.结构树

DefaultMutableTreeNode(Object userObject);//创建一个具有指 定标签的节点
DefaultMutableTreeNode(Object userObject,boolean allowsChildren ) //创建一个具有制定标签的节点，并且指定
是否允许有子节点 3
Java程序设计
1
1.简单的树
1.树的创建
树状结构是一种常用的信息表现形式，它可以直观的显示出一 组信息的层次机构。Swing中的Jtree类用来创建树，常用的构造方 法如下： JTree(); //创建一个默认的树 JTree(Tree root);//根据根节点创建树 JTree(TreeMode new Model);//根据指定的树模型创建树453.树模板的创建
利用DefaultMutableTreeNode类中的add(MutableTreeNode newChild)为该节点添加子节点。
DefaultTreeModel类实现了TreeModel接口，该类仅提供了两个 构造方法： DefaultTreeModel(TreeNode root); DefaultTreeModel(TreeNode root,boolean asksAllowsChildren);
2
2.树节点的创建
DefaultMutableTreeNode类实现了TreeNode接口，用来创建树的
节点。一个树只能有一个父节点，可以有0个或多个子节点，默认情
况下每个节点都允许有子节点。常用的构造方法如下：
DefaultMutableTreeNode ();//创建一个默认的节点，默认情况允 许有子节点

结构树（Structure Tree）描述结构树用于系统地：●把主题或问题领域（例如：沟通不畅、周转时间、降低存货等等）分割成更细小、更易处理的问题。

或者●发现可能导致问题产生的一个或几个根本原因。

尽管结构树和鱼骨图（因果图）可以相互替代使用（即作为第一部和第二步的工具），但是熟练的问题解决专家建议第一步使用结构树而在第二步使用鱼骨图，这样有助于参与者认清自己处在问题解决程序中的哪个位置并且避免引起混淆。

主要用途步骤对用途的描述第一步-任务2 找出与主题相关的问题第一步-任务3 选择目标问题第二步-任务1 决定采集什么数据第二步-任务2 采集数据第二步-任务3 整理及演示数据第二步-任务4 认别原因程序由于结构树既可以用于第一步又可以用于第二步，并且在每个步骤的使用中存在一些差别，所以我们先对划分主题或问题领域进行描述，然后再对发现根本原因进行描述。

划分主题或问题领域1.在一块演示板或活动挂图（或者你也可以使用一个带有卡片、大头针和线/带子的概要串联图）左下角的方框里填入第一步-任务1里的主题。

2.从方框画出一条水平线，并与一条长的垂直线相连。

从垂直线上画出几条水平线，代表与主体相关的主要问题领域。

顾客满意度问题是？主题问题领域结构树（Structure Tree）程序 3. 把主题细分为几个问题领域。

（续）划分主通过提问下面的基本问题，把主体划分为问题领域：题或问题领域在把主体划分为问题领域时，在垂直线的上方写上一个问题：“问题是？”可以有助于提醒你。

小组可以提出来帮助回答这个基本问题——“问题是什么？”的提问包括：●“你们面临的问题来自哪儿？”●“具体来讲是哪个（小组、功能部门、产品、地理区域，等等）？”●“你所说的…..是指什么？”●“我们对哪些领域感到不满意？”这些问题的答案通常提示了进一步细分的分类标准（即按照产品类型、区域、功能、小组、体系、报告类型、部分等等来细分）。

注意：如果你知道你想关注的是什么具体问题领域，那么第一步的细分工作（即第三步）就不是必需的了。

树结构知识点总结一、树结构的基本概念1.1 树的定义与特点树是一种递归的数据结构，它由结点和边组成，具有以下特点：（1）每个结点都有一个父结点，除了根结点；（2）每个结点可能有零个或多个子结点；（3）从根结点到任意结点之间有且仅有一条路径。

