矩形波导中传播模式的研究

矩形波导中传播模式的研究

矩形介质光波导作为波导光学系统最基本的单元之一，是研究光电器件以及波导传播技术等课题的核心内容。为研究矩形介质波导中的传播模式，本文将从平板介质波导入手，运用电磁场基本理论，结合边界条件求解麦克斯韦方程组，得到光场传播模式的表达式，模的传播常数以及截止条件等相关参数。再以此为基础，分别以马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法在不同电磁波模式下分析比较矩形介质波导，并结合MMI耦合器分析单模和多模中的模场分布。最后使用Matlab绘制传播曲线并且基于BPM算法对不同条件的矩形波导进行模拟，分析并比较其传播模式。

1.1 引言

随着为微纳加工工艺技术的不断提高，晶体管的特征尺寸越来越小，单片集成的晶体管数目越来越多，由此带来的金属互联问题、漏电流问题以及散热问题难以解决。紧靠减小晶体管尺寸、提高工作频率的手段提高处理器性能的方式已遇到瓶颈[1]。光具有高传播速度、高宽带、并行性等本征的特质，使得光非常适用于海量数据传输处理等领域，研究并开发以此为核心的新型信息处理技术已成为普遍共识。而随着光通讯正在朝着高速率大容量的方向发展，在SOI材料上制备光波导是技术发展的必然趋势。在此背景下，研究矩形光波导中的传播模式是尤为重要的[2]。

本课题中的矩形波导是指由半导体材料制成的，具有矩形的波导芯层以及包围着芯层但折射率更低的包层结构，可以使光限制在芯层内传播的器件。本课题主要分析矩形光波导中存在的传播模式以及各种模式的传播特性。在第二章中，首先对平板波导理论进行推导，分析了平板波导中单模和多模条件。第三章中运用第二章中的关于平板波导的相关知识，分别在马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法下对矩形波导进行计算。前两者给出了不同区域内的两种光场分布重点讨论在有效折射率法矩形波导中可以存在的模式同波导横向长度和材料的折射率之间的关系以及不同模式下的场分布，并结合MMI（多模干涉）耦合器对单模和多模的模场分布进行具体分析。为了验证理论的正确性，我们拟基于BPM 算法对上述各种情况进行模拟绘图。

第二章 平板波导

2.1平板波导介绍

2.1.1平板波导的结构

平面光波导是制作集成光学器件和半导体激光器的关键器件。一般来说，矩形光波导是由矩形芯层和包围着芯层且折射率更低的包层组成的，因此三维分析对于考察矩形波导的传输特性是十分必要的。然而严格的三维分析通常需要大量数值计算而且不能直观的解决问题。因此本文首先对二维平板波导进行分析，在得到对光波导的基本理解后，以此为基础对三维矩形波导进行近似分析。

平板波导是许多半导体光电子器件与集成光学的工作基础，异质结半导体激光器和发光二极管的工作原理即是利用异质结形成的光波导效应将光场限制在有源区并延输出方向传播。如图（2.1）所示为Ga 1?x Al x AS/GaAs 双异质结激光器作为对称平板波导示意图[3]。

x z GaAs 有源区

P-Al x Ga 1?x As N-Al x Ga 1?x As

n 1 n 0

n 0 X=0 x=-d/2 x=d/2 图2.1 Ga 1?x Al x AS/GaAs 双异质结激光器示意图

2.1.2电磁场理论

光波在介质中的传播可以用麦克斯韦方程组的微分形式表示

?×E=??B

?t

(2.1a)

?×H=J+?D

?t

(2.1b)

??B=0(2.1c)

??D=ρ

(2.1d)

其中E、D、B、H、J、ρ分别代表电场强度、电位移矢量、磁感应强度、磁场强度、电流密度和电荷密度。

由于E和D、H和B、J和E之间存在以下关系

D(r)=εoεr??? (r)?E(r)(2.2a)

B(r)=μ0μr??? (r)?H(r)(2.2b)

J=σE(2.2c) 其中εo、μ0分别为真空中的介电常数和导磁率。εr??? (r)、μr??? (r)分别是介质的相对张量介电常数和相对张量导磁率，σ为介质电导率。对麦克斯韦方程组进行简化:假设介质均匀且各向同性；不考虑色散效应；近似相对导磁率μr=1,突变电磁场下电阻率为无穷大；忽略传导电流密度J f。由此可得：

?×E=??B

?t =?μ0?H

?t

(2.3a)

?×H=?D

?t =εrε0?E

?t

(2.3b)

??H=0(2.3c)

??E=0(2.3d) 求（2.3.b）的旋度并利用（2.3.a）有

?2E=μ0εrε0?2E

?t2

(2.4) 同理可得

?2H=μ0εrε0?2H

?t2

(2.5) 上式称为波动方程，其中?2称为拉普拉斯算符，表示为：

?2=?2

?x +?2

?y

+?2

?z

(2.6)

对于E，波动方程（2.6）可分解为三个独立的标量波动方程：

?2E x=μ0εrε0?2E x

?t2

(2.7a)

?2E y=μ0εrε0?2E y

?t2

(2.7b)

?2E y=μ0εrε0?2E y

?t2

(2.7c)

对H 也有类似的结果，这里只讨论电场波动方程的解。

假设光波的电矢量是沿y 方向偏振沿z 方向传播的平面电磁波。则E =E y ，E x =E z =0。E y 以角频率ω=2πν在z 方向做周期性变化。由于只存在z 方向的空间变化，?/?x=?/?y=0。由式（2.7）可得到

E y (z,t )=E y (z )exp (jωt) (2.8)

将式（2.8）带入（2.4）可得

?2E x

?x 2=?β2E y (2.9)

其中β2=ω2μ0εr ε0

则波动方程解为：

E y (z,t )=Acos(ωt ?βz) (2.10)

与之垂直的磁场分量H x 可由式（1.2.b ）带入（2.5）得到：

H x (z,t )=(εr ε0ωA)cos(ωt ?βz) (2.11)

2.2平板介质波导的射线分析法

2.2.1平板波导的相关参数

光波导由芯层和包层（或衬底）组成，其中芯层是光被限制住的区域，而包层包围着芯层。芯层的折射率n 1比包层的折射率n 0高，因此光波被全内反射限制在芯层。如图（2.2）所示：

2a x 图2.2 平面波导的结构示意图

如图（2.3），异质结面的全内反射条件由公式n 1sin (π2??)≥n 0给出，又由

于角?与入射角θ有如下关系sinθ=n1sin(π

2

??)≤√n12?n02,我们得到了全内反射的精确条件(2.12)

θ≤sin?1√n12?n02≡θmax.(2.12)

由于芯层和包层的折射率差一般为n1?n2=0.01，因此θmax可以近似表示为θmax?√n12?n02.

θmax表示波导可以接受的最大入射角并被称作数值孔径（NA）。

图2.3 光波导的基本结构和折射率分布

n0和n1的相对折射率差定义为

?=n12?n02

2n12?n1?n0

n1

.(2.13)

?通常表示为百分比的形式。数值孔径NA与相对折射率差?的关系可以表示成

NA=θmax?n1√2?. (2.13)

2.2.2 波导模式的形成

我们计算出了模式限制的方式并且推算出角?不能超过临界角。但即使?角比临界值小，也并不是任意角度的光线都可以在波导中传播。通过电磁波分析可知每一个模式都和一个分立的传播角度相关。下面我们假设以倾斜角?沿着z方向传播的一平面波，如图（2.4）所示[4]，平面波的相位波前与光束方向垂直。芯层中光的波长以及波数分别为λ/n1 和kn1(k=2π/λ)，其中λ是真空中的光波长。Z方向和x方向（横向）的传播常数表示为

β=kn1cos?.(2.14)

κ=kn1sin?.(2.15)

S

图2.4 波导中的光线和等相面 折射率为

r =

A r A I =n 1sin?+j √n 12cos 2??n 02n 1sin??j √n 1cos 2??n 0 (2.16)

图2.5 平板波导异质界面的全反射

若我们将复折射率r 表示成r =exp (?jΦ)，相移Φ的大小为

Φ=?2tan ?1√n 12cos 2??n 0

2n 1sin?=?2tan ?1√2?

