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三角恒等变换专题复习(教师版)

三角恒等变换专题复习

一．要点精讲

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；

βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

。

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα

-。

3．半角公式

cos 12

sin

αα

-±

c o s

c o s αα

+±

αααc o s

1c o s 12t a n +-±

（αα

ααα

sin cos 1cos 1sin 2

tan

）

4.（1）降幂公式

ααα2sin 2

cos sin =

；2

2cos 1sin

α-=

；2

2cos 1cos

α+=

。

（αα2cos 1sin

-= αα2c o s 1c o s 22+=）

（2）辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ?+=+，

sin cos ??=

其中

5．三角函数式的化简、求值、证明

（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

二．典例解析

题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=?

，

(

)()

2αβ

ααβ+=-

等），

例1：（1）已知2tan()5αβ+=

，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：3

22）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2

sin()αβ-=，求cos()αβ+的值

（答：490729

）；

（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______

（

答：43

(1)55

y x x =<<）

题型2：三角函数名互化(切化弦)

例2（1）

求值sin50(1) （答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1

）

题型3：公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。

例3：（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B + ＝_____

（答：； (2)设ABC ?

中，tan A tan B Atan B +=

，sin Acos A =，则此三角形是____三角形（答：等边）

题型4：三角函数次数的降升(降幂公式：2

1cos 2cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。

例4：(1)若3

(,)αππ∈

为_____（答：sin 2α）；（2）

函数25f (x )sin xcos x x =

-x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212

[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）

题型5：式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例5：（1）求证：

1tan 1sin 212sin 1tan 2

ααα

++=--；

（2）化简：

4221

2cos 2cos 22tan()sin ()

x x x x ππ-+

-+（答：1cos 22x ）

题型6：常值变换主要指“1”的变换（2

1sin cos x x =+tan sin 42

ππ=== 等）。

例6：已知tan 2α=，求22

sin sin cos 3cos αααα+-（答：35

）.

题型7：正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”。

例7：（1）若 sin cos x x t ±=，则s i n c o s x x = __（答：212

t -±)，特别提醒：这里[t ∈；

（2）若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。（答：）；

（3）已知2sin 22sin 1tan k αα

+=+()42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值。

题型8：求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

例8：（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值______

（答：

）；（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______（答：

π）；（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值

（答：23

π）.

《三角恒等变换》课时作业

一、选择题

1、sin105cos105 的值为（）

Ａ．

Ｂ．－

2、已知2tan()5αβ+=

，1

tan()44

πβ-=，则tan()4πα+等于（）Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13

3、 sin

的值为 ( )

..2A B C 4、若()()11

sin ,sin 23αβαβ+=

-=，则

tan tan αβ

为（） A.5 B.1- C.6 1

D.6

5、已知锐角αβ、满足sin αβ=

αβ+等于（） 3A.4

3B.44ππ或 C.4π ()3D.24

k k ππ+∈Z

二、填空题 6. 已知cos α=

35,且α∈3,22ππ?? ???

,则cos(3πα- )=＿＿＿＿.

7. tan 20tan 4020tan 40+

的值是 .

8 设00sin14cos14a =+，00

sin16cos16b =+，2

c =

，则,,a b c 大小关系

9 已知sin

cos

那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为三、解答题

10. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin β=，求2αβ+.

11 已知1tan 3α

=-，cos 5

β=,(0,)αβπ∈

（1）求tan()αβ+的值；

（2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．

12. 已知函数2

()5sin cos f x x x x =-x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;

(3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．

《三角恒等变换》课时作业参考答案

一、选择题

二、填空题

7. 8. a

1739

、三、解答题

10.

； 11.（1） 1；（212. (1)π ； (2)增区间：5,1212k k ππππ??-+????

，减区间：511,1212k k ππππ?

?++????，其中k ∈Z ； (3)对称轴方程：5,212k x ππ=+ 对称中心：,026k ππ??

+ ???

