类很特殊的变换，具有对称性的图形，是指在对称变换下仍变成它自己的图形．以此观之，在其他变换下不变的图形，也应该具有对称美．第二，在抽象意义上，对称意味着数量之间的平衡关系和在意义上的相反相成关系．数学中的对称美是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性”．因而，对称美是数学美的重要组成部分．在数学教育中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，从而培养学生的美感和解决问题的能力．下面以数学中的实例来说明数学的对称美及其在数学研究和解题中的应用．
1 数学图形中的对称美是数学美的主要体现]1[
“为什么把车轮做成圆形？”这个有趣的问题就体现了数学的对称美．几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释．在几何图形中，等腰三角形是轴对称的；平行四边形是中心对称的；圆关于圆心是对称的，关于直径也是对称的；球形则最为特殊，它既是中心对称的，又是轴对称的，也是面对称的图形．正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆．”又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性，直观地给人以美的享受．正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案和精美的建筑，从而陶冶了人们的情操．
2 数学中的对称美是数学美的重要内容
对称是数学美的重要内容，它给人们一种圆满而匀称的美感和享受．下面从不同角度来看数学中的对称美．
2.1 数和式中的对称美
奇数和偶数，质数和合数，约数和倍数，整数和分数，正数和负数等都体现了数学中数的对称
性，使人感到一种很强的对称美感．从式的角度看，在代数上形如21x x +，21x x ，321x x x ++，
212323222221x x x x x x ++等均称为对称多项式（即一个多项式n x x x f Λ,,(21)中任何两个变元j i x x ,对调后，所得的多项式与原来的多项式相同）．几何上关于三角形面积S 的海伦公式便是以对称多项式的形式出现的S =))()((c p b p a p p --- ，这里p 为三角形周长的一半．三角学中的很多公式如：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+都体现着对称美．又如二项式的展开式：
n n n n n n n n n n n b C ab C b a C a C b a ++++=+---11110)(ΛΛ中，0n C =ΛΛ11,-=n n n n n C C C ，也表现出
一种对称美．在这个式子中，a 与b 的位置交换，结果是不变的．在中国古代数学遗产中，值得注意的一例是令中国人骄傲的杨辉三角（如下图），左、右两个斜行各数都是1，其余各数都等于它肩上两个数字的和．多么和谐、奇异而美妙的结构，这种对称的排列，内容深刻独到，便于理解和记忆．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 ６ 4 1
……
2.2 运算中的对称美
加与减，乘与除，乘幂与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵这些互逆运算可以看作一种“对称”关系．此外，在集合运算中，以下公式很具有对称性：
B A B A B A B A Y I I Y ==,．
2.3 函数中的对称美
函数与反函数也视为一种对称，更一般地，变换与反变换，映像与逆映像也属于对称．
2.4 命题中的对称美
与原命题并存，有逆命题、否命题、逆否命题．原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否．可是，原命题与逆否命题等效，逆命题与否命题也等效．射影几何中的对偶定理，布尔代数中的对偶原理，分析中的对偶算子、共轭空间，规划论中的对偶规划等均表现出命题关系中的对称性．
2.5 数学思想和方法中的对称美
数学中的“对称”体现了数学美，不仅具有美学上的价值，而且在数学理论中应用比较广泛，
同时也给数学提供了一种独特的解题思想和方法——对称思想和对称方法．常用的对称方法有分析法与综合法，直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维等均体现了对称美．
3 数学中对称美的应用
3.1 对称美在数学研究中的应用
对称性本身就是一种美，它是自然美的一种最直接的展示，数学作为客观事物在量和形上的一种表达形式，必然会反映这种美．许多数学家往往出于对数学对称美的考虑而获得重要的数学结果．下面举两个例子．
例]2[ 3.1.1 自然对数的产生