sin 2??1 (2.17) 其中用到了（2.13）的结论，上面提到的全反射中的相移被称作古斯-亨森相移[5]。

下面考虑图（2.5）中同属一个平面波的两束光的情况[6]。PQ 段光线从P 点传播到Q 点过程中没有发生反射，而RS 段光线在从R 传播到Q 的过程中经过了两次反射(分别在顶部和底部的异质结界面)。考虑到P 点、R 点处于同一波前，Q 点、S 点处于同一波前，PQ 和RS 的光程差（包括两次全反射引起的古斯-亨森相移）应该相等或者相差2π的整数倍。由于QR 两点的距离为2a/tan??2atanφ,PQ 两点的距离应表示为

l 1=(2a sin??2atan?)cos?=2a (1

sin??2sin?). (2.18)

同样的，RS 两点的距离可表示为

l 2=2a sin?. (2.19)

由PQ 和RS 的光程匹配条件可得

(kn 1l 2+2Φ)?kn 1l 1=2mπ (2.20)

其中m 为常数。将（2.17）至（2.19）带入（2.20）可得传播角的条件为

tan (kn 1asin??mπ2)=√2?

sin 2??1. (2.21) 由上式可以看到，光的传播角是分立的且由波导的结构(包层半径a ，折射率n 1，折射率差?)以及光源的波长λ（波数为k =2π/λ）决定。满足式（2.21）中的光场称为模式，当m=0时传播角度最小，该模式称为基模。另一方面，角度越大，存在的模式越多（m ≥1）。

（a ） 基模（m=0）

（b ） 高阶模（m=1）

图2.6 （a ）基模的模式形式 （b ）高阶模的模式形式

图(2.6)表示的是基模以及高阶模的形式，其中实线代表正波阵面，虚线代

表负波阵面。当两个极性相同的波阵面相遇时，该点的电场振幅最大。相反的，当正负波阵面相遇在异质结面时，该点的振幅由于互相抵消而接近于零。因此在x方向场的贡献是一个驻波而在z方向波长为λp=(λ/n1)/cosφ=2π/β周期性变化的波。

由于n1sin?=sinθ≤√n12?n02（2.12）给出的sinφ≤√2?。我们给出参数

ξ=

√2?

(2.22)

归一化为1，则（2.21）中的相位匹配条件可重写为

kn1a√2?=cos?1ξ+mπ/2

ξ

(2.23)

方程的左边被称作归一化频率，其表达式为

ν=kn1a√2?(2.24) 方程（2.23）描述了ν和ξ的关系，被称作传播方程。如图（2.7）所示，对于

每一个模式数m，曲线η=cos?1ξ+mπ

2

ξ

与直线η=ν的交点给出了其参数ξm，其传

播系数βm可由公式（2.14）（2.22）得到。

由图（2.7）可看出只有当ν<νc=π/2时，才会只有基模存在。换句话说，高阶模被截止了。因此该频率称作截止频率。将截止频率改写成波长形式有

λc=2π

νc

an1√2?(2.25)λc称作截止波长。

图2.7 平板波导的u-w关系曲线

2.3平板介质波导的波分析方法[6]

2.3.1基本方程的推导

为了分析平板介质波导，我们将介电常数ε=ε0n2与磁导率μ=μ0带入麦克斯韦方程中得到

?×E?=?μ0eH?

et

(2.26.a)

?×H?=ε0n2eE?

et

(2.26.b)

其中n为折射率。平面波传播模式为：

E?=E(x,y)e j(wt?βz)(2.27.a)

H?=H(x,y)e j(wt?βz)(2.27.b) 将（2.27）带入（2.26）我们得到下面电磁场在各方向分量的方程组：

{eE z

ey

+jβE y=?jωμ0H x

?jβE x?eE z

ex

=?jωμ0H y

eE y ex ?eE x

ey

=?jωμ0H z

(2.28)

{eH z

ey

+jβH y=jωε0n2E x

?jβH?eH z

ex

=jωε0n2E y

eH y ex ?eH x

ey

=jωε0n2E z

(2.29)

平板光波导中电场与磁场不含y方向分量，因此我们令?E/?y=0以及?H/?y=0。将上式带入（2.28）和（2.29）中即可得到两个独立的电磁场模式，TE模与TM模。特别的，TE模满足下面的方程：

d2E y

dx

+(k2n2?β2)E y=0(2.30a)

H x=?β

ωμ0

E y(2.30b)

H z=j

ωμ0dE y

dx

(2.30c)

E x=E z=H y=0(2.30d)

垂直分量E y与H z在两个不同介质的边界处应连续，如（2.30d）所示，电场在z方向分量为零（E z=0）。由于电场分布在与z轴垂直的平面，该电场称为横电模（TE mode）。

横磁模（TM mode）满足下列方程组

d dx (1

n

dH y

dx

)+(k2?β2

n

)H y=0(2.31a)

E x=β

ωμ0n2

H y(2.31b)

E z=?j

ωε0n2dH y

dx

(2.31c)

E y=H x=H z=0(2.31d)

如方程（2.31d）所示，磁场在z方向的分量为零。由于磁场分量方向垂直于z轴，此时的电磁场称作横磁模。

2.3.2 TE与TM模传播方程[7][8]

通过求解方程（2.30）（2.31）可以得到TE与TM模的传播系数与电磁场分布。下面给出

求解传播方程（或称特征值方程）以及电磁场分布的理论。我们假设平板波导在折射率均匀的平板波导中传播，又由于电磁场应当被限制在芯层且在包层指数式衰减，则电磁场分布可以表示为下面的形式：

E y={Acos(κa??)e?σ(x?a) (x>a)

Acos(κa??) (?a

Acos(κa??)eξ(x+a) (x

(2.32)

其中，x方向上芯层和上下包层的波数κ，σ，ξ的表达式分别为

{κ=√k2n12?β2

σ=√β2?k2n02

ξ=√β2?k2n s2

(2.33)

方程（2.32）中E y在包层与芯层的界是连续的。运用另一边界条件：H z在边界上连续。由于H z的值可由（2.30c）确定，其边界条件可改写为dE y/dx的连续性条件。

dE y dx ={

?σA cos(κa??)e?σ(x?a) (x>a)

?κA sin(κx??) (?a≤x≤a)

ξA cos(κa+?)eξ(x+a) (x

(2.34)

由边界条件dE y/dx在x=±a处连续可得下面的方程：

{κA sin(κx+?)=ξA cos(κa+?)

σA cos(κa??)=κA sin(κx??)(2.35)

消去常数A，得到：

tan(u+?)=w

u

(2.36)

tan(u??)=w′

u

(2.37) 其中

{u =κa

w =ξa w ′=σa

(2.38)

由（2.36）(2.37)我们得到色散方程如下：

u =

mπ2+12tan ?1(w u )+12tan ?1(w ′u )(m =0,1,2,3,…) (2.39) ?=mπ2+12tan ?1(w u )?12

tan ?1(w ′u )(m =0,1,2,3,…) (2.40) 波数u ，w 和w ′并不是独立的，使用方程（2.33）和（2.38）可得它们的关系如下面的方程所示[9]

u 2+w 2=k 2a 2(n 12?n s 2)≡v 2 (2.41)

w ′=√γv 2+w 2 (2.42) γ=n s 2?n 0

2n 12?n s 2 (2.43) 其中，v 是（2.42）中的归一化频率，γ表征包层折射率的不对称度。一旦光波导中的几何参数与光信号确定了，v 和γ也随之确定。因此，通过在（2.41）(2.42)限制下解特征值方程（2.39）(2.40)可以得到u ，w ，w ′。如图（2.8）所示，在不对称波导（n s >n 0）中，在归一化频率v 的定义中出现的n s 被用作包层反射系数。当归一化传播系数β/k 与n s 一致时，截止频率v 即可确定。方程（2.41）（2.42）（2.43）是TE m 的特征传播方程或特征值方程，当光源或光波导的几何参数确定了，换句话说即归一化频率v 与不对称参数确定了，那么传播常数β即可由上面的方程确定。由方程（2.32）（2.33）可知，被限制在芯层光场的主要部分的波数κ是一个实数。那么应该满足下面的条件：

n s ≤βk ≤n 1 (2.44)

β/k 是一个与尺寸无关的量且是平面波本身的折射率，通常表示为：

n e =βk (2.45)

当n e

b =n e

2?n s 2

n 12?n s 2 (2.46) 由方程（2.44）波导模式的条件为

0≤b ≤1 (2.47)

截止条件为（2.44）

b =0 (2.48) b 称为归一化传播常数，我们将方程（2.39）用归一化传播频率v 和归一化

传播系数b进行改写，得到：

2v√1?b=mπ+tan?1√b

1?b +tan?1√b+γ

1?b

(2.49)

