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牛顿插值法

牛顿插值法
牛顿插值法

题目:牛顿插值法在凸轮修正设计中

的应用

算法:Newton插值法

组号:6

组员:赵冬冬闫鹏田二方李婵娟张帅军郑亚军刘洋郭洋波

牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用

赵冬冬,闫鹏,田二方,李婵娟,郭洋波,张帅军,郑亚军,刘洋(河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作 454000)

摘要:本文利用牛顿插值法,提出了一种简单实用的凸轮工作轮廓线的修正方法。首先对要进行修正的的曲线附近的一些离散点的数据进行分析处理,确定插值多项式的阶次以满足高精度和低运算量的要求。然后利用Matlab编程计算出插值点的值,并进行误差分析,实现对凸轮的局部工作廓线进行修正。

关键词:凸轮轮廓线;牛顿插值;修正

Interpolation method Newton inthe design of CAM fixed application ZHAO Dongdong,YAN Peng,TIAN Erfang,LI Chanjuan,,GUO Yangbo,ZHANG

Shuaijun,ZHENG Yajun,LIU Yang

(School of Machinery and power engineering Henan polytechnic

uiversity ,Jiaozuo 454000)

Abstract: Based on the Newton interpolation method, we put forward a simple but practical solution to the work of the cam contour correction. Firstly,we rehandle the discrete data nearby the premodifying curve and get the order of the polynomial to meet the demand of high precision and low computation.Then The Newton interpolation and error analysis are realized by matlab programming. SO far ,we’ve resolved the problem of the cam contour correction .

Key words: Newton interpolation; cam contour;correction

0.问题背景

在自动包装机或包装线中,为保证各个机械间歇运动的快捷与准确,常常采用凸轮机构来实现。包装材料、产品和包装地间歇输送、翻转或转移、工作转台的间歇转位,工作机构带停留段的往复运动,有特定位移、速度或加速度要求的动作等,均属于简谐运动范围,正确设计或选用简谐运动机构,对包装机的运行性能具有关键性的作用。凸轮机构在高速包装机械设备中应用更广泛,是一种不可缺少和替代的重要机构。

1.问题分析及模型

高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法,这样既保证了凸轮的运动特性,又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析,因此这就使得在不同工况下,凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。这样虽然能保证凸轮的精度,但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度,因为只有建立新的解析方程式才能对凸轮进行修正,尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时,也要建立相应的解析方程,这样就使曲线修正的工作量大增,工作效率降低[1]。

基于减小修正量和提高工作效率的考虑,所以考虑插值法中的牛顿插值,提出了一种简单、实用的凸轮工作廓线的修正设计方法,这种方法不必对原有的解析方程进行修改计算,只需通过对要进行修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理,就能对现有凸轮工作廓线进行修正,特别适合凸轮曲线在实际使用中的局部修正设计[2]。

已知两个变量X,Y 之间的一个离散的函数关系式Yi=F(Xi) i=0,l ,2,…,n ,即给出一 个数据表例如: _________________

作者简介:赵冬冬(1988—),男,河南济源人,硕士研究生,主要从事先进制造方向研究。

邮 箱:451896301@https://www.doczj.com/doc/336090104.html,

表1

找到一个与原函数近似的简单的多项式函数,使其在一部分离散点 i x ,0x ,

1x ,……n x 的值分别与()i x f ,()0x f ,()1x f ……()n x f 相等。根据以上要求,

可以使用插值多项式来逼近原解析函数。 2. 算法的数学原理

Lagrange 插值公式结构紧凑,便于理论分析。利用插值基函数也容易得到插值多项式的,Lagrange 插值公式的缺点是,当插值节点增加,或其位置变化时,全部插值基函数均要随之变化,从而整个插值公式的结构也发生变化,这在实际计算中是非常不利的。下面引入的Newton 插值公式也可以克服这个缺点。

Newton 插值多项式可以灵活的增加插值节点进行递推计算。该公式形式对称,结构紧凑,因而容易编写计算程序。 Newton 插值多项式为[3]:

()()[]()x x x x f x f x N k N

k k n ω∑=+=1

,,1,00...

