必修五第五讲：等比数列
一、【知识点】 1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式
⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 . 变形公式：),(+-∈?=N m n q a a m n m n ⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =
②当1≠q 时，q
q
a a q q a S n n n --=
--=11)1(11. 3.等比中项：如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.
即：G 是a 与b 的等差中项?a ，A ，b 成等差数列?b a G ?=2
.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：q a a n
n =+1
（+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列 ⑵中项法：22
1++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、
都是等比数列；
⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k
q .
（3）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=?；
（4）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.
二、【解题方法】
例1.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论. 例1.若实数数列4,,,,1321a a a 是等比数列，则=2a .
题型2：已知等比数列的某些项，求某项
例2.已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a
题型3：等比数列的对称设法
例3.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
题型4 等比数列的性质
例4.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .
题型5 ),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=?；性质的应用 1．（2006?湖北）在等比数列{a }中，a =1，a =3，则a a a a a a a a =（ ） A ． 81
B ． 27
C ．
D ． 243
2．在等比数列{a }中，若a a a a a =243，则的值为（ ） A ． 9
B ． 6
C ． 3
D ． 2
3．等比数列{a }各项均为正数且a a +a a =16，log a +log a +…+log a =（ ） A ． 15
B ． 10
C ． 12
D ． 4+log 25
变式1：已知等比数列
n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .
必修五第五讲：等比数列家庭作业
1．（2008?浙江）已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ） A ．
B ． ﹣2
C ． 2
D ．
2．（2006?北京）如果﹣1，a ，b ，c ，﹣9成等比数列，那么（ ） A ． b =3，ac=9
B ． b =﹣3，ac=9
C ． b =3，ac=﹣9
D ． b =﹣3，ac=﹣
9
3．已知数列1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则的值是（ ）
A ．
B ． ﹣
C ． 或﹣
D ．
4．等比数列{a n }中，a 6+a 2=34，a 6﹣a 2=30，那么a 4等于（ ） A ． 8
B ． 16
C ． ±8
D ． ±16
5．（2012?北京）已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是（ ） A ． a 1+a 3≥2a 2 B ．
C ． 若a 1=a 3，则a 1=a 2
D ． 若a 3＞a 1，则a 4＞a 2
6．（2011?辽宁）若等比数列a n 满足a n a n+1=16n
，则公比为（ ） A ． 2
B ． 4
C ． 8
D ． 16
7．（2010?江西）等比数列{a n }中，|a 1|=1，a 5=﹣8a 2，a 5＞a 2，则a n =（ ） A ． （﹣2）
n ﹣1
B ． ﹣（﹣2
n ﹣1
） C ． （﹣2）n
D ． ﹣（﹣2）n
8．已知等比数列{a n }中，a 6﹣2a 3=2，a 5﹣2a 2=1，则等比数列{a n }的公比是（ ） A ． ﹣1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
9．正项等比数列{a n }中，a 2a 5=10，则lga 3+lga 4=（ ） A ． ﹣1
B ． 1
C ． 2
D ． 0
10．在等比数列{b n }中，b 3?b 9=9，则b 6的值为（ ） A ． 3
B ． ±3
C ． ﹣3
D ． 9
11．（文）在等比数列{a n }中，，则tan （a 1a 4a 9）=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．若等比数列{a n }满足a 4+a 8=﹣3，则a 6（a 2+2a 6+a 10）=（ ） A ． 9
B ． 6
C ． 3
D ． ﹣ 3
13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 2=1﹣a 1，a 4=9﹣a 3，则a 4+a 5=（ ） A ． 16
B ． 27
C ． 36
D ． 8
1
14．在等比数列{a n }中a 2=3，则a 1a 2a 3=（ ） A ． 81
B ． 27
C ． 22
D ． 9
15．等比数列{a n }中a 4，a 8是方程x 2
+3x+2=0的两根，则a 5a 6a 7=（ ） A ． 8
B ． ±2
C ． ﹣2
D ． 2
16．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比，后三个数成等差，则这两个数的和是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
17．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