为什么人们通常采用以e 为底的自然对数（e Λ71828.2≈）而不是以10为底的常用对数呢？对此有多种可能的解释，但其中之一的原因就是出于对对称美的考虑．从实际看，以10为对数的底的常用对数是很方便的，但是从美学角度看，常用对数却不是十分理想的．因为：第一，真数及其常用对数的增长表现出明显的不对称性．当真数由1增大到10000时，常用对数却只从0增大到4．第二，当真数均匀地增长时，其常用对数却是不均匀的．为了克服这种不对称性，就尝试采用较小的底数，经过试验并使用极限工具，从而产生了自然对数，这正是人们对对称美追求的结果．
例3.1.2 射影几何理论的创立
我们知道，在欧氏平面几何中，过两点可作一条直线，但直线不总有一个交点（当这两条直线平行时）．如果我们设想两平行线相交于无穷远点，那么就形成完全对称关系了．笛沙格正是在此设想下引进了“无穷远点”的概念，从而推动了几何的发展，建立了射影几何学．那么，为什么只是在直线上引进一个无穷远点，而不是两个呢？对于这个问题，唯一的解答就是对对称美的追求．通过引进一个无穷远点，我们就可以在平面上的直线与点之间建立对偶关系．反之，如果引进两个无穷远点，就会破坏这种对偶性．这样，在射影几何理论中，点与直线始终具有对称的重要特征，例如，两点确定一条直线，两直线确定一点；不共线三点确定一个三角形，不共点三直线也唯一地确定一个三角形等等．欧氏平面几何的定理与射影几何中的定理之间也就构成一种对称关系．
3.2 对称美在数学解题中的应用
数式结构的对称，必将蕴含着解法（证法）的对称．因而，具有相同结构特征的数式具有同等的地位，处理的手法必将相同．从数学中的对称美的角度出发，常能起到优化解题思路和简化解题过程的效果．因此，巧妙地利用数学问题的对称性，有助于找到简洁优美的解决法，也有利于思想水平的提高．下面列举一些运用对称方法解题的例子．
例3.2.1 求函数xy z =)0,0(>>y x 在满足条件1=+y x 时的最大值．
解 根据y x ,的对称性，令k y k x +=-=
21,21，则24
1)21)(21(k k k xy z -=+-==，故当0=k 即21==y x 时，xy z =取得最大值：412121=?=z ． 此题有多种解法，而利用对称性求解更令人赏心悦目．
例]3[ 3.2.2 已知:0=++c b a ，求证:333c b a ++abc 3=
证明 根据对称关系给等式0=++c b a 赋予活的数学内容，那将出现一种新的局面．首先，它不再是一个静止的等式，而是方程0=++cz by ax 有非零解:1===z y x ．其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样的等式:
0=++c b a ;0=++b a c ;0=++a c b ．
最后，将上述两个等式结合起来，得齐次线性方程组：??
???=++=++=++000az cy bx bz ay cx cz by ax 有非零解而系数行列
式等于零，即
abc c b a a
c b
b a
c c b
a 30333-++== 所以333c
b a ++ab
c 3=． 评注 在这里既没有用到乘方公式，也没有用到因式分解的技巧，而是对方程解的定义的理解，根据对称性，把0=++c b a 转化为齐次线性方程组，从而归结为行列式的简单展开．
例3.2.3 设,0,0≠=++xyz z y x 求)11()11()11(y
x z z x y z y x +++++的值． 分析 条件式具有对称性，为追求欲求式中三项的和谐统一和考虑出现0=++z y x ，审美直觉心理倾向于在每个括号里添一项，美化成关于
z
y x 111++的对称统一式． 解 原式可化为： z
z y y x x z y x z z y x y z y x x 111)111()111()111(?-?-?-++++++++ =33)111)((-=-++++z
y x z y x 评注 根据式子中的轮换对称，通过“添项”，实现了整体形式高度统一，从而获得题突破口，
问题得解．这里的“添项”是数学对称美的具体体现．
例3.2.4 如图，060=∠=∠ACD ABD ，BDC ADB ∠-
=∠2
1900．求证：ABC ? 是等腰三角形．
证明 以AD 为对称轴作ABD ?的对称图
形,AED ? ABD E AB AE ADB ADE ∠=∠=∠=∠,, 因为BDC ADB ∠-=∠21900 所以ADE ADC CDE ∠+∠=∠
ADB BDC ADB ∠+∠+∠=)(
BDC ADB ∠+∠=2
BDC BDC ∠+∠-=)180(0
0180=
所以CDE 是直线段．
在ACE ?中，
因为E ABD ACD ∠=∠=∠
所以AE AC =
从而,AC AB =即ABC ?是等腰三角形．
例]4[ 3.2.5 设函数)(x f 满足条件3)()(bx x af x f =-+，其中b a ,是常数)0,1(2
≠≠b a ，求)(x f ．
分析 根据题目所给条件进行解题似乎无从下手，但通过认真观察所给的条件发现x 与x -是一对互为相反数，从对称关系出发，将两者互换又得到了一个方程，因此得到了解题的思路．
解 将所给条件中的x 与x -互换得到方程3)()(bx x af x f -=+-，联立已知条件得到
???-=+-=-+33
)()()()(bx