1.2 结点、父结点、子结点、根结点、叶子结点在树结构中，结点是树的基本单位，可以包含数据和指向其他结点的指针。

树结构中有一些特殊的结点概念：（1）父结点：一个结点的直接上级结点称为它的父结点；（2）子结点：一个结点的直接下级结点称为它的子结点；（3）根结点：树的顶层结点称为根结点；（4）叶子结点：没有子结点的结点称为叶子结点。

1.3 深度和高度在树结构中，深度是指从根结点到某个结点的唯一路径的长度。

而高度是指树中结点的最大深度。

1.4 子树在树结构中，一个结点以及它的子结点以及它的子结点的子结点构成的树称为子树。

1.5 有序树和无序树树结构分为有序树和无序树。

有序树中子结点的相对位置是重要的，而在无序树中子结点之间的相对位置不重要。

1.6 二叉树二叉树是一种特殊的树结构，每个结点最多有两个子结点，分别称为左子结点和右子结点。

二叉树是计算机科学中最基本的树结构之一。

1.7 二叉树的特殊类型二叉树有很多特殊类型，如满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、二叉搜索树等，它们在不同的场景中有着不同的应用。

1.8 树结构的表示树结构可以用不同的方式来表示，如数组表示、链表表示、层次遍历表示等。

每种表示方式都有其特点和适用场景。

二、树结构的常见应用2.1 文件系统在计算机中，文件系统通常是以树结构来表示的，每个文件夹是一个结点，而文件夹中的文件是它的子结点。

2.2 组织结构组织结构也可以用树结构来表示，每个员工是一个结点，而领导和下属的关系就是结点之间的父子关系。

2.3 数据库索引在数据库中，经常需要对数据进行索引，以提高查询的效率。

索引通常是以树结构的方式来表示的。

2.4 XML文档XML文档是一种非常常见的数据格式，它本质上就是一棵树。

关于数据结构树的举例
树是一种常见的数据结构，它有根节点、子节点和叶节点组成。

树的一个重要特点是它可以表达具有层次结构的数据。

以下是一些关于数据结构树的举例：
1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树结构。

一种常见的应用是二叉搜索树，其中左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。

2. AVL树：一种自平衡二叉搜索树，用于解决普通二叉搜索
树可能导致的不平衡问题。

AVL树通过旋转操作来使树保持
平衡。

3. 红黑树：另一种自平衡二叉搜索树，也用于解决二叉搜索树可能导致的不平衡问题。

红黑树通过颜色标记节点并进行旋转操作来保持平衡。

4. B树：一种用于在外部存储中组织大量数据的数据结构。

B
树具有多个子节点和键值对，并且在每个节点上有更多的子节点，以减少I/O操作。

5. 堆：一种特殊的树结构，用于快速访问最大或最小元素。

在大根堆中，父节点的值大于或等于子节点的值；在小根堆中，父节点的值小于或等于子节点的值。

6. 树状数组：一种特殊的树结构，用于高效地进行前缀和查询和更新操作。

树状数组通常用于解决区间求和等相关问题。

7. Trie树：一种用于存储和搜索字符串的数据结构。

Trie树逐
个字符存储字符串，并通过每个节点的子节点表示不同的字符。

这些只是数据结构树的一些常见例子，还有许多其他类型的树结构可用于各种应用。

如何快速构建树结构1.使⽤的hutool⽀持库的TreeUtil构建的树，确认maven pom⽂件有导⼊依赖<dependency><groupId>cn.hutool</groupId><artifactId>hutool-all</artifactId><version>5.3.10</version></dependency>2.定义基类，仅id和⽗节点id，节点最基础的属性@Getter@Setter@NoArgsConstructorpublic abstract class BaseTreeNodeDto {/*** 基类，必须有id和⽗节点id*/protected String id;protected String parentId;}3.接⼊不同的数据（区域，部门等等）可以定义⼦类继承基类，定义特有属性。