3.4.1等比数列教案 临澧一中高一数学组 颜干清 课题 ：3.4.1等比数列(一) 教学目标 （一） 教学知识点 1、 等比数列的定义. 2、 等比数列的通项公式. （二） 能力训练要求 1、 掌握等比数列的定义. 2、 理解等比数列的通项公式及推导. （三） 德育渗透目标 1、 培养学生的发现意识. 2、 提高学生的逻辑推理能力. 3、 增强学生的应用意识. 教学重点 等比数列的定义及通项公式. 教学难点 灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题. 教学方法 比较式教学法 采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用. 教学过程 Ⅰ复习回顾 前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容 1、等差数列定义：a n -a n-1=d （n ≥2）(d 为常数) 2、等差数列性质： ①若a 、A 、b 成等差数列，则A= ②若m+n=p +q ，则，a m + a n = a p + a q , ③S k ，S 2k - S 3k ，S 2k …成等差数列. 3、等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n s n 2 )1(2)(21-+=+= Ⅱ新课讲授 下面我们来看这样几个数列，有何时共特点？ 1，2，4，8，16，…，263 ；① a +b 2
5，25，125，625，…； ② 1，- ， ，- ，…； ③ 仔细观察数列，寻其共同特点： 数列①：)2(2;21 1≥==--n a a a n n n n ； 数列②: )2(5;51 ≥==-n a a a n n n n 数列③: )2(2 1;21 )1(111≥-=?-=---n a a a n n n n n 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点) 1、定义 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）,即：a n ：a n-1= q （q ≠0） 数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。 总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 注意公差①“d ”可为0，②公比“q ”不可为0. 2、等比数列的通项公式 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得 a 2=a 1q a 3=a 2q =( a 1q )q = a 1q 2 a 4=a 3q =( a 2q )q =((a 1q )q )q = a 1q 3 …… a n =a n-1q = a 1q n-1（a 4，q ≠0），n=1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式可得：（n-1）个等式 1 2 1 8 1 2 1 4 a 2 a 1 = q a 3 a 2 = q ① ②
高一数学必修五《等比数列》教案 【篇一】 教学准备 教学目标 1、数学知识：掌握等比数列的概念,通项公式,及其有关性质; 2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习,培养学生类比归纳的能力; 归纳——猜想——证明的数学研究方法; 3、数学思想：培养学生分类讨论,函数的数学思想。 教学重难点 重点：等比数列的概念及其通项公式,如何通过类比利用等差数列学习等比数列; 难点：等比数列的性质的探索过程。 教学过程 教学过程： 1、问题引入： 前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。 问题1：满足什么条件的数列是等差数列 ?如何确定一个等差数列 ? (学生口述,并投影)：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 要想确定一个等差数列,只要知道它的首项a1和公差d。 已知等差数列的首项a1和d,那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。 师：事实上,等差数列的关键是一个“差”字,即如果一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 (第一次类比)类似的,我们提出这样一个问题。 问题2：如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的……等于同一个常数,那么这个数列叫做……数列。
(这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法,对于“和”与“积”的情况,可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话,这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”,而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。) 2、新课： 1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。 师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题,回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的 ?类似于等差数列,要想确定一个等比数列的通项公式,要知道什么 ? 师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。 公式的推导：(师生共同完成) 若设等比数列的公比为q和首项为a1,则有： 方法一：(累乘法) 3)等比数列的性质： 下面我们一起来研究一下等比数列的性质 通过上面的研究,我们发现等比数列和等差数列之间似乎有着相似的地方,这为我们研究等比数列的性质提供了一条思路：我们可以利用等差数列的性质,通过类比得到等比数列的性质。 问题4：如果{an}是一个等差数列,它有哪些性质 ? (根据学生实际情况,可引导学生通过具体例子,寻找规律,如： 3、例题巩固： 例1、一个等比数列的第二项是2,第三项与第四项的和是12,求它的第八项的值。* 答案：1458或128。 例2、正项等比数列{an}中,a6·a15+a9·a12=30,则 log15a1a2a3…a20=_10____. 例3、已知一个等差数列：2,4,6,8,10,12,14,16,……,2n,……,能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn},使得{cn}是一个公比为2的等比数列,若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项 ?
