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实数一对一讲义

龙文教育1对1个性化教案

教导处签字：

日期：年月日

学生学校年级

教师

授课日期授课时段

课题实数（二)

重点

难点实数的概念及分类、平方根、立方根的概念及性质

教学步骤及教学内容

一、热身导入：

检查上节课作业完成情况，并讲评。二、检查漏洞：

通过常见例题的完成，了解孩子对本节重难点，易错点内容的掌握情况。三、主要知识点讲解：

1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π

+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

2、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零,算数平方根具有双重非负性。 3、立方根

一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、课堂练习及延伸：

根据本节课的全部内容及例题的分析，让孩子完成相关练习，再次基础上作延伸。五、教学反馈：

根据孩子的课堂表现及完成练习的情况，了解孩子对本节内容的掌握及理解程度。六、课堂小结：

让孩子归纳并总结出本节课的主要内容，自己的优缺点，老师在补充。

课后评价一、学生对于本次课的评价

o特别满意o满意o一般o差

二、教师评定

1、学生上次作业评价

o好o较好o一般o差2、学生本次上课情况评价

o好o较好o一般o 差

作业

布置

教师

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日期：年月日

龙文教育1对1个性化讲义

课前小测：

1.64的算术平方根和64-

的立方根的和是（）

A.0

B.6

C.4

D.4- 2.能与数轴上的点一一对应的是（）

A 整数

B 有理数

C 无理数

D 实数 3.213-=-a ,则a 的值是（）

A.１

B.２

C.３

D.４.

4．设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于x 的说法正确的是（）

A. x 是有理数

B.x =3±

C. x 不存在

D. x 是1和2之间的实数

5.32-

的绝对值是（） A.32+ B.32--

C.23-

D.32-

7.在4144.1-，2-，

22，3

，32-，?

3.0， 121111*********.2中，无理数的个数是 .

8.a 是9的算术平方根，而b 的算术平方根是4，则=+b a . 9. 比较下列实数的大小

①140 12 ②2

15- 5.0；

10．判断：

（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）

（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）

（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（）（5）若,2||=

x 则2=

x （）

一、主要知识点回顾：

1、实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3

+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

3、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

4、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ±

”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

0≥a

注意a 的双重非负性： a ≥0

5、立方根

一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

6、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a 、b 是实数，

,0b a b a >?>-,0b a b a =?=-b a b a

（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，

;1;

1b a b

a b a b

a ?>

（4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 2

。 7、算术平方根有关计算（二次根式）

（1）、含有二次根号“

”；被开方数a 必须是非负数。

（2）、性质：（1）)0()(2≥=a a a

)0(≥a a

（2）==a a 2

)0(<-a a

二、感悟与实践：

例1.计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；

（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-4

______．

变式练习1：

(1)．2)4(-的算术平方根是______：81的算术平方根的相反数是______． (2)．若a 有意义，则a 满足______；若a --有意义，则a 满足______．11-+-x x 中的x 的取

值范围是______．

(3)估计与35最接近的整数．

例2．计算：

=-3

008.0______；=3

611______；=--

127

19______．=3064.0______；=3

216______；

=-3

)

2(______；

=-3

8______；=-

8______。

变式练习2：

（1）64的立方根是______；364的平方根是______．

（2）求出下列各式中的a ：

（1）若a 3＝0.343，则a ＝______；（2）若a 3－3＝213，则a ＝______；

（3）若a 3＋125＝0，则a ＝______；（4）若（a －1）3＝8，则a ＝______．例3．把下列各数填入相应的集合：

－1、3、π、－3.14、9、26-

、2

、．7

.0 （1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）正实数集合｛｝；（4）负实数集合｛｝．变式练习3：

