1月17日复华七年级数学实数
12.1 实数的概念
一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。
分类： 有理数???
?
??????????
???负分数正分数
分数负整数零正整数整数
如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数：
)0,(≠q q p q
p
都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？
分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。
追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数
)0,(≠q q p q
p
都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。
问题4：无限不循环小数还有吗？
Π是有理数码？ 二、
归纳
1．无理数
（1）无限不循环小数叫做无理数。 （2）无理数包括正无理数和负无理数。 （3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
2．实数
（1）有理数和无理数统称为实数。(2)实数可以这样分类：
正有理数
有理数 零 ——有限小数或无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 ——无限不循环小数
负无理数
三、
练习
1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、
7
22、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式)
2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。
3．是非题
(1) 无限小数都是无理数； 无理数都是无限小数； (2)正实数包括正有理数和正无理数； (3)实数可以分为正实数和负实数两类； (4)带根号的数都是无理数； (5)不含根号的数不一定是有理数； (6)实数不是有理数就是无理数；
(7)无限小数不能化为分数；
4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： (1)2 分数。(2) 0 有理数。(3) 无限不循环小数 无理数。 (4) 实数 有理数和无理数。(5) 正整数、0和负整数 整数。 (6) 有理数 有限小数和无限循环小数。
一 知识回顾：
1、一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么， （ ） 叫做（ ） 的平方根.
2、正数有 个平方根，它们 。用a 表示其中正的平方根，读作“根号a ”另一个
负的平方根记为a -
，其中a 叫做 。
3、0有（ ）个平方根，是（ ）。负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做（ ）。
{
{ {
四、知识链接： 预习导学
1、正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根。 0的算术平方根是0.
a ”表示正数a 的平方根，读作“正负根号a ”a ”表示正数a 的算术平方根
例如 9的平方根是：9＝±3. 9的算术平方根是3 .11的平方根是：11. 1111 二、填空题
1、______数有两个平方根，它们的和为______；零的平方根是______；_____数没有平方根
2、0.16的平方根是_______
3、
81
25
的算术平方根是_______ 4、81的正的平方根的平方根是_______ 5、81的平方根是_______
6、25-的平方根是________
7、2
57??
?
??-的平方根是_________
8、6-是_______的一个平方根 9、_______的平方是0.04
9、如果2
x =1.96，那么x=________ 10、1664-的平方根是_______
11、一个正方形的面积是5cm 2，这个正方形的边长是________cm 12、如果x =9，那么x=_______13、()2
3π-的算术平方根是______
14、
()56x 2
=-，则x=_________15、正数k 的两个平方根的和是_________，积是________
二、求下列各数的平方根，注意书写规范
1、16
2、0.01
3、121
4、412
5、1169
27
二、求下列各数的正的平方根，注意书写规范
1、4900
2、2.25
3、36 1
4、1691
5、25
142
6、2516±
7、1613- 9、225 10、2
72??
?
