阶段质量检测（一） 三角函数
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．y ＝sin x
2
是( )
A ．周期为4π的奇函数
B ．周期为π
2的奇函数
C ．周期为π的偶函数
D ．周期为2π的偶函数
解析：选A y ＝sin x 2为奇函数，T ＝2π
1
2
＝4π，故选A.
2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18
D ．36
解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1×r . ∴r ＝6.
∴S ＝12lr ＝1
2
×6×6＝18.
3．若－π
2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解析：选B ∵－π
2＜α＜0，
∴tan α<0，cos α＞0，
∴点P (tan α，cos α)位于第二象限．
4．已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )
A.25 B ．－25
C ．－2
D ．2 解析：选A 由sin α＋3cos α
3cos α－sin α
＝5，得12cos α＝6sin α，
即tan α＝2，所以sin 2
α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1
＝2
5.
5．函数y ＝tan ????π2－x ????x ∈????－π4，π
4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[－1，＋∞) 解析：选B ∵x ∈????－π4，π
4且x ≠0， ∴π2－x ∈????π4，3π4且π2－x ≠π
2， 即π
2－x ∈????π4，π2∪????π2，3π4， 当π
2－x ∈????π4，π2时，y ≥1； 当π
2
－x ∈????π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
6．将函数y ＝sin ????x －π
3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π
3
个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A ．y ＝sin 1
2x
B ．y ＝sin ????
12x －π2 C ．y ＝sin ???
?12x －π6 D ．y ＝sin ?
???2x －π
6 解析：选C 将函数y ＝sin ????x －π
3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ????12x －π3，然后将其图象向左平移π
3个单位，即将x 变为x ＋π
3
.
∴y ＝sin ???
?1
2????x ＋π3－π3＝sin ???
?12x －π6. 7．设函数f (x )＝sin ????2x ＋π
3，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称
B ．f (x )的图象关于点????
π4，0对称
C ．把f (x )的图象向左平移π
12个单位，得到一个偶函数的图象
D ．f (x )的最小正周期为π，且在???
?0，π
6上为增函数 解析：选C 当x ＝π3时，2x ＋π
3
＝π，f (x )＝sin π＝0，不合题意，A 不正确；
当x ＝π4时，2x ＋π3＝5π6，f (x )＝sin 5π6＝1
2
，B 不正确；
把f (x )的图象向左平移π
12个单位，得到函数y ＝sin ????2????x ＋π12＋π3＝sin ????2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，C 正确；
当x ＝π12时，f ????π12＝sin π2＝1，当x ＝π6时，f ????π6＝sin 2π3＝32＜1，在????0，π6上f (x )不是增函数，D 不正确．
8．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )
A ．41米
B ．43米
C ．78米
D ．118米
解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π
15，摩天轮上某个点P
离地面的高度h (米)与时间t (分钟)的函数关系是h ＝82－78cos π
15
t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×1
2
＝43(米)．
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．已知sin(π－α)＝－2
3，且α∈????－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－2
3，
∵α∈????－π
2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝
5
3
， tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25
5
. 答案：
25
5
10．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝________，sin θ
sin θ＋cos θ＝________.
解析：∵角θ的终边过(4，－3)， ∴cos θ＝45，sin θ＝－3
5.
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－4
5
.
sin θ
sin θ＋cos θ
＝－
35
－35＋45＝－3.
答案：－4
5
－3
11.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的周期为T ，在
一个周期内的图象如图所示，则T ＝________，φ＝________.
解析：由题图可知T ＝2????
4π3＋2π3＝4π， A ＝1
2(2＋4)＝3，B ＝－1.
∵T ＝4π，∴ω＝1
2
.
令12×4π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 答案：4π －π6
12．函数f (x )＝2cos ????4x ＋π3－1的最小正周期为________，f ????π
3＝________. 解析：∵f (x )＝2cos ????4x ＋π
3－1， ∴其最小正周期为2π4＝π
2
，
f ????π3＝2cos ????43π＋π3－1＝2cos ????2π－π3－1 ＝2cos π3－1＝2×1
2－1＝0.
答案：π2
13．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π
6，
则这个函数的解析式为________________，单调减区间为________________．
解析：由题意，知A ＝3，ω＝
2πT ＝2π2π7
＝7，φ＝π
6
， ∴y ＝3sin ?
???7x ＋π6， 由2k π＋π2≤7x ＋π6≤2k π＋3π
2，k ∈Z.
得2k 7π＋π21≤x ≤2k 7π＋4
21
π，
∴这个函数的单调减区间为????2k 7π＋π21，2k 7π＋4
21π，k ∈Z. 答案：y ＝3sin ????7x ＋π6 ???