(1)2的相反数是________；2

的倒数是________；35-的绝对值是________．

(2)22-的相反数是____；32-的绝对值是____．大于17-的所有负整数是______．

例4.已知,0|133|22=--+-y x x 求x ＋y 的值．

变式练习4：若y=23-x +x 32-+1,求3x+y 的值。

例5.解方程:(1) 27)1(32=-x ； (2） 0125

8133=+x

三、巩固与提高：

（A)巩固练习

1.下列结论正确的是（） A ．

27的立方根是4

3± B ．125

1-没有立方根

C ．有理数一定有立方根

D ．（－1）6的立方根是－1

2．下列说法错误的是（）

A ．实数都可以表示在数轴上

B ．数轴上的点不全是有理数

C ．坐标系中的点的坐标都是实数对

D ．2是近似值，无法在数轴上表示准确 3．下列说法正确的是（）

A ．无理数都是无限不循环小数

B ．无限小数都是无理数

C ．有理数都是有限小数

D ．带根号的数都是无理数 4．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（） A ．±1 B ．0和1 C ．0和－1

D ．0和±1

5.下列结论正确的是（） A ．64的立方根是±4

B ．2

是6

的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1 D ．332727-=-

6.下列各组数中互为相反数的是（）

Ａ、－２与2)2(- Ｂ、－２与3

8- Ｃ、－２与2

Ｄ、2-与2、

7.若a ＝－２＋２)3(-?，b ＝2

3-，c ＝－2-

，则a 、b 、c 的大小关系是（）

Ａa ＞b ＞c Ｂ b ＞a ＞c Ｃ c ＞a ＞b Ｄ a ＞c ＞b

8.估算28-7的值在（） A 7和8之间 B 6和7之间 C 3和4之间 D 2和3之间

9.若实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则式子3

cd b a +

+-＝______．

10．在数轴上与1距离是的点2，表示的实数为______． 11．比较大小：（1）;11______

103

3（2）

;2______

（3）.27______

12．若,033=+y x 则x 与y 的关系是______． 13．若m ＜0，则=-33m m ______． 14．比较大小：（1）;233

________（2）.36________1253--

15.计算题:3

2716949+- 2

336)48(1÷---

51(127

26-

（B ）能力提升

1.若无理数a 满足不等式1＜a ＜4，请写出两个符合条件的无理数______．

2.已知12+x 的平方根是5±，则45+x 的立方根是 .

3.小于15的正整数共有个，它们的和等于 .

4.化简:|6-2|+|2-1|-|3-6|

5．已知a 是10的整数部分，b 是它的小数部分，求（－a ）3＋（b ＋3）2的值．

6.已知n

m m n A -+-=3是n －m ＋3的算术平方根，3

22n m B n m +=

+-是m ＋2n 的立方根，求B －A 的平

方根．

7.已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数

a 的和，N 是满足不等式2

237-≤

x 的最大整数．求M

＋N 的平方根．

四、课后作业：

1、若9.28,29.233==ab a ，则b 等于（）

A 、1000000

B 、1000

C 、10

D 、10000

2、要使k k -=-3)3(33，k 的取值为（）

A 、k>3

B 、k<3

C 、0

D 、一切实数

3、一个正偶数的算术平方根是a ，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的平方根是（）

A 、a+2

B 、a 2

C 、22

+±a

D 、2+±a

4．面积为11的正方形边长为x ，则x 的范围是（）

A ．13x << B. 34x << C. 510x << D. 10100x << 5.10的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a . 6.已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则b a += .

7.在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“<”号连接： 1.5,0,2,2,π---

8.已知 2251440x -=，且x 是正数，求代数式2513x +的值。

9．观察右图，每个小正方形的边长均为1，⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？⑵估计边长的值

在哪两个整数之间。

10．如图，A 、B 是内壁高度同为4cm ，内部半径分别为2dm ，5dm 的两个圆柱的容器，一水管单独向 A 容器注水，1分钟可以注满，现将两容器在它们高度一半处用细管连通（连通细管的容积忽略不计），仍用该水管向A 容器注水，注2分钟时间，A 容器中水的高度是多少？