??-- 11、
()28-
12、()2
9-± 13、
()2
5 14、()
2
10-
15、()
2
37±
四、简答题
1、4m 2- 与 1m 3-是同一个数的平方根，求这个数。
2、一个数的平方根m 、n 满足2n 3m 4=-，求这个数。
3、当m 为何值时，6m 2-有意义？当m 为何值时，m 266m 2-+
-有意义？
沪科版数学七年级下册期末考试试卷 一、单选题 1．已知a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．23a b +>+ B ．22a b ->- C ．22a b ->- D ． 22 a b < 2．如图所示：若m ∥n ，∠1=105°，则∠2=（ ） A ．55° B ．60° C ．65° D ．75° 3．下列从左到右的运算，哪一个是正确的分解因式（ ） A ．2(2)(3)56x x x x ++=++ B ．268(6)8x x x x ++=++ C ．2222()x xy y x y ++=+ D ．2224(2)x y x y +=+ 4．如果一个数的平方为64，则这个数的立方根是（ ） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．±2 5．下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（ ） A ．22a b -- B ．2(2)9a -++ C ．22()p q -- D ．23a b - 6．当2x =时，下列各项中哪个无意义（ ） A ． 21 4 x - B ． 1 x x + C ． 22 24 x x ++ D ． 2 4 x x -+ 7．下列现象中不属于平移的是（ ） A ．飞机起飞时在跑道上滑行 B ．拧开水龙头的过程 C ．运输带运输货物的过程 D ．电梯上下运动 8．下列各项是分式方程213 933 x x x x =--+-的解的是（ ） A ．6x =- B ．3x = C ．无解 D ．4x =-
9．如图，已知两条直线被第三条直线所截，则下列说法正确的是（ ） A ．∠1与∠2是对顶角 B ．∠2与∠5是内错角 C ．∠3与∠6是同位角 D ．∠3与∠6是同旁内角 10．在0.1、π、11 7 ） A ．4 B ．5 C ．3 D ．2 二、填空题 11．因式分解481x -=_________________. 12．如果a 的平方根是±16____________. 13．不等式135x x +>-的解集是____________. 14．当x _________时，分式 236 x x -无意义 15．比较 2 2 __________12 16．0.0000000202-用科学记数法表示为___________. 17．已知∠1与∠2是对顶角，且∠1=40，则∠2的补角为___________. 18．满足不等式组215 3142 x x x +≤??+<+?的正整数解有____________.
沪科版七年级数学下册教案全一册 第6章实数 6.1.1平方根 教学目标 【知识与技能】 数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示方法. 【过程与方法】 通过带领学生探究使学生理解数的开方、平方根的概念. 【情感、态度与价值观】 培养学生的探究能力和归纳问题的能力. 教学重难点 【重点】 平方根. 【难点】 正确理解平方根的意义. 教学过程 一、创设情境,引入新课 师:如果一个数的平方等于9,这个数是多少? 学生思考、讨论. 生:3. 师:除此之外,还有没有别的数的平方也等于9呢? 生:-3. 师:所以,若一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3. 二、讲授新课 师:请同学们填表. 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.用字母叙述为: 如果x2=a,则x叫做a的平方根. 例如:3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根. 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 师:请同学们看图. 展示课件: 师:平方与开方有何联系? 生:平方与开平方互为逆运算. 师:我们可以根据这种运算关系,来求一个数的平方根.请同学们做题. 练习:求下列各数的平方根:
(1)64;(2) 0.0004;(3)(-25)2;(4)11. 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,=±8;(2)因为(±0.02)2=0.0004, 所以0.0004的平方根是±0.02,±0.02;(3)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的 平方根是±25,即±=±25;(4)11. 师:正数、负数、0的平方根有何特点? 学生讨论、交流. 师生共同分析: 正数的平方根有两个,它们互为相反数. ∵负数的平方是正数,∴在我们所认识的数中,任何一个数的平方都不会是负数.∴负数没有平方根.∵02=0,∴0的平方根是0. 归纳: (1)正数a有两个平方根,它们互为相反数; (2)负数没有平方根; (3)0的平方根是0. 师:正数a的平方根表示为±,读作“正、负根号a”. 如:±读作正、负根号9. 师:只有当a≥0时有意义,a<0时无意义.为什么? 生:负数没有平方根. 师:请大家做题. 求下列各式的值: ;(3) 学生活动:尝试独立完成,一生上黑板. 教师活动:巡视、指导、纠正. 师生共同完成: (1)∵122=144,∴ (2)∵0.92=0.81,∴- (3)∵(±9)2=81,∴±±9. 三、课堂小结 师:通过本节课的学习,你有哪些收获?请与同伴交流. 学生发言,教师点评. 6.1.2算术平方根 教学目标 【知识与技能】 理解并掌握算术平方根的定义,会求一个数的算术一平方根. 【过程与方法】 掌握求一个数的算术平方根的方法. 【情感、态度与价值观】