同时方程（2.35）改写为

{u=v√1?b w=v√b

w′=v√b+γ

(2.50) 当n0=n s时为对称波导，我们得到γ=0，方程（2.39）(2.40)化简为

u=mπ

2+tan?1(w

u

)(2.51)

?=mπ

2

(2.52) 方程（2.51）也可以表示为

w=u tan(u?mπ

2

)(2.53) 或

v√1?b=mπ

2+tan?1√b

1?b

(2.54)

对称波导中u和w的关系已经给定，且对于一个给定的归一化频率v，波数u和w也满足相应的条件。我们将其绘制在图（2.8）中。

图2.8 平板波导中的u-w关系

如图所示，当v=4时，传播方程的解即可视作一个半径为4的半圆同u-w 关系图像的交点。比如说基模的波数u，w可以通过求半圆和m=0图像的交点

得到。使用方程（2.33）和（2.38）可以得到传播常数或者特征值β。由图像可得，当v<π/2时，只存在一个交点，这表示当波导结构与光波长满足不等式v<π/2时只存在一种传播模式。由于当v c=π/2时，对称平板波导中高阶模正好都被截止。v c称为截止频率。可以从m=1的截止条件中得到

{

b=w=0

u=v=π/2(2.55)

由式（2.49），TE模截止频率的一般表达式为：

v c,TE=mπ

2+1

2

tan?1√γ(2.56)

对称波导中不同模式对应截止条件即为

v=m

2

π (2.57) TM模截止频率一般表达式可写成：

v c,TM=mπ

2+1

2

tan?1(n12

n02

√γ)(2.58)

由色散方程的图示解可以获得一个定性值。然而为了获得色散方程的准确解，我们应当使用数值计算法。我们对色散方程进行数值处理以便对图解法进行比较。将色散方程（2.54）该写成下面的形式：

f(v,m,b)=v√1?b?mπ

2

?tan?1√

b

1?b

=0

图（2.9）表示当v=4时f(v,m,b)的图，f=0时的b值即为给定的v值时的归一化传播常数b。

图2.9 特征值方程f（v，m，b）的计算

对于每一个归一化频率v，归一化传播常数b都可以计算出来。图（2.10）表示TE模的v-b关系，称作TE模的色散曲线。模式数通过脚标表示，如TE m和TM m模。

图（2.10）对不对称度的影响进行测量。在对称波导（γ=0）中，对于最小的TE0模式不存在截止频率，但不对称波导（γ≠0）中，TE0模存在截止频率。

图2.10 平板波导中的TE模色散曲线

由于基模不会被截止，故在0

2.4电场能量分布

一旦波导的特征值确定，取任意常数A ，电场分布即可由方程（2.32）确定。能量P 可表示为

P =∫dy ∫12∞?∞(E ×H ?)10?u z dx =∫12(E x H y ??E y H x ?)dx)∞?∞ (2.59) 对于TE 模我们利用（2.30）将（2.59）改写成

p =β2ωμ0∫|E y |2

dx ∞?∞ (2.60) 将（2.32）带入（2.60）中，我们可以得到芯层，衬底和包层的能量分布 P core =βaA 22ωμ0{1+sin 2(u+?)2w +

sin 2(u??)2w }(?a ≤x ≤a ) (2.61a) P sub =βaA 22ωμ0cos 2(u+?)2w (x ≤?a) (2.61b)

P clad =βaA 22ωμ

0cos 2(u??)2w

(x >a ) (2.61c) 总能量P 表示为： P =P core +P sub +P clad =βaA 22ωμ0{1+12w +1

2w ′} (2.62) 常数A 可以由下式决定

A =√2ωμ0P

βa (1+1/2w+1/2w ′) (2.63)

第三章矩形介质波导

3.1 marcatili’s method[10][11]

3.1.1 电磁场分布

矩形波导在x和y方向都对光进行限制，如图（3.1）所示，它是由芯层和折射率较低的包层组成。如果进行严格求解，则需要对九个区域的场函数进行罗列，并利用十二个截面上的电磁场边界条件，求出导模的传播常数和对应的场分布函数。但该方法在数学处理上十分困难，一般只能求出近似解。

本节主要讲述由马卡蒂里为解决三维光波导提出的分析理论。马卡蒂里认为如果模场远离截止频率，光能量将高度集中在芯层，该理论的一个重要假设就是图（3.1）中的阴影部分可以忽略而电磁场可以传播的模式在包层中迅速衰减。因此我们不对阴影部分使用边界条件，使得求解问题大为简化。

图3.1 三维矩形波导

首先考虑主要包含E x和H y的电磁波。根据马卡蒂里的理论，我们令（2.28）和（2.29）中H x=0。则波动方程和电磁场分布方程可以写成：

e2H y ex +e2H y

ey

+(k2n2?β2)H y=0(3.1)

{H x=0

E x=ωμ0

βH y+1

ωμ0n2β

e2H y

ex2

E y=1

ωε0n2βe2H y exey

E z=?j

ωε0n eH y ex

H z=?j

βeH y

ey

(3.2)

另一方面，我们令H y=0，带入方程（2.28）和(2.29)中考虑当E y和H x是电磁波的主要部分的情况。波动方程和电磁场分布写作下面的形式。

e2H x ex2+e2H x

ey2

+(k2n2?β2)H x=0(3.3)

{

H y=0

E x=?1

ωε0n2β

e2H x

exey

E y=?ωμ0

βH x?1

ωε0n2β

e2H x

ey2

E z=j

ωε0n eH x ey

H z=?j

βeH x

ex

(3.4)

满足式（3.1）和（3.2）中的模式称为E pq x模（p和q是整数），E x和H y为电

磁波主要分量。而满足式（3.3）和（3.4）中的模式称为E pq y

模。E y 和H x 是电磁

波的主要分量。下面我们将详细讨论E pq x 模。

3.1.2 E pq x 模和E pq y 模的传播方程 由于图（3.1）中的矩形波导是关于x 轴和y 轴对称的，我们只需讨论区域①-③。我们首先将所求区域满足的波动方程表示为：

H y ={Acos (k x x ??)cos(k y y ?ψ) 区域1

Acos (k x x ??)e ?γx (x?a)cos(k y y ?ψ) 区域2Acos (k x x ??)e ?γy (y?d)cos(k y y ?ψ) 区域3

(3.5)

其中波数k x ，k y ，γx ，γy 和光相位?，ψ满足：

{?k x 2?k y 2+k 2n 12?β2=0 区域1

γx 2?k y 2+k 2n 02?β2=0 区域2?k x 2+γy 2+k 2n 02?β2=0 区域3

(3.6)

和

{?=(p ?1)π2ψ=(q ?1)π2

(3.7) 在这里由于我们采用马卡蒂里的模式定义，整数p 和q 是从1开始计数的。而平板波导的波数是从0开始计数的。由于定义不同，平板波导中允许的最小模式是TE m=0模，它只有一个电场峰值。另一方面，矩形波导中允许的最小模式是E p=1,q=1x 或E p=1,q=1y

，它们在x 方向和y 方向都只有一个峰值。因此在马卡蒂里的模式定义中，整数p 和q 分别代表在x 方向和y 方存在的电场峰值数目。

运用边界条件，即电场E z ∝(1/n 2)?H y /?x 应当在x=a 处连续，磁场H z ∝?H y /?y 应当在y=d 处连续。我们即可得到下面的方程：

k x a =(p ?1)π2+tan

?1(n 12γx n 02k x ) (3.8) k y a =(q ?1)π2+tan ?1(γy

k y ) (3.9) 横向的波数k x ，k y ，γx ，γy 之间的关系由式（3.6）可得：

γx 2=k 2(n 12?n 02)?k x 2 (3.10)

γy 2=k 2(n 12?n 02)?k y 2 (3.11)

k x 可由（3.8）和（3.10）得到，k y 可由式（3.9）和（3.11）确定。传播常数β可由下式确定：

β2=k 2n 12?(k x 2+k y 2) (3.12)

为了计算E pq y的传播方程，我们将磁场H x表示为：

H x={A cos(k x x??)cos(k y y?ψ)区域1

A cos(k x a??)e?γx(x?a)cos(k y y?ψ)区域2

Acos(k x x??)e?γy(y?d)cos(k y d?ψ) 区域3

(3.13)

运用边界条件，磁场H z∝?H x/?x应当在x=q处连续，电场E z∝(1/n2)?H x/?y应当在y=d处连续。我们可以得到下式：

k x a=(p?1)π

2+tan?1(γx

k x

)(3.14)

k y a=(q?1)π

2+tan?1(n12γy

n02k y

)(3.15)