例如：⼀个idea插件lombok 巨⽆敌好⽤@Getter@Setter@NoArgsConstructor@AllArgsConstructorpublic class DepartMentTreeNode extends BaseTreeNodeDto{public String rank;public String maxRole;}源码：/**** @param list 需要构建树的元素列表* @param root 根节点id，这⾥注意，根节点id⼀定要存在，树的构建从根节点开始* @return List<Tree<String>> 返回⼀个list结构，树的列表*/public static List<Tree<String>> createTree(List list,String root) {TreeNodeConfig config = new TreeNodeConfig();config.setIdKey("id");//转换器，使⽤反射，对属性进⾏映射List<Tree<String>> build = TreeUtil.build(list, root, config, (object, tree) -> {Field[] fields = ReflectUtil.getFieldsDirectly(object.getClass(), true);for (Field field : fields) {String fieldName = field.getName();Object fieldValue = ReflectUtil.getFieldValue(object, field);tree.putExtra(fieldName, fieldValue);}});return build;}。

数据结构树的知识点总结一、树的基本概念。

1. 树的定义。

- 树是n（n ≥ 0）个结点的有限集。

当n = 0时，称为空树。

在任意一棵非空树中：- 有且仅有一个特定的称为根（root）的结点。

- 当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（sub - tree）。

2. 结点的度、树的度。

- 结点的度：结点拥有的子树个数称为结点的度。

- 树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。

3. 叶子结点（终端结点）和分支结点（非终端结点）- 叶子结点：度为0的结点称为叶子结点或终端结点。

- 分支结点：度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。

- 除根结点之外，分支结点也称为内部结点。

4. 树的深度（高度）- 树的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。

树中结点的最大层次称为树的深度（或高度）。

二、二叉树。

1. 二叉树的定义。

- 二叉树是n（n ≥ 0）个结点的有限集合：- 或者为空二叉树，即n = 0。

- 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

2. 二叉树的特点。

- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。

- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

3. 特殊的二叉树。

- 满二叉树。

- 一棵深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。

- 完全二叉树。

- 深度为k的、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

完全二叉树的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上；如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。

三、二叉树的存储结构。

1. 顺序存储结构。

- 二叉树的顺序存储结构就是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。

树的结构是怎样的树从上到下主要分为四部分：树叶、树枝、树干、树根。

叶是植物合成营养物质的器官。

叶子内含有叶绿体，是植物进行光合作用的主要器官。

自然界中的氧气都是由植物的叶子产生的。

同时，植物的蒸腾作用也是通过叶的气孔实现的。

根通常位于地表下面，负责吸收土壤里面的水分及溶解其中的离子，并且具有支持和贮存合成有机物质的作用。

当然，位于地表外的气生根（榕树）也属于根的一种。

树干是植物的运输通道，一方面将由叶子产生的营养物质运输到根部或其他部位，它是在韧皮部中的管道中实现的。

另一方面则是在木质部的管道中实现的，由下到上将根部吸收的水分和无机盐运送到叶部。

树枝也是植物的运输通道，此外它也有支持作用，让植物生长更多的叶子，以便产生适合其自身生长所需要的营养物质。

什么是年轮一个年轮，代表着树木经历了所生长环境的一个周期的变化，通常气候是一年一个变化周期，所以年轮也就代表着一年中树木生长的情况。

根据年轮的数目，可以推知树木的年龄，用来考查森林的年代。

不过，由于形成层有节奏的活动，有时在一年内也有可以产生几个年轮的，这叫假年轮。

像柑属类植物，一年可产生3个年轮。

所以，由年轮计算出来的树木年龄，只能是一个近似的数字。

年轮不仅可用来计算树木的年龄，从年轮的宽窄，还可以了解树木的经历以及树木与当时当地环境气候的关系。

在优越的气候条件下，树木生长得好，木质部增加得多，年轮也就较宽；反之年轮就窄。

比如，树木最初的年轮一般比较宽，这表示那时它年轻力壮，生长力强；有时一棵树在出现了很多窄的年轮以后，突然出现有宽的年轮，这表明在年轮宽的那几年，环境气候适宜，对树木生长有利。