?2k 7π＋π21，2k 7π＋4
21π，k ∈Z 14．已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1和y ＝2所得的线段长分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是________．
解析：∵两条直线所截得的线段长都为y ＝tan ωx (ω＞0)的最小正周期，∴m ＝n ＝π
ω.
答案：m ＝n
15．将函数f (x )＝2sin ????ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π
3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在???
?－π6，π
4上为增函数，则ω的最大值为______． 解析：根据题意得g (x )＝2sin ωx ，又y ＝g (x )在???－π6，π4上为增函数，∴T 4≥π
4，即ω≤2，所以ω的最大值为2.
答案：2
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知cos ????π2＋θ＝1
2， 求
cos (3π＋θ)
cos θ[cos (π＋θ)－1]
＋
cos (θ－4π)
cos (θ＋2π)cos (3π＋θ)＋cos (－θ)
的值．
解：因为cos ????π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12. 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ
cos θ(－cos θ)＋cos θ
＝
11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2
sin 2θ
＝8. 17．(本小题满分15分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π
8
.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
解：(1)∵x ＝π
8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，
∴sin ????2×π
8＋φ＝±1.
∴π4＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4
. (2)由(1)知φ＝－
3π
4
， 因此y ＝sin ?
???2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π
2，k ∈Z.
∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
，k ∈Z.
∴函数y ＝sin ?
???2x －3π
4的单调增区间为 ?
???k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.
18．(本小题满分15分)函数f (x )＝3sin ????2x ＋π
6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值． (2)求f (x )在区间????－π2
，－π
12上的最大值和最小值．
解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π
6，y 0＝3.
(2)因为x ∈????－π2，－π12， 所以2x ＋π
6∈????－5π6
，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12时，f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3时，f (x )取得最小值－3.
19．(本小题满分15分)已知f (x )＝3sin ????2x ＋π
4－1. (1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？
(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值．
解：(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的1
2
倍(纵坐标不变)，
得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π
8个单位长度，得到函数y ＝
3sin ????2x ＋π
4的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ?
???2x ＋π
4－1的图象． (2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π
2＋k π(k ∈Z)，
得对称轴方程为x ＝π8＋k π
2(k ∈Z)．
当2x ＋π4＝π
2
＋2k π(k ∈Z)，
即x ＝π
8
＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2.
20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ????A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π
2的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式． (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π
3
，当x ∈????0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．
解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝
11π6－???
?
－π6＝2π，所以ω＝1， 易知B ＞0，又????? B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得?????
A ＝2，
B ＝1.
令ω·5π6＋φ＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
且－π2＜φ＜π2，得φ＝－π3，
所以f (x )＝2sin ???
?x －π
3＋1. (2)因为函数f (kx )＝2sin ????kx －π3＋1的周期为2π
3， 又k ＞0，所以k ＝3.
令t ＝3x －π
3
，因为x ∈????0，π3，所以t ∈????－π3，2π3，如图：
sin t ＝s 在t ∈????－π3，2π3上有两个不同的解必须满足s ∈????3
2，1，所以方程y ＝f (kx )(k ＞0)在x ∈????0，π
3时恰好有两个不同的解必须满足m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．
阶段质量检测（二） 平面向量
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( ) A ．5 B.13 C.17
D ．13
解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B. 2．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2
D ．－1
解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
3．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且 AD ＝2
AB －3 BC ，则点D 的坐标为( )
A ．(2,16)
B ．(－2，－16)
C ．(4,16)
D ．(2,0)
解析：选A 设D (x ，y )，由题意可知 AD ＝(x ＋1，y －2)，
AB ＝(3,1)， BC ＝
(1，－4)，
∴2
AB －3 BC ＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
∴????? x ＋1＝3，y －2＝14，∴?????
x ＝2，y ＝16.
故选A. 4．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h ，水流的速度为4 km/h.他沿着
垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A ．90 °
B ．30°
C ．45°
D ．60°
解析： 选D 如图，用 OA 表示水速，
OB 表示某人垂直游向对岸的速
度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .
于是tan ∠AOC ＝| AC ||
OA |＝|
OB || OA |＝|v 静||v 水|
＝3， ∴∠AOC ＝60°，故选D.
5．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且
DC
＝2 BD ， CE ＝2 EA ， AF ＝2 FB ，则 AD ＋ BE ＋ CF 与
BC
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A ∵ AD ＋ BE ＋ CF ＝( AB ＋ BD )＋( BA ＋
AE )＋( CB ＋ BF )
＝13 BC ＋13
AC ＋????
