数学分析知识点总结 第一篇 分析基础 1.1收敛序列
（收敛序列的定义）
定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有
ε<-a x n
那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为
a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n
定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件
N n z y x n n n ∈?≤≤,
如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有
a y n =lim
定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价
（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得
,
1,2,.n n x a a n =+=
（收敛序列性质）
定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5：
（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。
（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。
（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。 （4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则a
x n 11lim
=。 （5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim lim
lim n n n n y y b x x a
==。 （收敛序列与不等式）
定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有
n n x y <
定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足
0,
,n n x y n N ≤?>
那么
lim lim n n x y ≤
1.2 收敛原理
（单调序列定义）
定义：（１）若实数序列}{n x 满足
1,,n n x x n N +≤?∈
则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为
{}.n x ↑
（２）若实数序列{}n y 满足
1,,n n y y n N +≥?∈
则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为
{}n y ↓
（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
定理１：递增序列}{n x 收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{}n x 。 定理1推论：递减序列{}n y 收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{}n x 。 扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为
10,
,n n x x n N +≤?>
及
10,
,n n y y n N +≥?>
（自然对数的底e ）
自然对数的底e 通过下面这个式子求得
1lim 1n
n e n →+∞
??
=+ ???
我们先来证明序列11n
n x n ??
=+ ???是收敛的。
（1）序列11n
n x n ??
=+ ???
是单调上升的。
111112111(1)(1)(1)
2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)
!n
n x n n n n k k n n n n n n n n
??
=+=++-+-- ???
-++----++---
1
1111112111(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)
!1111121(1)(1)(1)
!111112(1)(1)(1)(1)!111
n n x n n n n k k n n n n n n n n n n n n n ++?
?=+=++
-+-- ?
++++??
-++---+++-++---++++---++++ 对比n x 和1n x +的展开式，1n x +前面1n +项的每一项都比n x 中相应项要大，即
112
1112
1
(1)(1)(1)(1)(1)(1)!11
1!k k k n n n k n n
n
-----
>---
+++ 除此之外1n x +还比n x 在最后多一个正项。因此我们得出n x 是单调上升的，即
1,,n n x x n N +
（2）序列11n
n x n ??
=+ ???
是有上界的。
21111121
111(1)(1)(1)
(1)2!!111
11222
1112
113
111122
n
n n
n
n x n n n n n n
-??
=+=++-++---
???
<+++++??- ?
??=+<+=--
序列11n
n x n ??
=+ ???
是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e 表示。通过计算机
模拟，我们可以得到e 的近似值，前几位是2.718281828459045…
在数学中，以e 为底的对数称为自然对数，e 称为自然对数的底，正实数x 的自然对数通常记为ln x ，log x 或者log e x 。
（闭区间套原理）
定理2（闭区间套原理）：如果实数序列{}n a 和{}n b （或闭区间序列[]{}
,n n a b ）满足条件 （1）[][]11,,n n n n a b a b --?（或者11,1n n n n a a b b n --≤≤≤?>）
（2）()lim 0n n b a -= 那么
（i ）闭区间序列[]{}
,n n a b 形成一个闭区间套。 （ii ）实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值c 。
lim lim n n a b c ==
（iii ）c 是满足以下条件的唯一实数值。
,n n a c b n N ≤≤?∈
证明：
（ii ）由条件（1）可得
111n n n n a a b b b --≤≤≤≤≤
我们可以看到{}n a 单调上升而有上界，{}n b 单调下降而有下界，因此{}n a 和{}n b 都是收敛序列。由条件（2）可得()lim lim lim 0n n n n b a b a -==，因此实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值。
lim lim n n a b c ==
（iii ）因为
{}{}sup inf n n c a b ==
所以显然有
,n n a c b n N ≤≤?∈
假如还有一个实数'c 满足
',n n a c b n N ≤≤?∈
由于