3.2 kumar’s method[12]

在马卡蒂里的理论中，图（3.1）中阴影部分没有严格得满足电磁场和边界条件。换句话说，矩形波导中的混合模式被分成如式（3.8）所示的两个独立的平板波导进行近似分析。当我们将式（3.8）和（3.9）中的E pq x模式同（2.39）和（2.40）的平板波导进行比较可以发现，式（3.8）相当于平板波导中的TM模传播方程（2.39），而（3.9）相当于平板波导中的TE模传播方程（2.40）。

n0

n0

n

n0

2a

E

n1

n0n

2a

E

n1

n0

n0

图3.2 马卡蒂里理论中的矩形波导及其等效的平板波导

库玛尔提出了通过计入图（3.3）阴影部分区域，从而对马卡蒂里理论的精度进行改进的方法。我们将此理论称为库玛尔理论并通过分析矩形波导中的E pq x 模式描述该理论

在库马尔的理论中，矩形波导中的折射率分布表示为：

n2(x,y)=N x2(x)+N y2(y)+O(n12?n02)(3.16) 其中

N x2(x)={

n12/2 |x|≤a

n02?n12/2|x| ≥a

(3.17)

N y2(y)={{

n12/2 |y|≤d

n02?n12/2|y| ≥d

(3.18)

如图（3.3）所示为式（3.17）和（3.18）的折射率分布图。一般来说，芯层

和包层的折射率差很小(n 1≈n 0)，则我们可以得到O (n 12?n 02)≈0.阴影部分的折

射率近似为：

√2n 12?n 02≈n 0

(3.19)

2d 2a

图3.3 库马尔理论中矩形波导折射率分布

因此由式（3.17）和（3.18）得出的折射率和真实的矩形波导折射率分布很接近。但式（3.19）得出的阴影部分的折射率表达式同真实的值仍有一些差异。在该理论中，通过使用微扰理论对其进行修正。

首先我们通过分离变量表示出方程（3.1）E pq x 模的解，

H y (x,y )=X (x )Y (y ) (3.20)

将方程（3.16）和（3.20）带入（3.1），波动方程变成：

d 2X

dx Y +X d 2Y dy +[k 2(N x 2+N y 2)?β2]XY =0 (3.21) 其中无穷小量O (n 12?n 02)可以忽略。将式（3.20）通过XY 分成两部分：一

个是与变量x 有关的量，一个是与变量y 有关的量。结果如下式：

1X d 2X dx +k 2N x 2(x )+1Y d 2Y

dy +k 2N y 2(y )=β2 (3.22) 方程（3.22）的必要条件是对于任意变量x ，y 有：

1X d 2X

dx +k 2N x 2(x )=βx 2 (3.23)

1 Y d 2Y dy 2+k 2N y 2(y )=βy

2 (3.24) 其中βx 和βy 是与x 和y 无关的常数，我们可以得到两个独立的波动方程：

实验二矩形波导TE10的仿真设计与电磁场分析解读

] 实验二、矩形波导TE10的仿真设计与电磁场分析 一、实验目的： 1、熟悉HFSS软件的使用； 2、掌握导波场分析和求解方法，矩形波导TE10基本设计方法； 3、利用HFSS 软件进行电磁场分析，掌握导模场结构和管壁电流结构规律和特点。 二、预习要求 1、《 2、导波原理。 3、矩形波导TE10模式基本结构，及其基本电磁场分析和理论。 4、HFSS软件基本使用方法。 三、实验原理与参考电路 导波原理 3.1.1. 规则金属管内电磁波 对由均匀填充介质的金属波导管建立如图1 所示坐标系, 设z轴与波导的轴线相重合。由于波导的边界和尺寸沿轴向不变, 故称为规则金属波导。为了简化起见, 我们作如下假设： \ ①波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的； ②波导管内无自由电荷和传导电流的存在； ③波导管内的场是时谐场。 图1 矩形波导结构 本节采用直角坐标系来分析,并假设波导是无限长的,且波是沿着z方向无衰减地传输,由电磁场理论, 对无源自由空间电场E和磁场H满足以下矢量亥姆霍茨方程: ` 式中β为波导轴向的波数,E0(x,y)和H0(x,y)分别为电场和磁场的复振幅,它仅是坐标x和y的函数。 以电场为例子，将上式代入亥姆霍兹方程 ,并在直角坐标内展开,即有 (,) (,) j z j z E E x y e H H x y e β β - - ?= ? ? = ?? 式1 220 E k E ?+=

2222 2 2222222222220 T c E E E E k E k E x y z E E E k E x y E k E β????+=+++?????=+-+??=?+=式2 k c 表示电磁波在与传播方向相垂直的平面上的波数,如果导波沿z 方向传播,则 k 为自由空间中同频率的电磁波的波数。 由麦克斯韦方程组的两个旋度式,很易找到场的横向分量和纵向分量的关系式。具体过程从略,这里仅给出结果： 《 从以上分析可得以下结论: ^ （1）场的横向分量即可由纵向分量； （2） 既满足上述方程又满足边界条件的解有许多, 每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性; （3）k c 是在特定边界条件下的特征值, 它是一个与导波系统横截面形状、 尺寸及传输模式有关的参量。 由于当相移常数β=0时, 意味着波导系统不再传播, 亦称为截止, 此时k c =k, 故将k c 称为截止波数。 对于横电模(Ez=0)和横磁模(Hz=0)上式分别可以简化为 TE 模或H 模 ~ TM 模或E 模 3.1.2 矩形波导中传输模式及其场分布 由于矩形波导的四壁都是导体,根据边界条件波导中不可能传输TEM 模,只能传输TE 或TM 模。 % 这里只分析TE 模(Ez=0) 对于TE 模只要解Hz 的波动方程。即 2222()() 4 ()()z z x c z z y c z z x c z z y c H E j E k y x H E j E k x y H E j H k x y H E j H k y x ωμβωμββωεβωε???=-+???? ???=-? ???????=-+???? ???=-+????式2222,,z z x y c c z z x y c c H H E j E j k y k x H H H j H j k y k y ωμωμωμωμ???=-=????? ???=-=???? 式522222 222T c E E E x y k k β????=+???? ?=-?其中 式3 222 c x y k k k =+2222,,z z x y c c z z x y c c E E H j H j k y k x E E E j E j k y k y ωεωεβωμ??? ==-???? ????=-=-???? 式622200 0220z z c z H H k H x y ??++=??式7

矩形波导中电磁波的传播模式

矩形波导中电磁波的传播模式 [摘要] 人类进入21世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发 展，要求人们制造各种高科技的仪器。在电磁学领域，能约束或引导电磁波能量定向传输的传输线或装置是导波系统。．矩形波导适用于频率较高的频段，但当频率足够高的时候，可以使多个波导模式同时工作， 所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究 关键词：矩形波导 TM 波 TE 波 矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银， 它是最常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。为了简化分析，在讨论中我们将波导的良导电体壁近似为理想导电壁。由前面的讨论我们知道，矩形波导中不能传输TEM 波，只能传输TE 波和TM 波。设矩形波导宽为a,高为b,（a>b ）沿Z 轴放置，如图（1）所示。下面分别求解矩形波导中传输的TE 波和TM 波。 1TM 波 对于TM 波，z z E H ,0=可以表示为; z jk z z e y x E z y x E -=),(),,(0 (1) 式中),(0y x E 满足齐次亥姆霍兹方程，故有 0),(),(02 02 =+?y x E k y x E c (2) 采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令 ) ()(),(0y Y x X y x E = (3)

0)()(2 ''=+x X k x X x 将（3）式代入（2）式中，并在等式两边同除以)()(y Y x X 得： 0) ()()()(2 ''''=++c k y Y y Y x X x X (4) 上式中第一项仅是X 的函数，第二项仅是Y 的函数，第三项是与X 、Y 无关的常数，要使上式对任何X 、Y 都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为： 2 ''2 '') ()()()(y x k y Y y Y k x X x X -=-= 这样就得到两个常微分议程和3个常数所满足的方程： (5) 0)()(2 ''=+y Y k y Y y (6) 222y x c k k k += (7) 常微分方程（5）和（6）的通解为 )sin()cos()(21x k C x k C x Y x x += (8) )sin()cos()(43y k C y k C y Y y y += (9) 将（8）式和（9）式代入（3）式，再代入（1）式，就得到z E 的通解为 [][] z jk y y x x z z e y k C y k C x k C x k C z y x E -++=)sin()cos()sin()cos(),,(4321 由矩形波导理想导电壁的边界条件0=E ，确定上式中的几个常数，在4个理想导电壁上，z E 是切向分量，因此有： （1） 在0=X 的波导壁上，由0),,0(==z y x E z 得01=C ； （2） 在0=Y 的波导壁上，由0),0,(==z y x E z 得03=C ； （3） 在a X =的波导壁上，要使0),,(==z y a x E z 有0)sin(=a k x ，从而必须有 πm a k x =，其中 3,2.,1=m 为整数，由此得 a m k x π = （10） （4）在b X =的波导壁上，要使0),,(==z b y x E z 有，0)sin(=b k y 从而必定有πn b k y =，其中 3,2.,1=n 也为整数，由此得