第六章实数（2） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各式中无意义的是（ ） A. 6 1- B. 21-）（ C.12+a D.222-+-x x 2.在下列说法中：①10的平方根是±10；②-2是4的一个平方根；③ 94的平方根是3 2 ④0.01的算术平方根是0.1；⑤ 24a a ±=，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法中正确的是（ ） A.立方根是它本身的数只有1和0 B.算数平方根是它本身的数只有1和0 C.平方根是它本身的数只有1和0 D.绝对值是它本身的数只有1和0 4. 641的立方根是（ ） A.21± B.41± C.41 D.2 1 5.现有四个无理数5，6，7，8，其中在实数2+1 与 3+1 之间的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.实数7- ，-2，-3的大小关系是（ ） A. 237--- B. 273--- C. 372--- D.723--- 7.已知351.1 =1.147，31.15 =2.472，3151.0 =0.532 5，则31510的值是（ ） A.24.72 B.53.25 C.11.47 D.114.7 8.若33)2(,2,3--=--=-=c b a ，则 c b a ,,的大小关系是（ ） A.c b a B.b a c C.c a b D.a b c 9.已知x 是169的平方根，且232x y x =+，则y 的值是（ ） A.11 B .±11 C. ±15 D.65或 3143 10.大于52-且小于23的整数有（ ） A.9个 B.8个 C .7个 D.5个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 3-绝对值是 ，3- 的相反数是 . 12. 81的平方根是 ，364 的平方根是 ，-343的立方根是 ，
沪科版七年级下册数学期末考试试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．－8的立方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．－3 2 2．下列实数中，是无理数的是( ) A.1 3 B ．－4 C ．0.101001 D. 2 3．若实数x 和y 满足x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．2x －6＞2y －6 B ．x ＋1＞y ＋1 C ．－3x ＞－3y D ．－x 3＜－y 3 4．如图，下列各组角中，是对顶角的一组是( ) A ．∠1和∠2 B ．∠2和∠3 C ．∠2和∠4 D ．∠1和∠5 5．计算a ·a 5－(2a 3)2的结果为( ) A ．a 6－2a 5 B ．－a 6 C ．a 6－4a 5 D ．－3a 6 6．化简a 2b －ab 2 b －a 的结果是( ) A ．－ab B ．ab C ．a 2－b 2 D ．b 2－a 2 7．如图，已知a ∥b ，直角三角板的直角顶点在直线b 上，若∠1＝58°，则下列结论错误的是( ) A ．∠3＝58° B ．∠4＝122° C ．∠5＝42°
D ．∠2＝58° 8．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n ＋q ＝0，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最小的是( ) A ．p B ．q C ．m D ．n 第8题图第9题图 9．如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点A ，则点A 表示的数为( ) A. 2 B.2－1 C.2－2 D ．2－ 2 10．不等式组? ????x ＞a ， x ＜3的整数解有4个，则a 的取值范围是( ) A ．－2≤a ＜－1 B ．－2＜a ＜－1 C ．－2≤a ≤－1 D ．－2＜a ≤－1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．分解因式：3x 2－3y 2＝________________． 12．我们的生活离不开氧气．已知氧原子的半径大约是0.000000000074米，0.000000000074米用科学记数法表示为__________米． 13．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为800m ，且桥宽忽略不计，则小桥的总长为________m. 14．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；④在同一平面中，两条直线不相交就平行．其中正确的结论是________(填序号)． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．先化简，再求值：a 2－1a 2＋a ÷???? a －2a －1a ，其中a ＝－8. 16．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放．
一、本章共3小节共8个课时（3.10～3.21第5、6周） 二、本章概念 1.算术平方根 2.被开方数 3.平方根（二次方根） 4.开平方 5.立方根（三次方根） 6.开立方 7.根指数 8.无理数 9.实数 10.实数与数轴上的点一一对应. 三、分类的数学思想 1. 2. 四、估算 下列各数分别界于哪两个整数之间 1
【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”. 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）. 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 联系： （1）被开方数必须都为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根. （3）0的算术平方根与平方根同为0. 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）. 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根. 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）. 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 =. 25= 50 ,5 2500 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1. 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同. 3≥0a≥0. 4、公式：⑴)2=a（a≥0）=（a取任何数）.