，其中k ∈Z 。

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-．三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

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三角恒等变换专题习题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( ) A．－3 B．－ C．－D．－7 解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－. 答案B 2．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( ) A．－B．± C．－1 D．±1 解析cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1. 答案C 3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) A. B. C. D．－1 解析∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝. 答案B 4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1， ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ. ∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2. 答案C 5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( ) A．－B．－ C．0 D. 解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A. 答案A 6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( ) A．－B．－ C. D. 解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)， ∴sinα＋cosα＝. 答案C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan＝，则tanα＝________. 解析∵tan＝＝， ∴5tanα＋5＝2－2tanα. ∴7tanα＝－3，∴tanα＝－. 答案－ 8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin(2x－)＋，所以T＝π. 答案π 9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________. 解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x －φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.

第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.

1 三角恒等变换中角变换的技巧一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3 已知sin=, 0

五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值.

高一数学期末复习第三章三角恒等变换测试四

第三章三角恒等变换单元测试一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a << 2．函数221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是( ) A ． 4π B ．2 π C ．π D ．2π 3．sin163sin 223sin 253sin313+=（） A ．12- B ．12 C ．- D 4．已知3sin(),45 x π-=则sin 2x 的值为（） A .1925 B .1625 C .1425 D .725 5．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( ) A ．917 B ． C ． D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（） A ．4π B ．2 π C ．π D ．2π 二、填空题 1．已知在ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为． 2．计算：o o o o o o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sin cos()336 x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是． 4．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于．

5．已知)sin()(?ω+=x A x f 在同一个周期内，当3 π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________．三、解答题 1. 求值：（1）0 00078sin 66sin 42sin 6sin ；（2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。 2．已知4A B π+= ，求证：(1tan )(1tan )2A B ++= 3．求值：94cos log 92cos log 9cos log 222πππ++。 4．已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++ （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a <且[0, ]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.

简单的三角恒等变换(基础)

第20讲：简单的三角恒等变换【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定，或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），

三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

高考数学第一轮复习10--三角恒等变换

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合：；与α角终边关于x 轴对称的角的集合：；与α角终边关于y 轴对称的角的集合：；与α 角终边关于x y =轴对称的角的集合：； ②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：； ②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ；（5）由α的终边所在的象限，通过来判断2 α 所在的象限。来判断3 α 所在的象限

（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。（7）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：。（3）特殊角的三角函数值：三、同角三角函数的关系与诱导公式：

三角恒等变换知识点总结

、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ）； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形把两个三角函数的和或差化为形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2

高一下数学期末考试知识点复习要点

高一下期末三角函数考点：《数学必修4》第一章三角函数《数学必修4》第三章三角恒等变换《数学必修5》第一章解三角形三角函数知识要点: 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|α|= r l ,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co sα=r x ,正切函数tan α= x y , ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{ } 36036090,k k k αα?<

第二象限角的集合为 { } 36090360180,k k k αα?+<

知识讲解-三角恒等变换-基础

三角恒等变换【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；

ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)

高考总复习简单的三角恒等变换习题

高考总复习简单的三角恒等变换习题 (附参考答案) 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π 4)，x ∈R ，则函数f (x ) 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2的偶函数 [答案] A [解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π 2＝π. (理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π3 [答案] B [解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝ 1－cos2x 2＋1 2 sin2x ＝12＋2 2sin ????2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3 2 ，则cos2α＝( ) A ．－1 4 B ．－1 2 C.12 D.3 2 [答案] B [解析] ∵|a |2＝cos 2α＋?? ? ?222 ＝cos 2α＋12＝34， ∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1 2. 3．已知tan α 2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.4 15 D ．－35 [答案] B

[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α 2＝cos 2α2－sin 2 α2cos 2α2＋sin 2α2 ＝1－tan 2 α 21＋tan 2 α2 ＝1－91＋9＝－4 5 ，故选B. 4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B [解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C 2 ， ∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝1 2(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1， ∵－πcos x ，