三角恒等变换专题复习
教学目标：
1、能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式；
2
2、理解同角三角函数的基本关系式：；
3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。
教学重难点：
可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题
【基础知识】
一、同角的三大关系：
①倒数关系 tan?cot=1②商数关系sin
= tan；
cos
= cot cos sin
③平方关系sin 2cos2 1
温馨提示：
（ 1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[ 来源: 学 +科+网]
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。
二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
用诱导公式化简，一般先把角化成k
, k z 的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面2
的角是 90 度的奇数倍，就是“奇”，是90 度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，
判断角
k
在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“ +”还是“ -- ”，就加在前面）。
2
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间(00 ,360 0 ) 的角，再变到区间
(00 ,180 0 ) 的角，再变到区间(0 0 ,90 0 ) 的角计算。
三、和角与差角公式：
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos msin sin ;
tan( )
tan tan 1 mtan tan
变用tan ± tan = tan ( ±)(1 tan tan ) 四、二倍角公式：
sin 2 = 2sin cos .
cos2 cos2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 .
tan 2 2 tan 1 tan2
五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式cos( ) cos cos msin sin 推导出来。
六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用 sin cos cos sin sin( ) sin cos 1
sin 2 2
变用cos2 1 cos 2 sin 2 1 cos2 cos2 2 1 cos4
2 2 2
七、合一变形（辅助角公式）
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y Asin( x) B 形式。sin cos 2 2 sin ，其中 tan ．
八、万能公式
sin 2 2 tan cos 2 1 tan 2
tan 2 2tan
1 tan
2 1 tan 2 tan 2
1
九、用 sin ， cos 表示 tan
2
tan sin 1 cos
1 cos sin
2
十、积化和差与和差化积
积化和差sin cos [sin( ) sin( )] ；
cos sin [sin( ) sin( )] ；
cos cos [cos( ) cos( )] ；
sin sin [cos( ) cos( )] .
和差化积sin sin 2 sin cos
2 2
sin sin 2 cos sin
2 2
cos cos 2 cos cos
2 2
cos cos 2 sin sin
2 2
十一、方法总结
1、三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（ 1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，
如α=( α+β) －β=(α－β)+β ,2α=( α+β)+( α －β),
α+βα+ββα
2α=( β+α) －( β－α), α+β=2· 2 , 2 =( α－ 2 )－( 2 －β ) 等 .
（ 2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦tan sin cos
,cot ），cos sin
（3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开
和合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证, 得到另一边 , 一般地 , 如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法
即由繁到简 .
②左右归一法, 即将所证恒等式左、右两边同时推导变形, 直接推得左右两边都等于同一个式子.
,
③比较法, 即设法证明: " 左边－右边=0" 或 " 左
右 =1";
④分析法 , 从被证的等式出发 , 逐步探求使等式成立的充分条件 , 一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止 , 则可以判断原等式成立 .
【例题精讲】
例1 已知为第四象限角，化简：
1 sin 1 cos cos
sin
sin
cos
1 1
解：（ 1）因为为第四象限角
所以原式 = cos (1 sin ) 2 (1 cos )2 1 sin 2
sin
1 cos2
1 sin 1 cos
1 sin 1 cos cos sin cos sin
cos sin
例 2 已知 270 360
1 1 1 1
，化简
2 2
cos2
2 2
解：270 360 ，cos 0,cos
2
所以原式 = 1 1 1 cos2 1 1 cos2 1 cos cos2 cos
2 2 2 2 2 2 2 2 例 3tan20 °+4sin20 °
解： tan20 °+4sin20 °=sin 20
2 sin 40 0
cos200
= sin(60 0 400 ) 2sin 400 3 0 3 0
2 cos40 2 s in 40
3 cos200
3
cos20 0 cos200 cos200
例 4（05天津）已知，求及．
解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，即①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故②由①和②式得，
因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，
解得，即由可得
由于，且，故 ?在第二象限于是，
从而以下同解法一
小结： 1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
例 5 已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量 .
（1）求的大小；
（2）求函数取最大值时，的大小 .
解：（ 1）
，
（ 2）
，．
小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例 6 设关于 x 的方程 sinx ＋ cosx＋a＝0 在(0, 2 π)内有相异二解α、β.
(1) 求α的取值范围 ; (2) 求 tan (α＋β)的值.
解: (1) ∵
sinx ＋
cosx
＝ 2(
sinx
＋
cosx
) ＝ 2
sin ( x
＋ ), ∴方程化为
sin
( ＋)＝－.
x
∵方程 sinx ＋ cosx＋ a＝0 在(0, 2 π)内有相异二解, ∴sin ( x＋)≠ sin ＝.
又 sin ( x＋)≠±1 (∵当等于和± 1 时仅有一解 ), ∴| －|<1 . 且－≠ . 即 | a|<2 且 a≠－.
∴ a 的取值范围是(－2,－)∪(－, 2).
(2) ∵α、β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝ 0 ① . sin β＋cosβ＋ a＝0 ② .
