第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
教学方法：讲授．（部分内容自学）
教学程序：
引言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题]为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
1、实数
(,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.
{}|R x x =为实数--全体实数的集合．
[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：
例： 2.001 2.0009999→L ；
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L . 其中3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-L L L ；
；
00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =L 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==L ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负
整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==L ，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =L L 为非负实数，称有理数01.n n x a a a =L 为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+
称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =L .
对于负实数01.n x a a a =-L L ，其n 位不足近似011.10n n n x a a a =--
L ；n 位过剩近似01.n n x a a a =-L .
注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤L ； 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥L ．
命题：记01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L 为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，
n y 为y 的n 位过剩近似）
． 命题应用
例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<． 证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()
12n n r x y =
+，则r 为有理数，且
n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．
3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．
1）封闭性（实数集R 对,,,+-?÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．
2）有序性：,a b R ?∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其一，也只居其一.
3）传递性：a b c R ?∈，，，,a b b c a c >>>若，则．
4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ?∈>>??∈使得na b >．
5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
6）一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设,a b R ?∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．
（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
实数a 的绝对值的定义为,0||0
a a a a a ≥?=?
-
从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．
3、性质
1）||||0;||00a a a a =-≥=?=（非负性）；
2）||||a a a -≤≤；
3）||a h h a h ；
4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； 5）||||||ab a b =?；
6）||||
a a
b b =（0b ≠）． 三、几个重要不等式
1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤
2、均值不等式:对,,,,21+∈?R n a a a Λ记 ,1 )(1
21∑==+++=n
i i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1121n
n i i n n i a a a a a G ???? ??==∏=Λ (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a n
a H Λ (调和平均值)
有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即：
1212111n n a a a n
n
a a a +++≤≤+++L L 等号当且仅当n a a a ===Λ21时成立.
3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)
,1->?x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N
当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++?≠+111)1(1)1( ,01Λn n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+?
4、利用二项展开式得到的不等式:对,0>?h 由二项展开式
,!
3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+Λ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.
［练习］P4．5
［课堂小结］：实数：???
一 实数及其性质二 绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3
§2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：
(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
引 言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下
自学的效果如何！
1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥Q （）） （2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）
2、证明：||||||x y x y -≤-.
3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.
4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节主要内容：
1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；
2、讨论有界集与无界集；
3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.
一 、区间与邻域
1、 区间（用来表示变量的变化范围）
设,a b R ∈且a b <.???有限区间区间无限区间
，其中
{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ?∈<<=???∈≤≤=????∈≤<=?????∈<≤=???开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:
{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.
x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?无限区间
2、邻域
联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即
{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.
其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.
（2）点a 的空心δ邻域
{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-?+@.
（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域
{}{}00(;)[,)();
(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+@@
（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域
{}{}00(;)(,]();
(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<@@
（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域
{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）
； {}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-
二 、有界集与无界集
1、 定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数
()M L 称为S 的上界（下界）
；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.
闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.
若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.
) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,
集合 ??????∈==) 1 , 0 ( ,1 x x
y y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；
2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：
例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.
解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；
但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意
0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取
[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），
则0n N +∈，且0n M >.
综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.
[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).
三 、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=
从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.
命题1sup M E = 充要条件
1）,x E x M ?∈≤；
2）00,,o x S x M εε?>?∈>-使得.
证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε?>?∈≤-使得均有，与M 是上界中最小的一个矛盾.
充分性（用反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ?是上界，但
0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ?∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界矛盾.
定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.
从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.
命题2 inf S ξ=的充要条件：
1）,x E x ξ?∈≥；
2）ε?＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+
上确界与下确界统称为确界.
例3（1）,) 1(1????
??-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一
的.
证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<
A sup =η?A x ∈?有η≤x
sup A η'=?对ηη'<，0x A ?∈使0x η<，矛盾.
例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈??= ?+??
，1inf 12n Z n n +∈??= ?+?? {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.
开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a
例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ?则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈?和,B y ∈?都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤
证明：,B y ∈?y 是A 的上界,.sup y A ≤?A sup ?是B 的下
界,.inf sup B A ≤?