A B

一对一教案模板二年级讲课讲稿

学生姓名年级二年级授课时间辅导老师科目数学授课课题：综合检测教学目标1.全面检测学生对旧知识的掌握，起到查漏补缺的作用。 2.培养学生对数学的兴趣以及开发学生的数学思维能力。重点全面检测学生对旧知识的掌握，起到查漏补缺的作用难点培养学生对数学的兴趣以及开发学生的数学思维能力课堂教学过程课前教学主管签字：课前检查：作业完成情况：优口良口中口建议口（一）全面检测学生对旧知识的掌握一、填空题（第2、4、7、10题各3分，其余各2分。共28分） 1、（）个一百是一千，一万里面有（）个千。 2、1km＝（）m ，1分＝（）秒，4000cm＝（）dm。 3、选合适的单位填在（）里；一个小朋友高150（）桌子高7（）一节课时间是40（）一条铁路长1000（） 4、3084是由（）个千、（）个十和（）个一组成的。 5、从右边起，第三位是（）位，第四位是（）位。 6、一个五位数，它的最高位是（）位，最高位是百位的数是（）位数。 7、在○里填＞或＜。 1003○9993968○4001900克○2千克 8、把7903、7930、9730、973按从小到大的顺序排列：（）＜（）＜（）＜（） 9、96——→（）——→（）——→（）——→（） 10、（）－8＝724＋（）＝4264－（）＝46 11、左边图中有（）个直角。 12、在20－63÷9中，先算（）法，再算（）法。二、计算题（第13题15分，14题12分，15题12分，共39分。） 13、直接写出得数： ﹣27＋16﹣49＋32

65-23＝150+80＝3200-2000＝25+41＝ 360－50＝5300－800＝16+37＝303-170＝ 1500+700＝52－36＝320+200＝1000-500＝ 9×6＝56÷8＝1200-600＝ 14、用竖式计算： 254+534=486-51=672-138= 23÷5= 54÷9= 135+865－432= 15、脱式计算： 92-5×758-34+6581÷9+72 6×（32-24）64+36÷9（52＋11）÷7 三、解下列各题（每题3分，共12分） 16、列式计算：比342少80的数是多少？ 17、从一个数里减去54还剩28，这个数是多少？ 19、看图列式计算。四、应用题，（第23题5分，其余各4分，共21分。） 21、图书角有科技书65本，故事书32本，科技书和故事书一共多少本？

苏科版-数学-八年级上册-第四章实数复习教案

实数(复习) 教学目标 1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 2、感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。教学重点回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。教学难点感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣教学过程（教师）二次备课一、板书课题、出示目标师：同学们，今天我们来学习实数复习（板书课题），本节课的学习目标是（投影）： 1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 2、感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。二、自学指导师：要达到本节课的学习目标不是靠老师讲，而是靠大家自学。为了方便使大家顺利达到本节课的学习目标，请同学们认真看屏幕（投影）：自学指导认真书P100-108页。 1、会背平方根、立方根、实数、近似数的概念， 2、能求出一个数平方根、立方根及实际应用。 3、能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数或有几个有效数字。三、先学学生看书，教师巡视，督促学生认真看书。 1、学生独立看书，记会背平方根、立方根、实数、近似数的概念。矫正学生的坐姿。 2、检测：学生互查背会背平方根、立方根、实数、近似数的概念，教师抽查部分差生。 3、板演：例1.把下列各数填入相应的集合内。 -3.14、6、38-、2π、3 1、4、-34、0.15、0 无理数集合｛ …｝，正实数集合｛ …｝