x af x f bx x af x f 解得0)()1()()1(=++-+x f a x f a 又,12
≠a 整理得：,0)()(=+-x f x f 则函数)(x f 是奇函数．由此可知3
)()()()(bx x af x f x af x f =-=-+，即得a bx x f -=1)(3
． A B E D
C
评注 数学的对称美不单是“形”之美，也是一种非常重要的数学思想，正如此题，利用好数学的对称思想可以使一些问题解答变得十分简洁而优美，从而收到事半功倍之效．
3.3 数学中的对称美在规划论中的应用
在现代生活中，我们常常遇到这样的问题：（1）利用有限的资源（人力，物力，财力）去完成最大的任务．（2）利用最少的资源完成规定的任务．这两类题就是《规划论》中的对偶问题．我们把问题（1）视为原问题，问题(2)视为原问题的对偶问题．由于它们具有对称性，我们要求原问题的最大值，就是求对偶问题的最小值；要求对偶问题的最小值就是求原问题的最大值．当原问题的约束条件不等式的个数比决策变量的个数多时，用求解对偶问题代替原问题的求解，可使计算量大大减少．
下面先通过一个实例，来说明对偶性规划的意义．
例3.3.1 某农场种植某种作物，全部生产过程中至少需要氮肥32公斤、磷肥24公斤、钾肥42公斤．市场上有甲、乙、丙、丁四种综合肥料可供选用．已知这四种肥料每公斤的价格和每公斤所含氮、磷、钾成分的数量如下表．问应如何配合使用这些肥料，才能既满足作物对氮、磷、钾的需要，又能使施肥成本最低？
设甲、乙、丙、丁四种肥料的用量分别为4321,,,x x x x 公斤，则问题的数学模型是如下的线性规划问题：
,13.01.015.004.0m in 4321x x x x f +++=
..t s ,3215.03.003.0421≥++x x x
,241.02.005.0431≥++x x x
,4207.014.041≥+x x
0≥j x ).4,3,2,1(=j
现在从另外一个方面提出如下问题：
某肥料公司，针对上述类型的农场的需要，计划生产氮、磷、钾三种单成分的化肥．该公司要为这三种化肥确定单价，既要使获利最大，又要能与市场现有的甲、乙、丙、丁四种综合肥料相竞争，问应如何定价？
设氮肥、磷肥、钾肥的单价分别定为321,,u u u 元．收益为g ．则这个问题的数学模型是如下的线性规划问题：
,422432m ax 321u u u g ++=
..t s ,04.014.005.003.0321≤++u u u
,15.03.01≤u
,1.02.02≤u
,13.007.01.015.0321≤++u u u
0≥i u ).3,2,1(=i
我们称后一个问题是前一个问题的对偶问题．
作为数学美基本特征之一的对称美，其内容是十分丰富的．上述所及不过是管中窥豹．在数学教学和学习中应注意挖掘数学中对称美的因素，利用数学的对称性考查数学对象，思考数学问题，形成数学思维的美学方法和解题策略．美的观点一旦与数学问题的条件和结论特征结合，思维主体就能凭借已有的知识和经验产生审美直觉，从而确定解题的总体思路或入手方向．因此，学习数学的对称思想，体验数学的对称美，培养对数学的审美能力，并用美的思想去创造美，不仅有利于激发同学们的学习兴趣，更有助于培养同学们发明创造的能力．
综上所述，对称在数学中是普遍存在的，在从事数学学习与研究的过程中，应充分认识到数学美尤其是对称美的价值，学会从美学的角度去欣赏数学，学习数学，发展数学，从而把数学学习与研究变得充满情趣，富有魅力．
数学中的对称美 对称性是数学美的最重要的特征。几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。 许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。 一：代数中的对称美： 常出现在规律运算、数列运算、函数运算中 例如1：“回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。 计算×的值 解：我们最常见的一组算式： 1×1=111×11=121 11×111=123211111×1111= 从上述计算中得出对称规律可得： ×= 例如2、计算：1 + 2 + 3 +┅ + 100 引导学生利用数学对称美来解。 解：设x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100① 倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1② ① + ② 得2x = 101 × 100 ∴ x = 5050 即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050 例如3、已知正比例函数与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点是（，）. 分析：因为正比例函数与反比例函数都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（－2，－3 ）.