实数 第一课时 教学目标： 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。 教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。 教学难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。 教学过程 一、导入新课： 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 3 5- ，478 ，911 ，119 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ， 47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，50.59= 二、新课： 1、 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数；有理数和无理数统称为实数 ??????????→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数
像有理数一样，无理数也有正负之分。 ，π 是正无理数， ，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分， 实数也可以这样分类： ???????????????正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 2、探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 3、例1 （1）求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，－7，5π-，0，32，π－3 （2） 一个数的绝对值是3，求这个数。
沪科版数学七年级下册期末考试试卷 一、选择题（每小题4分，满分40分） 1．9的平方根为（） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 2．下列计算正确的是（） A．＝±2 B．（﹣3）0＝1 C．（﹣2a2b）2＝4a4b2D．2a3÷（﹣2a）＝﹣a3 3．已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（）A．2.6×10﹣6B．2.6×10﹣5C．26×10﹣8D．0.26x10﹣7 4．已知ab＝2，a﹣2b＝3，则4ab2﹣2a2b的值是（） A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12 5．已知关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则b a的值为（） A．﹣16 B．C．﹣8 D． 6．关于x的方程﹣＝2有增根，则m的值是（） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．2 7．如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，若∠1＝56°，则∠2的度数是（） A．54°B．44°C．40°D．34° 8．定义＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣（﹣3）×2＝10，若≥7，则非负整数x的值有（） A．5个B．4个C．3个D．0个 9．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：①EF∥CD；②∠B+∠BDG＝180°；③若∠1＝∠2，则∠1＝∠BEF；④若∠ADG＝∠B，则∠DGC+∠ACB＝180°，其中说法正确的是（）
A．①②B．③④C．①②③D．①③④ 10．甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（） A．＝B．＝ C．＝?D．＝? 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11．分解因式：2x2﹣18＝． 12．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是． 13．如图，相邻两线段互相垂直，甲、乙两人同时从点A处出发到点C处，甲沿着“A→B→C”的路线走，乙沿着“A→D→E→F→C→H→C的路线走，若他们的行走速度相同，则甲、乙两人谁先到C处？． 14．观察下列等式：a1＝n，a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…根据其中的规律，猜想：a2018＝．（用含n的代数式表示） 三、（每小题8分满分16分） 15．计算： （1）+﹣（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2 （2）[（x+2y）2﹣x（x+4y）+（﹣3xy2）2]÷2y2
沪科版数学七年级下册 It was last revised on January 2, 2021
沪科版数学七年级下册 第六章实数 一、知识总结 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。 （2）表示：非负数a的平方根记作±a，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数） （3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 （2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；即：a≥0恒成立。 （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0； 负数的没有算术平方根。 3、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。 （2）表示：a的立方根记作3a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数） （3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。 （二）实数 1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数） 2、实数：有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类：（1）按定义分（略）（2）按正负性分（略） 4、实数与数轴上的点一一对应。