其中:

[][][]0

1101010,...,,,...,,,...,,x x x x x f x x x f x x x f k k k k --=

-

i x 0x 1x ... n x ()i x f ()0x f ()1x f ... ()n x f

称之为()x f 在k x x x ...,,10上得k 阶均差。实际计算中,可以由插商表计算。如图所示:

表2

k x ()k x f 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差

0x ()0x f

1x ()1x f []10,x x f

2x ()2x f []21,x x f []210,,x x x f

3x ()3x f []32,x x f []321,,x x x f []3210,,,x x x x f 4x

()4x f

[]43,x x f []432,,x x x f []4321,,,x x x x f

[]43210,,,,x x x x x f

3. 算法的MATLAB 实现 3.1实验数据

高速包装机上有一凸轮,其工作廓线共有分A 、B 、C 三段,在实际的使用中发现A 段和c 段的行程符合设计要求,而B 段的行程须进行修正设计。 已知凸轮A 段曲线数据,如表3所示。

表3

已知凸轮C 段曲线数据,如表4所示。

表4

一般来说,使用的已测数据点越多,可获得的信息量越大,对未知点的估计越精确。在牛顿插值算法中,使用已测数据点越多,会导致插值多项式的次数过高,出现龙格现象,曲线也会有较多折点。而凸轮的工作多为翻转,需要其工作廓线有很好的圆滑性。

由于距离插值点越近的数据对插值点数值的精度影响越大,本文使用

i x 239 240 241 242 243 ()i x f 14.227 14.03 13.854 13.681 13.526 i x 249 250 251 252 253 ()i x f 13.098 13.095 13.085 13.067 13.039

i x =242,243,249,250这4个点的数据,根据牛顿插值的定义做差商表,如图表5所示。

表5

由差商表可知,二阶差商的值已接近常数,故牛顿插值多项式近似为二阶即可满足精度要求。为保证其圆滑性,本文采用三次牛顿插值多项式来求B 段

i x =244,245...248的修正值。

3.2 Matlab 程序代码

function f=Newton(x,y,P) syms t;

n=length(x); m=length(y); if m~=n

error('样本数据中x 与y 的对应个数不匹配'); return end

A=zeros(n); A(:,1)=y; for j=2:n for i=1:(n-j+1)

A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i)); end end A

f=A(1,1); for j=2:n T=1;

for i=1:j-1

T=T*(t-x(i)); end

f=f+A(1,j)*T; end

f = vpa(f,6); f=simplify(f) f=subs(f,'t',P) plot(x,y,'*',P,f); 保存为Newton.m 文件。

i x ()i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 242 13.681

243 13.526 -0.155

249 13.098 -0.07133 0.011952

250 13.095 -0.003 0.009762 -0.00027

4. 计算结果及结果的分析、验证

4.1计算结果

>>>> x = [242 243 249 250 ];

y = [13.681 13.526 13.098 13.095 ];

x0=[241,244,245,246,247,248,251]

f=Newton( x , y ,x0);

x0 =

241 244 245 246 247 248 251

A =

13.6810 -0.1550 0.0120 -0.0003

13.5260 -0.0713 0.0098 0

13.0980 -0.0030 0 0

13.0950 0 0 0

f =

51.1910-.155000*t+.119524e-1*(t-242.)*(t-243.)-.273810e-3*(t-242.

)*(t-243.)*(t-249.)

f =

4763.37987854-55.12024951*t+.21292894*t^2-.27381e-3*t^3

f =

13.8643 13.3976 13.2943 13.2143 13.1560 13.1178

13.1071

240242244246248250252 13

13.2

13.4

13.6

13.8

14

4.2.结果分析

观察上述插值图像,直观上可以满足凸轮工作廓线的圆滑度。具体的数值精度,可以通过量化计算得到。在上述程序中,对x0 =241,244,245,246,247,248,251的值均作了插值处理。

其中计算点x0 =241, 251的值是为了与已知的数据点对比,从而检验牛顿插值计算的精度。

插值点实际值计算值绝对误差相对误差

241 13.854 13.3864 0.4676 0.0338

251 13.085 13.1071 0.0221 0.0017

可以看出,相对误差都控制在5%以内,属于较好的插值结果。又由于用来检验精度的两个点均为插值数据的外点,误差比内点大得多,故在B 段曲线上的点的数据精度应该更高,插值效果更好。

计算点x0 =244,245,246,247,248 的值对应于所要求的进行修正处理的B 段曲线;由上述误差分析可知,B 段曲线的插值结果比较精确,具体数值见表6

表6

3.结论

用牛顿插值法对凸轮进行修正设计是一种简单、实用的方法,其优点为:这种方法只须借助凸轮上一些离散的点的数值就能对凸轮曲线进行修正设计,计算方便,精度较高,可以很好地满足工程运用的运算量和精度要求。 参考文献

[1] 贺炜,曹巨江,杨芙莲等.我国凸轮机构研究的回顾与展望[ J ].机械工程

学报,2005,4(6):1-6

[2] 邵世权,尚久浩,曹西京.样条函数在凸轮曲线设计中的应用[J].机械科学

与技术,2003:135-136.