(完整word版)利用Matlab实现矩形波导电磁场分布图的绘制

利用Matlab实现矩形波导电磁场分布图的绘制（附源程序） 通过Matlab 计算并绘出任意时刻金属矩形波导的主模TE10 模的电磁场分布图。波导 尺寸、工作频率及时刻均由外部给定。 A.矩形波导中传输的主模为TE10模。设金属波导尺寸为a*b，TE10模的截止波长为 2*a。其电磁场分量可推导表示如下：?（1-1）上式中各参量如下，λ?（1-2） B.用Matlab画电磁力线的步骤： 1.由外部给定的波导尺寸、工作频率参照（1-2）式计算得到参量。 2.由外部给定的绘图精度，分别确定电场和磁场的坐标点。按照公式（1-1）计算 得到电场、磁场的分量。 3.用quiver3函数，绘制磁场分布。允许图像叠加。 4.用quiver3函数，绘制电场分布。不允许图像叠加。 C.三维的电力磁力线分布效果图

图1 图2 C.附程序清单 rectwavestrct1(22.86,10.16,6,1,9.84*10^9,0.03); %main function rectwavestrct1(ao,bo,d,H0,f,t) %画矩形波导场结构所有计算单位为米输入为毫米 %f l0 工作频率/波长 %lg 波导波长%lc TE10模截止波长 %a b 波导尺寸%c 传输方向这里取为波导波长%d 采样精度%t t时刻的场结构图 a=ao/1000; b=bo/1000;

lc=2*a; %TE10截止频率 l0=3*10^8/f; u=4*pi*10^(-7); if(l0>lc) return; else clf; lg=l0/((1-(l0/lc)^2)^0.5); c=lg; B=2*pi/lg; w=B/(3*10^8); x=0:a/d:a; y=0:b/d:b; z=0:c/d:c; [x1,y1,z1]=meshgrid(x,y,z); %mesh(x1,y1,z1); hx=-B.*a.*H0.*sin(pi./a.*x1).*sin(w*t-B.*z1)./pi; hz=H0.*cos(pi./a.*x1).*cos(w*t-z1.*B); hy=zeros(size(y1)); quiver3(z1,x1,y1,hz,hx,hy,'b'); hold on; x2=x1-0.001; y2=y1-0.001; z2=z1-0.001; ex=zeros(size(x2)); ey=w.*u.*a.*H0.*sin(pi./a.*x2).*sin(w*t-B.*z2)./pi; ez=zeros(size(z2)); quiver3(z2,x2,y2,ez,ex,ey,'r'); xlabel('传输方向'); ylabel('波导宽边a'); zlabel('波导窄边b'); hold off; end %------------------------------------------------------------------End Code----------------------------------

第八章矩形波导复习资料0604要点

第八章 矩形波导 1. 波导中的传播条件：f>fc 或λ<λc 2. 矩形波导能传输TM 波和TE 波，不能传输TEM 波。 3. 矩形波导中：TEmn 模：m 和n 皆可取0，但又不能同时为0 TMmn 模。显然，m,n 皆不可能为0，故最低阶模为TM11 其中：m 表示电磁场沿波导宽边a 分布的半波数的个数，n 表示电磁场沿波导窄边b 分布的半波数的个数。 当m 和n 取非零值时，TMmn 模和TEmn 模具有相同的截止参数，这种现象称为模式简并，相应的模式称为简并模式。例如，TM21模和TE21模是简并模式。 4. 波长 ①工作波长λ：定义：微波振荡源所产生的电磁波的波长。 v f λ= = 若填充空气，则8310/v c m s ===? 若填充r ε 的介质，则v = ②波导波长λg ：在波导内，合成波沿的等相位面在一个周期内所走过的路程定义为波导波长λg 。 2g π λβ = = ③截止波长λc ：电磁波处于能传输与不能传输的临介状态，此时对应的波长称为截止波长，对应的频率叫截止频率,fc.(或定义为：导行波不能在波导中传输时所对应的最低频率称为截止频率，该频率确定的波长称为截止波长。) g λλ >

c c v f λ= = c c v f λ= 5.传播速度 若填充空气，则8310/v c m s ===? ，若填充r ε 的介质，则v = ①相速度vp ：定义 p v ω β = = 或 p g v f λ= p v v > ②群速度vg ：群速度（能速）就是电磁波所携带的能量沿波导纵轴方向（z 轴）的传播速度。 g v = 2p g v v v = g v v < 6.色散现象：传播速度与频率有关的现象 时延失真：波导传输频带内各不同频率的信号传输时间不等，造成信号失真，这种失真称为时延失真。 7. 波阻抗：波导中某种波型的阻抗简称为波阻抗。定义为波导横截面上该波型的电场强度与磁场强度的比值。 TM 波的：x TM y E Z H ==TE 波 : TE Z =

矩形波导模式和场结构分析毕业设计论文

毕业设计（论文）题目：矩形波导模式和场结构分析

目录 第一章绪论 (1) 1.1 选题背景及意义 (3) 1.2 国内外研究概况及发展趋势 (3) 1.3 本课题研究目标及主要内容 (4) 1.4 本章小结 (6) 第二章矩形波导的基本原理 (7) 2.1 导波的一般分析 (7) 2.1.1规则矩形波导内的电磁波 (7) 2.1.2波导传输的一般特性 (8) 2.2 矩形波导的分析 (8) 2.2.1矩形波导电磁场解 (8) 2.2.2矩形波导中的波型及截止波长 (11) 2.3 本章小结 (12) 第三章矩形波导的设计 (13) 3.1 创建矩形波导模型 (13) 3.2 求解设置 (20) 3.3 设计检查和运行仿真 (22) 3.3.1设计检查 (22) 3.3.2运行仿真分析 (23) 3.4 本章小结 (24) 第四章HFSS仿真结果及其分析 (25) 4.1 HFSS软件仿真原理 .............................. 错误！未定义书签。 4.2 HFSS仿真实现 (26) 4.3 仿真结果分析 (32) 4.4 本章小结....................................... 错误！未定义书签。第五章小结与展望 .. (33) 5.1 工作总结 (33) 5.2 工作展望 (33) 参考文献 (33) 致谢 (35) 附录 A 常用贝塞尔函数公式错误！未定义书签。

矩形波导模式和场结构分析 第一章 绪论 1.1选题背景及意义 矩形波导(circular waveguide)简称为矩波导，是截面形状为矩形的长方形的金属管。若将同轴线的内导线抽走，则在一定条件下，由外导体所包围的矩形空间也能传输电磁能量，这就是矩形波导。矩波导加工方便，具有损耗小和双极化特性，常用于要求双极化模的天线的馈线中，也广泛用作各种谐振腔、波长计，是一种较常用的规则金属波导。 矩波导有两类传输模式,即TM 模和TE 模。其中主要有三种常用模式，分别是主模TE 11模、矩对称TM 01模、低损耗的TE 01模。在不同工作模式下，截止波长、传输特性以及场分布不尽相同，同时，各种工作模式的用途也不相同。导模的场描述了电磁波在波导中的传输状态，可以通过电力线的疏密来表示场得强与弱。 本毕业课题是分析矩形波导中存在的模式、各种模式的场结构和传播特性，着重讨论11TE 、01TE 和01TM 三个常用模式，并利用MATLAB 和三维高频电磁仿真软件HFSS 可视化波导中11TE 、01TE 和01TM 三种模式电场和磁场波结构。 1.2国内外研究概况及发展趋势 由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。 英国物理学家汤姆逊(电子的发现者) 在1893 年发表了一本论述麦克斯韦电磁理论的书,肯定了矩金属壁管子(即矩波导) 传输电磁波的可实现性, 预言波长可与矩柱直径相比拟, 这就是微波。他预言的矩波导传输, 直到1936 年才实现。汤姆逊成为历史上第一位预言波导的科学家。这证明科学预言可以大大早于技术的发展, 同时也表明了应用数学的威力。英国物理学家瑞利在1897 年发表了论文, 讨论矩形截面和矩形截面“空柱”中的电磁振动, 它们对应后来的矩形波导和矩波导, 并引进了截止波长的概念。瑞利得到了矩形波导中主模的场方程组,这是雷达中最常用的模式,

