矩阵的分解与正交阵之间的联系
摘要：通过一个矩阵分解可分解成正交阵与某个矩阵的乘积引出关于矩阵的极分解定理，QR 分解定理，极值分解定理，奇异值分解定理等，并对它们进行了证明和扩充。 关键词：分解 矩阵 正交阵
正文：今年来，在数学专业的考研试卷中，高代部分关于矩阵的分解的题目（利用它们来进行计算或证明某个特定问题）有增多的趋势。学过矩阵论的人都知道，矩阵的分解主要有两大类，一类是矩阵的加法分解，一类是矩阵的乘法分解。本篇着重讨论乘法分解中的几种特殊分解。
定义1： ()n n ij A a R ?=∈ , A A E '=, 则A 称为正交阵。
定义1'：()n n ij A a R ?=∈， ( I ) 112210i j i j in jn a a a a a a ?++
=??
i j i j =≠ ,1,2,
,,1,2,,i j n i j n ==
( II ) 112210i j i j ni nj a a a a a a ?++
=??
i j i j =≠ ,1,2,
,,1,2,
,
i j n i j n ==
(III) 1
A A -'=
在02年的厦大高代考研卷子中，就有矩阵的分解与正交阵结合起来的题目。
TH1：（02年高代试卷）设A 是可逆的n 阶实方阵。求证：存在正交阵U ，正定阵T ，使
A=UT ，且这个分解式是唯一的。 证明：A 可逆， ∴AA '正定 从而存在正定阵T ， 使2
AA T '=
121
()[()]A A T A T T
U
T --''=== 即 1
()U A T -'=
则 1
11
2
111
()()
()()U U A
T T A A T A A A A A E
------''''''====
现假设A 还有另一分解，即A=UT=US 则 1
UU ST -'= ，U 为正交阵，而U 的特征值为实数且是正的
1
1
1
1
22
2
21()()T S T T T S T -
-∴=
可对角化 即 1
E S T -= S T ∴=
∴分解式是唯一的。证明完毕。
上述定理1也称为矩阵的极分解定理，又极分解定理我们可以得到一个推论。 推论1：设A 是一个n 阶实可逆矩阵，A=PU 是极分解，其中P 是正定矩阵，U 是正交矩阵，则 AA A A PU UP ''=?=。
证明：（充分性）22()()()()AA PUU P PP P U UP U P PU PU PU A A '''''''=======； （必要性）
AA A A ''= 22P U P U '∴=
而2
P 及U 均为正定矩阵知它们均有正定平方根 P 和U PU '而平方根是唯一的， P U PU '∴= U P P U ∴=。
TH2: 任一实满秩矩阵A 可分解成一个正交阵与一个主对角线元素都大于零的上三角阵之
积，且这种分解是唯一的这个分解也称为矩阵的QR 分解。 证明：设12(,,,)n A ααα=，其中12,,,n ααα为A 的列向量
A 为实满秩矩阵，12,,,n ααα∴线性无关，
则可用施密特正交化方法，令
1121221
1111(,)(,)(,)
(,)n n i n n
i i i i βααββαβββαββαβββ-==?
?
?=-?
??
?=-??
∑ (1) 其中(,)αβαβ'=
再将i β单位化，令1
i i i
r ββ= ， 1,2,,i n = （2）
则12,,
,n r r r 为标准正交基，而12(,,
,)n U r r r =为正交阵
由（1）（2）解出i α，得
11
11212(,,,)(,,
,)0n n n nn t t A r r r UT t ααα??
??===?
?????
其中11
10n nn t t T t ??
??=??????
为上三角阵 且
0ii i t β=>为正实数
再证唯一性：设还有正交阵1U 及对角线元素为正实数的上三角阵1T ，使11A U T =，
下证： 11,U U T T ==
令1
1B U U -=，则1111B U U TT --==，则B 既是正交阵又是上三角矩阵 即B 为对角矩阵，但T 与1
1T -的主对角线元素为正实数，从而
1(,,),n B diag b b = 0,i b > 1,
,i n =
而由B 是正交阵，B E ∴= 即 1111E U U TT --== 1,U U ∴= 1T T = 证明完毕。
例1、 将102110123A ??
??=??????
