下载文档原格式
树的四种存储表示方法
树是一种常见的数据结构，由节点和边组成，节点之间的关系是层级的。
树的存储方式有四种，分别是双亲表示法、孩子兄弟表示法、双向链表表示法和数组表示法。
1. 双亲表示法
双亲表示法是指每个节点都有一个指向其父节点的指针，根节点的指针为null。
这种表示法简单易懂，但是查找父节点比较麻烦。
2. 孩子兄弟表示法
孩子兄弟表示法是指每个节点都有指向其第一个孩子节点和下
一个兄弟节点的指针。
这种表示法可以方便地查找子节点和兄弟节点，但是查找父节点比较麻烦。
3. 双向链表表示法
双向链表表示法是指每个节点都有指向其父节点、第一个子节点和下一个兄弟节点的指针。
这种表示法可以方便地查找父节点、子节点和兄弟节点。
4. 数组表示法
数组表示法是指将节点存储在一个数组中，每个节点的位置和数组下标一一对应。
这种表示法可以方便地查找父节点、子节点和兄弟节点，但是浪费空间，因为如果树的深度不够大，数组中会存在大量的空节点。
以上四种树的存储表示方法各有利弊，根据具体情况选择最合适的方法可以提高程序的效率。
树的种类大全
树是地球上最古老的生物之一，它们以其独特的形态和功能在自然界中扮演着
重要的角色。
树木种类繁多，形态各异，今天我们就来一起了解一下树的种类大全。
首先，我们来介绍一些常见的落叶树。
槭树，又称枫树，是一种常见的落叶树，它的叶子呈掌状分裂，秋天时变成红色或黄色，非常美丽。
榉树是另一种常见的落叶树，它的叶子呈椭圆形，秋天时变成金黄色。
此外，榉树的木材质地坚硬，是一种优质的木材来源。
接下来，我们来介绍一些常见的常绿树。
松树是一种常见的常绿树，它的针叶
呈束状生长，树冠呈锥形，是一种非常具有观赏价值的树种。
柏树也是常见的常绿树，它的叶子呈鳞片状，树干笔直，是一种优质的观赏树种。
除了以上介绍的常见树种外，还有一些特殊的树种也值得我们了解。
比如，银
杏树是一种古老的树种，其叶子呈扇形，秋天时变成金黄色，非常美丽。
银杏树被誉为“活化石”，具有很高的观赏价值和科研价值。
另外，水杉是一种生长在水中的树种，它的树干呈锥形，树叶呈羽状，非常适合生长在湿地环境中，是一种重要的湿地树种。
除了以上介绍的树种外，还有很多其他种类的树，它们形态各异，生长环境不同，但都对我们的生活和自然环境有着重要的作用。
通过了解不同种类的树，我们可以更加深入地了解自然界的奥秘，也能更好地保护和利用这些宝贵的自然资源。
总的来说，树的种类繁多，每一种树都有其独特的特点和价值。
通过对不同种
类树木的了解，我们可以更好地欣赏自然的美丽，也可以更好地保护和利用这些宝贵的自然资源。
希望大家在日常生活中能够多关注身边的树木，让我们共同努力，保护我们共同的家园。
树的四种遍历方式
树是一种重要的数据结构，它可以用来表示层次关系、家族关系等等。
在处理树的问题时，我们需要了解树的四种遍历方式，它们分别是前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历。
前序遍历：从树的根节点开始，先输出根节点的值，然后按照从左到右的顺序依次遍历左子树和右子树。
因此，前序遍历的顺序是根节点、左子树、右子树。
中序遍历：从树的根节点开始，先遍历左子树，输出左子树的值，再输出根节点的值，最后遍历右子树并输出右子树的值。
因此，中序遍历的顺序是左子树、根节点、右子树。
后序遍历：从树的根节点开始，先遍历左子树，然后遍历右子树，最后输出根节点的值。
因此，后序遍历的顺序是左子树、右子树、根节点。
层次遍历：从树的根节点开始，逐层遍历树中所有节点。
具体地，从根节点开始，先输出根节点的值，然后依次输出第二层、第三层……直到最后一层的所有节点的值。
在同一层中，我们按照从左到右的顺序输出节点的值。
掌握树的四种遍历方式非常重要，这不仅可以帮助我们更好地理解树的结构，还可以为我们解决树相关的算法问题提供有力的支持。
- 1 -。
树牌：1桂花树（Osmanthus fragrans）别名：木犀、丹桂、岩桂。