例6A 和B 为非空数集,.B A S Y =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈?有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有
A x inf ≥或{}. inf , inf m in .inf
B A x B x ≥?≥
即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,
{}. inf , inf m in inf B A S ≥?又S A S ,??的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ?是A 的下界,;inf inf A S ≤?同理有.inf inf B S ≤
于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.
综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.
1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做
解释.
2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.
（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.
（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.
（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.
4. 确界原理:
Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.
这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ?非空，E x ∈?，我们可以
找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p Λ和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，,Λ如此下去，
最后得到Λ210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界.
证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得
1）S x ∈?，有n x >；
2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；
把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈?，有；1.n n x >；
2）存在S x ∈2，使得10
112.+≤n n x ． 再对开区间111(.,.]10
n n n n +10等分，同理存在2n ，使得
1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；
2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何Λ,2,1=k ，存在k n 使得
1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.->Λ；
2）存在S x k ∈，k k n n n n x Λ21.≤．
因此得到ΛΛk n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．
（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；
（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．
［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７
§3函数概念
授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念
教学目的：使学生深刻理解函数概念.
教学要求：
（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；
（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.
教学重点：函数的概念.
教学难点：初等函数复合关系的分析.
教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.
教学程序：
引言
关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.
一、函数的定义
１．定义１设,D M R
?∈，
?，如果存在对应法则f，使对x D
存在唯一的一个数y M
∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作
→
:f D M
→ .
|x y
数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()
f D.
f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()
即{}
==∈.
()|(),
f D y y f x x D
２．几点说明
（1）函数定义的记号中“:f D M
→”表示按法则f建立D到M 的函数关系，|x y
→表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作→.习惯上称x自变量，y为因变量.
|()
x f x
（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为
两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.
例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）
2）()||,,x x x R ?=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，只是对应法则
的表达形式不同）.
（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.
（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.
（5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.
二 、函数的表示方法
1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.
2 可用“特殊方法”来表示的函数.
1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.
例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >??==??-
，（符号函数）
（借助于sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.
2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段
函数）
例 １）[]y x =（取整函数）
比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.
常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.
与此有关一个的函数[]{}y x x x =-@（非负小数函
数）图形是一条大锯，画出图看一看.
２）狄利克雷（Dirichlet ）函数
1,()0,x D x x ?=??当为有理数,当为无理数,
这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.
３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x +?=∈?=??=?
当为既约分数),当和内的无理数.
三 函数的四则运算
给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =U ，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：
()()(),F x f x g x x D
=+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；
()()(),H x f x g x x D =∈. 若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠g ，
可在D g 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()
f x L x x D
g x =∈g . 注：１）若12D D D φ==U ，则f 与g 不能进行四则运算.
２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g
+-. 四、复合运算
１．引言
在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.
例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为
2221122E mv E mg t v gt ?=??=??=?
. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21
(),2f v mv v gt ==，把
()v t 代入f ，即得
221(())2
f v t m
g t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.
[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；
2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.
就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.
2．定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，
{}()E x f x D E =∈g I ，若E φ≠g ，则对每一个x E ∈g ，通过g 对应D 内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E g 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈g 或()(),y f g x x E =∈g o .简记为f g o .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.
3. 例子
例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f =ο并求定义域.
例 ⑴
._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f
⑵ .1122x
x x x f +=??? ??+ 则) ( )(=x f
A. ,2x
B. ,12+x
C. ,22-x
D. .22+x
例 讨论函数
()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函数.
4 说明
１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：
2sin ,1y u u v x ===-，复合成：
[1,1]y x =∈-.
２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函
数，在分解时也要注意定义域的变化. ①
2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-
②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+
③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===
五、反函数
１.引言
在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：
2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.
习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.
２.反函数概念
定义设→X f :R 是一函数，如果?1x ，X x ∈2, 由
)()(2121x f x f x x ≠?≠
(或由2121)()(x x x f x f =?=)，则称f 在X 上是 1-1 的.
若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.
若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.
→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y 至多有
一个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有
且仅有一个解x .
定义 设Y X f →:是1-1对应.Y y ∈?, 由)(x f y =唯
一确定一个X x ∈, 由这种对应法则所确定的函数称为
)(x f y =的反函数，记为)(1y f x -=.