lim lim n n a b c ==
那么根据夹逼准则，有
'lim 'lim lim n n c c a b c ====
则证明了c 是唯一的。
（Bolzano-Weierstrass 定理） 定义：设{}n x 是实数序列，而
1231k k n n n n n +<<<
<<<
是一串严格递增的自然数，则
1231,,,,,,
k k n n n n n x x x x x +
也形成一个实数序列。我们把序列{}
k n x 叫做序列{}n x 的子序列（或部分序列），要注意的是子序列{}
k n x 的序号是 k 。
定理3：设序列{}n x 收敛于a ，则它的任何子序列{}
k n x 也都收敛于同一极限a 。 证明：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得只要0n N >，就有
n x a ε-<
当0k N >时就有0k n k N ≥>，因而此时有
k n
定理4（Bolzano-Weierstrass ）：设{}n x
（柯西收敛原理）
柯西序列定义：如果序列{}n x 满足条件：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有
m n x x ε-<
则此序列为柯西序列，又称基本序列。 引理：柯西序列{}n x 是有界的。
证明：对于任意1ε=，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有
1m n x x -<
于是对于0n N >，我们有
0001111n n N N N x x x x x +++≤-+<+
若记
{
}
00121max ,,
,,1N N K x x x x +=+
则有
,n x K n N ≤?∈
定理5（收敛原理）：序列{}n x 收敛的必要充分条件是：对任意0ε>，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有
m n x x ε-<
换句话说：
序列{}n x 收敛?{}n x 序列是柯西序列
1.3 无穷大
定义：（1）设{}n x 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有
n x E >
那我们就说实数序列{}n x 发散于+∞，记为
lim n x =+∞
（2）设{}n y 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有
n y E <-
那我们就说实数序列{}n y 发散于-∞，记为
lim n y =-∞
（3）设{}n z 是实数序列，如果序列{}
n z 发散于+∞，即lim n z =+∞，那么我们就称{}n z 为无穷大序列，记为
lim n z =∞
注记：（1）若集合E R ?无上界，则记
sup E =+∞
（2）若集合F R ?无下界，则记
sup F =-∞
定理1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是： （1）递增序列{}n x 有极限，且
{}lim sup n n x x =
（2）递减序列{}n y 有极限，且
{}lim inf n n y y =
定理2：设{}n x 和{}n y 是实数序列，满足条件
,
n n x y n N ≤?∈
则有：
（1）如果lim n x =+∞，那么lim n y =+∞； （2）如果lim n y =-∞，那么lim n x =-∞。
定理3：如果lim n x =+∞（或-∞，或∞），那么对于{}n x 的任意子序列{}
k n x 也有
lim k n x =+∞（或-∞，或∞）
定理4：设0,n x n N ≠?∈，则
{}n x 是无穷大序列?1n x ??
?
???
是无穷小序列 扩充的实数系：{,}R R =?-∞+∞
定理5：实数序列{}n x 至多只能有一个极限。 扩充的实数系R 中的运算： （1）如果x R ∈，那么
()()x x +±∞=±∞+=±∞
()x -±∞=∞
（2）如果x R ∈，0x >，那么
()()x x ?±∞=±∞?=±∞
如果y R ∈，0y <，那么
()()y y ?±∞=±∞?=∞
（3）如果x R ∈，那么
0x x ==+∞-∞
（4）()()+∞++∞=+∞，()()+∞--∞=+∞
()()-∞+-∞=-∞，()()-∞-+∞=-∞ ()()+∞?+∞=+∞，()()-∞?-∞=+∞ ()()()()+∞?-∞=-∞?+∞=-∞
（5）除此之外，其余都没有定义。
1.4 函数的极限
0x 点的η领域：00000(,)(,){|||},,,0U x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈-<∈> 0x 点的去心η领域：
000000(,)(,)\{|0||},
,,0U x x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈<-<∈>
+∞的去心H 领域：(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H +∞=+∞=∈>∈>
-∞的去心H 领域：(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H -∞=-∞-=∈<-∈>
统一叙述：对于a R ∈，我们用()U a 表示a 的某个去心邻域，当a 为有穷实数时，()U a 的形式为(,)U a η，当a =±∞时，()U a 的形式为(,)U H ±∞。
函数极限的序列式定义：设,a A R ∈（a 和A 都可以是有穷实数或者±∞），并设函数()f x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义。如果对于任何满足条件n x a →的序列{}()n x U a ?，相应的函数值序列{()}f x 都以A 为极限，那么我们说当x a →时，函数()f x 的极限为A ，记为
lim ()x a
f x A →=
简单例子如：limsin sin x a
x a →=；limcos cos x a
x a →=；lim ||||x a
x a →=；x a
→=
；
1lim sin
0x x x →=，因为1|sin |||x x x ≤；0lim 1sin x x x →=，因为cos 1sin x x x <<；sin lim 0x x
x
→∞=，
因为sin 1
||||
x x x ≤。
定理1：函数极限lim ()x a
f x →是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设()f x ，()g x 和()h x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义，并且满足不等式
()()(),()f x g x h x x U a ≤≤?∈
如果
lim ()lim ()x a
x a
f x h x A →→==
那么
lim ()x a
g x A →=
定理3：关于函数的极限，有以下的运算法则：
lim(()())lim ()lim ()x a
x a
x a
f x
g x f x g x →→→±=±
lim(()())lim ()lim ()x a
x a
x a
f x
g x f x g x →→→=?