科属：木犀科常绿灌木或乔木。
胸径：65CM树龄：103特征：移植自遵义、湄潭。
该树高达米。
桂花的品种很多，常见的有四种：金桂、银桂、丹桂和四季桂。
该树属桂。
桂花原产我国西南和中部，现广泛栽种于长江流域及以南地区，喜温暖湿润的气候，耐高温而不耐寒，为温带树种。
桂花叶茂而常绿，树龄长久，秋季开花，芳香四溢，是我国特产的观赏花木和芳香树。
湖北咸宁地区成片种植甚多，是桂花之乡。
成都、杭州、桂林亦是丹桂成林，蔚为壮观。
在贵州的某地区，世代流传着一个动人的传说：有一户善良的人家在院子里栽了一棵桂花树。
当桂花树开出金黄色香气扑鼻的花时，主人生下了一个如花似玉的女儿，取名叫桂花。
她聪明伶俐，活泼可爱。
长大后的桂花亭亭玉立，能歌善舞，人见人爱。
有一个财主的独子长相丑陋，横行乡里，对桂花垂涎三尺，想霸占她。
桂花不畏权贵，坚决地拒绝了财主一家。
财主施出阴谋诡计，用计霸占了桂花。
桂花坚决不从，化身为一棵桂花树，永远在村寨里花香四溢。
桂花树象征着高洁、尊贵、美丽、勇敢。
2桂花树（Osmanthus fragrans）别名：木犀、丹桂、岩桂。
科属：木犀科常绿灌木或乔木。
胸径：60CM树龄：100特征：移植自遵义、湄潭。
该树高达米。
桂花的品种很多，常见的有四种：金桂、银桂、丹桂和四季桂。
该树属桂。
桂花原产我国西南和中部，现广泛栽种于长江流域及以南地区，喜温暖湿润的气候，耐高温而不耐寒，为温带树种。
桂花叶茂而常绿，树龄长久，秋季开花，芳香四溢，是我国特产的观赏花木和芳香树。
湖北咸宁地区成片种植甚多，是桂花之乡。
成都、杭州、桂林亦是丹桂成林，蔚为壮观。
关于此棵桂花树的由来，还流传着这样的传说：当时有一云游僧来到林城贵阳，并带来一株桂花树苗。
树苗是云游和尚在浙江杭州灵隐山“飞来峰”南的“下天竺寺”所取的品种，时人遂有“天竺桂花”之称。
每逢农历九、十月份，桂花盛开，香随风溢，沁人心脾。
院子里最适合种的四种树院子是我们家庭温馨生活的重要组成部分，但是如果院子里没有树的话就会显得单调无趣。
因此，种植一些适合院子的树木可以改善院子的生态环境和美化院子的景观。
那么，究竟有哪些树木是最适合种在院子里的呢？首推的是樱花树。
樱花树是一种极富观赏价值的树木，每年的春天会开出美丽的花朵，成为人们喜欢的文化象征。
而且，樱花树很适合种在院子里，因为它的枝叶柔软、树形优美，可以为院子增添浪漫的氛围。
在选择樱花树的时候，要注意选购适合当地气候的品种，才能得到最好的观赏效果。
其次，是银杏树。
银杏树是一种高大的乔木，树干粗壮，树冠高耸，叶子呈金黄色，非常华丽。
种植银杏树可以使院子增加华丽高雅的气息，而且它的叶子掉落后会形成铺满地面的金黄地毯。
银杏树耐寒、适应性强，不仅适合种植在城市公园和街道两侧，也非常适合种在家庭院子里。
第三，是枫树。
枫树是一种四季变化丰富的树木，春季嫩绿的叶子，夏季翠绿的叶子，秋季金黄红绿相间的叶子，冬季叶子凋落，形成优美的树型，非常适合种在院子里。
种植枫树不仅可以为院子增加颜色变化，还可以吸收空气中的有害物质，提高空气质量。
枫树对外界的环境要求不高，适应性强，是种植在院子里的理想树木之一。
最后，要提到的是榆树。
榆树是一种叶型形态优美、树干粗壮、树冠遮荫广阔的树木，它耐寒、耐阴、适应性强，是一种不错的院子树种。
种植榆树可以为院子增加自然的气息，让院子更具生机。
而且，榆树还有防护土地的作用，能够防止土壤侵蚀，保护土地资源。
在选择院子树种时，除了上述的几种，还要根据当地的气候、土壤、土地面积等多种因素进行综合考虑。
例如，南方适合种植桂花、柚子等树种，北方适合种植苹果、李子等树种。
综合考虑后，选购适合的树种，认真栽种和养护，才能使院子生长出绿意盎然、具有美观价值的树木，让我们的生活更加美好。
关于香蕉树的知识香蕉树是热带和亚热带地区常见的一种果树，其果实香甜可口、富含营养，又被称为“热带水果中的健康七巧板”。