CB ＋13 BA ＝13 BA ＋13 BC ＋13 AC ＋ CB ＝－13
BC ， ∴( AD ＋ BE ＋
CF )与 BC 平行且方向相反．
6．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
解析：选C 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．
7．已知平面上直线l 与e 所在直线平行且e ＝???
?－45，3
5，点O (0,0)和A (1，－2)在l 上的射影分别是O ′和A ′，则O A ''
＝λe ，其中λ等于( )
A.115 B ．－115 C ．2 D ．－2
解析：选D 由题意可知|O A '' |＝|OA |cos(π－θ)(θ为OA
与e 的夹角)．
∵O (0,0)，A (1，－2)，∴OA
＝(1，－2)．
∵e ＝????－45，35，∴OA ·e ＝1×????－45＋(－2)×35
＝－2＝|OA |·|e |·cos θ，∴|OA |·cos θ
＝－2.
又∵|O A ''
|＝|λ|·|e |，∴λ＝±2.
又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故选D. 8．在△ABC 中，有下列四个命题：
①AB －AC ＝BC ；
②AB ＋BC ＋CA
＝0；
③若(AB ＋AC )·(AB －AC )＝0，则△ABC 为等腰三角形；
④若AC ·AB
>0，则△ABC 为锐角三角形．
其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②③④
解析：选C ∵AB －AC ＝CB ＝－BC ≠BC ，∴①错误．AB ＋BC ＋CA ＝AC
＋CA ＝AC
－AC ＝0，∴②正确．由(AB ＋AC )·(AB －AC )＝2AB －2AC ＝0，得|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形，③正确．AC ·AB >0?cos 〈AC ，AB
〉>0，
即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝ 25＋9－10×1×3×???
?－1
2 ＝7. 答案：7
10．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN
＝x AB ＋y AC ，
则x ＝________，y ＝________.
解析：∵AM ＝2MC
，∴AM ＝23AC .
∵BN ＝NC ，∴AN ＝12
(AB ＋AC )，
∴MN ＝AN AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC
＝12AB
－16
AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ，
∴x ＝12，y ＝－16.
答案：12 －16
11．已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c·a ＝c·b ＝－1，则|c |＝________，|a －2b ＋3c |＝________.
解析：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则c ·a ＝x ＝－1，c·b ＝y ＝－1，所以c ＝(－1，－1)，|c |＝ 2.所以a －2b ＋3c ＝(－2，－5)，所以|a －2b ＋3c |＝(－2)2＋(－5)2＝29.
答案：2
29
12．若向量a 与b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a －b )⊥a .则向量a 与b 的夹角等于________，|a ＋b |＝________.
解析：因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝a 2－a·b ＝0，所以a·b ＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝
a·b |a||b|＝
22×2＝22
，所以〈a ，b 〉＝π
4.因为|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2×2＋4＝10，所以|a ＋b |
＝10.
答案：π
4
10
13．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ，若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝
3
2
，则向量f (e 1，e 2)的模为________，向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． 解析：∵e 1·e 2＝
3
2
，且e 1，e 2均为单位向量，∴向量e 1与e 2的夹角为30°， ∴f (e 1，e 2)＝e 1cos 30°－e 2sin 30°＝32e 1－1
2
e 2， ∴|
f (e 1，e 2)|＝ ???
?32e 1－12e 22
＝
34e 21－32e 1·e 2＋14e 22＝12
. ∵向量e 1与e 2的夹角为30°，∴向量e 2与－e 1的夹角为150°， ∴f (e 2，－e 1)＝e 2cos 150°＋e 1sin 150°＝12e 1－3
2e 2，
∴f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝
????32
e 1－12e 2·????12e 1－32e 2＝34e 21－e 1·
e 2＋34e 22＝0， 故向量
f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π
2.
答案：12 π
2
14．已知向量AB 与AC 的夹角为120 °，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC
，且AP ⊥BC
，则实数λ的值为________．
解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC
＝0，
即(λAB ＋AC )·(AC
－AB )＝－λAB 2＋AC 2＋(λ－1)·AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×???
?－1
2＝0，解得λ＝7
12
. 答案：
712
15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，
P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ ＝λDC ，CP
＝
(1－λ)CB
，则AP ·AQ 的取值范围是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,1)，C (1,1)．设
Q (m ，n )，由DQ ＝λDC
得，(m ，n －1)＝λ(1,0)，即m ＝λ，n ＝1.又
B (2,0)，设P (s ，t )，由CP ＝(1－λ)CB
得，(s －1，t －1)＝(1－λ)(1，
－1)，即s ＝2－λ，t ＝λ，所以AP ·AQ ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2
＋3λ，λ∈[0,1]．故AP ·AQ ∈
[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)平面内有向量 OA ＝(1,7)， OB ＝(5,1)，
OP ＝(2,1)，点M 为
直线OP 上的一动点．
(1)当 MA ·
MB 取最小值时，求 OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．
解：(1)设
OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，
∴向量 OM 与 OP 共线，又
OP ＝(2,1)．
∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .
∴ OM ＝(2y ，y )．又 MA MA ＝
OA － OM ， OA ＝(1,7)， ∴
MA ＝(1－2y,7－y )．
同理 MB ＝
OB － OM ＝(5－2y,1－y )．
于是 MA ·
MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝20
2×5
＝2时， MA ·
MB 有最小值－8，此时 OM ＝(4,2)． (2)当
OM ＝(4,2)，即y ＝2时， 有 MA ＝(－3,5)，
MB ＝(1，－1)，
| MA |＝34，|
MB |＝2， MA ·
MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos ∠AMB ＝ MA ·
MB | MA || MB |
＝－834×2＝－41717.
17．(本小题满分15分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，
满足2 AC ＋
CB ＝0，
(1)用 OA ， OB 表示 OC .
(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．
解：(1)因为2 AC ＋
CB ＝0，
所以2( OC － OA )＋( OB －
OC )＝0， 2 OC －2 OA ＋ OB －
OC ＝0，
所以 OC ＝2 OA － OB .
(2)证明：如图，
DA ＝ DO ＋ OA ＝－12
OB ＋ OA ＝12
(2
OA － OB )． 故 DA ＝12
OC .即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．
18．(本小题满分15分)
如图，平行四边形ABCD 中， AB ＝a ，
AD ＝b ，H ，M 分别是
AD ，DC 的中点，F 使BF ＝1
3
BC .
(1)以a ，b 为基底表示向量 AM 与
HF ；
(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求 AM ·
HF . 解：(1)连接AF ，由已知得 AM ＝ AD ＋DM ―→＝1
2
a ＋
b .
∵ AF ＝ AB ＋ BF ＝a ＋13
b ，
∴ HF ＝HA ―→＋ AF ＝－12b ＋????a ＋13b ＝a －1
6
b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×????－1
2 ＝－6，
从而 AM ·
HF
＝????12a ＋b ·????a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16
|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113
. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中， AB · AC ＝0，|
AB |＝12，| BC |＝15，l 为线段
BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点．
(1)求 AD ·
CB 的值；
(2)判断 AE ·
CB 的值是否为一个常数，并说明理由．
解：(1)∵ AB ·
AC ＝0，∴AB ⊥AC .
又|
AB |＝12，| BC |＝15，∴| AC |＝9.
由已知可得 AD ＝12( AB ＋
AC )， CB ＝ AB － AC ，
∴ AD ·
CB ＝12( AB ＋ AC )·( AB － AC ) ＝12
( 2
AB － 2AC ) ＝12(144－81)＝632
. (2) AE ·
CB 的值为一个常数． 理由：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，
∴ DE ·
CB ＝0. 故 AE ·
CB ＝( AD ＋ DE )· CB ＝ AD · CB ＋ DE · CB ＝ AD · CB ＝632. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈???
?0，π
2. (1)若 AB ⊥a ，且|
AB |＝5| OA |，求向量 OB ；
(2)若向量 AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求 OA ·
OC . 解：(1)因为 AB ＝(n －8，t )，且
AB ⊥a ，
所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t .
又|
AB |＝5| OA |，
所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8.
所以
OB ＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为 AC ＝(k sin θ－8，t )，
AC 与a 共线，
所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ????sin θ－4k 2＋32k ， 当k >4时，1>4
k >0，
所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32
k
；
由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π
6，故 OC ＝(4,8)，
所以 OA · OC ＝8×4＋8×0＝32.
阶段质量检测（三） 三角恒等变换
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α是第二象限角，且cos α＝－3
5，则cos ????π4－α的值是( ) A.2
10
B ．－
210
C.7210
D ．－7210
解析：选A 由题意，sin α＝4
5
，
所以cos ????π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 2．函数f (x )＝sin x －cos ????x ＋π
6的值域为( ) A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]
D.??
?
?
－
32，
32 解析：选B f (x )＝sin x －????cos x cos π6－sin x sin π
6 ＝sin x －32cos x ＋1
2
sin x ＝3
???
?32sin x －12cos x
＝3sin ????x －π6， ∵x ∈R ，∴x －π
6∈R ，
∴f (x )∈[]－3，3. 3．设a ＝2
2
(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )
A ．c B ．b C ．a D ．b 解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17° ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝cos 26°＝sin 64°，