例如4、如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=?-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，?请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标． 分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）?作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，?而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身． 解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1） （2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1． （3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求． （4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）?减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。 注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律． 二、几何中的对称美： “对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称，正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。 例如1：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短． 分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，?根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑
数学中的对称美 古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美．”作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的美，即数学美．数学美是一种理性的美、抽象的美．数学美的主要特征有：简洁性、对称性、统一性、奇异性．它们各有其独特的魅力，给人带来不同的愉悦和享受．在初等数学和高等数学中，对称美表现得尤为突出． 对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系．自然界的许多事物都呈现对称性，例如，人体是左右对称的，太阳是对称的，就连蜂巢、蛛网也成正多边形等等．从数学的观点看，对称有两方面的含义：第一，对称只不过是一类很特殊的变换，具有对称性的图形，是指在对称变换下仍变成它自己的图形．以此观之，在其他变换下不变的图形，也应该具有对称美．第二，在抽象意义上，对称意味着数量之间的平衡关系和在意义上的相反相成关系．数学中的对称美是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性”．因而，对称美是数学美的重要组成部分．在数学教育中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，从而培养学生的美感和解决问题的能力．下面以数学中的实例来说明数学的对称美及其在数学研究和解题中的应用． 1 数学图形中的对称美是数学美的主要体现]1[ “为什么把车轮做成圆形？”这个有趣的问题就体现了数学的对称美．几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释．在几何图形中，等腰三角形是轴对称的；平行四边形是中心对称的；圆关于圆心是对称的，关于直径也是对称的；球形则最为特殊，它既是中心对称的，又是轴对称的，也是面对称的图形．正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆．”又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性，直观地给人以美的享受．正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案和精美的建筑，从而陶冶了人们的情操． 2 数学中的对称美是数学美的重要内容 对称是数学美的重要内容，它给人们一种圆满而匀称的美感和享受．下面从不同角度来看数学中的对称美． 2.1 数和式中的对称美 奇数和偶数，质数和合数，约数和倍数，整数和分数，正数和负数等都体现了数学中数的对称
论数学中的美 数学这门学科是充满美的，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的。只要你愿意去感受，数学随时都能给师生带来一种美好的享受。正如高斯所说的：“给我最大快乐的，不是已懂得的知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。” （一）数学的简洁美 数学知识之所以强烈地吸引人们去研究，去探索，去追求，其中的原因之一便是它能对纷乱繁杂的数学现象进行高度的概括，使学习者能从中感受它概括的简洁美。在数学语言的研究中，通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言、图形语言。 品味简洁的数学美。 表示椭圆的三种语言都体现了简洁美。 椭圆的符号语言简洁、明了。如椭圆概念的符号表示P={M|∣MF 1 ∣＋ |MF 2||=2a,2a>|F 1 F 2 |},关系紧凑,言简意赅；椭圆的两个标准方程具有简单整齐 之美；离心率 c e a 易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。 椭圆的文字语言通俗易懂。用到椭圆定义中“到平面内 两个定点F 1、F 2 的距离之和”这个常数；而将关系式转化成 数学代数式用到两个定点F 1、F 2 的坐标。这就需要将“到平 面内两个定点F 1、F 2 的距离之和”和| F 1 F 2 |用字母表示。建 系后,将条件转化成关系式。 椭圆的图形语言形象生动。以经过焦点F 1、F 2 的直线为 x轴,线段F 1F 2 的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图1),设M(x,y)是椭圆上 的任意一点,焦距是2c(c>0),Ｍ与F 1,F 2 两点距离之和绝对值等于常数2a。 （二）数学的对称美 对称在我们生活中随处可见，图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。在此基础上衍生出线段的 平分，角的平分线；平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩 图1