例2.判断下列各题是否正确。（1）2-3的相反数是3-2（）（2）2-3的绝对值是2-3（）（3）81的算术平方根是9 （）（4）0.06018精确到0.001是0.060 ( ) 例3.在数轴上作出与3对应的点。例4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）． ⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； ⑵在图2、图3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．四、后教（一）更正师：请同学们认真看堂上板演板演的内容，如发现错误或有不同解法的同学请举手。（教师组织学生更正） 1、更正：①学生互相检查，记背什么是数的平方根、算术平方根、立方根？平方根和立方根有什么区别？出现什么错误？订证有误的说法。 ②板演的例1、2是否正确，出现什么问题？ 2、讨论：同桌或小组解疑，讨论 a．说一说有理数和无理数有什么区别？实数家庭中有哪些成员？ b．什么是数的平方根、算术平方根、立方根？平方根和立方根有什么区别？c．开方运算和乘方运算有什么联系？任何实数都可以开方运算吗？ d．关于本章内容你还有什么收获？你还有什么困惑？五、当堂训练师：同学们，通过上面的检测，说明同学们会自学，自学的很好。还有

等腰三角形一对一辅导讲义

教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明．重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明教学内容第一课时等腰三角形知识梳理 1、已知线段a ，h （如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ，5cm ，这个三角形的周长是 cm 。 3、请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D 。求证：∠DBC=21∠A 。课前检测 A B C D

图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC ），相等的两边叫做腰（AB 和AC ），另一边叫底边（BC ），两腰的夹角叫做顶角（A ∠），腰和底边的夹角叫做底角（C ∠∠和B ）（2）等腰三角形的性质等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理（3）等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。第二课时等腰三角形典型例题题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是底角：顶角=1:2还是顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为度。知识梳理典型例题

(完整word版)七年级实数讲义

1月17日复华七年级数学实数 12.1 实数的概念一、引入数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。分类：有理数??? ? ?????????? ???负分数正分数分数负整数零正整数整数如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数： )0,(≠q q p q p 都是整数，且质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？问题3：2是有理数吗？因为：有理数=分数 )0,(≠q q p q p 都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。问题4：无限不循环小数还有吗？ Π是有理数码？二、归纳 1．无理数（1）无限不循环小数叫做无理数。（2）无理数包括正无理数和负无理数。（3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。

2．实数（1）有理数和无理数统称为实数。(2)实数可以这样分类：正有理数有理数零 ——有限小数或无限循环小数实数负有理数正无理数无理数 ——无限不循环小数负无理数三、练习 1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、 7 22、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜；正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；非负数：﹛ ﹜；整数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式) 2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。 3．是非题 (1) 无限小数都是无理数；无理数都是无限小数； (2)正实数包括正有理数和正无理数； (3)实数可以分为正实数和负实数两类； (4)带根号的数都是无理数； (5)不含根号的数不一定是有理数； (6)实数不是有理数就是无理数； (7)无限小数不能化为分数； 4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： (1)2 分数。(2) 0 有理数。(3) 无限不循环小数无理数。 (4) 实数有理数和无理数。(5) 正整数、0和负整数整数。 (6) 有理数有限小数和无限循环小数。一知识回顾： 1、一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么，（）叫做（）的平方根. 2、正数有个平方根，它们。用a 表示其中正的平方根，读作“根号a ”另一个负的平方根记为a - ，其中a 叫做。 3、0有（）个平方根，是（）。负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做（）。 { { {

初中一对一精品辅导讲义：圆与圆的位置关系.docx

教学目标重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系教学内容第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F．求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线．

知识梳理（一）两圆位置关系的定义注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部（2）两圆相切是指两圆外切与内切（3）两圆同心是内含的一种特殊情况（二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ）两圆内切 d =R－r （R ＞ r ）两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ）（三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系

【七年级寒假班讲义】第4讲实数复习(学生版)

1.实数的分类 ???????????? ??? ? ?????????????????? ? ????????? 正整数自然数整数零负整数有理数实数正分数分数可化为有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法．实数实数的运算数的开方运算性质分数指数幂有理数指数幂有理数用数轴上的点表示实数无理数实数的分类运算法则及运算性质近似数及近似计算实数的复习知识结构模块一实数的分类与表示知识精讲