分解为正交矩阵与上三角矩阵之积。 解：令123(,,)A ααα=，其中i α为A 的列向量，对123,,ααα用施密特正交化方法得到正交
向量123,,βββ 即 12312371161
(,,)(,,)012001βββααα?
?-- ? ?
?=- ? ? ? ???
在单位化得 12,,,n r r r 即
1212300(,,
,)(,,)000
n r r r βββ????
?=?
?????
令0Q ???=?
???? ，
000
R ??=??
?
??
则Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵，并且A QR =。
注：可见，在掌握QR 分解定理时，对起证明的思路及步骤也必须熟练掌握。这样，在求矩阵A 的QR 分解时才能用到。
例2、（华中师大1994，1996）设A 是n 阶实可逆阵，证明：存在n 阶正交阵P 和 Q ，使
1
00
n a PAQ a ?? ?
=
? ???
， 其中0(1,2,,)i a i n >= 且 22
2
12,,,n
a a a 为A A '的全部特征值。 证明：由定理1知，存在正交阵C 和B ，使A=BC （1）
其中B 的特征值 12,,,n a a a 均为正，且22
2
12,,,n
a a a 为A A '的全部特征值， 由B 为正定阵，从而存在正交阵T ，使得1
00n a B T T a ??
?
'=
? ???
（2） 将（2）代入（1）得 1()00n a A CT T a ??
?
'=
? ???
11()00
n a CT AT a -??
?
''∴=
? ???， 即 100
n a PAQ a ??
?
= ? ???
（3） 其中1()P CT -'=， Q T '=均为正交阵。
注：我们可以将（3）改写为 100
n a A P Q a ??
?
''=
? ???
， 这就是A 的一个分解即实可逆阵
表示为（正交阵）（正定阵）（正交阵）之积。
例3、（浙江大学，天津师范大学）设A 为m n ?实矩阵，秩A=r ，则矩阵000D A P Q ??
'=??
??
，其中P ,Q 分别为m 阶和n 阶的正交矩阵，而12(,,,)r D diag a a a =，0i a > 1,2,
,i r =。
证明：由题意知： AA '不是正定阵 (())r A r =
从而存在正交阵P, 使 2
1200
n AA P P λλ??
?
''=
? ???
（1） 又 ()()r r A r AA '== 不失一般性，不妨设
222120r λλλ≥≥≥>，
10r m λλ+===
令 i i d λ= (1,2,,)i r =， 由（1）得 2
00
0D AA P P ??
''=?
???
（2） 将P 分快，令[]12P P P =
[]2121
211200
0P D AA P P PD P P '????''∴==????'??
?? (3)
由于P 为正交阵， 1r P P E '∴=，用1P '左乘，1P 右乘（3）式两端得 211()P AA P
D ''= （4） 令 111V D P A -''=，则 1V 为 r m ? 实矩阵，且
111111()()r V V D P A D P A E --''''== （5）
[]11
21122P E PP P P PP P
P P '??'''===+??'??
122111111()E P P A PP A PDD P A PDV -''''-=== （6）
由（6）得 1122A P D V P P
A ''=+
（7） 由于 ()r P A r '= 0P A X '∴= 有m r -个线性无关的解，将它们正交单位化后构造
()m m r ?- 矩阵2V ，这样由 20P AV '= ，可得 1
22200
P AV P AV ?'?=?'=?? (8)(9)
但 22V V E '= ，令 12(,)Q V V = 由于 112120V V D P AV -''==
从而 Q 为正交阵，并（3）（8）式
11212121212111()0P AV P A D P A P AA PP P PP P PD ---''''''''==== 1(0)P P '=
由（9）式得 111221220()(,)00P D P AQ PDV P P A V V P ????'''=+=????????
（10）
其中 12(,,,)n D diag d d d = 0i d > (1,2,
,)i r =
由（10）知 000D A P Q ??
'=?
???
。 （证法二）由假设，存在m 阶与n 阶可逆矩阵T,S ,使 00
0r
E A T S ??=?
???
对T ，S '作QR 分解，1T PR =，1S Q L ''= 其中1P ，1Q 分别为m 阶与n 阶正交矩
阵，R ，L 分别为非奇异的正三角矩阵与下三角矩阵，则
1
21
1111132300000000r
R R L E R L A P Q P Q R L L ????????'