另外，还有偏心的年轮，那就说明树木两边环境不同，通常在北半球朝南的一面较朝北的一面温暖，所以朝南的一面年轮较宽。

通过对年轮变化规律的研究和对它所在地区气候的了解，对制定超长期气象预报及制定造林规划等方面，都有指导意义。

数据结构树的种类树是一种基本的数据结构，用于表示具有层次结构的数据。

它由一组节点组成，其中的每个节点都可以有零个或多个子节点。

树可以有不同的种类，每种种类具有不同的特点和应用场景。

以下是一些常见的树的种类：1. 二叉树（Binary Tree）：二叉树是一种每个节点最多只有两个子节点的树结构。

它可以是空树，或者由一个根节点、左子树和右子树组成。

二叉树具有简单的结构，常用于二分和排序。

2. 二叉树（Binary Search Tree）：二叉树是一种具有以下特点的二叉树：左子树中的所有节点都比根节点小，右子树中的所有节点都比根节点大。

二叉树支持快速的查找、插入和删除操作，并在树中保持有序性。

3. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：平衡二叉树是一种二叉树，但它在插入和删除节点时会自动调整树的结构以保持树的平衡性。

平衡二叉树的常见实现包括 AVL 树和红黑树，它们可以提供在最坏情况下仍保持对数时间复杂度的查找、插入和删除操作。

4. B树（B-Tree）：B树是一种自平衡的树结构，它具有以下特点：每个节点可以有多个子节点，每个节点中的键值有序排列，并且每个节点中的键值数量有一个上限和下限。

B树通常用于大规模数据的存储和数据库系统。

5. Trie树（Trie Tree）：Trie树，也称为字典树或前缀树，是一种专门用于处理字符串集合的树结构。

Trie树的每个节点都代表一个字符串前缀，通过将字符逐级插入树中，可以高效地完成字符串的和查找操作。

6. 线段树（Segment Tree）：线段树是一种用于处理区间查询问题的树结构。

它将要处理的区间划分为一系列离散的线段，并为每个线段创建一个节点。

线段树可以高效地回答关于区间的统计性质，如区间最小值、区间最大值、区间和等。

7. 堆（Heap）：堆是一种完全二叉树，它具有以下特点：对于每个节点，它的值都大于等于（或小于等于）它的子节点的值。

堆被广泛应用于优先队列、排序算法（如堆排序）以及图算法中。

数据结构树的特点
数据结构树是一种非线性的数据结构，它由节点和边组成，具有以下特点：
1. 层级结构：树形结构的节点之间呈现出层级关系，每个节点可以有多个子节点，但只能有一个父节点，除了根节点没有父节点。

2. 唯一性：每个节点在树中都是唯一的，每个节点都可以通过其在树中的位置被唯一地标识。

3. 有根性：树结构中有一个根节点，它是整个树的起点，其他节点都是从根节点开始向下延伸的。

4. 无环性：在数据结构树中，每个节点都不能构成环，即不存在一个节点的子孙节点中存在其祖先节点的情况。

5. 多用途性：数据结构树在计算机科学中应用广泛，例如在搜索、排序、编译器、数据库等领域。

总之，数据结构树是一种重要的非线性数据结构，它采用层级结构，具有唯一性、有根性、无环性等特点，为计算机科学领域提供了广泛的应用场景。

树形结构——树和森林 树形结构——树和森林
TT
讨论的问题
1、树的概念 2、树的遍历 3、树的存储方式 4、二叉树
树的概念
树是一种常见的非线性的数据结构。 树是一种常见的非线性的数据结构 。 树的递归定义如 下： 树是n(n> 个结点的有限集， n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条 件： 有且仅有一个结点没有前件（父亲结点） ⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结 点称为树的根； 点称为树的根； 除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； 除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 这条路径由根开始，而未端就在该结点上， 这条路径由根开始 ， 而未端就在该结点上 ， 且除根以 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（ 外 ， 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件 （ 儿 子结点） 子结点）；
树的表示方法
树的表示方法一般有两种： 自然界的树形表示法：用结点和边表示树， ⑴自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如上图采用的就 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。
⑵括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树 括号表示法： 按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理： 同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔 开，最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式 （r（a（w，x（d（h），e）），b（f），c（s，t（i（m，o， n），j），u）））
1、二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空， 二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以 下条件： ⑴有一个特定的结点称为根； ⑵ 余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ， 其中 R 是根的 余下的结点分为互不相交的子集L 其中R 左子树；L是根的右子树；L 左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树； 由上述定义可以看出， 由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念 ⑴树的每一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每 树的每一个结点可以有任意多个后件， 个结点的后件不能超过2 个结点的后件不能超过2； ⑵树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的 树的子树可以不分次序（除有序树外） 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 右后件为右儿子。 右后件为右儿子。