- 2 - ★数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a ，b 互为相反数 a+b=0； 4.绝对值：|a |=___________； 5．倒数：a ，b 互为倒数即：ab =0； 6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数.有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N =________×__________. 【例1】填空：这些数中：5 431610240.3313 1.532533253332 95 ---。、、、、、、有限小数有_________________________________________________；无限小数有_________________________________________________；有理数有________________________________________________；无理数有_______________________________________________；实数有_______________________________________________；小数有______________________________________________．【例2】请你辨别：如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形图1 边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个．【例3】下列语句正确的是（） A ．3.78788788878888是无理数 B ．无理数分正无理数、零、负无理数 C ．无限小数不能化成分数 D ．无限不循环小数是无理数【例4】填空：（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________；（2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________；（3）设实数a ≠0，则a 与它的倒数、相反数三个数的和等于____________，例题解析

初中数学第六章实数知识点及练习题附解析

初中数学第六章实数知识点及练习题附解析一、选择题 1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)= p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=31 62 =，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) = 12 ；② F(24)=3 8；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则 F(n)=1，其中说法正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即*2 a b a b += ，则下列等式中对于任意实数a ，b ，c 都成立的是（）． ①(*)()*()a b c a b a c +=++；②*()()*a b c a b c +=+； ③*()(*)(*)a b c a b a c +=+；④(*)(*2)a a b c b c c +=+． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 3．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( ) A ．n +1 B ．21n + C D 5．下列结论正确的是（） A ．64的立方根是±4 B ．﹣ 1 8 没有立方根 C ．立方根等于本身的数是0 D ＝﹣3 6．在0, 3.14159, 3π,2272 中, 无理数有几个（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．下列命题中，①81的平方根是9±2；③?0.003没有立方根；④?64 的立方根为±4 ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．估计65的立方根大小在（） A ．8与9之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 9．1是a 的相反数，那么a 的值是（） A ．1 B ．1 C ． D

反比例函数一对一辅导讲义

A B C D 性质 1．图象在第一、三象限； 2．每个象限内，函数y的值随x 的增大而减小． 1．图象在第二、四象限； 2．在每个象限内，函数y值随x 的增大而增大．典型例题：例1．函数y=（a-1）x a是反比例函数，则此函数图象位于（） A．第一、三象限；B．第二、四象限；C．第一、四象限；D．第二、三象限例2.函数 x m y=与)0 (≠ - =m m mx y在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。例3．在同一平面直角坐标系中,函数y=k(x－1)与y=)0 (< k x k的大致图象是( )。 A B C D 例4.若) , 2 1 ( ), , 4 1 ( ), , 2 1 ( 3 2 1 y P y N y M- -三点都在函数x k y=（k<0）的图象上，则 3 2 1 , ,y y y的大小关系是（） A． 1 3 2 y y y<

1．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：。 2．已知一个矩形的面积为24cm 2，其长为ycm ，宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（） A B C D 3．函数y=－ax+a 与y= x a -（a ≠0）在同一个坐标系中的图像可能是（）。（2004青岛）（ 4．若),2 1(),,4 1(),,2 1(321y P y N y M --三点都在函数x k y = （k<0）的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（） A ．132y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 5．如图，直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线x y 4 =交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1＝_________。 x y o x y o x y o x y o

实数一对一辅导讲义

第一课时实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小：（1）32.13 1.2，（2）3 32-34 3-，（3）337。课前检测

1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数；（2）特定意义的数如π等；（3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根（1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算：一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-?

