第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
第九章 欧几里得空间习题解答 P394.1.1 (,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=?====正定非负性证得 由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积 ( )111 11 61P394.1.2,(006);19,,P394.1.2 |(,)|||||(,)|i i j ij i j n n n ij i j i j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====?? ? ? == ? ? ??? ∴≤=∴--≤∑∑∑∑L L L Q 的度量矩阵即为A 不等式为|() 393.2P ①, α=(2,1,3,2), β =(1,2,-2,1) |||,)0,,2 αβαβαβπ αβ∴====∴⊥∴= 〈〉 393.2P ②, α=(1,2,2,3), β =(3,1,5,1) |||6,(,)18 (,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴==== 393.2P ③, α=(1,1,1,2), β =(3,1,-1,0) ||||(,)3 ,arc 700'30''38 αβαβαβ===∴==?〈〉 P393. 3 ||||||αβαβ+≤+Q
(,)|||()()||||| (,)(,) d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ = P393.4在4 R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交 解设所求 2123412341234123 44123(,,,)1,00230 1 1111111 111111102000 1003,211301310 0314,0,1 4i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=??? ?--+=????+++=? ???-????-- ? ? ? ? ? ?--→-→= ? ? ? ? ? ?+ ? ?????? ===-= -∑则且与各向量的内积为0得令得 ,0,1,3),() -单位化 393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==L L 而是一个基 1 1 (,)(,)(,)0. 0. n n i i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有 393.5P ②证，Q 12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==L 12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==L 由第①小题：12120,γγγγ-==故 P393.6 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε?? ? =-- ? ?--?? Q 而1232211212,,3122ααα?? ?-- ? ?--?? 是正交矩阵,所以是标准正交基
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
第9章欧几里得空间 9.1复习笔记 一、定义与基本性质 1．欧几里得空间定义 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质： （1）（α，β）＝（β，α）； （2）（kα，β）＝k（α，β）； （3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）； （4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0. 这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间． 2．长度 （1）定义 非负实数称为向量α的长度，记为|α|． （2）关于长度的性质 ①零向量的长度是零， ②|kα|＝|k||α|， ③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1 α α 就是一个单位向量，通常称此为
把α单位化． 3．向量的夹角 （1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有 |（α，β）|≤|α||β| 当且仅当α，β线性相关时，等号才成立． （2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为 （3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β． 零向量才与自己正交． （4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2． 4．有限维空间的讨论 （1）度量矩阵 设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得 a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）， 显然a ij＝a ji，于是
利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY， 其中 分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵． （2）性质 ①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的． ②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的． 二、标准正交基 1．正交向量组 欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组． 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组． 2．标准正交基
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
习题5. 1 1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 2．全体正实数R + , 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈其中 判断R + 按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 A B AB BA ⊕=- 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间. 习题 1．讨论22P ?中 1234111111,,,111111a a A A A A a a ???????? ==== ? ? ? ????????? 的线性相关性. 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 1234010011001111ααααα?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?-?????????? 2111，=，=，=，3010 2212342347P ααααα??????????? = ? ? ? ? ?-?????????? 110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 4．已知3R 的两组基 （Ⅰ）： 123111ααα?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 11=，=0，=0-11
（Ⅱ）：123121βββ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 23=，=3，=443 （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ?? ? ? ??? 1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1； （3） 已知向量123123,,,,,βββββααα?? ? ? ???1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ. 5．已知P [x ]4的两组基 （Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，， （Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ). 习题 证明线性方程组 12345123451 234536420 22353056860 x x x x x x x x x x x x x x x +--+=?? +--+=??--+-=? 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构. 习题 1． 求向量()1,1,2,3α=- 的长度. 2． 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离. 3．求下列向量之间的夹角 （1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,