5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似） 6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进 行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实 数仍然适用。 7、实数大小：（1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝 对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······ 二、解题实用 1、 1.414212≈ 1.7323≈ 2.2365≈ 2、a a =2 ()a =2a ()a a ==3 333a 3、ab b =?a b a b a b ==÷a ()0b ≠ 三、典题练习 1、16的平方根是 ；()2 3-的算术平方根是 ；23-的立方根是 。 2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。 3、一个自然数的算术平方根是x ，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根 是 。 4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） ① x ② 1x + ③2x ④ 1x 3+ ⑤ 1x + 5、当x<-1时，2x ，-x,3x -和 x 1的大小关系 。 6、比较下列各组数的大小
实数（第1课时） 教学目标： 知识与技能:1、理解无理数和实数的概念及实数的分类。 2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。 过程与方法: 1、经历对实数进行分类的过程,培养学生的分类意识。 2、经历从有理数逐步扩充到实数的过程,学生了解人类对数的认识是不断发展的。 3、感受实数可以用数轴上的点来表示，增强学生数形结合的思想。 情感态度价值观:1、通过活动探究，体会数系扩充对人类发展的作用； 2、善于观察、勇于探究，并能有意识地运用已有知识解决新问题. 重 点：1、学生了解无理数和实数的概念。 2、实数的分类。 难 点：对无理数的认识和理解 活动1【导入】激情引趣 1、你了解 2吗？有怎样的认识 ？ 2、2闯“祸”了 “不好了，不好了，保安和2 吵起来了。”数字π急忙去探明真相，原来是刚来到“数字王国”的 2，看到一群数字如：3，847，53-，911，119，95 …自由进入“数字王国”，好奇的2也想进去，却被保安拦住，于是2 就和保安理论，保安说 2 和它们不一样，2 不服气，保安又指了指大门上的标志“××××王国”，于是 2 只好作罢。 【设计意图】一个精彩的故事导入，就能够大大调动学生的积极性，增强学生的求知欲以及对数学学习的兴趣。通过有趣的数学故事，引起学生对数学学习的兴趣，开发他们的智力，提高学生探究问题的积极性，从而提高他们逻辑思考能力。 活动2【探究】探究新知 1、算一算：把下列有理数转换成小数的形式，你有什么发现？ 3，478，91135-，119， 9 5 整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数叫有理数 2、议一议2是整数吗？是分数吗？是有理数吗？那又是什么数呢？ 观察：2=1.41421356237309504880168… 像这种无限不循环的小数叫做无理数 3、 无理数的诞生（微视频） 4、说一说
实数 1.算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 2. 如果a x =2 ，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ” （a 称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个且为正。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ” （a 称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 实数：有理数和无理数统称为实数 有理数：有限小数或无限循环小数（分数又可以转化成无限循环小数） 无理数：无限不循环小数（常见无理数有2，3，π等） 10. 数轴上的点和实数一一对应。 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3、a 本身为非负数，有非负性，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴(a )2=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。 5、区分(a )2=a （a ≥0），与 2a =a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 【典型例题】 1.下列语句中，正确的是（ ） A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．负数没有立方根 C ．一个实数的立方根不是正数就是负数 D ．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ ） A ．-2是2 )2(-的算术平方根 B ．3是-9的算术平方根 C ．16的平方根是±4 D ．27的立方根是±3
学校 班级 姓名 学号 座位号 。 ………………………………………… 装 …………………… 订 …………………… 线 ………………………………………… ————————————————————————————————————————————————————— 沪科版数学 七年级下册期末试卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（每小题4分，计40分） 1、下列命题中：①有理数是有限小数；②有限小数是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数。正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、③④ 2、下列各组数中互为相反数的是（ ） A 、－2 与2 (2)- B 、－2 与3 8- C 、－2 与1 2 - D 、2与2- 3、把不等式组 ???->≤1 2 x x 的解集表示在数轴上，正确的是 ( ) A B C D 4、在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( ) A 、x ＜8 B 、x ＞8 C 、x ＜－8或x ＞8 D 、－8＜x ＜8 5、现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x ，则可以列得不等式组为( ) A 、?? ?≤--+≥--+6)1(6)194(1)1(6)194(x x x x B 、? ??