二年级语文一对一辅导讲义

中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间授课题目第四单元预习、看图说话课型综合使用教具讲义教学目标 1.预习第14课、15课 2.提高学生的观察能力、想象能力。教学重点和难点看图作文的思维训练参考教材小学语文课本教学流程及授课详案一、听老师讲故事守株待兔的故事宋国有一个农民，每天在田地里劳动。有一天，这个农夫正在地里干活，突然一只野兔从草丛中窜出来。野兔因见到有人而受了惊吓。它拼命地奔跑，不料一下子撞到农夫地头的一截树根上，折断脖子死了。农夫便放下手中的农活，走过去捡起死兔子，他非常庆幸自己的好运气。晚上回到家，农夫把死兔交给妻子。妻子做了香喷喷的野兔肉，两口子有说有笑美美地吃了一顿。第二天，农夫照旧到地里干活，可是他再不像以往那么专心了。他干一会儿就朝草丛里瞄一瞄、听一听，希望再有一只兔子窜出来撞在树桩上。就这样，他心不在焉地干了一天活，该锄的地也没锄完。直到天黑也没见到有兔子出来，他很不甘心地回家了。第三天，农夫来到地边，已完全无心锄地。他把农具放在一边，自己则坐在树桩旁边的田埂上，专门等待野兔子窜出来。可是又白白地等了一天。后来，农夫每天就这样守在树桩边，希望再捡到兔子，然而他始终没有再得到。但农田里的苗因他而枯萎了。农夫因此成了宋国人议论的笑柄启示：这个成语故事比喻不主动努力，而存万一的侥幸心理，希望得到意外的收获。主要告诉我们的道理是：只有通过自己的劳动，才能有所收获，否则终将一无所获，留下终身遗憾。二、第四单元预习一、会读词语。（熟读）相得益彰管中窥豹一叶障目泰山水到渠成葫芦藤盯着邻居枣树深浅光秃秃忍受好呗虽然抽水继续行驶无影无踪责怪酸甜葡萄迫不及待生硬泡茶吃饱长袍鞭炮二、生字扫描第14课：《我要的是葫芦》言（发言）（言语）（言论）每（每天）（每组）（每人）治（治病）（治好）（治疗）棵（一棵树）（一棵树苗）挂（挂念）（牵挂）（挂号）哇（好哇）（行哇）（哇哇叫）怪（奇怪）（怪事）（怪物）慢（慢走）（慢慢）（慢行）时间分配及备注听老师讲故事，第四单元预习：30分钟。

一对一语文教案

一对一语文教案 (500字) 一．破折号的用法 1. 用以表示对上文的解释说明或补充。例如：“亚洲大陆有世界上最高的山系――喜玛拉雅山，有目前地球上最高的山峰――珠穆朗玛峰。” 括号也表示解释说明，但是破折号引出的解释说明是正文的一部分，是较重要的信息，要读出来的。而括号里的解释说明不是正文，只是注释，没有它不影响句子的完整性，读时也不必连着正文念出来。如;这就是我——一个小学生的心里话。卢沟桥的狮子——数不清。 2. 表示话题的转变。例如：“我在珠海的公司干得挺顺心。老板对我不错，工资也挺高，每月三千多呢!――我能抽支烟吗？”破折号前是讲述自己情况, 后面突然转而询问对方别的事。

3. 表示话语的中断。例如：“‘班长他牺――’小马话没说完就大哭起来。”“他很大了，――(顿)并且他以为他母亲早就死了的。”前一例的破折号表示下面的话没说出来。后一例表示说了半句暂时中断，停顿了一下又接着说下去 4. 表示声音的延长。例如：“‘顺――山――倒――’林子里传出我们伐木连小伙子的喊声。” 5. 表示引出下文。例如：“小姑娘的相貌神态酷似她的母亲，我的心一颤。眼前又浮现出十年前我在槐树村生活的情景――”这种由破折号引出的下文常常是另起一段。 1王老师递给蔡琳一个大信封，信封正面是几个大字――差生档案。 2什么都没有了――所有靠斧头得到的一切，包括那些锋利的斧头。 3我，我――昨晚看电视，晚了，今天早上睡过了头。 4.于是――洗手的时候，日子从水盆里过去。 5聪明的，你告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？――是有人偷了他们吧，那是谁呢？又藏在何处呢？

