逻辑函数的最大项表达式
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量的和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式，在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。性质：
① 在输入变量的任何取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值是0。
② 任意两个最大项之和为1。
③ 全体最大项之积为0。
④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。
⑤ n个变量的最大项数目为2n。
逻辑函数和逻辑表达式 图1（a）所示为一个有n个输入信号，m个输出信号的多输出组合电路。 图1（a） 各输出变量和输入变量之间的关系可用含m个逻辑表达式的方程组 zi=fi(x1,x2,...,xn) i=1,2,...,m (1) 式（1）是图1（a）所示组合电路的逻辑功能的数学描述。该组合电路则是实现这些逻辑函数的电气装置。 描述组合电路的逻辑函数称为组合逻辑函数。逻辑表达式是描述逻辑函数的一种代数形式。
1.导出逻辑表达式与真值表 数字电路应实现的逻辑功能通常是由某种文字描述给出的。如欲用数字电路实现这些功能，首先要把这一文字描述变换成一种可以进行逻辑变换的描述。真值表和逻辑表达式就是其种的两种描述方法。真值表具体地给出了自变量的全部取值组合下的函数值，所以，真值表是唯一的。对于有n个自变量的函数，其真值表有2n行。对于相同的逻辑功能可以由不同的逻辑表达式来描述。 2.积之和表达式与最小项表达式 设函数z的逻辑表达式为 z（a，b，c）=ab+ac (2) a b和a c是由与（逻辑乘）运算连接的，称为与项（或乘积项，积项）。这两个与项又由或（逻辑 和）运算连接，所以，称这种类型的表达式为与--或表达式或积之和表达式。 式2真值表如下表所示
表2 真值表 z（a,b,c)= a b + a c = a b(c + c) + a (b + a) c = a b c + a b c + a b c + a b c（3） 上式也是积之和表达式。其真值表如表3所示。
表3 最小项是一种特殊类型的乘积项。在一个n个自变量的逻辑函数中，包含全部n个变量的积项称为最小项,均由最小项构成的积之和表达式称为最小项表达式或标准的积之和表达式。 在式（3）中，各最小项的标号由下法求得： 最小项名a b ca b c a b c a b c 取值组合 1 1 11 1 00 1 1 0 0 1
第 2 章 逻辑代数和逻辑函数化简 基本概念：逻辑代数是有美国数学家 George Boole 在十九世纪提出 , 因此也称 布尔代数 , 是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。 也叫开关代数， 是研究只用 0 和 1 构成的数字系统的数学。 基本逻辑运算和复合逻辑运算 基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。 复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异 或”、“同或”等。 A B 基本逻辑运算 ～ 220V F 1. “与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具 备时，事件才会发生。 ②运算电路：开关 A 、B 都闭合，灯 F 才亮。 ③表示逻辑功能的方法： 真值表 A B F 灯 F 的状态代表 开关 A 、B 的状态代 0 0 表输入： 0 1 0 输出： 1 0 0 “ 0”表示亮； “0”表示断开； 1 1 1 表达式： F A B = ? 逻辑符号： A & FA FA F B B B 国家标准 以前的符号 欧美符号 功能说明： 有 0 出 0，全 1 出 1。 在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号： A B A B A B & F F F
通过“ ?”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。推广：当有 n 个变量时： F=A 1A 2 A 3 ? ? ? A n “与”运算的几个等式： 0?0=0，0?1=0， 1?1=1 A?0=0（0-1 律）， A?1=A （自等律），A?A=A （同一律）， A?A?A=A （同一律）。 2. “或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只 要具备一个，事件就会发生。 A ②运算电路： 开关 A 、B 只要闭合一个，灯 F 就亮。 B ～220V F ③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能： 有 1 出 1，全 0 出 0。 真值表：（略） 表达式： F=A+B 逻辑符号： A ≥ 1 F A FA F B + B B 国家标准 以前的符号 欧美符号 推广：当有 n 个变量时： F=A 1+A 2+ A 3+? ? ? +A n “或”运算的几个等式： 0+0=0，0+1=1， 1+1=1 A+0=A （自等律） A+1=1（ 0-1 律），A+A=A （同一律）。 上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。 3．“非”运算 ①逻辑含义：当决定事件的条件具备时， 事件不 发生；当条件不具备时，事件反而发生了。 R ②运算电路：开关 A 闭合，灯 F 不亮。 ～ 220V A F ③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能： 入 0 出 1，入 1 出 0。 真值表：（略） 表达式： F= A