≥--+≤--+6)1(6)194(1 )1(6)194(x x x x C 、???≥--+≤--+5)1(6)194(1)1(6)194(x x x x D 、?? ?≤--+≥--+5 )1(6)194(1)1(6)194(x x x x 6、下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①ab b a 523=+； ②n m mn n m 33354-=-； ③5236)2(4x x x -=-?； ④a b a b a 2)2(423-=-÷； ⑤523)(a a =； ⑥23)()(a a a -=-÷- 其中正确的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、下列运算正确的是( ). A 、(a+b)2=a 2+b 2 B 、(a -b)2=a 2-b 2 C 、(a+m)(b+n)=ab+mn D 、(m+n)(-m+n)=-m 2+n 2 8、代数式的家中来了几位客人： x 2、5y x + 、a -21 、1-πx 、21 x x +，其中属于分式家族成员的有（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、4个 9、下列等式：① ()a b c --=-a b c -; ②x y x -+-=x y x -; ③a b c -+=-a b c +; ④m n m --=-m n m -中, 成立的是（ ） A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、②④ 10、如图，∠ADE 和∠CED 是（ ） A 、 同位角 B 、内错角 C 、同旁内角 D 、互为补角 二、填空题（每小题4分，计32分） 1125的整数是 ； 12、若11y x x =--2008 2008y x += ； 13、不等式b ax >的解集是a b x < ，则a 的取值范围是 。 14、已知2 2 3 2 (2)(36)3x x ax x x ----+中不含x 的三次项，则______.a = 15、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2, 那么阴影部分的面积为_________. 16、已知矩形一边长是x+5，面积为x 2+12x+35,则另一边长是_________ 17、已知a+b=3，ab=1，则 a b +b a 的值等于________． 18、如图，要从小河a 引水到村庄A ，请设计并作出一最佳路线， 理由是：_______ ___ 4 2第（11）题 E D C B A 第（5）题 A
（一）教学目标 1从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。 2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法 3培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点 （二）教材分析 “实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围到有理数后的进一步扩展。由、π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别。 重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。 难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。 （三）学生分析 学生对有理数和平方根已有初步的了解，也已经了解近似数，掌握计算器的简单运用。但对七年级学生来讲，思维仍较直观，无理数显得比较抽象，难以理解。对的探索是本课的关键，不仅得到无理数的概念，还有利于培养学生的分析、探索的能力。 （四）设计理念 让学生主动参与合作交流，探索、发现，注重知识形成的过程 （五）教学方法 启发式、探索式教学 （六）教学过程 复习有理数相关概念学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类． 活动1 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？动手试一试，说说你的发现并与同学交流 小结无限不循环的小数----------叫做无理数 活动2 举例无理数 活动3 练习 给出无理数定义后，请学生自己找找无理数，让学生在寻找的过程中，体会无理数的基本特征． 活动4 实数分类（类似于有理数分类） 小组合作完成 活动5 根据有理数的相关知识试着回答下列问题 活动6 讲解例题 活动7 小结 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 活动8 练习 总结及作业
沪科版数学七年级下册 第六章实数 一、知识总结 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。 （2）表示：非负数a的平方根记作±a，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；即：a≥0恒成立。 （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0； 负数的没有算术平方根。 3、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。 （2）表示：a的立方根记作3a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。（二）实数 1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数） 2、实数：有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类：（1）按定义分（略）（2）按正负性分（略） 4、实数与数轴上的点一一对应。 5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）
