2.3.2等比数列的通项公式及性质 1. 等比数列的性质:
(1)n m n m a a q -=(,m n N +∈);
(2)对于k 、l 、m 、n ∈N *,若m n p q +=+,则 .;
(3)每隔k 项(k N +∈)取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列为等比数列;
(4)在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。
2. (1) 若{}n a 为等比数列,公比为q ,则2{}n a 也是等比数列,公比为q 2.
(2) 若{}n a 为等比数列,公比为q (q ≠-1),则212{}n n a a -+也是等比数列,公比为q 2.
(3) 若{}n a 、{}n b 是等比数列,则{}n n a b 也是等比数列.
(4) 三个数a 、b 、c 成等比数列的,则2
0b ac abc =≠且
例1(1)在等比数列{}n a 中,是否有211(2)n n n a a a n -+=≥? (2)如果数列{}n a 中,对于任意的正整数(2)n n ≥,都有211n n n a a a -+=,那么,{}n a 一定
是等比数列吗?
例2.已知各项都为正数的等比数列{a n }中,已知153537236,a a a a a a -+=并且2435462100a a a a a a ++=,求数列的通项公式.
例3.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ,且公比和公差均为(0,1)d d d >≠,若113355,3,5a b a b a b ===,求{}n a 和{}n b 的通项公式。
1. 在等比数列{}n a 中,若7944,1,a a a ==则12a =_____.
2. 在等比数列{}n a 中,48,a a 若是方程21190x x ++=的两个实根,则6a =_____.
3.在等比数列中,n a >0,且21n n n a a a ++=+,则该数列的公比q 等于 .
4.在等比数列{}n a 中,n a >0,()n N +∈且3698a a a =,则222426log log log a a a ++ 28210log log a a ++= .
5.已知数列{a n }为等比数列
(1)若a n >0,且a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,求a 3+a 5. (2)a 1+a 2+a 3=7,a 1a 2a 3=8,求a n .
6. 数列{}n a 满足11a =,121n n a a +=+
(1) 求证{1}n a +是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式。
7.如图,在边长为1的等边三角形ABC 中,连结各边中点得
111A B C ,再连结111A B C 各边中点得222A B C ……如此继续下去,
试证明数列ABC S ,111A B C S ,222A B C S …是等比数列。