[3] 李庆扬,王能超,易大义.数值分析[M].华中科技大学出版社,2011.1

名词解释:

凸轮:可以定义为一个具有曲面或曲槽之机件,利用其摆动或回转,可以使另一组件—从动子提供预先设定的运动。下图即为凸轮机构。

i x 244 245 246 247 248

()i x f 13.398 13.294 13.241 13.0156 13.118

牛顿插值法的C语言编程

Newton 插值 Newton 插值函数 Newton 插值函数是用差商作为系数,对于01,,,n x x x …这1n +个点,其一般形式为: 00100120101011()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ?=+?+??++???…………对于011,,,n x x x ?…这n 个点, 100100120101012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ??=+?+??++???…………差商的定义 若已知函数()f x 在点(0,1,2,,)i x i n =???处的函数值()i f x 。则称: 00[]()f x f x =为函数()f x 在点0x 的0阶差商; 100110 [][] [,]f x f x f x x x x ?= ?为函数()f x 关于01,x x 的1阶差商; 120101220 [,][,] [,,]f x x f x x f x x x x x ?= ?为函数()f x 过点012,,x x x 的2阶差商; 依此类推,一般地称 121012101210 [,,,,][,,,,] [,,,,,]k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x ??????????????= ?为函数()f x 关于01,,,k x x x ???的 k 阶差商。 表1 差商表 i x ()i f x 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 0x 1x 2x 3x 4x …… 0()f x 1()f x 2()f x 3()f x 4() f x …… 01[,]f x x 12[,]f x x 23[,]f x x 34[,]f x x …… 012[,,]f x x x 123[,,]f x x x 234[,,] f x x x …… 0123[,,,]f x x x x 1234[,,,] f x x x x …… 01234[,,,,]f x x x x x …… 根据Newton 插值函数编写的C 语言编程 根据Newton 插值函数并对照上面的差商表,可编写出Newton 插值法的C 语言程序如下: #include #include #include double NewtonInterpolation(double *x,double *y,int n,double xx,double *pyy) {

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化,这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商,递推得到的一个公式: f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义:设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义,已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn (设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ,使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点,称[a,b]为插值区间。 定理:n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序 程序框图#include void main() { float x[11],y[11][11],xx,temp,newton; int i,j,n; printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x="); scanf("%f",&xx); printf("请输入插值的次数(n<11):n="); scanf("%d",&n); printf("请输入%d组值:\n",n+1); for(i=0;i

牛顿插值法的分析与应用

牛顿插值法的分析与应用 学生: 班级: 学号: : 指导教师: 成绩:

一.定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ,j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推,)(x f 关于i x ,1+i x ,……,k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ,n k ,,1,0 =,j i x x ≠,j i ≠, 称满足条件 )()(k k n x f x N =,n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式,称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1:输入节点(xj ,yj ),精度ξ,计值点xx ,f0→p ,1→T ,1→i ; 步骤2:对k=1,2,……,i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3:(1)、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ,则p 为最终结果Ni-1(x),余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 (2)、否则(xx-xi-1)*T →T ,p+ f[x0,…,xi]*T →p ,转步骤4。 步骤4:若i

牛顿插值法试验报告

. 牛顿插值法一、实验目的:学会牛顿插值法,并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容:给定函数,已知: 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求:以此作为函数2.15插值多项式在处的值,用牛顿插值法求4 次Newton( 1)2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 (2)在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形,并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程: 1、编写主函数。打开Editor编辑器,输入Newton插值法主程序语句: function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 (1)在MATLAB命令窗口输入: >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到:

牛顿插值法

题目:牛顿插值法在凸轮修正设计中 的应用 算法:Newton插值法 组号:6 组员:赵冬冬闫鹏田二方李婵娟张帅军郑亚军刘洋郭洋波

牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用 赵冬冬,闫鹏,田二方,李婵娟,郭洋波,张帅军,郑亚军,刘洋(河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作 454000) 摘要:本文利用牛顿插值法,提出了一种简单实用的凸轮工作轮廓线的修正方法。首先对要进行修正的的曲线附近的一些离散点的数据进行分析处理,确定插值多项式的阶次以满足高精度和低运算量的要求。然后利用Matlab编程计算出插值点的值,并进行误差分析,实现对凸轮的局部工作廓线进行修正。 关键词:凸轮轮廓线;牛顿插值;修正 Interpolation method Newton inthe design of CAM fixed application ZHAO Dongdong,YAN Peng,TIAN Erfang,LI Chanjuan,,GUO Yangbo,ZHANG Shuaijun,ZHENG Yajun,LIU Yang (School of Machinery and power engineering Henan polytechnic uiversity ,Jiaozuo 454000) Abstract: Based on the Newton interpolation method, we put forward a simple but practical solution to the work of the cam contour correction. Firstly,we rehandle the discrete data nearby the premodifying curve and get the order of the polynomial to meet the demand of high precision and low computation.Then The Newton interpolation and error analysis are realized by matlab programming. SO far ,we’ve resolved the problem of the cam contour correction . Key words: Newton interpolation; cam contour;correction 0.问题背景 在自动包装机或包装线中,为保证各个机械间歇运动的快捷与准确,常常采用凸轮机构来实现。包装材料、产品和包装地间歇输送、翻转或转移、工作转台的间歇转位,工作机构带停留段的往复运动,有特定位移、速度或加速度要求的动作等,均属于简谐运动范围,正确设计或选用简谐运动机构,对包装机的运行性能具有关键性的作用。凸轮机构在高速包装机械设备中应用更广泛,是一种不可缺少和替代的重要机构。 1.问题分析及模型 高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法,这样既保证了凸轮的运动特性,又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析,因此这就使得在不同工况下,凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。这样虽然能保证凸轮的精度,但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度,因为只有建立新的解析方程式才能对凸轮进行修正,尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时,也要建立相应的解析方程,这样就使曲线修正的工作量大增,工作效率降低[1]。

计算方法实验报告 插值

实验名称:插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况:在某个实际问题中,虽然可以断定所考虑的函数f(x)在区间[a,b]上存在且连续,但却难以找到它的解析表达式,只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的,在有些情况下,虽然可以写出f(x)的解析表达式,但由于结构十分复杂,使用起来很不方便。面对这些情况,构造函数P(x)作为f(x)的近似,插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法,不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中,而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中,求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上,作为f(x)的近似。 通常,称区间[a,b]为插值区间,称点x0,x1,…,xn为插值节点,上式为插值条件,称函数类φ为插值函数类,称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数,求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数,输入所给函 数表,并利用计算机选择在插值计算中所需的节点,计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。

3算法描述 1.分段线性插值流程图

2.分段二次插值流程图

3.拉格朗日插值流程图

4程序代码及注释 1.分段线性插值

牛顿插值法的应用

牛顿插值法在处理磁化曲线和铁损曲线 中的应用 指导老师:李国霞 院系:物理工程学院 专业:物理电子学 姓名:夏委委 学号:201112131526

一、牛顿插值法简介 在科学研究与其他领域中所遇到的许多实际问题中,经常会出现函数不便于处理或计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式,需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值;有时候函数虽有明显的解析表达式,但是使用很不方便。因此,在实际应用中,往往需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式,即用一个简单的函数表达式来近似替代原来复杂的函数。与用近似数代替准确值一样,这也是计算法中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近。用多项式逼近列表函数的问题即为多项式插值问题。根据函数)(x f 已有的数据表格来计算函数)(x f 在一些新的点x 处的函数值,这就是插值法所要解决的问题。因此,所谓的插值法就是在所给定的函数表格中间在插入一些所需要的新的点上的函数值。 插值法的基本思想:首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数)(x y 作为)(x f 的近似表达式,然后再用)(x y 来计算新的点上的函数值作为 )(x f 的近似值。通常可以选用多项式函数作为近似函数)(x y ,因为多项式具有 各阶的导数,求值比较方便。用代数多项式作为工具研究插值问题,通常称为代数插值。 代数插值法问题的完整提法如下:设函数)(x f y =在区间[]b a ,上是连续的,且已知)(x f 在区间[]b a ,上1+n 个互异点处的函数值,即n i x f y i i ,......1,0),(== 其中,)(j i x x j i ≠≠。寻找一个次数不高于 n 的多项式 0111)(a x a x a x a x P n n n n n +++=-- 使满足条件n i x f x P i i n ,,1,0),()( ==称)(x P n 为)(x f 的插值多项式,),,1,0(n i x i =称为插值结点,[]b a ,称为插值区间。 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值,向后引出了埃尔米特(Hermite)插值,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为)()()(x R x P x f n n +=,其中)(x P n 是牛顿插值多项式,)(x R n 为牛顿插值余项,)(x P n 和)(x R n 的表达式如下式所示:

牛顿插值法C语言程序

#include #include #define N 6 float sub(float a[],float b[],float x,float e); void main(void) { float u[N]={100,121,144,169,196,225}; float v[N]={10,11,12,13,14,15}; float x,y,e,*p1,*p2; printf("Input number x E=:"); scanf("%f%e",&x,&e); p1=u; p2=v; y=sub(p1,p2,x,e); printf("y=%f\n",y); } float sub(float *pp1,float *pp2,float x,float e) { float a[N],b[N],t[N],y,y1,c; int i,k; for(i=0;i

matlab_牛顿插值法_三次样条插值法

(){} 2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x = -≤≤=+=-+====-+ = 题目:插值多项式和三次样条插值多项式。已知对作、计算函数在点处的值;、求插值数据点 的插值多项式和三次样条插值多项式;、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和; 、计算,; 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是:求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此,则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下: 一、求Newton 插值多项式)(x N n ,算法组织如下: Newton 插值多项式的表达式如下: )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下: 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式,计算的步骤如下: ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ,算法组织如下:

牛顿插值MATLAB算法

MATLAB程序设计期中作业 ——编程实现牛顿插值 成员:刘川(P091712797)签名_____ 汤意(P091712817)签名_____ 王功贺(P091712799)签名_____ 班级:2009信息与计算科学 学院:数学与计算机科学学院 日期:2012年05月02日

牛顿插值的算法描述及程序实现 一:问题说明 在我们的实际应用中,通常需要解决这样的问题,通过一些已知的点及其对应的值,去估算另外一些点的值,这些数据之间近似服从一定的规律,于是,这就引入了插值法的思想。 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化,整个公式也将发生变化,这在实际计算中是很不方便的,为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。 二:算法分析 newton 插值多项式的表达式如下: 010011()()()()()n n n N x c c x x c x x x x x x -=+-+???+--???- 其中每一项的系数c i 的表达式如下: 12011010 [,,,][,,,] [,,,]i i i i i f x x x f x x x c f x x x x x -???-???=???= - 即为f (x)在点01,,,i x x x ???处的i 阶差商,([]()i i f x f x =,1,2,,i n = ),由差商01[,,,]i f x x x ???的性质可知: () 010 1 [,,,]()i i i j j k j k k j f x x x f x x x ==≠???=-∑∏ 牛顿插值的程序实现方法: 第一步:计算[][][][]001012012,,,,,,,n f x f x x f x x x f x x x x 、、、 、。 第二步:计算牛顿插值多项式中01[,,,]i f x x x ???011()()()i x x x x x x ---???-,1,2,,i n = ,得到n 个多项式。

matlab(迭代法-牛顿插值)Word版

实验报告内容: 一:不动点迭代法解方程 二:牛顿插值法的MATLAB实现 完成日期:2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期:2012-6-21

所以,确定初值为x0=1 二:不断迭代 算法: 第一步:将f(x0)赋值给x1 第二步:确定x1-x0的绝对值大小,若小于给定的误差值,则将x1当做方程的解,否则回到第一步 编写计算机程序: clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下: k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873

k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图:

牛顿插值法的分析与应用

牛顿插值法的分析与应用 学生姓名: 班级: 学号: 电话: 指导教师: 成绩:

一.定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ,j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推,)(x f 关于i x ,1+i x ,……,k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ,n k ,,1,0 =,j i x x ≠,j i ≠, 称满足条件 )()(k k n x f x N =,n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式,称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1:输入节点(xj ,yj ),精度ξ,计值点xx ,f0→p ,1→T ,1→i ; 步骤2:对k=1,2,……,i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3:(1)、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ,则p 为最终结果Ni-1(x),余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 (2)、否则(xx-xi-1)*T →T ,p+ f[x0,…,xi]*T →p ,转步骤4。 步骤4:若i