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
Y X f →:
X Y f →-:1
显然有
X X I f f
→=-:1ο (恒等变换） Y Y I f f →=-:1ο (恒等变换)
Y X f f →=--:)(11.
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，
习惯上我们还是把反函数记为 )(1x f y -=, 这样它的图
形与 )(x f y =的图形是关于对角线x y =对称的. 严格单调函数是1-1
但 1-1 例子
???≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f
它的反函数即为它自己.
实际求反函数问题可分为二步进行：
1. 确定 Y X f →:的定义域X 和值域Y ，考虑 1-1对应条件.固
定 Y y ∈，解方程 y x f =)( 得出
)(1y f x -=. 2. 按习惯，自变量x 、因变量y 互换，得
)(1x f y -=. 例 求 2
)(x x e e x sh y --== ：R → R 的反函数. 解 固定y ，为解 2x x e e y --=，令 z e x =，方程变为 122-=z zy
0122=--zy z
12+±=y y z ( 舍去12+-y y )
得)1ln(2++=y y x ，即)()1ln(12x sh x x y -=++=，称为反双曲正弦. 定理 给定函数)(x f y =，其定义域和值域分别记为X 和Y ， 若在Y 上存在函数)(y g ，使得 x x f g =))((, 则有)()(1y f y g -=.
第一章有理数 （一）正负数 1．正数：大于0的数。 2．负数：小于0的数。 3．0即不是正数也不是负数。 4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π） 2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。 （三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。 （四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。
2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5． a?b = a +（?b）减去一个数，等于加这个数的相反数。 （五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab= b a 4．乘法结合律：（ab）c = a （b c） 5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作a n 。（乘方的结果叫幂，a 叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是
数学分析知识点总结 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。下面是小编整理的数学分析知识点总结，欢迎来参考！ 从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法
设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课： （1）矩阵理论 （2）随机过程 （3）信息论与编码 （4）现代数字信号处理 （5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。 （6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。 大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！ 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习
七年级数学上册重要知识点汇总 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；?不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：??? ??<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a
第二章 1数列极限的概念 定义（1）；设{n a }为数列，a 为定数。若对任给的的正数， 总存在正整数n.使得当n f N 时，有|a n -a|0.?N,当n ≥N 时，有|a n -a|N 时，N=100，自然N=|0|也成立，所以，N 不是唯一确定的。 1. 定义（1）；0.a;){a }n ??f U 任给若在（之外数列中的项至多有有限个。则称数列{a }n 收敛于a 。定义1的否定：存在00?p ，若在N a;){a }{a } a.n ?（之外的数列中的项有无穷多个，则称数列不收敛于，而不能说明N {}a 无极限。 注意：定义1 通常用来说明数列无极限，而定义1 的否定只说明{a }a {a }n n 不收敛于，而不能说明无极限。 定义（2）：若lima 0,{a }n n x →∞ =则称为无穷小数列。 定理2.1；数列{a n }收敛于a 的充要条件是： {}n a a -为无穷小数列。定义{a }0N n N a |n n ?M M f f f 满足：对，总存在正整数，始得当时，有|成立 则称数列{a }lima n n x →∞ =∞发散与无穷大，记坐。 注意：无穷大数列只是无极限的一种。随记坐n lim ,{a }n x a →∞=∞但仍为发散数列，无极限给定数列，得到数列{b }n 。则数列{}n a 与
人教版七年级下册数学课本知识点归纳 第五章相交线与平行线 一、相交线两条直线相交，形成4个角。 1．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 2．对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条 边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种 关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。 3．对顶角相等。 二、垂线 1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。 4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1．同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 2．内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 3．同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧， 具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 四、平行线 (一)平行线 1.平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。a∥b （在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。） 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线互相平行。 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 (二)平行线的判定： 1.同位角相等，两直线平行。 2.内错角相等，两直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行。 (三)平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
第一章有理数 1.1正数和负数 以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数. 以前学过的0以外的数叫做正数. 数0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界. 在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1.2.1有理数 正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数. 1.2.2数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达. 注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可. ⑵同一根数轴,单位长度不能改变. 一般地,设是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 1.2.3相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称. 在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数. 1.2.4绝对值 一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数. 比较有理数的大小：⑴正数大于0,0大于负数,正数大于负数. ⑵两个负数,绝对值大的反而小. 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法 有理数的加法法则： ⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加,仍得这个数. 两个数相加,交换加数的位置,和不变. 加法交换律：a+b=b+a 三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 1.3.2有理数的减法 有理数的减法可以转化为加法来进行. 有理数减法法则： 减去一个数,等于加这个数的相反数. a-b=a+(-b) 1.4有理数的乘除法 1.4.1有理数的乘法 有理数乘法法则： 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. 任何数同0相乘,都得0.