在细致了解香蕉树的知识后，我们可以更好地了解这个含苞待放的“金子”，我将在本文中介绍香蕉树的生长习性、品种分类、生长环境及适宜的栽培技术，以期能够帮助读者更好地了解这种美妙植物。
一、生长习性香蕉树是一种常绿多年生草本，根系发达，可以长到近10米高，直径约1.5米。
香蕉叶片宽大，呈箭头形状，叶片顶端呈钝角状，叶子的肉质部分被称为“叶肉”，皮薄易脱落。
香蕉花序为圆锥花序，花序末端长出一串由许多香蕉单果组成的果序，果实数量在10-20个之间，果实因为受到太阳晒后呈现出亮黄色。
香蕉果实由果皮、果肉、种子三部分组成。
二、品种分类由于香蕉树遍布在世界各地，不同地方的香蕉种类也不尽相同，主题基于不同依据进行分类的分类有以下五种：1、色彩分类：这种分类方法是根据香蕉皮的颜色不同而确定的，包括红色香蕉、黄色香蕉和绿色香蕉三种。
2、果体大小分类：这种分类方法是根据香蕉单果的大小进行分类的，包括巨大型、大型、中型和小型四种。
3、成熟时间分类：这种分类方法是根据香蕉树果实的成熟时间来进行分类的，包括短周期、中周期和长周期三种。
4、用途分类：这种分类方法是根据香蕉的用途来进行分类的，包括食用型、栽培型、药用型和装饰型四种。
5、食用质量分级分类：这种分类方法是根据香蕉果实的食用质量进行分类的，包括一等、二等、三等和四等四种。
三、生长环境香蕉树适宜生长的温度范围广泛，一般在24℃左右即可，树体对水要求较高，一定要保持足够的水分。
香蕉的根系喜欢酸性的土壤，ph值一般在6.5-7.5的范围内较适宜。
香蕉生长在明亮的环境中，光照充足而且均匀，也很喜欢湿度适中的环境。
四、适宜的栽培技术1、土壤要保持透气性：香蕉根系切记不能深埋，土壤要充分疏松，不宜使用具有大量成分的化学肥料。
2、常规保持株形：香蕉树须保持竹管状或略呈漏斗形，中部不宜过长。
Search trees：实例--二叉搜索树什么是二叉搜索树二叉搜索树(Binary Search Tree)是一棵有序的二叉树，所以我们也可以称它为二叉排序树（不知道二叉树的童鞋，先看看二叉树：传送门）。
具有以下性质的二叉树我们称之为二叉搜索树：若它的左子树不为空，那么左子树上的所有值均小于它的根节点；若它的右子树不为空，那么右子树上所有值均大于它的根节点。
它的左子树和右子树分别也为二叉搜索树。
2、二叉搜索树的结构二叉搜索树能够高效的进行一下操作：①插入一个数值②查询是否包含某个数值③删除某个数值根据实现的不同，还可以实现其他各种操作，这是一种使用性很高的数据结构。
我们来看一个例子：这就是二叉搜索树的存储结构，所有的节点，都满足左子树上的比自己小，而右子树上的所有节点比自己大。
二叉搜索树因为其有序性，所以它能够高效的管理数的集合(1)查询我们查找是否存在17：<1>根节点是7，因为小于17，所以去右子树查找<2>走到节点12，还是小于17，所以继续往右子树找<3>走到节点17，此时找到17。
(2)插入我们使用查找的方式进行插入，以数字6为例，如图所示：(3)删除删除操作相对之前的其他两种操作，就略显复杂一些。
一般来说我们可以分为三种情况：<1>需要删除的节点没有左儿子，那么就把右儿子提上去<2>需要删除的节点的左儿子没有右儿子，那么就把左儿子提上去<3>不满足上述的两种情况的话，就把左子树中最大的节点放到要删除的节点上。
3、二叉搜索树的复杂度无论我们执行哪一个操作，其所花的时间都和树的高度成正比。
我们不难得知，二叉搜索树的平均复杂度为O(log n)。
4、二叉搜索树的实现通过上述的了解，我们大致已经知道二叉搜索树的工作原理。