lim ()()lim ()lim ()
x a
x a x a
g x g x f x f x →→→= 定理4（复合函数求极限）：设函数g 在b 点的某个去心邻域()U b 上有定义，lim ()y b
g y c →=。
又设函数f 在a 点的某个去心邻域()U a 上有定义，f 把()U a 中的点映射到()U b 之中（用记号表示就是：(())()f U a U b ?）并且lim ()x a
f x b →=，则有
lim (())x a
g f x c →=
多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下： （1）设()P x 是任意多项式，a R ∈，则
lim ()()x a
P x P a →=
（2）设()P x 是任意多项式，()Q x 是非零多项式a R ∈，()Q a 不都是0，则
()()
lim
()()
x a P x P a Q x Q a →=
（3）设
1011
0100(),
(),0,0
m m m n
n n P x a x a x a Q x b x b x
b a b --=+++=++
+≠≠，则
00,
()lim ,()
0,
x m n a P x m n Q x b m n →∞?+∞>??==???
100100,()
lim lim ,()0,m m m n x x n n
m n a
a a a P x x x x m n
b b Q x b b x x m n
-→∞→∞?
+∞>?
??+++ ??=== ?? ??++
+?
??
如果如果如果
1.5单侧极限
定义（序列方式）：设R A R a ∈∈,，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意满足条件a x n →的序列),(}{a a x n η-?，相应的函数值序列)}({n x f 都以A 为极限，那么我们就说：-
→a x 时函数)(x f 的极限为A ，记为
A x f a x =-
→)(lim
定义（δε-方式）：设R A a ∈,，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>ε，存在0>δ，使得只要
a x a <<-δ
就有
ε<-|)(|A x f
那么我们就说：-
→a x 时函数)(x f 的极限为A ，记为
A x f a x =-
→)(lim
定义（δε-方式，特殊的+∞=?A R A ,）：设R a ∈，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>E ，存在0>δ，使得只要
a x a <<-δ
就有
E x f >)(
那么我们就说：-
→a x 时函数)(x f 的极限为∞+，记为
+∞=-
→)(lim x f a x
可用类似的方式来定义+
→a x 的极限。
定理1：设R a ∈，并设函数)(x f 在a 点的去心邻域),(ηa U
上有定义。则极限)(lim x f a
x →存
在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：
A x f x f a
x a x ==+-
→→)(lim )(lim
当这条件满足时，我们有
A x f a
x =→)(lim
单调函数定义：设函数f 在集合R S ?上有定义。
（1）如果对任意S x x ∈21,，21x x <，都有
)()(21x f x f ≤
那么我们就说函数f 在集合S 上是递增的或者单调上升的。 （2）如果对任意S x x ∈21,，21x x <，都有
)()(21x f x f ≥
那么我们就说函数f 在集合S 上是递减的或者单调下降的。 （3）单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。
1.6 连续与间断
定义I ：设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任何满足条件0x x n →的序列),(}{0ηx U x n ?，都有
)()(lim 00
x f x f n x x n =→
那么我们就说函数f 在0x 点连续，或者说0x 点事函数f 的连续点。
定义II ：设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任意0>ε，存在0>δ，使得只要δ<-||0x x ，就有
ε<-|)()(|0x f x f
那么我们就说函数f 在0x 点连续，或者说0x 点事函数f 的连续点。
定理1：设函数f 在0x 点连续，则存在0>δ，使得函数f 在),(0δx U 上有界。（证明过程参考函数极限）
定理2：设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续，则 （1）)()(x g x f ±在0x 点连续； （2）)()(x g x f ?在0x 点连续； （3）
)
()
(x g x f 在使得0)(0≠x g 的0x 处连续； （4）)(x cg 在0x 点连续。
定理3：设函数)(x f 在0x 点连续，则函数|)(|x f 也在0x 点连续. 证明：|)()(|||)(||)(||00x f x f x f x f -≤-，余下易证。
定理4：设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续。如果00()()f x g x <，那么存在0δ>，使得对于0(,)x U x δ∈有
()()f x g x <
定理5（复合函数的连续性）：设函数)(x f 在0x 点连续，函数()g y 在00()y f x =点连续，那么复合函数(())g f x 在0x 点连续.