七年级下册数学知识点总结(人教版) 一、相交线相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线A B、CD相交于点O。ADCOB对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线、，满足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线、满足这种关系的两个角，互为领补角。邻补角与补角的区别与联系v 1、邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为180v 2、互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。领补角与对顶角的比较 二、垂线垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。baO从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直例如：如图，a、b互相垂直,O叫垂足、a叫b的垂线，b也叫a的垂线。则记为：
a⊥b或b⊥a；若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O、垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90时，AB⊥CD，垂足为O。书写形式：DAO∵∠AOD=90（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90。C书写形式：∵ AB⊥CD （已知）B∴ ∠AOD=90 （垂直的定义）应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90垂线的画法：BAl如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线、则所画直线AB 是过点A的直线l的垂线、工具：直尺、三角板1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线、垂线的性质： 1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。F EDCBA87654321 三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情形）同位角：一边都在截线上而且同向，另一边在截线同侧的两个角。如∠1和∠5，∠4和∠8。内错角：一边都在截线上而且反向，另一边在截线两侧的两个角。（两个角在两条截线内）如∠3和∠5，∠4和∠6。同旁内角：一边都在截线上
人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式
四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点
第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a不一定是负数，+a也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a和- a互为相反数；
0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
七年级数学上册知识点总结 第一章有理数 1.1 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 （3）0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。 1.2 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 ②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数
近几年来广州市中考数学科试卷特点通过对近几年来广州市中考数学科试卷分析，我认为具有如下特点： 1、试题覆盖面广，涵盖了主要知识点，对初中必考的基础知识一般以选择题、填空题的形式进行考查，对初中知识的核心、主干内容以解答题的形式加以考查，以重点知识为主线组织全卷内容。 2、注重基础知识、基本技能的考查，难易安排有序，层次合理，有助于考生较好地发挥思维水平。 3、重视思想方法、数学能力的考查，包括对数形结合、归纳概括、转化思想、分类思想、函数与方程思想等内容的考查，很好地突出了试题的选拔功能。 4、重视从题目中获取信息能力的考查，通过阅读图表或从文字信息中识别出数学问题的背景，把各种数学语言有机地融合，恰当地转换，从而解决问题。 5、强化应用意识、创新思维的考查，体现在试题内容着力加强与社会实际和学生生活的联系，注重考查学生在具体情境中运用所学知识分析和解决问题的能力。突出对应用问题的考查，从学生熟悉的生活背景和广州市当年发生的重大事件入手，让学生深切地感受到“数学就在身边”。 根据以上分析，我们在复习备考中要做到下面几个要求： 1、重视基本知识和基本技能的训练，重视概念问题的教学，把各个概念的各种“变式题”训练到位，多收集新题型，与现在的教育改革接轨。
2、坚持教学方法的改进，课堂上多运用“启发式”、“探究式”、“讨论式”等教学方法，多设计和提出适合学生发展水平的具有一定探究性的问题，创设问题情境，进行“一题多解”、“一题多变”的训练，培养学生的发散思维和创新意识。 3、以学生为主体着眼于能力的提高，多让学生动手操作，积极引导和鼓励学生大胆思维，勇于发表自己观点，让学生拥有更多的参与思考、讨论交流的机会。教学中尽量避免包办代替式的单纯模仿式的教学，重视学生个性发展，培养学生创造能力。 4、注重数学思想方法的教学，要求学生不要用单一的思维方式去思考问题，应多方位、多角度、多层次地进行思考，形成一定的数学思维。 5、强化过程意识，避免让学生死记硬背公式、定理，重视数学概念、公式、定理的提出、形成、发展过程，让学生真正理解所学知识。 6、重视实际应用性问题的教学，联系社会生活实际和学生的生活实际，选取有时代性的地方特色的复习教材、资料，让学生在“做数学”的过程中，领悟数学的实际意义，最终提高学生的数学应用意识和学习的自学性。 7、培养学生独立思考能力，多把适当的问题抛给学生，多听学生的见解，使学生通过自己的的独立思考，创造性地解决问题。 8、重视数学语言的教学，要求应用数学语言准确，规范书写，熟练运用符号、文字、图表语言，逐步形成数学演绎推理能力。 2012-3-18 附《初中数学定义、定理、公理、公式汇编》