题目：浅谈数学中的对称美 目录 摘要 (3) 一．数学中对称美的概念 (3) 二．数学中对称美的形式 (3) 三．数学中对称美的应用 (4) 四．总结 (5) 五．致谢 (6) 六．参考文献 (6)
浅谈数学中的对称美 摘要 对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中。在数学史上，数学美是数学发展的动力。本文通过对这些知识点中的对称进行阐述，逐步发展数学思维.，提高解题效率。生活中具备对称美的事物很多，如车轮、雪花、桥梁等，而对称本身就是一种和谐美。在数学领域中也十分常见，如：我们常见的轴对称图形、函数、数列、矩阵等。我们应在掌握对称这一基本原理的基础上找到事物之间的内在统一性，并用数学的思想去内化这一原理，就会发现对称美在艺术和自然两方面都有重大意义，它是一个广阔的主题，数学则是它根本，美和对称紧密相连。 关键词：对称美数学美对称变换 一、数学中对称美的概念 对称指物体或图形经过某种变换（如旋转、平移、对折等）其相同部分完全重合或有规律的重复的现象。山川、河流、树木等，在严格意义上来讲都是不对称的。然而，将研究对象扩大到整个地球、星系、宇宙，抑或缩小至晶体、分子、原子，世界又都是对称的。可以这么说，在与我们生活大致相同的尺度内，不对称属于自然界，而对称属于人类，是一种创造出来的人文之美.这些人文之美在初中的知识中有很多的体现.。 二．数学中对称美的形式 图形中的对称美 图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。在此基础上衍生出线段的平分，角的平分线;平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆。立体图形：长方体、正方体、圆台、正棱锥、正棱柱等。其中都有对称性的具体表现，轴对称和点对称赋予了它们美观，所以数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。美丽的图画，给人以享受，被数学的魅力感动，使得轴对称图形在人的头脑中留下美的印象。 三、数学中对称美的应用 3.1数学对称美在数学公式中的应用 很多数学公式中的字母是对称的，地位是平等的①，如数的加法与乘法通过运算形成对称，幂运算中形成的对称及三角函数中形成的对称： a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（ab）^n=a^n+b^n，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，（a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^3+b^3,lg(ab)=lg（a）+lg(b) sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) 3.2数学对称性在几何中的应用 在几何中，我们利用数学中的对称性，建立适当的坐标系，可以使运算更加简单
数学教学中的对称美 宿迁市宿城一中王林 内容摘要：各科教学都就有机地对学生进行美育，在数学中蕴含着丰富的美学资源。在教学时，教师可以运用信息技术更好地去揭示数学中的内涵美。创设美的情境，让学生在情境中感受图形和算式的对称美，并激发学生创造对称美的作品。运用信息技术演绎几何图形的奇特景观和奇妙的解题方法，让学生体验数学的奇异美。还可以收集一些美的信息，让学生在阅读和欣赏时体会数学的和谐美。 关键词：对称美和谐美 在全面推选素质教育的今天，审美教育受到了人们的广泛重视。正如苏霍姆林斯基所说：“教育，如果没有美，没有艺术，那是不可思议的。”如今语文、音乐、美术等学科开展了大量的美育活动，但是在数学方面的美育活动却很少。数学作为教育中的一门重要学科，能够缺少美的教育吗？早在古希腊著名的思想家、数学家——柏拉图，就已经对“数学美”作了深刻的论述。其实数学中蕴含着丰富的美学资源，从美的对象来看：有式的美、形的美、符号的美、黄金分割及比例美等；从美的表现形式来看：有对称的美、和谐美、奇异美、统一的美、简洁的美等。在数学教学中，运用信息技术揭示这些美，能引起学生对数学美的赞叹，激发创造美的热情，培养学生的数学美感，提升学生的数学才能，现就如何揭示数学对称美、奇异美、和谐美方面谈几点做法，以求赐教。 一、创设美的情境，让学生感受数学的对称美。 “对称”既是数学概念，又是一个重要美学概念。在数学中大量的图形和算式都形象直观体现了对称美。 1、展示美的画面，创作美的对称图形。 在教学时用多媒体展示各种美丽的对称图形，能创设一个美的情境，让学生在美的情境受到美的熏陶、理解美的价值、创造美的作品。如轴对称图形在学生认识了轴对称图形的特征后，师：“同学们，现在正是春暖花开，外出活动的好时节，让我们一起到轴对称图形王国去走一走吧！[动画呈现：在美丽的轴对称图形王国，有漂亮的蝴蝶，可爱的小蜜蜂，逗人的青蛙等各种小动物；有0、3、8、B、E、D、Y、H、K等数字与字母：有雄伟壮丽的天安门、美丽迷人的艾菲尔铁塔，庄严肃穆的天坛、历史悠久的故宫等中外名胜古迹；还有红双喜字、树叶……]随着一幅幅美丽画面的不断变换，学生的眼睛亮了起来，赞叹之声此伏彼起，“真是太美了！”学生已经真真切切地感受到了对称图形的美，师：“正因为有了这么多对称与不对称，才让我们的世界如此五彩缤纷、美丽动人。”美丽的画面，优美的意境，让学生理解了对称美的价值。 师：我们欣赏了这么多美丽的轴对称图形，同学们能不能利用轴对称图形的特征创作一幅你喜欢的作品呢？ 此时，学生的情已融入轴对称图形王国，此刻，让他们进行创作，能不跃跃欲试吗？ 在教师的指导下，学生在windon98画板中，利用“复制”“粘贴”“翻转”等命令创作了许多作品。如： 国旗是一个国家的象征，许多国家的国旗都具有对称美。以下是部分国家的国旗，请欣赏：(1) (2) (3)