v 二叉树的特点
§ 在二叉树中，不存在度大于2的结点； § 二叉树是有序树（树为无序树），其子树的顺序不能颠倒。
v 二叉树的基本形态
§ 二叉树有五种不同的形态。
5.2.2 二叉树的性质
石家庄铁道大学
v 性质1
§ 若二叉树的层数从1开始，则二叉树的第k层结点 数，最多为2k-1个（k≥1）。
v 性质2
5.2.2 二叉树的性质
石家庄铁道大学
v满二叉树
§ 深度为k具有2k-1个结点的二叉树，称为满 二叉树。
v完全二叉树
§ 如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树， 它的每一个结点都与深度为k的满二叉树中 编号为1~ n的结点一一对应，则称这棵二叉 树为完全二叉树。 § 完全二叉树又称为顺序二叉树
5.2.2 二叉树的性质
5.2.3 二叉树的存储结构
石家庄铁道大学
v 顺序存贮结构
§ 将一棵二叉树按完全二叉树顺序存放到一个一维数 组中。 § #define MAX_NODE 100 § typedef TelemType SqBiTree [ MAX_NODE ]; § SqBiTree bt;
A B
D
A B C
D
C E F
§ 深度（高度）为k的二叉树最多结点数为2k-1（k ≥ 1）。 § 证明： 深度为k的二叉树，若要求结点数最多，则 必须每一层的结点数都为最多，由性质1可知，最 大结点数应为每一层最大结点数之和， 既为 20 + 21 + … + 2k-1 = 2k-1。
5.2.2 二叉树的性质
石家庄铁道大学
v 性质3
石家庄铁道大学
v 满二叉树是完全二叉树的特例
§ 满二叉树一定是一棵完全二叉树，反之完全二叉树 不一定是一棵满二叉树； § 满二叉树的叶子结点全部在最底层，而完全二叉树 的叶子结点可以分布在最下面两层。