第2课时等比数列的性质 课时过关·能力提升 1已知等比数列{a n}的公比q>0,且a3a9=2,a2=1,则a1等于(). A. B. C. D.2 解析:∵a3a9==2,∴q2==2. 又q>0,∴q=, ∴a1=. 答案:B 2等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是(). A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列 解析:由于公比q=-<0, 所以数列{a n}是摆动数列. 答案:D 3在等比数列{a n}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值等于(). A.48 B.72 C.144 D.192 解析:∵=q9=8, ∴a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192. 答案:D ★4若数列{a n}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(). A.{lg a n} B.{1+a n} C. D.{}
解析:当a n=-1时,lg a n与无意义,1+a n=0,则选项A,B,D都不符合题意;选项C中,设 a n=a1q n-1(q是公比),则 b n=, 则有=常数, 即数列是等比数列. 答案:C 5已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列,则a等于(). A.2或8 B.2 C.8 D.-2或-8 解析:由已知得 得故a=2或a=8. 答案:A 6等比数列{a n}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于(). A.12 B.10 C.8 D.2+log35 解析:因为a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9. 所以log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)] =log3[(a5a6)5]=log395=10. 答案:B 7在等比数列{a n}中,a2=2,a6=16,则a10=. 解析:∵a2,a6,a10成等比数列, ∴=a2a10.∴a10==128. 答案:128 8在等比数列{a n}中,a888=3,a891=81,则公比q=.
高二数学知识点总结高二数学必修5等比数列 知识点总结 等比数列在人们的日常生活中运用比较广泛，也是高二数学课本重点知识点，下面是WTT给大家带来的高二数学必修5等比数列知识点总结，希望对你有帮助。 高二数学必修5等比数列知识点 高二数学学习方法 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 (4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由
一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 (5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 (6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 (7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 (8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 (9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。 看了“高二数学必修5等比数列知识点总结”的人还看了： 1.高二数学等比数列公式归纳 2.高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结 3.高二数学必修5等差数列知识点 4.高中数学必修5等比数列练习 5.高一数学必修5等比数列的前n项和知识点总结
等比数列前n项和说课稿 各位评委，您们好。今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第5个模块中第二章的2.5等比数列的前n项和的第一节课。 下面我从教材分析、教学目标分析、教法与学法分析、教学过程分析、板书设计分析、评价分析等六个方面对本节课设计进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2、教材处理 根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般,由浅入深地进行教学，使学生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。同时，教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。. 3、教学重点、难点、关键 教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用． 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导。 教学关键：推导等比数列的前n项和公式的关键是通过情境的创设，发现错位相减求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等比数列模型，运用公式解决问题。 4、教具、学具准备 多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。 二、教学目标分析 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a
高一数学等比数列及其求和 知识点1. 等比数列的有关概念 1．等比数列：若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比为常数的数列。 思考：如何证明一个数列是等差数列？ 2．等比中项： （注意：等比数列中，无0这个项） 3．通项公式：累乘法） (1 m n p a ap a m n n -==- 知识点2. 等比数列的相关运用和性质 1．22112 --+-===n n n k n k n a a a a a a a 注意：q p n a a a +=++=+m n a q p n m }{a 时，是等差数列：当 q p n m a a a a =+=+时，是等比数列：当q p n m }{a n 2．若有三个数成等比数列，通常设其为： aq a q a ,,； 若有四个数成等比数列，通常设其为： 3 3,,,aq aq q a q a 知识梳理
3.等比数列前n 项和?? ???==--=≠--=)1(1)1(1)1(111q na S q q a a q q q a S n n n n 一、选择题 1．设等比数列中，前n 项和为,已知，则（ ） A. B. C. D. 解答过程： 2．等比数列}{n a 中，如果5a 5=，8a 25=，则2a 等于（ ） A.35 B.5 C.5 D.1 解答过程： 3．在等比数列( ) A. B. 4 C. D. 5 解答过程： 4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =，则5S 的值是 ( ) A ． 69 2 B ．69 C ．93 D ．189 解答过程： 典例精析
高一数学必修五《等比数列》教案【篇一】 教学目标 1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其相关性质; 2、数学水平：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的水平; 归纳——猜想——证明的数学研究方法; 3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。 教学重难点 重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列; 难点：等比数列的性质的探索过程。 教学过程 教学过程： 1、问题引入： 前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。 问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列? (学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 要想确定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。 已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。