'==?
???????????
???? （1） 其中1R 为R 的r 阶顺序主子阵，1L 为L 的r 阶下三角顺序主子阵，所以 11R L 是r 阶可逆
矩阵，因而存在正交矩阵2P ，2Q '使 2
11212()(,,,)r P R L Q diag a a a '= （2）
其中0i a > 1,2,,i r =。令12(,,
,)r D diag a a a = 2
100m r P P P E -??
'
=?
???
?? ，2
100n r Q Q Q E -??
'
=??????
将（2）代入（1）得 000D A P Q ??'=??
??
且m P P E '=， n Q Q E '=。 例2其实矩阵分解的一个类型，也就是矩阵的奇异值分解问题，而由矩阵的奇异值分解，我们可以得到矩阵的另一种分解模式，即矩阵的极因子分解问题。
TH3：设A 为n 阶实方阵，那么
（1） A 必与分解式 1
1
22()()A AA Q Q AA ''==，其中Q 为正交阵； （2） 当0A ≠时，（1）式中的分解Q 是唯一解。 证明：（1）由矩阵的奇异值分解，知存在正交阵P ，R '，使
000D A P R ??'=??
??
，其中 12(,,,)r D diag a a a =
2
00
0D A A R R ??
''∴=?
??? ，2000D A A P P ??''=????
其中 222
212(,,,)r D diag a a a =
120()00D A A R R ??''∴=??
??
（2） 1
0()00D AA P P ??
''=?
?
??
（3） 其中 12(,,,)r D diag a a a =
用PR '左乘（2）式两边，得
12
0()00D PR A A P R A ??'''==??
??
其中 12(,,,)r D diag a a a =
用PR '右乘（3）式两边，得 1
2()A A P R A ''= 令 P Q R '= 即 11
22()()A AA Q Q A A ''==
（2） 由A 可唯一确定12()A A '，12
()AA '，而当A 非奇异时12
()A A -'存在， 可唯一决定 12
()Q A A A -'=
例4 设A 、B 为任意n 阶实矩阵，且 A A B B ''=，则B QA =，这里Q 为正交矩阵。
证明：
A A
B B ''= ， 11
22()()B B A A ''∴=
由矩阵的极因子分解，我们有
1
1
2222()()B Q B B Q A A ''==， 1
21()A Q A A '=，其中1Q ，2Q 为正交阵，
1
2211()B Q Q Q A A QA ''∴==，这里 21Q Q Q '=为正交阵。
注：当A
是非奇异矩阵时，本条极易证明。由
A A
B B ''= 得
1111()()()BA BA A B BA E ----'''== 这证明1Q BA -=是正交矩阵， B QA ∴=
以上均说明了矩阵分解与正交阵之间的关系，但作为正交阵分解本身而言，也是特殊的。 例5、设A 是正交矩阵，求证：存在正交阵B ，使得3
A B =。 证明：A 是正交阵
∴存在可逆阵P ，使 11221
1122cos sin cos sin sin cos sin cos r
s
P AP diag E E αααααααα-??
--??
??=??
?
??????
?
显然存在正交阵B ，使
11221
1122cos sin
cos sin
3333sin cos sin cos 3333r
s
P BP diag E E αααααααα-??
?
?
??--?
?
?
???=
?
??? ? ?
?
?
???
?
?
??
?