第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
习题与复习题详解线性 空间高等代数 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
习题5. 1 1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R ++?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈, 所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλ μλλμ?? ==== ?? ? ;
(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间. 答 否. 121123123345?????? ? ? ??????? 例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭. 习题 1．讨论22P ?中 的线性相关性. 解 设11223344x A x A x A x A O +++=, 即1234 1 234 12341234 00 ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=??+++=??+++=??+++=? . 由系数行列式3111111 (3)(1)111111 a a a a a a =+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++
高等代数习题 第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)
(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数 全体整数 全体有理数 b a b a+ → |) , ( 4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里 ， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; . 1．最小的数环是 ，最小的数域是 。 2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??= 3.求用2 2x x -+除4()25f x x x =-+的商式为 ，余式为 。 4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是 。 5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最大公因式，则满足 而(f(x),g(x))是指__________________. 7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ， 则=))(),((x g x f ____________。 8、设[] (),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是 。 9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。 10、()f x 没有重因式的充要条件为 。 11、()42243f x x x x =+--有无重因式 。 12、()43 23f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为 。 13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是一个整系数多项式，当满足 _______________________________________________________________________________ ()f x 在有理数域上是不可约的. 2n x +在有理数域上是否可约 _________________. 14、在n 阶行列式中，1122n n i j i j i j a a a 这一项前的符号为__________________. 15. =---3 81141102 _________________。 1. 设V 是数域Ω上的n 维向量空间, 1,,s u u V ∈…线性无关, 1,,t w w V ∈…, 这 里s t n +=. 对每个{1,2,,}i t ∈…, 记 {11111 [,,,], [,,,,,,,,].i s i i s i i t V u u w W u u w w w w ?+==………… 假设对每个{1,2,,}i t ∈…, 有dim 1i V s =+, 且对任意的{1,2,,}i j t ≠∈…, 有i j W W ≠. 证明: 11,,,,,s t u u w w ……恰是V 的一个基底. 2. 设V 是数域Ω上的n 维向量空间， σ是V 上的线性变换，设 Im {()|}, Ker {|()0},x x V x V x σσσσ=∈=∈= 证明存在正整数k 使得Im Ker .k k V σσ=⊕ 3. 设V 是复数域 上的n 维向量空间, σ,τ均是V 的线性变换, 假设σ,τ的特征多项式相同, 且σττσ=. 若V 可分解成σ的一维不变子空间的直和, 而τ的每个特征子空间都是一维的, 则对任意的u V θ≠∈, 有u 是σ的特征向量当且仅当u 是τ的根向量. 4. 设σ是欧氏空间V 上的线性变换，证明σ是正交变换当且仅当对V 的任意子空间S 均有() ().V S S σσ⊥⊥=⊕ 5. 设ξ是n 维欧氏空间V 上的一个双线性函数, 那么存在唯一的,p q ∈ , 使得在V 的适当基底1,,n u u …下, 对任意的11n n u a u a u V =++∈ , 有 22 2211(,)p p p q u u a a a a ξ++=++??? . 高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“V”，错的打“X” ；每小题1分, 共10分） 1、p（x）若是数域F上的不可约多项式，那么p（x）在F中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （） 3、实二次型f（x「X2， ,X n）正定的充要条件是它的符号差为n。（） 4、W x1,X2,X3 X i R,i 1,2,3;x1 x? X3 是线性空间R3的一个子空间。（） 5、数域F上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数 和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根°的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为矩阵。 10、若1, 2, , n是欧氏空间V的标准正交基，且关于标准正交基的矩阵为实对称 n X i i，那么 n 2 X i 、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后 面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是( 3、设矩阵A 的秩为r(r >1)，那么( 4、设 f x 1, x 2, ,x n 为 n 元实二次型，则 f x 1,x 2 , ,x n 负定的充要条件为( ① 负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n ； ④f 的秩 =n o 1 分，共 10 分) ① f n x ,g n n x f x ,g x ; ② f 1, f 2, n 1 f i , f j 1, i j,i, j 1,2, ,n ; f x g x ,g x ; ④若 f x , g x 1 f x g x , f x 2、设 D 是 个 n 阶行列式，那么( ① 行列式与它的转置行列式相等； ② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③ 若 D 0，则 D 中必有一行全是零； ④ 若 D 0，则 D 中必有两行成比例。 ①A 中每个s(s v r)阶子式都为零; ② A 中每个 r 阶子式都不为零； ③A 中可 能存在不为零的 r 1阶子式; ④ A 中肯定有不为零的 r 阶子式。高等代数练习题
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