感受轴对称图形中的对称美 内容摘要：教学中有机地对学生进行美育，数学本身就是一种文化数学，在小学数学中蕴含着丰富的美学资源，数学美具有科学美的一切特征，而且还具有艺术美的某些特征，在我们的日常生活中处处可见数学中的美，如轴对称图形的对称美。在教学时，教师可以去创设美的情境，让学生在情境中感受图形的对称美，让学生在阅读和欣赏时体会数学的和谐美，揭示数学中的内涵美，并激发学生创造对称美的作品。 关键词：轴对称图形，数学美，形式美，对称美 在全面推选素质教育的今天，审美教育受到了人们的广泛重视。正如苏霍姆林斯基所说：“教育，如果没有美，没有艺术，那是不可思议的。”如今各学科开展了大量的美育活动，然而在数学方面的美育活动却很少。数学作为教育中的一门重要学科，能够缺少美的教育吗？其实小学数学中蕴含着丰富的美学资源，著名数学家田刚院士曾说过：“数学的美体现在结论的简单和明确。数学就像是一个花园，没进门时你根本看不到它的漂亮，可一旦走进去，就会感觉它真美。”数学的美是“冷而严肃的”，是理性的美，空间形式、数量关系、数字的奥秘……这些都为数学提供了极其丰富的内容，使它处处充满美的情绪，美的感受，美的表现，美的创造。在数学教学中，揭示这些美，也只有在教师的精心设计中，在学生不断的探索挖掘中，才能真正体会数学的美，才能引起学生对数学美的赞叹，激发创造美的热情，培养学生的数学美感，提升学生的数学才能，因此,我以《美丽的轴对称图形》为例展开教学研究，体现为以下几方面特点： 一、创设情境,感受“对称美” 美好的事物和美的愉悦享受，是人们日常生活中不可缺少的重要因素。在教学中体展示各种美丽的对称图形，能创设一个美的情境，让学生在美的情境受到美的熏陶，能激发学生的学习兴趣，使学生的整个学习过程处于一种愉快的情境中，对于提高学生的想象力和创造力具有极大的作用。课始，我把学生带进秋天的童话情境当中:秋天的枫林深处，满地落叶，两只蝴蝶翩翩起舞；林中一座房子，小路边停放着一辆小汽车。师问：“这些图案美吗？请说一说理由。”当学生说出“这些图形左右两边都是一样”时，教师让学生拿出蝴蝶、枫叶、房子、小车，自己动手折一折，验证对称。教师适时出示蝴蝶、枫叶、房子、小车的特写镜头，让学生再仔细观察，进一步感知
数学中的对称美 数学的对称美分为两种：一种是数〔式〕的对称性美，要紧表达在数〔式〕的结构上，例如，加法的交换律a+b=b+a，乘法的交换律ab=ba，a与b的位置具有对称关系，然而能够变化的，变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感，简洁明快，一目了然，从而显示了它的神奇感、奇妙感。 另一种是图形的对称性，整体美、简洁美，图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐关系。例如轴对称图形和中心对称图形等，这些图形匀称美观，因此在日常生活中用途特别广泛，许多建筑师和美术工作者常常采纳一些对称图形，设计出漂亮的装饰图案。 倒影 对称的建筑物，对称的图案，是随处可见的。绘画中利用对称，文学作品中也有对称手法。在数学中那么表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。在几何图形中对称的图形给人以美的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这确实是黄金分割的美或者更深层次的对称美。如：一条线段关于它的中点对称，这条线段假设左端点的坐标为0，右端点的坐标为1，那么中点在0.5处。又如：大概黄金分割点〔在0.618处〕不是对称点，但假设将左端记为A，右端记为B，黄金分割点记为C，那么AC2=AB·BC而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点，因为，再进一层看，D又是AC的黄金分割点；C是DB的黄金分割点。类似地一直讨论下去，这可视为一种连环对称。现在，设计师和艺术家们差不多利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术珍宝。 在中学数学中，有关数与形的对称现象极为常见，这种对称有的是形象的，有的是抽象的观念和方法上的对称。等边三角形是关于它的每条高线的轴对称图形，平行四边形是关于它的两条对角线交点的中心对称图形。圆锥、圆柱、圆台是关于它的轴截面的对称图形。代数中常利用来构造一元二次方程，几何中常利用对称思想添加辅助线，数学的对称美已成为人们研究解决问题的重要思想方法，它的作用越来越显得重要。
二年级数学教案——“美丽的对称图形” 一、教学内容： 人教版《义务教育课程标准实验教科书》二年级上册第68页例2 二、教学准备 每组一张表格，图形若干，一支记号笔、尺子；每位学生一把剪刀、纸二张 三、教学目标与策略选择 对称作为一种最基本的图形变换，对于帮助学生建立空间观念，培养学生的空间想象能力有着不可忽视的作用。本节课的教学内容是轴对称，教材借助于生活中的实例，引出对称的概念，然后通过剪纸的折痕引出对称轴。本课时作为第一学段的内容，对学生的要求仅仅是感受，对于轴对称图形的名称以及性质，教材没有明确指出，也不要求学生掌握。本节课的教学目标如下： 1、学生通过观察操作，初步认识轴对称现象，能判断一个图形是否轴对称，并能找出对称轴。 2、初步体验在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等的性质。 2、感受对称图形的美，在活动中获得良好的情绪体验，从而更加热爱数学。 在自然界和日常生活中具有对称性质的事物很多，如教材中呈现的蜻蜓、脸谱、树叶等，学生对这些事物并不陌生。本节课，虽然不需要学生准确地描述轴对称图形的定义，但学生须经历将对称事物抽象出本质特征的过程，由于低学段学生的语言、观察能力及空间观念有限，所以这一过程仍需要努力才能完成。结合本课时特点和本班学生实际，本节课主要采取以下教学策略： 《数学课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的......有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本节课的设计力图体现这一理念，从学生的生活经验出发，充分利用剪纸材料，并提供多次数学活动和交流的机会，让学生在玩中学，在做中得到体验和发展。 四、教学流程设计及意图 教学流程 设计意图