MATLAB 牛顿插值法例题与程序

题目一:多项式插值 某气象观测站在8:00(AM)开始每隔10分钟对天气作如下观测,用三次多项式插值函数(Newton)逼近如下曲线,插值节点数据如上表,并求出9点30分该地区的温度(x=10)。 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x 0,y 0),……(x n ,y n ),插值多项式有如下形式: )() )(()()()(n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα (1) 其中系数i α(i=0,1,2……n)为特定系数,可由插值样条i i n y x P =) ((i=0,1,2……n)确定。 根据均差的定义,把x 瞧成[a,b]上的一点,可得 f(x)= f(0x )+f[10x x ,](0x -x ) f[x, 0x ]= f[10x x ,]+f[x,10x x ,] (1x -x ) …… f[x, 0x ,…x 1-n ]= f[x, 0x ,…x n ]+ f[x, 0x ,…x n ](x-x n ) 综合以上式子,把后一式代入前一式,可得到: f(x)= f[0x ]+f[10x x ,](0x -x )+ f[210x x x ,,](0x -x )(1x -x )+ …+ f[x, 0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ,…x n ,x ]) (x 1n +ω= N n (x)+) (x n R 其中 N n (x)= f[0x ]+f[10x x ,](0x -x )+ f[210x x x ,,](0x -x )(1x -x )+ …+ f[x, 0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n ) (2)

MA AB 牛顿插值法例题与程序

题目一:多项式插值 某气象观测站在8:00(AM )开始每隔10分钟对天气作如下观测,用三次多项式插值函数(Newton )逼近如下曲线,插值节点数据如上表,并求出9点30分该地区的温度(x=10)。 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x 0,y 0),……(x n ,y n ),插值多项式有如下形式: )() )(()()()(n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα(1) 其中系数i α(i=0,1,2……n )为特定系数,可由插值样条i i n y x P =) ((i=0,1,2……n )确定。 根据均差的定义,把x 看成[a,b]上的一点,可得 f(x)=f (0x )+f[10x x ,](0x -x ) f[x,0x ]=f[10x x ,]+f[x,10x x ,](1x -x ) …… f[x,0x ,…x 1-n ]=f[x,0x ,…x n ]+f[x,0x ,…x n ](x-x n ) 综合以上式子,把后一式代入前一式,可得到: f(x)=f[0x ]+f[10x x ,](0x -x )+f[210x x x ,,](0x -x )(1x -x )+ …+f[x,0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n )+f[x,0x ,…x n ,x ])(x 1n +ω=N n (x )+) (x n R 其中 N n (x )=f[0x ]+f[10x x ,](0x -x )+f[210x x x ,,](0x -x )(1x -x )+ …+f[x,0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n )(2) )(x n R =f(x)-N n (x )=f[x,0x ,…x n ,x ]) (x 1n +ω(3) ) (x 1n +ω=(0x -x )…(x-x n ) Newton 插值的系数i α(i=0,1,2……n )可以用差商表示。一般有 f k =α[k 10x x x ??,](k=0,1,2,……,n )(4)

matlab 牛顿插值法 三次样条插值法

(){} 21 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+ = 题目:插值多项式和三次样条插值多项式。 已知对作、计算函数在点处的值;、求插值数据点 的插值多项式和三次样条插值多项式;、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和; 、计算,; 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是:求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此,则第三、四问则迎刃而解。计算两种插值多项式的算法如下: 一、求Newton 插值多项式)(x N n ,算法组织如下: Newton 插值多项式的表达式如下: )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下: 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式,计算的步骤如下: ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ,算法组织如下:

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较

拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 [摘 要]在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解析表达式。即使在某些情况下,可以写出函数的解析表达式,但由于解析表达式的结构相当复杂,使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法,它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中,而且也是进一步学习数值计算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。 [关键词] 拉格朗日插值 牛顿插值 插值多项式 比较 一、 背景 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况:在某个实际问题中,虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续,但却难以找到它的解析表达式,只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值(即一张函数表)。显然,要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态,甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况,总希望根据所得函数表(或结构复杂的解析表达式),构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法,插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续,且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中,求一简单函数)(x P ,使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上,作为)(x f 的近似。 通常,称区间],[b a 为插值区间,称点n x x x ,,,10 为插值节点,称式i i y x P =)(为插值条件,称函数类Φ为插值函数类,称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同,所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要,常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时,相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中,最常见、最基本的问题是:求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)(