6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。 7、实数大小：（1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值 小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······ 二、解题实用 1、 1.414212≈ 1.7323≈ 2.2365≈ 2、a a =2 () a =2 a ()a a == 3 3 33 a 3、ab b =?a b a b a b ==÷a ()0b ≠ 三、典题练习 1、16的平方根是 ；()2 3-的算术平方根是 ；23-的立方根是 。 2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。 3、一个自然数的算术平方根是x ，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。 4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） ① x ② 1x + ③2x ④ 1x 3+ ⑤ 1x + 5、当x<-1时，2x ，-x ,3x -和x 1 的大小关系 。 6、比较下列各组数的大小 ()2-23-21与 ()75 4 12与 ()112533与 ()7 1-21- 4与π 7、2-7的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。
第1课时 实 数 【教学目标】 1、了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力； 2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义； 3、了解实数范围内相反数和绝对值的意。 【学难点与重点】 1、难点：理解实数的概念。 2、重点：正确理解实数的概念。 【教学过程】 一、 创设情境 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类． 试一试 1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3，5 3 ，847，119，911，95 动手试一试，说说你的发现并与同学交流． （结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式） 可以在此基础上启发学生得到结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式． 2、追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ （课件展示） 阅读下列材料： 设x=0.3 =0.333…① 则10x=3.333…② 则②－①得9x=3，即x=3 1 即0.3 =0.333…=3 1 根据上面提供的方法，你能把0.7 ，0.41 化成分数吗？且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
在此基础上与学生一起得到结论：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数。 二、引入新知 1、在前面两节的学习中，我们知道，许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数．我们给无限不循环小数起个名，叫“无理数”．有理数和无理数统称为实数． 例1（1）你能尝试着找出三个无理数来吗？ （2）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 解决问题后，可以再问同学：“用根号形式表示的数一定是无理数吗？” 2、实数的分类 （1）画一画 学生自己回忆并画出有理数的分类图． （2）挑战自己 请学生尝试画出实数的分类图． 例2把下列各数填人相应的集合内： 整数集合｛…｝ 负分数集合｛…｝ 正数集合｛…｝ 负数集合｛…｝ 有理数集合｛…｝ 无理数集合｛…｝ 三、探一探
七年级第二学期 期末考试试卷 一、填空题 1．25 的平方根是________________． 2 =________________． 3．计算：2)3( =_______________． 4．比较大小： 3________10（填“>” ，“=”，“<” ）． 5 ______________． 6．计算：5253 -=______________． 7．三峡三期围堰于今年6月6日成功爆破．围堰的混凝土总量约186000立方米．保留两个有效数字，近似数186000用科学记数法可表示为______________． 8 ．点(2, P -在第___________象限． 9．在△ABC 中，30B ∠=?，50C ∠=?，那么根据三角形按角分类,可知△ABC 是_________三角形（按角分类）． 10．如图，已知：AB // CD ，∠A =58°，那么∠BCD =________度． 11．已知等腰三角形的底角为65°，那么这个等腰三角形的顶角等于___________度． 12．如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，∠C = 45°，AD 是△ABC 的角平分线，那么∠ADB =__________度． 13．在直角坐标平面内，将点(3,2)A -向下平移4个单位后，所 得的点的坐标是________________． 13．在△ABC 中，AB ＝ AC ，要使△ABC 是等边三角形需添加一个条件，这个条件 可以是________________(只需写出一种情况)． A B C D （第12题图） A C D B E (第10题图)
14．在等腰三角形ABC 中，AB = 6cm ，BC = 10cm ，那么AC =_________cm ． 二、选择题 15．下列说法正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）41的平方根是12 ； （B ）41的平方根是12-； （C ）18的立方根是12 ； （D ）18的立方根是12-． 16．下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是……………………………（ ） （A ）5cm 、7cm 、10cm ； （B ）5cm 、7cm 、13cm ； （C ）7cm 、10cm 、13cm ； （D ）5cm 、10cm 、13cm ． 17．下列语句中，错误的语句是………………………………………………………（ ） （A ）有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等； （B ）有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等； （C ）有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等； （D ）有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等． 18．如图，在△ABC 中，已知AB = AC ，∠ABC 的平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ， 点D 在AB 上，那么图中等腰三角形的个数是…………………………………（ ） （A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5． 三、计算题 A B （第18题图） E D C