矩形波导中场结构模拟实验

实验 矩形波导中场结构模拟实验 一、实验目的要求： 1．通过实验编程及图像动态演示，形象具体的了解电磁波在波导中传播特性。 2．通过编写Matlab 程序，加深矩形波导中电磁波公式推导以及单模电磁波在矩形波导中的传播理解。 二、实验内容： 电磁场本身比较复杂和抽象，是涉及空间和时间的多维矢量场，需要具有较强的空间想象能力来理解它。 1．实验原理： 矩形波导是截面形状为矩形的金属波导管，如图一所示。 波导内壁面位置坐标设为：x=0和x=a ；y=0和y=b 。波导中填充介电常数为ε、磁导率为μ、电导率为σ的媒质，通常波导内填充理想介质（σ=0）。由于波导内没有自由电荷和传导电流，所以传播的电磁波是正弦电磁波。理想导电壁矩形波导中不可能传输TEM 模，只能传输TE 模或TM 模。对于矩形波导中TE MN 模的电场强度E 、磁场强度H 场分量表达式为： (02cos sin j t z x c j n m n E H x y e k b a b )ωβωμπππ???????=???????????? （1） (02sin cos j t z y c j m m n E H x y e k a a b )ωβωμπππ???????=???????????? （2） （3） 0z E =

(02sin cos j t z x c j m m n H H x y e k a a b )ωββ πππ???????=???????????? （4） (02cos sin j t z y c j n m n H H x y e k b a b )ωββπππ???????=???????????? （5） (0cos cos j t z z m n H H x y e a b )ωβππ?????=???????? （6） 其中：ω为微波角频率；m 和n 值可以取0或正整数，代表不同的TE 波场结构模式，称为TE 模，波导中可有无穷多个TE 模式；k c 为临界波束，k c 2=（m π/2）2+(n π/b ）2；β为相 位常数，β= 。 波导中的一个重要参数为截止频率f c ，有 c f = （7） 当工作频率低于截止频率f c 时，电磁场衰减很快，不可能传播很远，所以波导呈现高通滤波器的特性，只有工作频率高于截止频率f c 时电磁波才能通过。具有最低截止频率的模式，成为最低模式，也称为主模，其他模式都成为高次模式。在矩形波导内传输 的所有模型中，TE 10模为主模。 2． 实验步骤： 设置矩形波导宽边a =22.86mm ，窄边b =10.16mm ，波导内媒质为空气，当工作频率f 为9.84GHz 时，波导中只能传输TE 10模。 利用Matlab 显示矩形波导TE10模的电磁场分布的程序设计过程： （1）根据已知参数m ，n ，a ，b 和f 编程计算kc ，β和ω角频率等参数。 Matlab 中代码实现： a=22.86*1e-3; b=10.16*1e-3; f=9.84*1e9; m=1; n=0; miu=4*pi*1e-7; eps=8.854*1e-12; %E=2.71828; kc=((m*pi/a)^2+(n*pi/b)^2)^0.5; w=2*pi*f; beta=(miu*eps*w^2-kc^2)^0.5; （2）根据式1-6定义的各场强变量，以电场强度、磁场强度各分量为因变量，以时间t 为自变量。 Matlab 中代码实现： ngrid=20; x=[0:a/ngrid:a];y=[0:b/2:b]; z=[0:0.04/ngrid:0.04];%定义x ，y ，z 坐标空间矩阵 %公式表示 for p=0:ngrid%执行循环p 赋初值0，循环步长为1，总步长ngrid for q=0:2 for r=0:ngrid%三层循环，赋值ex 、ey 、ez 、hx 、hy 、hz 空间上的数值 ex(p,q,r)=j*(w*miu/kc^2)*(n*pi/b)*cos((m*pi/a)*x(p))*sin((n*pi/b)*y(q))*exp(j*(

实验二矩形波导TE10的仿真设计与电磁场分析解读

实验二、矩形波导TE 10的仿真设计与电磁场分析 一、实验目的： 1、 熟悉HFSS 软件的使用； 2、 掌握导波场分析和求解方法，矩形波导TE 10基本设计方法； 3、 利用HFSS 软件进行电磁场分析，掌握导模场结构和管壁电流结构规律和特点。 二、预习要求 1、 导波原理。 2、 矩形波导TE 10模式基本结构，及其基本电磁场分析和理论。 3、 HFSS 软件基本使用方法。 三、实验原理与参考电路 导波原理 3.1.1. 规则金属管内电磁波 对由均匀填充介质的金属波导管建立如图1 所示坐标系, 设z 轴与波导的轴线相重合。由于波导的边界和尺寸沿轴向不变, 故称为规则金属波导。为了简化起见, 我们作如下假设： ① 波导管内填充的介质是均匀、 线性、 各向同性的； ② 波导管内无自由电荷和传导电流的存在； ③ 波导管内的场是时谐场。 图1 矩形波导结构 本节采用直角坐标系来分析,并假设波导是无限长的,且波是沿着z 方向无衰减地传输,由电磁场理论, 对无源自由空间电场E 和磁场H 满足以下矢量亥姆霍茨方程: 式中β为波导轴向的波数,E 0(x,y)和H 0(x,y)分别为电场和磁场的复振幅,它仅是坐标x 和y 的函数。 以电场为例子，将上式代入亥姆霍兹方程 ,并在直角坐标内展开,即有 22222 2222222222220T c E E E E k E k E x y z E E E k E x y E k E β????+=+++?????=+-+??=?+=式2 k c 表示电磁波在与传播方向相垂直的平面上的波数,如果导波沿z 方向传播,则 k 为自由空间中同频率的电磁波的波数。 00(,)(,)j z j z E E x y e H H x y e ββ--?=??=?? 式1220E k E ?+=22222222T c E E E x y k k β????=+?????=-?其中式3 222c x y k k k =+

第五章 动态电磁场与电磁波(4)

?? =??-z x E j y H ωε ??? -=+??x y z z H j E jk y E ωμ ? ?-=-y x z H j E jk ωμ ?? -=??-z x H j y E ωμ 可得 y H k k j E z z x ??-- =? ? 22 ωμ y H k k jk H z z z y ??-- =? ? 22 y E k k jk E z z z y ??-- =?? 22 y E k k j H z z x ??-= ?? 22 ωε 式中μεω=k 。 显然，平板波导是一种均匀传输线。然而，上式表明，该导波系统还可以导引其它形式的电磁波。也就是说，沿电磁波传输方向的纵向磁场可以产生横向电场和横向磁场，或沿电磁波传输方向的纵向电场可以产生横向磁场和横向电场。在传输方向仅存在纵向磁场的电磁波被称为横电波(简称TE 波)或磁波(简称H 波)，在传输方向上仅存在纵向电场的电磁波被称为横磁波(简称TM 波)或电波(简称E 波)。因此，对于一个导波系统，可能存在三种波型，即TEM 波、TE 波和TM 波。 TE 波：由波动方程，得 0d d 2 222=+-? ?? z z z z H k H k y H 引入y 方向波数k y ，使其满足

μεω2222==+k k k z y 则纵向磁场分量为 y k B y k A H y y z cos sin +=? 进一步，得 )sin cos (y k B y k A k j E y y y x --=? ωμ 由图示边界条件知，当y ＝0和y ＝b 时，0=? x E ，代入上式，得 0=A ， ? =0H B ，b n k y π = ， n = 1,2,3,… k y 称为平板波导的特征值。所以，TE 波的电磁场为 z k z z y b n H z y H j 0e cos ),(-? ? π= z k x z y b n H n b j z y E j e -??ππ=sin ),(0ωμ z k z y z y b n H n bk j z y H j e -??ππ=sin ),(0 2 2221?? ? ??-=??? ??π-=b n b n k z λμεωμεω 需要注意的是，上式中，n ≠0。当n =0时，不存在电磁波。下图分别画出了n =1和n =2时的场图。 (a) TE 1 (n ＝1)波型 (b) TE 2 (n ＝2)波型 图 TE n 波型场图 从图示场图不难看出，在横向y 方向上电磁场呈驻波分布，n 为横向y 方向