树结构遗传算法遗传算法是一种仿生学启发的优化方法，主要通过模拟自然界中生物进化的过程来问题的解空间。

它的核心思想是将问题的解表示为染色体，通过不断地进化和交叉变异，逐步优化解的质量，最终找到近似最优解。

树结构是计算机科学中常见的一种数据结构，它是由若干个节点构成，并通过连接这些节点的边来表示节点之间的关系。

树结构具有分层的特点，通常用于存储有层次关系的数据，比如文件系统、组织结构等。

将遗传算法应用于树结构的优化问题，可以有效地解决一些实际应用中的复杂问题。

下面将详细介绍遗传算法在树结构问题中的应用过程。

1.初始种群生成：在遗传算法中，初始种群是指一组随机生成的个体，每个个体对应一个树结构的解。

生成初始种群可以使用随机算法、启发式算法等方法。

对于树结构而言，可以通过规定树的结构和节点属性，随机生成一些符合条件的树结构解作为初始种群。

2.适应度函数定义：适应度函数用于评估每个个体的适应性，即其对解决问题的贡献程度。

在树结构优化问题中，适应度函数通常根据问题的实际情况定义，可以衡量个体解的质量。

比如，对于组织结构优化问题，可以将适应度函数定义为组织结构的稳定性、效益等指标。

3.选择操作：选择操作是指按照适应度函数的值，从当前种群中选择一部分个体作为下一代种群的父代。

通常采用的选择算法有轮盘赌算法、锦标赛算法等。

选择过程中，适应度较高的个体有更高的概率被选中，从而保留了较好的解。

4.交叉操作：交叉操作是指从父代种群中选择一对个体，通过其中一种方式将它们的染色体片段进行互换，产生新的子代个体。

在树结构问题中，交叉操作可以通过随机选择节点或者子树进行交换。

交叉操作的目的是增加种群的多样性，使得下一代个体具有更好的能力。

5.变异操作：变异操作是指对子代个体的染色体进行随机的微小改变，以增加空间的探索范围。

在树结构问题中，变异操作可以包括节点属性的变化、树结构的改变等。

变异操作的目的是保持种群的多样性，防止陷入局部最优解。

第五章树11．不含任何结点的空树( )A）是一棵树 B）是一棵二叉树Ｃ）既不是树也不是二叉树 D）是一棵树也是一棵二叉树12．二叉树是非线性数据结构，所以( )A）它不能用顺序存储结构存储; B）它不能用链式存储结构存储;C）顺序存储结构和链式存储结构都能存储; D）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用13．把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是( )A）唯一的 B）有多种C）有多种，但根结点都没有左孩子 D）有多种，但根结点都没有右孩子9. 11 ， 8 ， 6 ， 2 ， 5 的叶子结点生成一棵哈夫曼树，它的带权路径长度为（）A) 24 B)72 C) 48 D) 5310.一棵含18个结点的二叉树的高度至少为( )A) 3 B) 4 C) 6 D) 511.下面的二叉树中，( C )不是完全二叉树。

10. 设结点x和结点y是二叉树T中的任意两个结点，若在前序序列中x在y之前，而在中序序列中x在y之后，则x和y的关系是（）A）x是y的左兄弟 B）x是y的右兄弟C）y是x的祖先 D）y是x的孩子11.设二叉树根结点的层次为1，所有含有15个结点的二叉树中，最小高度是（）A） 6 B） 5 C） 4 D） 37．下列陈述中正确的是（）A）二叉树是度为2的有序树B）二叉树中结点只有一个孩子时无左右之分C）二叉树中必有度为2的结点D）二叉树中最多只有两棵子树，并且有左右之分8. 树最适合用来表示（）A）有序数据元素 B）无序数据元素C）元素之间具有分支层次关系的数据 D）元素之间无联系的元素9. 3个结点有（）不同形态的二叉树A） 2 B） 3 C） 4 D） 56．二叉树是非线性数据结构，( )A）它不能用顺序存储结构存储; B）它不能用链式存储结构存储;C）顺序存储结构和链式存储结构都能存储;D）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用7．二叉树上叶结点数等于( )A ) 分支结点数加1B ) 单分支结点数加1C ) 双分支结点数加1D ) 双分支结点数减18．如将一棵有n个结点的完全二叉树按顺序存放方式，存放在下标编号为0, 1,…, n-1的一维数组中，设某结点下标为k(k>0)，则其双亲结点的下标是( )A ) (k-1)/2B ) (k+1)/2C ) k/2D ) k-18. 树最适合用来表示（）。