而 131
()P BP P AP --= 3
A B ∴=
证毕。
关于矩阵的分解还有其他多种类型，这里限于篇幅，就不一一列举了。 参考文献： 1、厦门大学高等代数试卷（02年） 2、《高等代数题解精辟》 钱吉林 编 中史民族大学出版社 3、《矩阵理论》 黄廷祝等编 高等教育出版社 4、《代数学辞典》 樊晖 等编 华中师范大学出版社 5、《矩阵理论和代数基础》 李正良编 电子科技大学
第九章 结构的动力计算 一、是非题 1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。 2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。 3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。 4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。 5、图 a 体 系 的 自 振 频 率 比 图 b 的 小 。 l /2 l /2 l /2 l /2(a)(b) 6、单 自 由 度 体 系 如 图 ，W =98.kN ，欲 使 顶 端 产 生 水 平 位 移 ?=001.m ，需 加 水 平 力 P =16kN ，则 体 系 的 自 振 频 率 ω=-40s 1 。 ? 7、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。 8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、桁 架 ABC 在 C 结 点 处 有 重 物 W ，杆 重 不 计 ，EA 为 常 数 ，在 C 点 的 竖 向 初 位 移 干 扰 下 ，W 将 作 竖 向 自 由 振 动 。 A C 10、不 计 阻 尼 时 ，图 示 体 系 的 运 动 方 程 为 ： m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312????????????+--????????????=?????? &&&&()
二、选择题 1、图 示 体 系 ，质 点 的 运 动 方 程 为 ： A ．()()()y l Ps in my EI =-77683θ t &&/； B ．()()my EI y l Ps in &&/+=19273θ t ； C ．()()my EI y l Ps in &&/+=38473θ t ； D ．()()()y l Ps in my EI =-7963θ t &&/ 。 l l 0.50.5 2、在 图 示 结 构 中 ，若 要 使 其 自 振 频 率 ω增 大 ，可 以 A ．增 大 P ； B ．增 大 m ； C ．增 大 E I ； D ．增 大 l 。 l t ) 3、单 自 由 度 体 系 自 由 振 动 的 振 幅 取 决 于 ： A ．初 位 移 ； B ．初 速 度 ； C ．初 位 移 、初 速 度 与 质 量 ； D ．初 位 移 、初 速 度 与 结 构 自 振 频 率 。 4、考 虑 阻 尼 比 不 考 虑 阻 尼 时 结 构 的 自 振 频 率 ： A ．大 ； B ．小 ； C ．相 同 ； D ．不 定 ，取 决 于 阻 尼 性 质 。 5、已 知 一 单 自 由 度 体 系 的 阻 尼 比 ξ=12.，则 该 体 系 自 由 振 动 时 的 位 移 时 程 曲 线 的 形 状 可 能 为 ： D. C. B. A. 6、图 a 所 示 梁 ，梁 重 不 计 ，其 自 振 频 率 () ω=76873 EI ml /；今 在 集 中 质 量 处 添 加 弹 性 支 承 ，如 图 b 所 示 ，则 该 体 系 的 自 振 频 率 ω为 ： A ． () 76873EI ml k m //+； B ．()76873EI ml k m //-； C ． ()76873 EI ml k m //-； D ．()76873 EI ml k m //+ 。
第九章 矩阵位移法 【练习题】 9-1 是非题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。 6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。 7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 9-2 选择题： 1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： (0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0)(1,2,0) (0,0,0)(0,0,3) (1,0,2) (0,0,0) (0,0,0)(1,0,3) (0,0,0) (0,1,2) (0,0,0)(0,3,4) A. B. C. D. 2134123412341234 2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66?，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。 3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比： A ．完全相同； B ．第2、3、5、6行(列)等值异号； C ．第2、5行(列)等值异号； D ．第3、6行(列)等值异号。
第9章 矩阵位移法 习 题 9-1：请给图示结构编号（同时用先处理法和后处理法）及建立坐标。 题9-1图 9-2：求图示连续梁的整体刚度矩阵。 题9-2图 9-3：求图示刚架的整体刚度矩阵。 （c ） （e ）
题9-3图 9-4：求图示组合结构的整体刚度矩阵。 题9-4图 9-5：求图示桁架结构的整体刚度矩阵，所有杆件的EA 均相同。 题9-5图 9-6：求图示排架结构的整体刚度矩阵。 题9-6图 9-7：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。 1kN/m