所以现在我们就来简单的实现二叉搜索树基本的增删查的功能，代码如下：[cpp]view plain copy1.//表示节点的结构体2.struct node{3.int val;4.node*lch,*rch;5.};6.//插入整数x7.node*insert(node*p,int x){8.if(p==NULL){9.node*newNode=new node;10.newNode->val=x;11.newNode->lch=newNode->rch=NULL;12.p=newNode;13.}else{14.if(x<p->val)p->lch=insert(p->lch,x);15.else p->rch=insert(p->rch,x);16.}17.return p;18.}19.//查找整数x20.bool find(node*p,int x){21.if(p==NULL)return false;22.else if(p->val==x)return true;23.else if(p->val>x)return find(p->lch,x);24.else return find(p->rch,x);25.}26.//删除整数x27.node*remove(node*p,int x){28.if(p==NULL)return NULL;29.else if(x<p->val)p->lch=remove(p->lch,x);30.else if(x>p->val)p->rch=remove(p->rch,x);31.//情况<1>32.else if(p->lch==NULL){33.node*q=p->rch;34.delete p;35.return q;36.}37.//情况<2>38.else if(p->lch->rch==NULL){39.node*q=p->lch;40.q->rch=p->rch;41.delete p;42.return q;43.}44.//情况<3>45.else{46.node*q;47.for(q=p->lch;q->rch->rch!=NULL;q=q->rch);48.node*r=q->rch;49.q->rch=r->lch;50.r->lch=p->lch;51.r->rch=p->rch;52.delete p;53.return r;54.}55.return p;56.}Heaps；实例--斐波那契堆斐波纳契堆（Fibonacci Heap）于1984年由Michael L.Fredman与Robert E.Tarjan 提出，1987年公开发表，名字来源于运行时分析所使用的斐波那契数。
斐波那契堆同二项堆（Binomial Heap）一样，也是一种可合并堆（Mergeable Heap）。
与二项堆一样，斐波那契堆是由一组最小堆有序树构成，但堆中的树并不一定是二项树。
与二项堆中树都是有序的不同，斐波那契堆中的树都是有根而无序的。
特点：不涉及删除元素的操作有O(1)的平摊时间。
Extract-Min和Delete的数目和其它相比较小时效率更佳。
关键思想在于尽量延迟对堆的维护稠密图每次Decrease－key只要O(1)的平摊时间，和二项堆的O(lgn)相比是巨大的改进。
斐波那契堆的结构较二项堆更松散。
因此对结构的维护可以到方便时再做。
斐波那契堆中的树是有根而无序的。
每个节点包含一个指向其父节点的指针p[x]，以及一个指向其任一子女的指针child[x]（指向子女双链表）。
每个孩子有left[x]和right[x]。
（意义：在O(1)的时间内去掉一个节点，或者在O(1)的时间内合并双链表。
）其它域：degree[x]存储子女个数。
mark[x]指示自从x上一次成为另一节点的子女以来，它是否失掉一个孩子。
一个给定的斐波那契堆可以通过一个指向其含有最小关键字树的指针来访问。
斐波那契堆的关键思想在于尽量延迟对堆的维护。
创建一个新的斐波那契堆：MAKE_Fib_Heap有O(1)的代价。
插入一个节点：分三步进行：1，为新的节点置p，child，left，right，mark等域。
时间消耗：O(1)。
2，将包含x的根表和根表H连接。
时间消耗：O(1)。
3，在O(1)的时间内调整指向该堆的指针min[x]时间消耗：O(1)。
以节点数表示势。
势的增加为1，实际代价为O(1)。
所以平摊代价为O(1)。