实数 一、本章知识结构 二、基础知识 1．算术平方根。 （1）定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. 记为a ”,a 叫做被开方数。 （2）规定：0的算术平方根是0 （3）性质：算术平方根a 具有双重非负性： ①被开方数a 是非负数，即a ≥0. ②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。 也就是说， 任何正数的算术平方根是一个正数， 0的算术平方根是（ 0 ）， 负数没有算术平方根。 2．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根或二次方根 （2）非负数a 的平方根的表示方法: a ± （3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
0 只有一个平方根，它是0 。 负数没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a 。 3.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同算术平方根要求是正数 ②个数不同平方根有2个，算术平方根1个 ③表示方法不同：算术平方根为a ，平方根为±a 联系：①具有包含关系：算术平方根平方根? ②存在条件相同：0≥a ③0的平方根和算术平方根都是0。 4．a 2的算术平方根的性质 a (a ≥0) 2a =│a │= -a (a<0) 从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0) 5．立方根 （1） 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根 （2） 数a 的立方根的表示方法:3a （3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数 （4） 两个重要的公式 为任何数） 为任何数）a a a a a (()3(3333== 6．开方运算： （1）定义： ①开平方运算：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方。 ②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方 （2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。 7．无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数 8．有理数与无理数的区别
数学沪科版七年级下册第一章单元测卷 一、选择题(3分×10＝30分) 1．比－1大的数是( ) A ．－3 B ．－109 C ．0 D ．－1 2．在－(－5)，－(－5)2，－|－5|，(－5)2中，负数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列各组数中，数值相等的是( ) A ．32和23 B ．－23和(－2)3 C ．－32和(－3)2 D ．－(3×2)2和－3×22 4．下列四组有理数的大小比较，正确的是( ) A ．－12＞－13 B ．－|－1|＞－|＋1| C ．12＜13 D ．|－12|＞|－1 3| 5．平方等于16的数是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．(±4)2 6．如图，数轴上点P 对应的数为p ，则数轴上与数－p 2 对应的点是( )
A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 7．下列交换加数的位置的变形中，正确的是( ) A ．1－4＋5－4＝1－4＋4－5 B ．－13＋34－16－14＝14＋34－13－1 6 C ．1－2＋3－4＝2－1＋4－3 D ．4.5－1.7－2.5＋1.8＝4.5－2.5＋1.8－1.7 8．下列计算正确的是( ) A ．(－1)101＝－1 B ．－2－2＝0 C ．3÷1 3 ＝1 D ．(－5)×(－3)＝－15 9．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论： 甲：b －a ＜0 乙：a －b ＜0 丙：|a |＜|b | 丁：b a ＞0 其中正确的是( ) A ．甲乙 B ．丙丁 C ．甲丙 D ．乙丁 10．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2017次输出的结果为( )
教案：实数 目标确定的依据： 1、课程标准相关要求： 了解实数和无理数的概念：知道数轴上的点与实数一一对应。 2、教材分析： 实数是继学生学习了自然数、有理数、无理数之后的内容，通过本节 的学习，使学生逐步经历数系的扩展过程。从而形成新的知识结构， 为后继的学习打下基础。 3、学情分析： 学生已经在七年级上学期学习了《数怎么不够用了》，经历了自然数向有理数的扩展过程，本节课继续使学生经历此过程，从而得出无理数的概念，以及实数的概念，本节课的难点就是实数的分类，及实数 与数轴上的点一一对应，学生往往在分类时遗漏一些东西，或添加一些东西，要使学生互相交流讨论，教师引导予以解决。同时学生对实 数与数轴上的点一一对应弄不明白，要引导学生通过数形结合予以解决。 目标： 1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。 2.理解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。 评价任务： 1、通过计算器，计算出常见的有理数化为小数的形式，归纳出有理 数的特征。
2、通过分析2、3等，得出这些是无限不循环的小数，从而归纳出无理数的定义，进一步归纳出实数的定义。 3、能够通过互相交流，对实数进行分类，并展示结果。 4、能够从圆在数轴上的滚动，找出所表示的数。能够根据正方形的特点，找出数轴上表示的无理数。 5、用自己的语言归纳总结出实数与数轴上的点一一对应。 6、能够利用估算，并利用数轴比较两个无理数的大小。 学习环节评价要点教学流程 探索新知1、通过计算器， 计算出常见的 有理数化为小 数的形式，归纳 出有理数的特 征。 2、通过分析 2、3等， 得出这些是无 限不循环的小 数，从而归纳出 无理数的定义， 进一步归纳出 实数的定义。1、回顾：有理数及分类。 2、举出所常见的有理数，通过计算器化为小数，观察特点。总结出无限循环小数和有限小数是有理数。 3、引出概念：教师引导学生再举出所学的数，2、3使学生分析出特点，把它们归类。从而得到无理数的概念。 4、得出实数的概：念 再探新知1、能够通过互 相交流，对实数 进行分类，并展 示结果。1、思考有理数的分类，你能对实数分类吗？同桌交流，并展示结果。教师总结出实数的分类。 按正负分类： 实数