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四、树木根系在土壤中的分布
? 1.水平分布:沿着土壤表层平行状态分布向四周横 向发展的根，为水平根。在肥沃的根作层，须根 多，吸收能力强，对树木地上部的营养供应起着 重要的作用。
? 自然生长情况下，树木根系水平分布的扩展范 围(即根幅)多为树冠水平扩展范围（即冠幅 )的2一 5倍。但树木根系水平分布的密集区域 (即根盘)， 一般是在树冠垂直投影外缘及其以内范围 :而吸收 根的水平分布密集区域则主要在树冠垂直投影外 缘的内外侧之间，这里就是树木施肥的最佳区域 。
11
树体的地下部分 (根的结构和生长发育 ) 根的主要功能 :
顶端具有很强的分生能力，并能不断发生侧根 形成庞大的根系，有效地发挥其吸收、固着、 输导、合成、贮藏和繁殖的功能。
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一、根的类型:
? 1.实生根:通过实
生繁殖的园林树
木，特点是:主根
发达，分布较深
，固着能力好，
阶段发育年龄幼
，吸收力强，生
21
3.影响因素:影响树木根系在土壤中分布的因 素很多，但最主要的是根系类型和土壤条 件。一般主根型垂直分布深而水平分布较 窄;水平根型则相反;侧根型和须根型介于二 者之间。在干旱贫瘠的土壤中，根系分布 得更深更广;而在肥沃湿润的土壤中，根系 分布相对集中。
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五、根系的生长
（一）影响根系生长的因素 1.土地温度:最小5-lo，最适15-20，最大40 2.土地湿度:达最持水量的60-80%时，为最适宜根系生长。 （1） 过干一木栓化(木栓化:是细胞壁内渗入了脂肪性的木
常用术语和定义
(2) 分枝点 乔木主干上开始出现分枝的部位 。
(3) 主干 乔木或非丛生灌木地面上部与分枝 点之间部分，上承树冠，下接根系。