数字电路2014 ：浙江大学信息与通信工程研究所 liupeng@https://www.doczj.com/doc/3712166238.html, 作业1：（上交时间：2014年3月6日） 1.采用卡诺图法化简下列逻辑函数，要求表达式尽量简单。 1) F(A, B,C, D) = ∑m (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14) 2) F (A, B, C, D) = ∑m (0, 1, 4, 7, 9, 10, 13) + ∑d(2, 5, 8, 12, 14, 15) 其中d 为任意项 3) F(A,B,C,D)=Σm(1,2,4,12,14) + Σd(5,6,7,8,9,10)，其中d 为任意项 4) Y A,B,C,D)=A BD+ABC+BCD+AB CD+A B CD （ 5) Y(A ,B,C,D) = ∑m(0, 2, 3, 4, 8) + ∑d (10, 11,12,13,14,15)，其中d 为任意项 6) (,,,)()()()()()Y A B C D A B C D A B A B D B C B C D =+++++++++ 2.将下面函数化简为最简与或式，不必考虑冒险。 1) Y AD ABC ABD ABCD =+++, 约束条件为：ABC+ABD+ACD+BCD = 0 2) (1,3,4,6,7,9,11,12,14,15)Y M =∏ 3) ()()Y AB AC BD ABCD ACD BCD BC =+++++ 3.能实现任何逻辑函数的逻辑门的集合，被称为逻辑门的完全集。已知二输入与门、二输入或门和非门为一个完全集。试证明：二输入或门、异或门为逻辑门的完全集。 4．采用公式法将下面的逻辑函数化简成最简与或式，并用与非门实现。 ()()Y AB D AB B D ABE ADE =++++ 5．用权6，3，1，1将十进制表示为含权的二进制码。 6．列出真值表： 输入是3位二进制，输出为3位循环码 7．用最小项之和与最大项之积来表示下列函数 (,,,)F A B C D BD AD BD =++ 8．用异或门和与门实现下面的布尔表达式。 F ABCD ABCD ABCD ABCD =+++ 9. 和8421BCD 码（1010100）等值的二进制数为 。 10．一个有n 个变量的逻辑函数，如果它的最小项表达式由k 个最小项组成，则它的最大 项表达式将由 个最大项组成。 11．一个格雷码的前一个码是0101，后一个是1100，这个格雷码是 。 12.有函数 1F (A,B,C,D)=ABCD+BCD+AB D+ABCD+AD 2F (A,B,C,D)=CD+ABCD+BD+ACD+BCD 试求函数312F (A,B,C,D)=F F ⊕的最简与或表达式。
第2章逻辑函数及其化简 内容提要 本章是数字逻辑电路的基础，主要内容包含： （1）基本逻辑概念，逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）及其复合运算（与非、或非、与或非、同或、异或等）。 （2）逻辑代数运算的基本规律（变量和常量的关系、交换律、结合律、分配律、重叠律、反演律、调换律等）。 （3）逻辑代数基本运算公式及三个规则（代入规则、反演规则和对偶规则）。 （4）逻辑函数的五种表示方法（真值表法、表达式法、卡诺图法、逻辑图法及硬件描述语言）及其之间关系。本章主要讲述了前三种。（5）逻辑函数的三种化简方法（公式化简法、卡诺图法和Q–M法）。教学基本要求 要求掌握： （1）逻辑代数的基本定律和定理。 （2）逻辑问题的描述方法。 （3）逻辑函数的化简方法。 重点与难点 本章重点： （1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。 （2）常用公式。 （3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。
（4）最小项和最大项概念。 （5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。主要教学内容 2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算 2.1.2 复合运算 2.2 逻辑代数运算的基本规律 2.3 逻辑代数的常用运算公式和三个规则2. 3.1 逻辑代数的常用运算公式 2.3.2 逻辑代数的三个规则 2.4 逻辑函数及其描述方法 2.4.1 逻辑函数 2.4.2 逻辑函数及其描述方法 2.4.3 逻辑函数的标准形式 2.4.4 逻辑函数的同或、异或表达式 2.5 逻辑函数化简 2.5.1 公式法化简 2.5.2 卡诺图化简
2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算 2.1.1 三种基本运算 1. 与运算（逻辑乘） 2. 或运算（逻辑加） 3. 非运算（逻辑非） 2.1.2 复合运算 1. 与非运算 与非运算是与运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行非运算。 2. 或非运算
《数字电路逻辑设计》练习题 ------ 逻辑函数及其化简 一.用公式证明下列各等式。 1. AB AC (B C)D AB AC D 原式左边 二AB AC BD CD =AB AC+BC+BCD =AB AC+D=右边 2. A C A B A C D+BC A BC 原式左边 A C(1+D)+A B+BC =A C + A B+BC=(C+B+BC =A B C+BC=A+BC=右边 3. BCD BCD ACD+ABC D+A BCD +BC D+BCD BC BC+BD 原式左边=BCD+A BCD BCD+BCD +ABC D+BC D+ACD =BCD+A BCD+BD+BC D+ACD =BCD+ACD+B CD+BD+B^ D =BCD+ACD+BD+DC+B^ D =BCD+BD+DC+B C D =C(D+B)+ B( D+C)=BC+BD+BC=右边 2. F=AB+AB+BC =m (2,3,4,5,7) F m(0,1,6) F*= m(1,6,7) 3. F=AB+C BD+A D B C =m(1,5,6,7,8,9,13,14,15 ) F m(0,2,3,4,10,1，2 ) F*= m(3 ,4,5,11,12,3,5) 三.用公式法化简下列各式 1. F=ABC+A CD+AC =A(BC+C)+A CD=AC AB A CD =C(A AD) A B=A C+C D+AET 2. F=A C D+BC+BD+A B+AC+^ C =AC D+BC+BD+A B+AC+BC+^ C =AC D+BC+AC+B =AD+C+B 3. F=(A+B)(A+B+C)(A+C)(B+C+D) Q F*= AB+ABC+AC+BCD =AB+AC+BCD=AB+AC F=(F*)*=(A+B)(A+C)=AC+AB — 4. AB B+D CD+BC+A BD+A+CD=1 原式左边=AB B+D C D BC+A BD A+C+D =(AB+ B+D+C D)(B+C)+C+D =(B+D)(B+C)+C+D =BC+BD+CD+C+D=1=右边 二.写出下列各逻辑函数的最小项表达式及其对偶式、反演式的最小项表达式 1. F=ABCD+ACD+BD = m( 4,6,11,12,14,15 ) F m(0,1,2,3,5,7,8,9,10,13) F*= m(2,5,6,7,8,10,12,13,14,15) 4. F=AB+A B?BC+B C F AB+A B BC+B C AB+A B BC+B C AC AB BC B C AC AB B C 5. F=AC+BC B(AC AC) F (A C)(B C) ABC ABC AB A C BC C ABC ABC AB C (A B)C AC BC 四.用图解法化简下列各函数。 AC