师：事实上，等差数列的关键是一个“差”字，即如果一个数列， 从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列。 (第一次类比)类似的，我们提出这样一个问题。 问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的…… 等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。 (这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法，对于“和”与“积”的情况，能够利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话，这个 数列是一个各项重复出现的“周期数列”，而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比 数列了。) 2、新课： 1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫 做公比。 师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等差数列的通 项公式是怎样得到的?类似于等差数列，要想确定一个等比数列的通项 公式，要知道什么? 师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。 公式的推导：(师生共同完成) 若设等比数列的公比为q和首项为a1，则有： 方法一：(累乘法) 3)等比数列的性质：
高中数学必修5等比数列精选题目（附答案） 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式：S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. ①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想. ②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论. 3．等比数列与指数型函数的关系 当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数 的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上； 对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 1 1－q ，若设a ＝ a 1 1－q ，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点． 设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *. (3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和? ??? ??pa n qb n 也是等 比数列．
等比数列的概念、性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系 1. 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。 2. 等比数列的通项公式 ____________________ 3. 等比中项 如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________ 4. 等比数列的性质 （1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q （2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________ （3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ??????是以 _________ 为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 5. 等比数列与指数函数的关系
15.等比数列前n 项和 教学目标 班级：_____ 姓名：____________ 1.理解并掌握等比数列前n 项和公式. 2.掌握等比数列前n 项和的性质，并能应用性质解决相关问题. 教学过程 一、等比数列前n 项和公式. 1.等比数列前n 项和公式:________________________________ 注意事项： （1）n S 的求解，分1=q 和1≠q 两种情况，注意讨论. （2）等比数列共有5个量，知三求二. 2.等比数列前n 项和的性质. （1）等比数列前n 项和公式)1(1)1(1≠--=q q q a S n n 可化为)1(1111≠?---=q q q a q a S n n ， 可知，若A Aq S n n -=（0≠A ），则{}n a 为等比数列. （2）{}n a 为等比数列，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-成等比数列（其中n S ，n n S S -2，n n S S 23-各项均不为0）. （3）若等比数列{}n a 共有2n 项，则q S S =奇偶 . （4）{}n a 是公比为q 的等比数列，对任意的*∈N n m ,有p m m p m S q S S +=+. （5）{}n a 是公比为q 的等比数列，n T 为数列的前n 项之积，则 ,...,,232n n n n n T T T T T 成等比数列. 二、等比数列前n 项和的应用. 例1：设)(2 ...222)(1374*+∈++++=N n n f n ，则)(n f =__________. 练1：在正项等比数列{}n a 中，811=a ，165=a ，求它的前5项和.
高中数学必修5《等比数列》教案 答案：1458或128。 例2、正项等比数列{an}中，a6 a15+a9 a12=30，则log15a1a2a3 a20 =_ 10 ____. 例3、已知一个等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，，2n，，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项? (本题为开放题，没有唯一的答案，如对于{cn}：2，4，8，16，，2n，，则ck=2k=2 2k-1，所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k-1项。关键是对通项公式的理解)
1、小结： 今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，通过今天的学习 我们不仅学到了关于等比数列的有关知识，更重要的是我们学会了由类比猜想证明的科学思维的过程。 2、作业： P129：1，2，3 思考题：在等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，，2n，，中取出一些项：6，12，24，48，，组成一个新的数列{cn}，{cn}是一个公比为2的等比数列，请指出{cn}中的第k项是等差数列中的
第几项? 教学设计说明： 1、教学目标和重难点：首先作为等比数列的第一节课，对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础，是必须要落实的;其次，数学教学除了要传授知识，更重要的是传授科学的研究方法，等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等差数列结合起来，通过等比数列和等差数列的类比学习，对培养学生类比猜想证明的科学研究方法是有利的。这也就成了本节课的重点。 2、教学设计过程：本节课主要从以下几个方面展开： 1) 通过复习等差数列的定义，类比得出等比数列的定义; 2) 等比数列的通项公式的推导;
高二数学必修五《等比数列》专项练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高二数学必修五《等比数列》专项练习题 一、选择题： 1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 （ ） ①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{ n a 1 }也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1 B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或2 1 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ） A ．4 B ．23 C ．916 D ．2 5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=0 6．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最 后一年该厂的总产值是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a 7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ） A ．89 a b B ．(a b )9 C ．910a b D ．( a b )10 8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ） A ．32 B ．313 C ．12 D ．15