构树树叶成分构树树叶是指通过构造主干、树枝和树叶等部分，形成具有层次结构的树状图形的一种可视化表达方式，通常用于表示计算机科学领域中的算法、数据结构等关系。

构树树叶成分指的是构树中的叶子节点，也就是树的最终端节点。

以下是关于构树树叶成分的详细介绍：1. 构树概述：构树（Tree）是一种层次结构，它由节点和边组成。

每个节点有一个父节点和零个或多个子节点，其中最顶部的节点称为根节点。

构树通常用于表示树形数据结构，例如文件系统、目录结构、组织架构等。

2. 构树树叶成分：在构树中，树叶成分指的是树的最底部、没有子节点的节点，也就是树的末梢节点。

在树状结构中，树叶通常表示具体的数据元素、终端节点或终端操作。

在计算机科学中，树叶成分常用于存储实际的数据或信息。

3. 树叶的性质：无子节点：树叶是没有子节点的节点，它是树中的末梢节点。

存储数据：树叶通常用于存储实际的数据或信息，例如文件、文本、图像等。

层次结尾：树叶是树的层次结构的终端，没有进一步的分支。

4. 构树树叶在算法和数据结构中的应用：二叉树的叶子节点：在二叉树中，叶子节点是没有左子树和右子树的节点，它们是二叉树的末梢节点。

哈夫曼树的叶子节点：在哈夫曼树中，叶子节点代表字符，并且它们是构建哈夫曼编码的基础。

分支限界法中的状态节点：在分支限界法解决问题时，树的叶子节点表示已经搜索到的解。

5. 树叶成分的图示：树叶成分通常在构树的图示中以特殊的标志或形状表示，以区分其为树的叶子节点。

6. 树叶的应用场景：在图形学中，构树树叶成分的概念常用于生成自然景观的树木模型，其中树叶表示树木的末梢。

在组织架构图中，树叶节点可能表示组织中的具体员工或成员。

总体而言，构树树叶成分是构树中的末梢节点，用于表示树的最终端节点，通常存储实际的数据或信息。

这一概念在计算机科学中的算法、数据结构以及图形学等领域都有广泛的应用。

图 1 树的层次结构 由图 1 可以看出树的形状就像一棵现实中的树，只不过是倒过来的。
树的相关术语
1. 一个结点的儿子结点的个数称为该结点的度。 一棵树的度是指该树中结点 的最大度数。 2. 树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
3. 树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。 除根结点外的分枝结点 统称为内部结点。 例如在图 1 中，结点 A，B 和 E 的度分别为 3，2，0。其中 A 为根结点,B 为内 部结点，E 为叶结点，树的度为 3。 4. 如果存在树中的一个结点序列 K1,K2,..,Kj， 使得结点 Ki 是结点 Ki+1 的父结 点(1≤i≤j)，则称该结点序列是树中从结点 K1 到结点 Kj 的一条路径或道路。我们称这 条路径的长度为 j-1，它是该路径所经过的边(即连接两个结点的线段)的数目。树中 任一结点有一条到其自身的长度为零的路径。 例如，在图 1 中，结点 A 到结点 I 有一条路径 ABFI，它的长度为 3。 5. 如果在树中存在一条从结点 K 到结点 M 的路径， 则称结点 K 是结点 M 的 祖先，也称结点 M 是结点 K 的子孙或后裔。 例如在图 1 中， 结点 F 的祖先有 A， B 和 F 自己， 而它的子孙包括它自己和 I,J。 注意，任一结点既是它自己的祖先也是它自己的子孙。 6. 我们将树中一个结点的非自身祖先和子孙分别称为该结点的真祖先和真 子孙。在一棵树中，树根是唯一没有真祖先的结点。叶结点是那些没有真子孙的结 点。子树是树中某一结点及其所有真子孙组成的一棵树。 7. 树中一个结点的高度是指从该结点到作为它的子孙的各叶结点的最长路 径的长度。树的高度是指根结点的高度。 例如图 1 中的结点 B，C 和 D 的高度分别为 2，0 和 1，而树的高度与结点 A 的高度相同为 3。 8. 从树根到任一结点 n 有唯一的一条路径， 我们称这条路径的长度为结点 n 的深度或层数。根结点的深度为 0，其余结点的深度为其父结点的深度加 1。深度相 同的结点属于同一层。 例如，在图 1 中，结点 A 的深度为 0；结点 B，C 和 D 的深度为 1；结点 E，F， G，H 的深度为 2；结点 I 和 J 的深度为 3。在树的第二层的结点有 E，F，J 和 H， 树的第 0 层只有一个根结点 A。 9. 树的定义在某些结点之间确定了父子关系， 我们又将这种关系延拓为祖先 子孙关系。但是树中的许多结点之间仍然没有这种关系。例如兄弟结点之间就没有 祖先子孙关系。如果我们在树的每一组兄弟结点之间定义一个从左到右的次序，则 得到一棵有序树；否则称为无序树。设结点 n 的所有儿子按其从左到右的次序排列 为 n1,n2,..,nk，则我们称 n1 是 n 的最左儿子，或简称左儿子，并称 ni 是 ni-1 的右邻兄 弟，或简称右兄弟(i=2,3,..k)。 图 2 中的两棵树作为无序树是相同的，但作为有序树是不同的，因为结点 a 的 两个儿子在两棵树中的左右次序是不同的。后面，我们只关心有序树，因为无序树 总可能转化为有序树加以研究。

(a)一般二叉树 数组 下标
(b)完全二叉树
A
0
B
1
C
2
Λ D
3 4
E
5
Λ Λ Λ F
6 7 8 9
Λ Λ G
10 11 12
25
（c)在数组中的存储形式
链式存储结构
二叉树的链式存储结构是指用链表的形式来存储二叉 树，即用指针来指示元素之间的逻辑关系。最常用的有二 叉链表和三叉链表。 1. 二叉链表存储 每个结点由三个域组成，一个数据域和两个指针域。 两个指针lchild和rchild分别指向其左孩子和右孩子结点。
（1）访问根结点；
（2）先序遍历根结点的左子树； （3）先序遍历根结点的右子树。
31
（二）中序遍历二叉树的递归算法为： 若二叉树为空，则算法结束；否则： (1）中序遍历根结点的左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历根结点的右子树。
（三）后序遍历二叉树的递归算法为： 若二叉树为空，则算法结束；否则： （1）后序遍历根结点的左子树； （2）后序遍历根结点的右子树；
lchild
data
rchild
结点结构描述为： typedef struct BiTNode{ ElemType data; /*数据域*/ struct BiTNode *lchild, *rchild; /*左右指针域*/ }BTNode;
26
2. 三叉链表存储
每个结点由四个域组成，具体结构如图6-6所示：
lchild
左孩子
data
数据
parent rchild
双亲 右孩子
typedef struct BiTNode{ ElemType data; /*数据域*/ struct BiTNode *lchild, *rchild,*parent; /*左、右及双亲指针域*/ }BTNode_p;