题9-7图 9-8：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。 题9-8图 9-9：求图示结构的等效结点荷载。 题9-9图 9-10：求出图示结构的荷载列阵。 题9-10图 9-11：求出图示结构的荷载列阵，请分别用先处理法和后处理法进行编号。 q q
题9-11图 9-12：求图示结构的荷载列阵，考虑轴向变形。 题9-12图 9-13：求图示结构的荷载列阵。 题9-13图 9-14：图示连续梁中间支座发生了下向的移动a ，请求出其整体刚度方程。 题9-14图 10kN/m q
9-15：请求出图示连续梁的整体刚度方程。 题9-15图 9-16：求图示连续梁的整体刚度矩阵。 题9-16图 9-17：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。杆件的EI 、EA 相同。 题9-17图 9-18：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。 题9-18图 9-19：图示结构发生了支座移动，请画出结构的内力图。 00
第八章 矩阵位移法 – 老八校 一、判断题： 1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。 3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ?=，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。 7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。 8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。 9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。 11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是： 二、计算题： 12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。 13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。EI ，EA 均为常数。 14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。E 为常数。 15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵 [][]K K 22 24 ,。 16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵[]K 中的元素,,7877K K EA ＝常数。 ,cos α=C ,sin α=S ,C C A ?= S S D S C B ?=?=,，各杆EA 相同。
桁架结构的命令流及GUI操作 如图所示的平面桁架，其水平杆的截面积为0.01㎡，竖直杆和中间两斜杆的截面面积为0.005㎡，两边斜杆的截面面积为0.0125㎡，材料的弹性模量为210GPa,结构尺寸和所受载荷如图所示。（手绘草图，看懂即可哈哈） 命令流： /title,hjjs.hx.2015.7.12 /prep7 k,1, ! 建立关键点 k,2,6 k,3,12 k,4,18 k,5,24 k,6,6,8 k,7,12,8 k,8,18,8 lstr,1,2 !生成直线 lstr,2,3 lstr,3,4 lstr,4,5 lstr,1,6 lstr,2,6 lstr,3,6 lstr,3,7 lstr,3,8 lstr,4,8 lstr,5,8
lstr,6,7 lstr,7,8 et,1,link180 !定义单元 r,1,0.01 !定义截面常数 r,2,0.005 r,3,0.0125 mp,ex,1,2.1e11 !定义材料属性 mp,prxy,1,0.3 lsel,s,,,1,4,1 !给不同的杆分配截面属性lsel,a,,,12,13,1 latt,1,1,1 lsel,s,,,6,10,1 latt,1,2,1 lsel,s,,,5 lsel,a,,,11 latt,1,3,1 alls lesize,all,,,0.5 !划分网格 lmesh,all fini /sol antype,0 dk,1,all !施加约束 dk,5,uy fk,6,fy,-2e5 !施加载荷 fk,8,fy,-2e5 fk,2,fy,-4e5 fk,3,fy,-4e5 fk,4,fy,-4e5 alls solve !求解 fini 下面是后处理过程为GUI操作。
2. 桁架分析 概述 通过下面的例题，比较内部1次超静定桁架和内、外部1次超静定桁架两种结构在制作误 差产生的荷载和集中力作用时结构的效应。 内部1次超静 制作误差5mm 内、外部1次超静定 制作误差5mm 图 2.1 分析模型
材料 钢材类型 : Grade3 截面 数据 : 箱形截面 300×300×12 mm 荷载 1. 节点集中荷载 : 50 tonf 2. 制作误差 : 5 mm →预张力荷载(141.75 tonf) P = Kδ = EA/L x δ = 2.1 x 107 x 0.0135 / 10 x 0.005 = 141.75 to nf 设定基本环境 打开新文件以‘桁架分析.mgb’为名存档。设定长度单位为‘m’, 力单位为‘tonf’。 文件/ 新文件 文件/ 保存( 桁架分析 ) 工具 / 单位体系 长度 > m ; 力> tonf? 图 2.2 设定单位体系
设定结构类型为 X-Z 平面。 模型/ 结构类型 结构类型 > X-Z 平面? 定义材料以及截面 构成桁架结构的材料选择Grade3（中国标准），截面以用户定义的方式输入。 模型 / 特性/ 材料 设计类型 > 钢材 规范 > GB(S) ; 数据库 > Grade3? 模型 / 特性 / 截面 数据库/用户 截面号( 1 ) ; 形状 > 箱形截面 ; 名称(300x300x12 ) ; 用户（如图2.4输入数据）? 图2.3 定义材料图 2.4 定义截面
建立节点和单元 首先建立形成下弦构件的节点。 正面捕捉点 (关) 捕捉轴线 (关) 捕捉节点 (开) 捕捉单元(开) 自动对齐(开) 模型 / 节点/ 建立节点 坐标系 (x , y, z ) ( 0, 0, 0 ) 图 2.5 建立节点