河北省电大工商管理专业2011秋第四次作业 浅议数学的对称美 摘要：数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现.在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.。 关键词：数学形式结构对称美研究价值 正文：如我们所知，在自然界中，对称作为一种物态的表现形式，可以说无处不在。蝴蝶美丽的双翼，各类兽、禽的五官肢体，甚至皮毛的纹理，都蕴含着对称的因素。同样对称也亦然活跃地存在于数学中。 一. 什么是数学对称美 在原始意义上，对称性是指组成一种事物或对象的两个部分的对等性。从古希腊起，对称美就是数学美的一个基本形式。对称美是数学美的一个特征。除次外，还有统一美，简洁美等等。毕达哥拉斯学派认为：一个图形的对称性越多，图形越完美。他们指出：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”因为这两个形体各个方面都是对称的。 随着数学的发展，对称的概念得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展成为精确的几何概念，包括双侧的，旋转的，平移的，对称的等等，至今更为一般的概念，指元素的构形在自相变换下的不变性，另外由数学历史可以看出，对于对称性的追求的确在具体的数学研究中发挥着极其重要的作用。 二、数学对称美的表现形式 数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的科学，渗透着圆满和自然的美，在公式、图形、结构等方面表现出来的对称、均衡性质的数学结果，在数学的形式美中称之为对称美。 1.图形的对称美 图形的对称具有直观性，能给人带来美的感受，中学数学几何图形中的对称图形是典型的视觉对称美。平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、空间图形的平面对称都是很好的体现。比如，圆既是中心对称而且所有过对称中心的直线都是对称轴:球一向被看作是简洁美丽的几何体，它是中心对称而且所有过对称中心的平面都是对称平面。历史上毕达哥拉斯学派认为:“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。” 2.公式的对称美 在一些为我们所熟悉的公式中，对称也不厌其烦地活跃着。简单如我们最初所学的a+b=b+a,（a+b）×c=a×b+a×c,复杂如后来变化的（a+b）2=a2+2ab+b2,(a-b)(a+b)=a2-b2.藏在每个公式中，不易察觉，却能深刻地感受到它的存在。 3.定理的对称美 数学的对称美也表现为数学中各种概念和定理间的对称性。如正弦定理:
对称美在数学解题教学中的应用 济水一中郑艳霞 初中数学课本上讲过轴对称，中心对称等，而且这些对称的数学名词，抽象于大千世界，现实生活中的对称现象比比皆是，自然形成的，人类创造的，把世界装扮的无比美丽。然而，对称不仅仅是一种现象，也是一种思想，一种哲学思想。 20多年前，毛主席会见李政道博士时，毛主席问，为什么“对称”是您的一种指导思想；李政道先生回答，我所说的对称，是平衡，是指世上万物，一切都处在它应该处在的位置上。他还表演了一个小演示：他把一张纸倾斜着，让一支笔向下滚去，在笔滚动过程中，他把值得倾斜方向改变，使笔滚了回来……他说：有“去”，就有“回”，“去”与“回”就是一个对称。就像有“矛”就有“盾”，矛和盾是对立的，但有互相依存，共存于一个统一体内，依据一定条件向对方转化。这是一种思想--------广义对称思想。(孙维刚的理论)，如果我们能把这种思想运用在我们的教学中，可使思维高瞻远瞩。 下面举例谈谈我的浅显认识。 如图，已知∠A=30°，∠C=25°，试求∠ADC的度数 解法一：延长AD交BC于点E，再根据三角形外角的性质很容易解决。若延长CD交AB于一点，也完全可以解决，因为线段AD
和CD所处的地位是平衡的，即对称的，所以他们应有相同的作用。 解法二：过点D作BC的平行线交AB于点E，再利用平行线的性质和三角形外角的知识容易解决。显然，线段AB的地位和BC是平衡的，对称的，所以过点D作线段AB的平行线，会起到同样的效果。 解法三：过点A作DC的平行线交BC的延长线于点E，在根据平行线的性质和三角形的内角和容易解决。同样，发现线段AD 和线段CD的地位是平衡的，对称的，以及点A和点C的位置也是平衡的，对称的，所以过点C作AD的平行线交BA的延长线于一点，会起到一样的效果。 再来看，解法二和解法三，看起来是两种不同的解法，其实有着千丝万缕的联系，初中研究的是凸多边形，不研究凹多边形，就像“去”和“回”，凸和凹也是一个对称，它们的地位是平衡的，就是对称的，线段AB和CD是凸出去的边，线段AD 和CD凹进去的边，它们的地位是平衡的，对称的，所以有同样的功能。 再让我们宏观观察上述解法，可以统一为割补法，“割”和“补”也是一种对称，能割就能补。 如图:AC平分∠BAD，CE⊥AB，BC=CD，∠ADC+∠B=180°。试探究线段2AE与AB、AD的数量关系。
谈数学中的对称美与在解题中的应用 吴恋，数学计算机科学学院 摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力. 关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想 1引言 对称美 对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严. 在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.
数学中的对称美 美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素. 作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一. 在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人. 2数和式的对称美 数的对称美 在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、123321等. 对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.