第五章相交线与平行线 一、相交线 相交线:如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。 A D C O B 对顶角:两条直线相交出现对顶角。顶点相同,角的两边互为反向延长线、,满足这种关系的角,互为对顶角,对顶角相等。对顶角就是成对出现的。 邻补角:有一条公共边,角的另一边互为反向延长线、满足这种关系的两个角,互为领补角。 邻补角与补角的区别与联系 ?1、邻补角与补角都就是针对两个角而言的,而且数量关系都就是两角之与为180° ?2、互为邻补角的两个角一定互补,但就是互为补角的两个角不一定就是邻补角即:互补的两个角只注重数量关系而不谈位置,而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。 领补角与对顶角的比较 二、垂线 垂直:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角就是直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。 从垂直的定义可知,判断两条直线互相垂直的关键:要找到两条直线相交时四个交角中一个角就是直角。 垂直的表示:用“⊥”与直线字母表示垂直 例如:如图,a、b互相垂直,O叫垂足、a叫b的垂线, b也叫a的垂线。则记为:a⊥b或b⊥a; 若要强调垂足,则记为:a⊥b, 垂足为O、 垂直的书写形式:如图,当直线AB与CD相交于O点,∠ 为O。 b a O
书写形式: ∵∠AOD=90°(已知) ∴AB ⊥CD(垂直的定义) 反之,若直线AB 与CD 垂直,垂足为O,那么,∠AOD=90°。 书写形式: ∵ AB ⊥CD (已知) ∴ ∠AOD=90° (垂直的定义) 应用垂直的定义:∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° 垂线的画法: 如图,已知直线 l 与l 上的一点A ,作l 的垂线、 则所画直线AB 就是过点A 的直 线l 的垂线、 工具:直尺、三角板 1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线、 垂线的性质: 1、同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。 三、同位角、内错角、同旁内角(出现在一条直线与两条直线分别相交的情形) 同位角:一边都在截线上而且同向,另一边 在截线同侧的两个角。 如∠1与∠5,∠4与∠8。 内错角:一边都在截线上而且反向, 另一边在截线两侧的两个角。 (两个角在两条截线内) 如∠3与∠5,∠4与∠6。 同旁内角:一边都在截线上而且反向, 另一边在截线同旁的两个角。 (两个角在两条截线内) 如∠3与∠6,∠4与∠5。 同位角、内错角、同旁内角的比较 A O C B A l 1 2 4 3 5 7 6 C B D A 8 E F
初一数学知识点归纳 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“＋ － 3 ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式. 2. 列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“2 ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“3”乘，不用“2 ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a 35应写成5a ； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a 32 11 应写成2 3 a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a 3 的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和 b-a . 3. 几个重要的代数式：（m 、n 表示整数） （1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ； （2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、 n 、n+1 ； （4）若b ＞0，则正数是:a 2 +b ，负数是： -a 2 -b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分 数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；
人教版初一数学上册知识点归纳总结 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a
第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质
1、实数 (,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示. {}|R x x =为实数--全体实数的集合． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 01(1)9999n n a a --0,a =则记表示为无限小数，现在所得的小数之前加负例： 2.001 2.0009999→； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-； ；
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2、在同一平面，不相交的两条直线叫平行线。 如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直 线没有公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共 边的两个角是邻补角。 邻补角的性质邻补角互补。 如图 1 所示，与互为邻补角，与互为邻补角。 +=180°；+=180°；+=180°；+=180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一 个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。 对顶角的性质对顶角相等。 如图 1 所示，与互为对顶角。 =；=。 5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或 90°时，称 这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 如图 2 所示，当=90°时，⊥。 垂线的性质性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。 性质 3 如图 2 所示，当⊥时，====90°。 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到 直线的距离。
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6、同位角、错角、同旁角基本特征①在两条直线被截线的同一 方，都在第三条直线截线的同一侧，这样的两个角叫同位角。
图 3 中，共有对同位角与是同位角；与是同位角；与是同位角； 与是同位角。
②在两条直线被截线之间，并且在第三条直线截线的两侧，这样 的两个角叫错角。