6、巴拉那河上有一条世界著名的大瀑布——赛特凯达斯大瀑布。瀑布上游建起了一座世界上最大的水电站——伊泰普水电站。 7、他用林业收入资助每户村民买了一台电视机——他还有宏伟设想，还要栽树?? 8、我的鼻子不禁一酸——也许老人进去后就再也出不来了。 9、“那怎么——” 10、我把带着体温的银元放到他手里——他的手多瘦啊！ 11，小狐狸也许在叫妈妈——妈妈——这小狐狸真可怜破折号的用法最佳答案： 1.解释说明 2.表示递进 3.表示延长 4.表示转折 5.加强重点 6,解释说明 7.意思的递进 8.意思的转折9.表停顿。10.表转,11.表声音的延长

初中数学竞赛辅导讲义全

专业资料初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算 [知识点击] 1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2．已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

专业资料解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。解：

一次函数一对一辅导讲义

教学目标1．通过复习进一步掌握如下概念：函数的概念；一次函数的概念；一次函数与正比例函数的关系；确定一次函数表达式。 2、经历函数、一次函数（正比例函数）概念的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。重点、难点使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。考点及考试要求考点1：确定自变量的取值范围考点2：函数图象考点3：图象与坐标轴围成的面积问题考点4：求一次函数的表达式，确定函数值考点5：利用一次函数解决实际问题教学内容第一课时一次函数知识盘点一、主要知识点：一次函数的性质 1的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当0时，b为函数在y轴上的截距。 3为一次函数的斜率角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角) 一次函数的图像及性质 1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限：时当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当0时，直线必通过原点,经过一、三象限当b＜0时，直线必通过三、四象限。

平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义

教学目标1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量； 2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法； 3、平面向量的线性运算。重点、难点教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法教学难点：平面向量的线性运算考点及考试要求考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算教学内容第一课时平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理 1、下列说法正确的是（） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、下列各量中不是向量的是（） A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度 3、设O是正方形ABCD的中心，则向量,,, AO BO OC OD是（） A、相等的向量 B、平行的向量 C、有相同起点的向量 D、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等；（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个课前检测

5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，（1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量；（4）找出图中与EC 相等的向量. 1、向量的物理背景及概念 1）、向量的物理背景：位移是既有大小，又有方向的量；力是既有大小，又有方向； 2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；知识梳理 A B E C D A(起点) B （终点） a

一对一课程介绍模板教学提纲

一对一课程介绍模板

课程介绍：初一数学是承接小学和中考的过渡时期。重点学习有理数、整式、一元一次方程、线段与角等知识点；掌握相关概念性质、定理运用、计算公式及法则；引导学生在解题过程中发散思维的运用，掌握常规解题方法及技巧。授课周期：课程时间灵活，可根据学生实际情况确定上课时间。周期可结合学生自身学习状况、亟待解决的问题轻重缓急、教师的建议等其他因素，进行安排调整，力求在最有效的时间内，实现成绩的最大幅度提升。适合对象：【初一年级学生】基础知识掌握疏通；成绩亟待突破提升；查漏补缺前后衔接；高分冲刺优中拔优；掌握良好学习方法。教学特色： ·1对1教学个性化方案根据学生的需求、学习现状和目标，组合知识模块，挑选难度合适的题目，制定个性化的教学方案及讲义，执行一个学生，一套教学方案，对症下药，击破瓶颈。 ·时间地点自由灵活随报随上，上课时间自由灵活。六十多家分校区遍布全国各大中小城市，家长可根据实际情况选择最佳上课时间及地点。学无涯，乐随行。随时随地给您最好的辅导服务。 ·提高学生学习的积极性弥补了课堂教学不足，解决了学生因赶不上学校学习进度丧失学习积极性的问题；一对一教学，给学生定制属于自己的学习计划，迅速提升成绩；突出学生的主体、个体地位，将学习进程细化到学生学习成长的每一个细节。师资配备：专业教师一名——为学生制定个性化学习方案、引导学生完成学科补习。(注：学生可自己挑选喜欢的老师，或根据学生的实际情况由京翰老师推荐)；专职班主任一名——负责监督学生学习情况、进程，以及学习效果的监测；负责学生课程的安排协调及临时性问题的解决。初二数学课程介绍：初二数学内容较抽象，重点培养学生抽象化的思维能力。掌握一次函数、整式、因式分解、全等三角形等知识点的理解及运用；提高选择题、简答题、分析说明题方面的快速答题能力；分析难点、考点，巩固加深基础知识；做好知识衔接，承前启后，避免学生知识脉络出现断裂。