高一数学必修5等比数列知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列与等比数列 一、基本概念与公式： 1、等差（比）数列的定义； 2、等差（比）数列的通项公式： 等差数列d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等比数列(1)11-=n n q a a ; (2)m n m n q a a -= .(其中1a 为首项、m a 为第m 项，0≠n a ;),*∈N n m 3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += 或2 )1(1d n n na S n -+= 等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)； 当q≠1时，S n =q q a n --1) 1(1=,K q K n -? S n =q q a a n --11 二、有关等差 、比数列的几个特殊结论 等差数列、① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 等比数列{}n a 中，若),,,(*∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=? 注意：由n S 求n a 时应注意什么？ 1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 2、等比数列{}n a 中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列． 3、公比为q 的等比数列{}n a 中的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、 S 4m - S 3m 、……（S m ≠0）仍为等比数列，公比为m q . 4、若{}n a 与{}n b 为两等比数列，则数列{}n ka 、{} k n a 、{}n n b a ?、? ?????n n b a
2020年高中数学必修五《等比数列前n项和》说课稿精品版
《2.3.3等比数列前n项和》（第一课时）说课稿 尊敬的各位评委、老师： 大家好，今天我说课的课题是《2.2.3等比数列前n项和》（第一课时），我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、过程分析、教法分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位评委、老师批评指正。 一、教材分析 1．从在教材中的地位与作用来看 《2.3.3等比数列的前n项和》是苏教版必修五第二章数列中的一个重要内容，也是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如存款利息、购房贷款、资产折旧的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，有助于提升学生的创新思维。 2．从学生的认知角度来看 学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是认知的有利因素．认知的不利因素有：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维定势是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视。 3．学情分析 教学对象是高二的学生，初步具备运用知识解决问题的能力，思维也较活跃敏捷，但缺乏冷静、深刻，特别是对知识的整合能力、问题的探究能力及思维的严密性上都还需要进一步培养和提高。
4．重点、难点分析 本节课的重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用；难点是公式推导思路的寻找及公式应用中q与1的关系。 设计意图：这样确定重点，既夯实了“双基”，又体现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用．因为公式推导中用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点。二、目标分析 新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该以获得知识与技能的过程去学会学习和形成正确的价值观。这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线，渗透情感、态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，所以我从学生的角度出发，根据等比数列前n项和在教材中的地位与作用，结合学情分析，确定本节课教学目标如下：1．知识与技能目标 理解等比数列前n项和公式的推导过程，掌握公式的特点和推导方法—错位相减法，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． 设计意图：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，正好符合课程标准的要求． 2．过程与方法目标 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论、方程等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．设计意图：数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，让学生在能力上得到发展． 3．情感、态度与价值观 在学习过程中充分利用师生互动让学生获得积极的情感，培养学习数学的兴趣。同时培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质和勇于批判、敢于创新的科学精神。
第2课时 等比数列的性质及应用 双基达标 (限时20分钟) 1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于 ( )． A ．4 B ．8 C ．16 D ．33 解析 由等比数列的性质得a 2·a 6＝a 42＝42＝16. 答案 C 2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14 ，则公比q 等于 ( )． A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12 解析 根据a n ＝a m ·q n －m ，得a 5＝a 2·q 3. ∴q 3＝14×12＝18.∴q ＝12 . 答案 D 3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于 ( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 答案 B 4．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝________. 解析 根据等比数列的性质：a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列． ∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·a 3＋a 4a 1＋a 2 ＝120×12030＝480.
答案 480 5．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 72， ∴a 72＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4. ∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. 答案 8 6．已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9的值． 解 法一 由等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 62， 由a 2·a 6·a 10＝1，得a 63＝1， ∴a 6＝1，∴a 3a 9＝a 62＝1. 法二 由等比数列通项公式，得 a 2a 6a 10＝(a 1q )(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 13·q 15＝(a 1q 5)3＝1， ∴a 1q 5＝1，∴a 3a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2＝1. 综合提高 (限时25分钟) 7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于 ( )． A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 解析 ∵a 1a 2a 3＝a 23＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 83＝10，∴a 8＝310. ∴a 52＝a 2a 8＝350＝5013， 又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016. ∴a 4a 5a 6＝a 53＝5012＝5 2. 答案 A 8．在等比数列{a n }中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为 ( )． A ．3×10－5 B ．3×29 C ．128 D ．3×2－5或3×29 解析 ∵a 2＝a 3q ，a 4＝a 3q ，∴a 2＝12q ，a 4＝12q . ∴12q ＋12q ＝30.即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝12或q ＝2.