图 3 中，共有对错角与是错角；与是错角。 ③在两条直线被截线的之间，都在第三条直线截线的同一旁，这 样的两个角叫同旁角。 图 3 中，共有对同旁角与是同旁角；与是同旁角。 7、平行公理经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 直线也互相平行。 平行线的性质性质 1 两直线平行，同位角相等。 如图 4 所示，如果∥，则=；=；=；=。 性质 2 两直线平行，错角相等。 如图 4 所示，如果∥，则=；=。 性质 3 两直线平行，同旁角互补。 如图 4 所示，如果∥，则+=180°；+=180°。 性质 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 如果∥，∥，则 ∥
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初一数学知识点总结大全 第一章有理数 1.1正数和负数 以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数. 以前学过的0以外的数叫做正数. 数0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界. 在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1.2有理数 1.2.1有理数 正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数. 1.2.2数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达. 注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可.
⑵同一根数轴,单位长度不能改变. 一般地,设是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 1.2.3相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称. 在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数. 1.2.4绝对值 一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数. 比较有理数的大小：⑴正数大于0,0大于负数,正数大于负数. ⑵两个负数,绝对值大的反而小.
1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法 有理数的加法法则： ⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加,仍得这个数. 两个数相加,交换加数的位置,和不变. 加法交换律：a+b=b+a 三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 1.3.2有理数的减法 有理数的减法可以转化为加法来进行. 有理数减法法则： 减去一个数,等于加这个数的相反数.
七年级数学下期期末复习提纲 第六章一元一次方程 一、基本概念 （一）方程的变形法则 法则1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不变。 例如：在方程7-3x=4 左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7 。 在方程6x=-2x-6 左右两边都加上4x，得到新方程：8x=-6 。 移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。 例如：(1) 将方程x－5＝7 移项得：x＝7+5 即x ＝12 (2) 将方程4x＝3x－4 移项得：4x－3x＝－4 即x ＝－4 法则2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。 例如：(1) 将方程－5x＝2 两边都除以-5 得：x=- 2 5 (2) 将方程3 2 x ＝ 1 3 两边都乘以 2 3 得：x= 2 9 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意： （1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数 为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。 （2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。 方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。 求不方程的解的过程，叫做解方程。 （二）一元一次方程的概念及其解法 1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是，未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程。 例如：方程7-3x=4 、6x=-2x-6 都是一元一次方程。 2 而这些方程5x －3x+1＝0、2x+y＝l －3y、 1 x-1 ＝5 就不是一元一次方程。
2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b 为常数，且a≠0） 一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b 为常数，且a≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括 号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。 （2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分 母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母） （三）一元一次方程的应用 1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题， 需要你给出结论并解答。 第七章二元一次方程组 一、基本概念 （一）二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程的定义：都含有个未知数，并且的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。 一般形式为：ax+by=c（a、b、c 为常数，且a、b 均不为0） 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。 例如：方程7y-3x=4 、-3a+3=4-7b 、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。 而6x2=-2y-6 、4x+8y=-6z 、2=-2y-6 、4x+8y=-6z 、2 m =n 等都不是二元一次方程。 2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 例如：2x x 3 y y5 8 、 7a a 3b 2b 3 、 1 m m n n 2 1 、 s 3s t t 2 11 等都 是二 元一 次方
初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作