实数培优讲义

实数培优讲义考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a． 2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数p q （p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2n a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【变式题组】 01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m是小于152 的最大整数，则m的平方根是____． 03．9的立方根是____． 04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．输入x 取算术平方根输出y 是无理数是有理数

【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于 ( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 【变式题组】 0l 3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()2 30b -=，则 a b 的平方根是____． 03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 04．已知x 1 x π -的值是( ) A ．1 1π - B ．1 1π + C ． 1 1π - D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【变式题组】 01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ． 02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123 π +）x ＋（132π+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____．【例4】若a ?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【变式题组】 01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．

实数讲义

2.实数及其运算一、基础知识和方法要点实数及其运算的主要内容是实数的运算，以及有理数、无理数、数轴和绝对值的概念和性质。思考题1 何为实数？数学分类应该满足怎样的准则？思考题2 叙述引入数轴的必要性；思考题 3 什么是零点分段法？零点分段法体现的思想在其他方面有什么应用？思考题4 非负数有哪些性质？举例说明；思考题5 你是怎样理解实数与数轴的一一对应关系的？思考题6 数轴上有理数和无理数哪个更多？为什么？思考题7怎样定义无理数的概念？数学上一般不用否定的形式给一个概念下定义，按照这样的约定，又该如何定义？思考题8 实数是稠密的，你怎样理解实数的稠密性？二、典型问题分析 1. 实数的运算 1.计算.1009998143213211??++??+?? 2.设A=??? ? ??+++?4-14-14-14810043222 ，求与A 最接近的正整数. 3.计算： 4. 比较与2的大小.

5. 已知,其中n为正整数.证明： 2.数轴与绝对值 1.已知<-3,化简：. 2.化简:|3x+1|+|2x-1| . 3.若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的值. 4.求代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值. 5. 将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代人代数式(|a-b|+a+b)中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值. 6. 设n个有理数,,…，满足||<1(i=1,2,…,n),且 ||+||+….+|19+|++…+.求n的最小值. 3.关于无理数、有理数的判断、证明及计算 1.证明循环小数 2.615454 54=2.61是有理数. 2.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数，在上述假定下,下面四个结论： (1)是有理数; (2)(x-1)(x-3)是无理数; (3)(x+1)2是有理数; (4)(x-1)2是无理数. 哪些是正确的?哪些是错误的? 3.设a、b及+都是整数,证明及都是整数.

辅导机构一对一教案模板高三复习复数教案

学科教师辅导讲义学生签字：日期：教学内容 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数． (2)复数相等：a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量OZ → 的模r叫做复数z＝a＋b i的模，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2. 2．复数的几何意义 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R. z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i. z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. z1 z2＝ a＋b i c＋d i ＝ ac＋bd c2＋d2 ＋ bc－ad c2＋d2 i(c＋d i≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图4-4-1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ → ＝OZ1 → ＋OZ2 → ，Z1Z2 → ＝OZ2 →讲义编号：年级：高三课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课课题教学目标授课日期及时段知识梳理

－OZ 1→. 图4-4-1 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)如图4-4-2，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) 图4-4-2 A ．A B. B C ．C D.D B [共轭复数对应的点关于实轴对称．] 3．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B.2 C.2i D.2＋2i C [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.] 4．(2016·北京高考)复数1＋2i 2－i ＝( ) A ．i B.1＋i C ．－i D.1－i A [法一：1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i 5＝i. 法二：1＋2i 2－i ＝i (1＋2i )i (2－i )＝i (1＋2i )2i ＋1＝i.] 5．复数i(1＋i)的实部为________．－1 [i(1＋i)＝－1＋i ，所以实部为－1.

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