矩形波导中电磁波截止波长的计算(1)(1)

矩形波导中电磁波截止波长的计算 周和伟 物理与电子信息工程学院 07物理学 07234030 [摘要]:本文从麦克斯韦方程组出发，从理论上推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，截止波长大多属于厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。 [关键词]:矩形波导电磁波截止波长 1 绪言 波导是一种用来约束或引导电磁波传输的装置，矩形波导是指横截面是矩形的波导，一般是中空的金属管。也有其他形式的波导装置，如介质棒或由导电材料和介质材料组成的混合构件[1]。因此，在广义的定义下，波导不仅是指矩形中空金属管，同时也包括其他波导形式如矩形介质波导等，还包括双导线、同轴线、带状线、微带和镜像线、单根表面波传输线等。根据波导横截面的形状不同还有其他形状波导，如圆波导等。尽管已存在很多不同波导形式，且新的形式还不断出现，但直到目前，在实际应用中矩形波导是一种最主要的波导形式。由于无线信号传输媒介，具有传输频带宽、传输损耗小、可靠性高、抗干扰能力强等特点，因此波导技术在电子技术领域运用非常广泛，主要用于铁氧体结环形器，窄壁缝隙天线阵[2]，速调管矩形波导窗，高精度矩形弯铜波导管加工研究【3】等器件设备的制造生产，以及在地铁信号系统中的应用都很广泛。为了加深对波导传输特性的理解，本文从麦克斯韦方程组出发，推导了电磁场遵循的波动方程和时谐电磁波遵循的波动方程；根据边值关系从理论上求出了时谐电磁波在矩形波导中的解，并对矩形波导管中传播的电磁波波解进行了讨论；计算了不同尺寸的矩形波导管的截止波长，发现其截止波长都在厘米量级，说明波导管只适用于传播微波。

矩形波导的设计讲解

矩形波导模式和场结构分析 第一章 绪论 1.1选题背景及意义 矩形波导(circular waveguide)简称为矩波导，是截面形状为矩形的长方形的金属管。若将同轴线的内导线抽走，则在一定条件下，由外导体所包围的矩形空间也能传输电磁能量，这就是矩形波导。矩波导加工方便，具有损耗小和双极化特性，常用于要求双极化模的天线的馈线中，也广泛用作各种谐振腔、波长计，是一种较常用的规则金属波导。 矩波导有两类传输模式,即TM 模和TE 模。其中主要有三种常用模式，分别是主模TE 11模、矩对称TM 01模、低损耗的TE 01模。在不同工作模式下，截止波长、传输特性以及场分布不尽相同，同时，各种工作模式的用途也不相同。导模的场描述了电磁波在波导中的传输状态，可以通过电力线的疏密来表示场得强与弱。 本毕业课题是分析矩形波导中存在的模式、各种模式的场结构和传播特性，着重讨论11TE 、01TE 和01TM 三个常用模式，并利用MATLAB 和三维高频电磁仿真软件HFSS 可视化波导中11TE 、01TE 和01TM 三种模式电场和磁场波结构。 1.2国内外研究概况及发展趋势 由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。 英国物理学家汤姆逊(电子的发现者) 在1893 年发表了一本论述麦克斯韦电磁理论的书,肯定了矩金属壁管子(即矩波导) 传输电磁波的可实现性, 预言波长可与矩柱直径相比拟, 这就是微波。他预言的矩波导传输, 直到1936 年才实现。汤姆逊成为历史上第一位预言波导的科学家。这证明科学预言可以大大早于技术的发展, 同时也表明了应用数学的威力。英国物理学家瑞利在1897 年发表了论文, 讨论矩形截面和矩形截面“空柱”中的电磁振动, 它们对应后来的矩形波导和矩波导, 并引进了

微波技术与天线实验2利用HFSS仿真分析矩形波导

实验3：利用HFSS仿真分析矩形波导 一、实验原理 矩形波导的结构（如图1），尺寸a×b, a>b，在矩形波导内传播的电磁波可分为TE模和TM模。 图1 矩形波导 1）TE模，0 = z E。 cos cos z z mn m x n y H H e a b γ ππ - = 2 cos sin x mn c z n m x n y E H b a b j k eγ πππ ωμ- = 2 sin cos z y mn c j m m x n y E H e k a a b γ ωμπππ - =- 2 sin cos z x mn c m m x n y H H e k a a b γ λπππ - = 2 cos sin z y mn c n m x n y H H e k b a b γ λπππ - = 其中， c k22 m n a b ππ ???? ? ? ???? +mn H是与激励源有关的待定常数。 2）TM模 Z H=0，由 Z E的边界条件同样可得无穷多个TM模。注意：对于 mn TM和 mn TE 模，m, n不能同时为零，否则全部的场分量为零。

mn TM 和mn TE 模具有相同的截止波数计算公式，即 c k （mn TM ）=c k （mn TE ） = 所以，它们的截止波长c λ和截止频率c f 的计算公式也是一样的，即 c λ（mn TM ）=c λ（mn TE ）= 2 2 2?? ? ??+??? ??b n a m c f （mn TM ）=c f （mn TE ） 对于给定的工作频率或波长，只有满足传播条件（f >c f 或λ

矩形波导中电磁波的传播模式

矩形波导中电磁波的传播模式 ［摘要］人类进入21世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发展，要求人们制造各种高科技的仪器。在电磁学领域，能约束或引导电磁波能量定向传输的传输线或装置是导波系统。?矩形波导适用于频率较高的频段，但当频率足够高的时候，可以使多个波导模式同时工作，所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究 关键词：矩形波导TM波TE波 矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银，它是最常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。为了简化分析，在讨论中我们 将波导的良导电体壁近似为理想导电壁。 由前面的讨论我们知道，矩形波导中不能 传输TEM 波，只能传输TE波和TM波。 设矩形波导宽为a,高为b, (a>b)沿Z轴 放置，如图(1)所示。下面分别求解矩形波 导中传输的TE波和TM波 仃M波 对于TM波，H z=O, E z可以表示为； E z(x, y,z) = E°(x, y)e*z(1) 式中E o(x,y)满足齐次亥姆霍兹方程，故有 ' 2E o(x,y) k C?°(x,y) = O ⑵ 采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令 E°(x,y)=X(x)Y(y) ⑶

将(3)式代入(2)式中，并在等式两边同除以 X(χ)Y(y)得: XW Xiy) k 2 C x(χ) Y(y) 上式中第一项仅是X 的函数，第二项仅是Y 的函数，第三项是与X 、Y 无关的 常数，要使上式对任何 X 、Y 都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为: X ''(X) k χJ X(X^ 0 ⑸ Y ''(y) k ：Y(y 「0 ⑹ 2 2 2 k c = kχ + ky ⑺ 常微分方程(5)和(6)的通解为 Y(X)=C i cos(k χX) C 2Sin(k χX) Y(y) =C 3C0s(k y y) C 4Sin(k y y) 将(8)式和(9)式代入(3)式，再代入(1)式，就得到 E z 的通解为 E z (x, y, z) - C 1 cos(k χX) C 2 sin( k χX) IC 3 cos( k y y) C 4 sin( k y y) ^jkZZ 由矩形波导理想导电壁的边界条件 E = 0，确定上式中的几个常数，在4个理想 导电壁上，E Z 是切向分量，因此有： (1) 在X "的波导壁上，由E Z (X =O,y,z)=0得C 1 =0 ； (2) 在Y=0的波导壁上，由E z (x,y =0,z) =0得C^0； (3) 在X = a 的波导壁上，要使E z (x = a, y, z) = 0有Sin(k x a) = 0，从而必须有 k χa =m 二，其中m =1.,2,3^为整数，由此得 (4) 在 X = b 的波导壁上，要使 E z (x,y =b, z) =0有，Sin(k y b) =0 从而必定有 k y b = n 二，其中n =1.,2,3…也为整数，由此得 x ''(χ) X(χ) -k 这样就得到两个常微分议程和 Y ''(y) _ Y (y) 3个常数所满足的方程: (8) (9) k χ m? (10)

(整理)实验21微波波导管内电磁场分布测量.