计算方法-实验一牛顿插值法

计算方法课程设计报告实验一牛顿K次插值多项式 姓名:黄仁化 学号:031010151551017 班级:计算机科学与技术2004班 日期:二○○六年六月十日

一、实验目的: 1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。 2、 培养编程与上机调试能力。 二、牛顿插值法基本思路与计算步骤: 给定插值点序列())(,i i x f x ,,,1,0,n i 。构造牛顿插值多项式)(u N n 。输入要计算的函数点,x 并计算)(x N n 的值,利用牛顿插值公式,当增加一个节点时,只需在后面多计算一项,而前面的计算仍有用;另一方面)(x N n 的各项系数恰好又是各阶均差,而各阶均差可用均差公式来计算。 牛顿插值法计算步骤: 1. 输入n 值及( ))(,i i x f x ,,,1,0,n i ;要计算的函数点x 。 2. 对给定的,x 由 00010101201101()()(),()(),,() ()(),,n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x L L L 计算 ()n N x 的值。 3.输出()n N x 。 三:程序流程图:

四:程序清单: function[c, d]=newpoly(x, y) %牛顿插值的MA TLAB实现 %这里x为n个节点的横坐标所组成的向量,y为纵坐标所组成的向量。 %c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x);%取x的个数。 d=zeros(n, n); d(: , 1)=y'; f or j=2 : n for k=j : n d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1)); end

牛顿插值法算法

牛顿插值法(算法) Newton Interpolation 牛顿插值算法是根据n + 1个点x 0, x 1 , (x) n (x < x 1 < (x) n )与函数値f(x ), f(x 1 ) , ... , f(x n )求出n次多 項式p(x)。再通过次多項式p(x)求出任意的点x所对应的f(x)的算法。 1.求n阶差分商f[x 0, x 1 , (x) n ]。使用递归调用。 #define N 20 typedef struct TagXYVALUE { double x; double y; } XYVALUE; XYVALUE val[N+1]; //階差分商(Divided Differences) double f(int n0, int ni) { if (n0 == ni) return val[n0].y; if (n0 + 1== ni) return (val[ni].y - val[n0].y) / (val[ni].x - val[n0].x); else return (f(n0+1, ni) - f(n0, ni-1)) / (val[ni].x - val[n0].x); }

2.牛顿插值算法的主程序,求p(x )的程序。 n double NewtonInterpolation(double x) { double t = 1.0; double ft; double p = val[0].y; //P(0) = f[0] for(int i = 1; i <= N; i++) { t = t * (x - val[i-1].x); ft = f(0, i) * t; p = p + ft; } return p; } 3.测试。用正弦波的20个采样点,还原出正弦波曲线。计算速度很慢,需要改进程序。void CNewtonInterpolationTestView::OnDraw(CDC* pDC) { for (int i = 0; i <= N; i ++) { val[i].x = i * 15 * atan(1.0) / 45.0 * 2; val[i].y = sin(val[i].x); pDC->Rectangle((int)(val[i].x*20)- 2, 150-(int)(val[i].y*50)- 2, (int)(val[i].x*20)+2, 150-(int)(val[i].y*50)+2); } for (int j = 0; j <= N*15; j += 5) { double x = j * atan(1.0) / 45.0 * 2; double y = NewtonInterpolation(x); pDC->SetPixel((int)(x*20)-2, 150-(int)(y*50)-2, 0x000000ff); } }

计算方法简明教程插值法习题解析

第二章 插值法 1.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 2.给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解:由表格知, 01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144 x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=- 若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f , 则0.50.540.6<<

2 112 1 221 11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()() x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----= =---=+ 6.9314 7(0.6) 5.10826( x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈- 若采用二次插值法计算ln 0.54时, 1200102021101201220212001122()() ()50(0.5)(0.6) ()() ()() ()100(0.4)(0.6) ()()()() ()50(0.4)(0.5) ()() ()()()()()()() x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------= =----=++ 500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5 x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.61531984 0. 615320L ∴=-≈- 3.给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表,步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。 解:求解cos x 近似值时,误差可以分为两个部分,一方面,x 是近似值,具有5位有效数字,在此后的计算过程中产生一定的误差传播;另一方面,利用插值法求函数cos x 的近似值时,采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此,总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤ 时, 令()cos f x x = 取0110,( )606018010800 x h ππ===?= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902 x π = = 当[]1,k k x x x -∈时,线性插值多项式为

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