数学的美 通渭县什川乡太山学校 南永刚 众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。 一、简洁美 爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V －Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。 在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如： 圆的周长公式：C=2πR 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。 平均不等式：对任何正数 n n n n x x x x x x x x x 212121, ,,,≥+++ 正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ， 则 R C c B b A a 2sin sin sin === 数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。 二、和谐美 数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式： -+- =5 1 3114π ，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出π，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式：1-=π i e ，曾获得“最美的 数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是 θθθi e i =+sin cos ――（１）。这个公式把 人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。 比如，由公式（１）得2 sin , 2cos θ θθθθθi e i e i e i e --= -+=。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。
数学中的对称 摘要：对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和 排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连 或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称 美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美 和对称紧密相连。 关键词：对称图形、数学、对称美 对称，物体或图形在某种变换条件(例如绕直线的旋转、对于平面的反映, 等等)下,其相同部分间有规律重复的现象,亦即在一定变换条件下的不变现象。对称的现象，广泛地存在于各个学科之中，比如说，在建筑学中，很多建筑如 故宫呈轴对称之势；在生物学中，很多动物也呈左右对称的体形；在艺术领域，各种风格的服装图画也表现出对称的形态。那么，数学中的对称性是怎样的呢？让我们来简析一下数学的对称性吧。 在数学学习的过程中，很多时候，提到对称便让我们想到某些几何图形。然而，数学对称的源头却是来自于代数，来自于多项式方程的解，这就使很多人感到 疑惑了，所以，首先，让我们通过多项式方程的求解来发现代数中的对称。 根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们 研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面 上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须 是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一 分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就 拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照 他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只 要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如 果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个 大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？ 显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面 对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对
数学中的对称美 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
数学中的对称美 对称性是数学美的最重要的特征。几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运 用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。 许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。 一：代数中的对称美： 常出现在规律运算、数列运算、函数运算中 例如1：“回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。 解：我们最常见的一组算式： 1×1=1 11×11=121 11×111=12321?1111×1111=1234321 从上述计算中得出对称规律可得： 例如2、计算：1 + 2 + 3 +┅ + 100 引导学生利用数学对称美来解。 解：设x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100① 倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1 ② ① + ② 得?2x = 101 × 100 ∴ x = 5050 即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050 例如3、已知正比例函数与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点是（，）.
分析：因为正比例函数与反比例函数都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（－2，－3） . 例如4、如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=?-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，?请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标． 分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）?作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，?而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1． （3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求． （4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）?减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。 注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律． 二、几何中的对称美： “对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称，正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。 例如1：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．
浅议数学的对称美 摘要：数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现。在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们 长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解 题是有价值的课题.。 关键词：数学形式结构对称美研究价值 正文：如我们所知，在自然界中，对称作为一种物态的表现形式，可以说无处不在。蝴 蝶美丽的双翼，各类兽、禽的五官肢体，甚至皮毛的纹理，都蕴含着对称的因素。同样对称 也亦然活跃地存在于数学中。 一. 什么是数学对称美 在原始意义上，对称性是指组成一种事物或对象的两个部分的对等性。从古希腊起，对 称美就是数学美的一个基本形式。对称美是数学美的一个特征。除次外，还有统一美，简洁 美等等。毕达哥拉斯学派认为：一个图形的对称性越多，图形越完美。他们指出：“一切立 体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”因为这两个形体各个方面都是对称
的。 随着数学的发展，对称的概念得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展成为精确的 几何概念，包括双侧的，旋转的，平移的，对称的等等，至今更为一般的概念，指元素的构 形在自相变换下的不变性，另外由数学历史可以看出，对于对称性的追求的确在具体的数学 研究中发挥着极其重要的作用。 二、数学对称美的表现形式 数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的科学，渗透着圆满和自然的美，在公式、 图形、结构等方面表现出来的对称、均衡性质的数学结果，在数学的形式美中称之为对称美。 1. 图形的对称美 图形的对称具有直观性，能给人带来美的感受，中学数学几何图形中的对称图形是典型 的视觉对称美。平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、空间图形的平面对称都是 很好的体现。比如，圆既是中心对称而且所有过对称中心的直线都是对称轴: 球一向被看作 是简洁美丽的几何体，它是中心对称而且所有过对称中心的平面都是对称平面。历史上毕达
数学论文数学中的对称 美及应用 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
谈数学中的对称美与在解题中的应用 吴恋，数学计算机科学学院 摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力. 关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想 1引言 1.1对称美 对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外着名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严.
在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美. 1.2数学中的对称美 美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素. 作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国着名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一. 在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人.
谈数学中的对称美与在解题中的应用 摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题. 在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力. 关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想 1引言 1.1对称美 对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人
以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严. 在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美. 1.2数学中的对称美 美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素. 作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一. 在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人. 2数和式的对称美 2.1数的对称美 在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、123321等. 对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的 对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数. 产生对称数的方法有很多种： (1)形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数.如： 1×9+2=11 12×9+3=111 ............... 123456789×9+10=1111111111 (2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进 行下去，也可得到对称数. 如：475 475+574=1049