定义单侧连续：设函数)(x f 在00(,]x x η-上有定义，如果
0lim ()()x x f x f x -
→=
那么我们就说函数)(x f 在0x 点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号
00()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x -+
-+→→== 我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值A ，不一定是该点的函数值0()f x ），可以写成
00()()f x f x A -+
==
但是如果在0x 点左连续和右连续，则说明在0x 点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值0()f x ），可以写成
000()()()f x f x f x -+==
)(x f 在0x 点左连续和右连续是)(x f 在0x 点连续的充分必要条件。
简单的说就是：
00000()()()()()
f x x f x x f x x f x x f x ??在点连续在点左连续,右连续
在点连续在点两个单侧极限存在,且值为
定理6：设函数)(x f 在0(,)U x η上有定义，则)(x f 在0x 点连续的充分必要条件是
000()()()f x f x f x -+==
反过来说，如果)(x f 在0(,)U x η上有定义，但)(x f 在0x 点不连续，则称0x 为间断点。有情形I 和情形II ，这两种情形下0x 点分别成为第一类间断点和第二类间断点。 情形I （第一类间断点）：两个单侧极限都存在，但
00()()f x f x -+
≠
或者
000()()()f x f x f x -+=≠
情形II （第二类间断点）：至少一个单侧极限不存在。
注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果)(x f 在0x 点单侧极限存在，并且此极限值等于)(x f 在0x 点的函数值0()f x ，那么就说)(x f 在0x 点单侧连续。
简单的例子，例如函数
sin ,0()0,
0x
x f x x
x ?≠?
=??=? (0)(0)(0)f f f -+=≠，0为第一类间断点。如果改成
sin ,0()1,
0x
x f x x
x ?≠?
=??=? (0)(0)(0)1f f f -+===，则0是连续点。
例如函数
1
sin ,
0()0,
0x f x x
x ?≠?=??=? 左右侧不连续，故0是第二类间断点。
狄里克莱（Dirichlet ）函数
1,()0,
x D x x ?=?
?如果是有理数
如果是无理数
任何x R ∈都是函数D 的第二类间断点。 黎曼（Riemann ）函数
1,,0()0,
q x p q q R x x >?=?
?如果是既约分数如果是无理数
所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。
1.7 闭区间上连续函数的重要性质
函数在闭区间上连续的定义：如果函数f 在闭区间[,]a b 上有定义，在每一点(,)x a b ∈连续，在a 点右侧连续，在b 点左侧连续，那么我们就说函数f 在闭区间[,]a b 上连续。
引理：设{}[,]n x a b ?，0n x x →，则0[,]x a b ∈。
定理1：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果()f a 与()f b 异号，那么必定存在一点
(,)c a b ∈，使得
()0f c =
定理2（介值定理）：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果闭区间的两端点的函数值
()f a α=与()f b β=不相等，那么在这两点之间函数f 能够取得介于α与β之间的任意
值γ。这就是说，如果()()f a f b γ<<，那么存在(,)c a b ∈，使得
()f c γ=
定理3：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在闭区间[,]a b 上有界。
定理4（最大值与最小值定理）：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，M ，m 分别是函数f 在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值，记
[,]
[,]
sup (),inf ()x a b x a b M f x m f x ∈∈==
则存在',''[,]x x a b ∈，使得
('),
('')f x M f x m ==
一致连续定义：设E 是R 的一个子集，函数f 在E 上有定义，如果对任意0ε>，存在0δ>，使得只要
1212,,||x x E x x δ∈-<
就有
12|()()|f x f x ε-<
那么j 我们就说函数f 在E 上是一致连续的。
定理5（一致连续性定理）：如果函数f 在闭区间[,]I a b =连续，那么它在I 上是一致连续的。
1.8 单调函数和反函数
引理：集合J R ?是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数,J αβ∈，介于α和β之间的任何实数γ也一定属于J 。
定理1：如果函数f 在区间I 上连续，那么
(){()|}J f I f x x I ==∈
也是一个区间。
定理2：如果函数f 在区间I 上单调。则函数f 在区间I 上连续的充分必要条件为：()f I 也是一个区间。
反函数定义：设函数f 在区间I 上连续，则()J f I =也是一个区间。如果函数f 在区间I 上严格单调，那么f 是从I 到()J f I =的一一对应。这时，对任意()y J f I ∈=，恰好只有一个x I ∈能使得()f x y =。我们定义一个函数g 如下：对任意的y J ∈，函数值()g y 规定为由关系()f x y =所决定的唯一的x I ∈。这样定义的函数g 称为是函数f 的反函数，记为
1g f -=
我们看到，函数f 及其反函数1
g f
-=满足如下关系：
()()g y f f x y =?=
定理3：设函数f 在区间I 上严格单调并且连续，则它的反函数1
g f -=在区间()J f I =上
严格单调并且连续。
1.9 指数函数，对数函数和初等函数连续性小结
定理1：设,1a R a ∈>，则有 （1）lim x
x a →∞
=+∞
（2）lim 0x
x a →-∞
=
定理2：初等函数在其有定义的范围内是连续的。