实验2.1 微波波导管内的电磁场分布测量实验 §2.1.1实验目的 通过测量微波波导管内的电磁场分布，了解微波的产生、传播等基本特性，掌握微波测量的基本方法和技术。 §2.1.2实验原理与方法 一、微波与体效应微波振荡器 1、微波 按照国际电工委员会（IEC）的定义，微波（Microwaves）是“波长足够短，以致在发射和接收中能实际应用波导和谐振腔技术的电磁波”。实际应用中，微波通常指频率在300GHz到300MHz、波长范围1毫米到1米的电磁波，可分为分米波、厘米波、毫米波三个波段。 自上世纪40年代以来，微波科学技术表现出巨大的应用价值。例如， ? 雷达的诞生与成熟（1939一1945年）； ? 微波波谱学与量子电子学的巨大进步（1944年－至今）； ? 射电天文学大发展（1946—1971年）； ? 微波能量利用及微波医学（1947年－至今）； ? 卫星通信及卫星广播的建立与普及（1964年－至今）； ? 遥感、气象监测等； ? 高功率微波武器。1984年美国国防部制定定向能发展计划（定向能包括高能激光、粒子束和高功率微波（HPM）三个方面）。“微波武器” 将在反卫星、反精确制导武器等方面发挥重要作用。 2、体效应微波振荡器 目前，常用的产生微波振荡器的有两大类，电真空器件与固体器件。其中，电真空器件主要包括微波电真空三极管、反射速调管、磁控管和返波管等；固体器件有晶体三极管、体效应二极管（也称耿氏二极管，由于体效应管中微波电流振荡现象是耿式（J.B Gunn）于1963年首先发现的）和雪崩二极管。由于固体器件具有体积小、重量轻、耗电省及便于集成等优点，近几十年来发展迅速，尤其在中小功率范围内它已经取代电真空器件。固体器件中，采用体效应振荡器制成的微波信号源具有噪声低、工作电压低和便于调谐的优点，目前在实验室中广泛采用该类微波信号源。 1）负阻效应 体效应管的工作原理是基于N型砷化镓(GaAs)的导电能谷——高能谷和低能谷结构，如图2.1-1所示，高低能谷间的能量差0.36eV。处于这两类能谷中的电子具有不同的有效质量和不同的迁移率。在常温下低电场时，大部分导电的电子处在电子迁移率高而有效质量较低的低能谷中，当随外加电场增大，许多电子被激发跃迁到高能谷中，在那里电子迁移率低而有效质量较大。因此，低电场时，导电率高，而在高电场时导电率低。这种效应的结果使电子迁移率急剧下降。这种随电场的增加而导致电流下降的现象称为负阻效应，如图2.1-2

有效折射率法求矩形波导色散曲线(附Matlab程序)知识讲解

有效折射率法求矩形波导色散曲线(附 M a t l a b程序)

光波导理论与技术第二次作业 题目：条形波导设计 姓名：王燕 学号： 201321010126 指导老师：陈开鑫 完成日期： 2014 年 03 月 19 日

一、题目 根据条形光波导折射率数据，条形波导结构如图1所示，分别针对宽高比d a :为1:1与1:2两种情形，设计： （1）满足单模与双模传输的波导尺寸范围；（需要给出色散曲线） （2）针对两种情况，选取你认为最佳的波导尺寸，计算对应的模折射率。（计算时假设上、下包层均很厚） 图1 条形波导横截面示意图 二、步骤 依题意知，条形波导参数为：5370.11=TE n ，5100.12=TE n ，444.13=TE n ； 5360.11=TM n ，5095.12=TM n ，444.13=TM n 。其中321n n n 、、分别代表芯心、 上包层、下包层相对于nm 1550=λ光波的折射率。 本设计采用有效折射率法作条形波导的归一化色散曲线，条形波导的横截面区域分割情况如图2所示：

图2 条形波导横截面分割图 对于x mn E 模式，x E 满足如下波动方程： [] 0),(2 2202 222=-+??+??eff x x n y x n k y E x E 由于导波模式在x 与y 方向上是非相干的，采用分离变量法后再引入)(220x N k 得到如下两个独立的波动方程： 0)()](),([) (22202 2=-+??y Y x N y x n k y y Y 0)(])([)(2 2202 2=-+??x X n x N k x x X eff 可以将条形波导等效成y 方向和x 方向受限的平板波导，先求y 方向受限平板波导的TE 模式，求得x N 后将其作为x 方向受限的平板波导的芯层折射率并求其TM 模式，得到的有效折射率eff n 就是整个条形波导的有效折射率。y 方向受限平板波导的TE 模式的色散方程为： 2 2124 222122222 1 0arctan arctan x x x x x N n n N N n n N n N n d k --+--+=-π （...2,1,0=n ） 其中1n 、2n 、4n 都是TE 模式的有效折射率从而x 方向受限平板波导的TM 模式的色散方程为： ??? ? ??--+???? ??--+=-2225 22522223 22 32 2 20arctan arctan eff x eff x eff x eff x eff x n N n n n N n N n n n N m n N a k π（...2,1,0=m ）

矩形波导地设计讲解

矩形波导模式和场结构分析 第一章 绪论 1.1选题背景及意义 矩形波导(circular waveguide)简称为矩波导，是截面形状为矩形的长方形的金属管。若将同轴线的导线抽走，则在一定条件下，由外导体所包围的矩形空间也能传输电磁能量，这就是矩形波导。矩波导加工方便，具有损耗小和双极化特性，常用于要求双极化模的天线的馈线中，也广泛用作各种谐振腔、波长计，是一种较常用的规则金属波导。 矩波导有两类传输模式,即TM 模和TE 模。其中主要有三种常用模式，分别是主模TE 11模、矩对称TM 01模、低损耗的TE 01模。在不同工作模式下，截止波长、传输特性以及场分布不尽相同，同时，各种工作模式的用途也不相同。导模的场描述了电磁波在波导中的传输状态，可以通过电力线的疏密来表示场得强与弱。 本毕业课题是分析矩形波导中存在的模式、各种模式的场结构和传播特性，着重讨论11TE 、01TE 和01TM 三个常用模式，并利用MATLAB 和三维高频电磁仿真软件HFSS 可视化波导中11TE 、01TE 和01TM 三种模式电场和磁场波结构。 1.2国外研究概况及发展趋势 由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带的频率成分在区主要作用。 英国物理学家汤姆逊(电子的发现者) 在1893 年发表了一本论述麦克斯韦电磁理论的书,肯定了矩金属壁管子(即矩波导) 传输电磁波的可实现性, 预言波长可与矩柱直径相比拟, 这就是微波。他预言的矩波导传输, 直到1936 年才实现。汤姆逊成为历史上第一位预言波导的科学家。这证明科学预言可以大大早于技术的发展, 同时也表明了应用数学的威力。英国物理学家瑞利在1897 年发表了论文, 讨论矩形截面

矩形波导TE10的仿真设计与电磁场分析

实验一、 矩形波导TE10的仿真设计与电磁场分析 班级： 学号： 姓名： 报告日期：2012.6.29 一、 实验目的： 1. 熟悉HFSS 软件的使用； 2. 掌握导波场分析和求解方法，矩形波导TE 10基本设计方法； 3. 利用HFSS 软件进行电磁场分析，掌握导模场结构和管壁电流结构规律和特点。 二、 实验原理（略） 2.1基本导波理论 对由均匀填充介质的金属波导管建立如图1 所示坐标系, 设z 轴与波导的轴线相重合。由于波导的边界和尺寸沿轴向不变, 故称为规则金属波导。 图1 矩形波导结构 本节采用直角坐标系来分析,并假设波导是无限长的,且波是沿着z 方向无衰减地传输,由电磁场理论, 对无源自由空间电场E 和磁场H 满足以下矢量亥姆霍茨方程: 00(,)(,)j z j z E E x y e H H x y e ββ--?=??=?? 式1 式中β为波导轴向的波数,E 0(x,y)和H 0(x,y)分别为电场和磁场的复振幅,它仅是坐标x 和y 的函数。以电场为例子，将上式代入亥姆霍兹方程22 0E k E ?+= ,并在直角坐标内展开, 即有由麦克斯韦方程组的两个旋度式,可以得到场的横向分量和纵向分量的关系式： 2222()() 2 ()() z z x c z z y c z z x c z z y c H E j E k y x H E j E k x y H E j H k x y H E j H k y x ωμβωμββωεβωε???=- +? ??? ??? =-? ??? ???? =-+? ??? ???=-+????式 k c 表示电磁波在与传播方向相垂直的平面上的波数,如果导波沿z 方向传播,则 222 c x y k k k =+；k 为自由空间中同频率的电磁波的波数。 根据两个纵向场分量Ez 和Hz 的存在与否，对波导中的电磁波进行分类。可将波导中的电磁波分成三类：