2 1 3 《等比数列》 一、选择题： 2. 等比数列{a n }中， 已知 a 9 =－ 2， 则此数列前 17 项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3. 等比数列｛ a n ｝ 中， a 3=7， 前 3 项之和 S 3=21， 则公比 q 的值为 （ ） A ．1 B ．－ 1 2 C ．1 或－1 D ．－1 或 1 2 4. 在 等 比 数 列 {a n } 中 ， 如 果 a 6=6， a 9=9， 那 么 a 3 等 于 （ ） A ．4 B ． 3 2 C ． 16 9 D ．2 5. 若两数的等差中项为 6，等比中项为 5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=0 6. 某工厂去年总产 a ，计划今后 5 年内每一年比上一年增长 10%，这 5 年的最 后 一 年 该 厂 的 总 产 值 是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a 8. 已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3，前 15 项之和为 39，则该数列 的前 10 项 之 和 为 （ ） A ．3 B ．3 C ．12 D ．15 9. 某厂 2001 年 12 月份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍，则该厂 2001 年度 产值 的 月 平 均 增 长 率 为 （ ） A ． n 11 二、填空题： B ． 11 n C ． 12 n - 1 D ． 11 n - 1 13. 在等比数列{a n }中，已知 a 1= 3 ，a 4=12，则 q = 2 ，a n = ． 14. 在等比数列{a n }中，a n ＞0，且 a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比 q =
n n 高二数学必修五《等比数列》专项练习题 一、选择题： 1. {a n }是 等 比 数 列 ， 下 面 四 个 命 题 中 真 命 题 的 个 数 为 （ ） ①{a 2}也是等比数列 ②{ca }(c ≠0)也是等比数列 ③{ 1 a n }也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2. 等比数列{a n }中， 已知 a 9 =－ 2， 则此数列前 17 项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3. 等比数列｛ a n ｝ 中， a 3=7， 前 3 项之和 S 3=21， 则公比 q 的值为 （ ） A ．1 B ．－ 1 2 C ．1 或－1 D ．－1 或 1 2 4. 在 等 比 数 列 {a n } 中 ， 如 果 a 6=6， a 9=9， 那 么 a 3 等 于 （ ） A ．4 B ． 3 2 C ． 16 9 D ．2 5. 若两数的等差中项为 6，等比中项为 5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=0 6. 某工厂去年总产 a ，计划今后 5 年内每一年比上一年增长 10%，这 5 年的最 后 一 年 该 厂 的 总 产 值 是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a 7． 等 比 数 列 {a n }中 ， a 9＋ a 10=a (a ≠0)， a 19＋ a 20=b ， 则 a 99＋ a 100 等 于 （ ） b 9 b b 10 b A ． B ．( )9 C ． D ．( )10 a 8 a a 9 a 8. 已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3，前 15 项之和为 39，则该数列 的前 10 项 之 和 为
高中数学必修5第二章等比数列练习题 一、选择题。 1.等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋ 2.在等比数列中，，则（ ） A. B. C. 或 D. －或－ 3.等比数列中，已知，则的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 4.实数依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 5.等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.或 D.2或－2 6.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 7.已知等比数列的首项为8，是其前n 项的和， 某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 （ ） A 、 S 1 B 、S 2 C 、 S 3 D 、 S 4 8.已知数列的前项和(,,为非零常数),则数列为( ) A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等比数列也不是等差数列 D.既是等差数列又是等比数列 二、填空题。 9．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) 。 (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式． 10.设二次方程有两个实根和，且满． （1）求证：是等比数列；（2）当时，求数列的通项公式． {}n a 5647a a a a +3132310log log log a a a +++L 3log 5{}n a 5,6144117=+=?a a a a =10 20a a 32233223322 3{}n a 121264a a a =46a a 12345,,,,a a a a a {}n a n n S 242S S =212 1-{}n a n S {}n a n n n S aq =0a ≠1q ≠q {}n a 2110()n n a x a x n N *+-+=∈αβ6263ααββ-+=2{}3n a -176a = {}n a