寻找最小节点：min[x]指向的节点即为最小节点。
因为势没有变化，所以这个操作的平摊代价为O(1)。
合并两个斐波那契堆：分为3步：1。
合并根表2。
设置新的min[h]3。
重置n[x]。
抽取最小节点：这是最复杂的工作。
被延迟的对根表的调整工作最终由这个操作进行。
1。
去掉最小值，将其每个孩子都加入根表。
2。
将相同度数树的合并。
调整根表的步骤1。
在根表中找出两个具有相同度数的根x和y，且key[x]《key[y]2。
将y与x连接。
将y从根表里去掉，成为x一个孩子，并增加degree[x]。
减小一个节点的权1。
若此减小不影响堆序，不作调整。
2。
若影响堆序，则从堆中删除该节点，将其加入根表。
并检查其父亲的mark位。
若为false，则停止，并将其置为true。
若为true，则删除其父亲，继续递归向上执行。
直到一个节点mark域为false或该节点为根节点为止。
删除一个节点：1。
将该节点权调整至最小2。
抽取最小值。
证明最大度数界：证明删除或extract－min的平摊时间为O（lgn)。
引理1：设x为斐波那契堆中任一节点，并假设degree[x]=k。
设y1，y2，。
yk表示按与x链接的次序排列的x的子女，从最早的到最迟的，则对i=2,3,...,k，有degree[y1]>=0且degree[yi]>=i-2证明：显然degree[y1]》=0对i>=2，注意到y1被链接到x上时，y1，y2，。
yi－1都是x的子女，故我们必有degree[x]>=i-1又仅当degree[x]=degree[yi]时，才将yi链接到x上。
故此时必有degree[yi>=i-1，在此之后，节点yi至多失去一个孩子，因为失去两个就被切断了。
所以degree[yi]>=i-2引理2：对所有的整数k>=0，Fk+2=1+sum（Fi）[0<=i<=k]，F为斐波那契数。
用数学归纳法证明。
并可证明不等式Fk+2>=G^k，其中G为黄金分割率。
(1+5^0.5)/2=1.161803...引理3：设x为斐波那契堆中任一节点，并设k=degree[x]，那么，size(x)>=Fk+2>=G^k。
推论：在一个包含n个节点的斐波那契堆中节点的最大度数为O(lgn)。
对于斐波那契堆上的各种可合并操作，关键思想是尽可能久地将工作推后。
例如，当向斐波那契堆中插入新结点或合并两个斐波那契堆时，并不去合并树，而是将这个工作留给EXTRACT-MIN操作Spatial data partitioning trees：实例--Burkhard-Keller树BK树或者称为Burkhard-Keller树，是一种基于树的数据结构，被设计于快速查找近似字符串匹配，比方说拼写检查器，或模糊查找，当搜索”aeek”时能返回”seek”和”peek”。
为何BK-Trees这么酷，因为除了穷举搜索，没有其他显而易见的解决方法，并且它能以简单和优雅的方法大幅度提升搜索速度。
在定义BK树之前，我们需要预先定义一些操作。
为了索引和搜索字典，我们需要一种比较字符串的方法。
编辑距离（Levenshtein Distance）是一种标准的方法，它用来表示经过插入、删除和替换操作从一个字符串转换到另外一个字符串的最小操作步数。
其它字符串函数也同样可接受（比如将调换作为原子操作），只要能满足以下一些条件。
除了字符串匹配、查找回文串、查找重复子串等经典问题以外，日常生活中我们还会遇到其它一些怪异的字符串问题。
比如，有时我们需要知道给定的两个字符串“有多像”，换句话说两个字符串的相似度是多少。
1965年，俄国科学家Vladimir Levenshtein给字符串相似度做出了一个明确的定义叫做Levenshtein距离，我们通常叫它“编辑距离”。
字符串A到B的编辑距离是指，只用插入、删除和替换三种操作，最少需要多少步可以把A变成B。
例如，从FAME到GATE需要两步（两次替换），从GAME到ACM则需要三步（删除G和E 再添加C）。