①－②得 (
sin α－
sin β
) ＋(
cosα
－
cosβ
)＝0. ∴ 2
sincos
－2
sin
sin ＝0,又 sin ≠0, ∴ tan ＝.∴ tan (α＋β)＝＝.
小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2 π) 这一条件 .
例 7 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范
围．解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．
任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得
由可知：，所以
上式恒成立的条件为： .
由于
且当时，，所以 ,
从而,
有,故的取值范围为.
【基础精练】
π 3 α
1．已知 α 是锐角，且 sin
2 ＋α ＝4，则 sin
2 ＋π 的值等于 (
B ．－ 2
D ．－
14 4
4
3π
1－ cos( α－π )
2．若－ 2π＜α＜－
2 ，则
2
的值是 ( )
α
α
α
A ． sin 2
B ． cos 2
C
．－ sin 2
)
α
D ．－ cos 2
·
cos 2α
等于 (
)
cos(9 0°＋α )
A. －sin α
B.
－cos α
α
α
π
3
1＋ 2cos( 2α－ 4 )
4. 已知角 α 在第一象限且
cos α＝ 5，则
π
等于
(
)
sin( α＋ 2 )
D.
2
－ 5
a b
1
sin α sin β
3 3
π 5. 定义运算 c d ＝ad － bc. 若 cos α＝ 7， cos α cos β
＝ 14 ，0<β<α< 2 ，则 β 等于 ()
π
2＋ bx ＋ c ＝ 0 的两个根，则 a 、b 、 c 的关系是(
6. 已知 tan α 和 tan(
4 －α ) 是方程 ax )
＝ a ＋ c
＝ a ＋ c
＝ b ＋ a
＝ ab
2
1－ tan 240°30′ 1
7. 设 a ＝ 2 (sin
56°－ cos56°) ， b ＝cos50°cos128°＋ cos40°cos38°，
c ＝ 1＋ tan 2
40°30′ ， d ＝ 2 2
(
)
(cos80 °－ 2cos 50°＋ 1) ，则 a ， b ， c ，d 的大小关系为
＞ b ＞ d ＞ c
＞ a ＞ d ＞ c ＞a ＞ b ＞ c
＞ a ＞ d ＞b
1
2
8．函数 y ＝ 2sin2x ＋sin x ，x ∈R 的值域是 (
)
9. 若锐角 α、β 满足 (1 ＋ 3tan α)(1 ＋ 3tan β) ＝ 4，则 α＋β＝ .
10. 设α是第二象限的角，tan α＝－4
3，且sin
αα
2 α 2 ＝. 11. 已知 sin(x)=5 ，0 cos2x 的值。 413 4 cos(x) 4 12.若, 7 , tan 1 (0, ) ， cos ，求α +2β。 50 3 【拓展提高】 1、设函数f(x) ＝ sin( πxπ －) － 2cos 4 6 2πx ＋ 1 8 (1) 求 f(x) 的最小正周期. 4 (2) 若函数y＝ g(x) 与 y＝ f(x) 的图像关于直线x＝ 1 对称，求当x∈[0 ， 3] 时y＝ g(x) 的最大值 2 5 2. 已知向量a＝(cos α， sin α) ， b＝(cos β， sin β) ， |a － b| ＝ 5 (1)求 cos( α－β ) 的值； ππ 5 (2)若 0<α<2，－2 <β<0，且 sin β＝－13，求 sin α. 3、求证：sin（2 ） － 2cos （α +β） = sin . sin sin 【基础精练参考答案】 ππ 1＋2( cos2αco s 4＋sin2 αsi n 4 ) 4． C【解析】原式＝ cosα 1＋cos2α＋ sin2 α 2cos 2α＋ 2sin αcos α 3 4 14 ＝ cos α ＝ cos α ＝2×(cos α＋ sin α) ＝2×( 5＋ 5) ＝ 5 . 3 3 【解析】依题设得： sin α· cos β－ cos α· sin β＝ sin ( α－β ) ＝ 14 . π 13 1 4 3 ∵0<β<α< 2 ，∴ cos( α－β ) ＝ 14. 又∵ cos α＝ 7，∴ sin α＝ 7 . sin β＝ sin[ α－ ( α－β )] ＝sin α· cos( α－β ) －cos α· sin( α－β ) 4 3 13 1 3 3 ＝ 7 × 14－7× 14 ＝ 3 π 2 ，∴β＝ 3 . b 【解析】 π π －α ) ＋α ] ＝ － a ∴tan ＝ tan[( ＝ 1， 4 4 c 1－ a b c ∴－ a ＝ 1－ a ，∴－ b ＝ a －c ，∴ c ＝ a ＋ b. 【解析】 a ＝sin(56 °－ 45°) ＝sin11 °， b ＝－ sin40 °cos52°＋ cos40°sin52 °＝ sin(52 °－ 40°) 1－ tan 240°30′ 1 2 2 ＝sin12 °， c ＝ 1＋ tan 240°30′ ＝cos81°＝ sin9 °， d ＝ 2(2cos 40°－ 2sin 40°) ＝cos80°＝ sin10 ° ∴b ＞ a ＞ d ＞ c. 1 2 1 1 12 π 1 【解析】 y ＝ 2sin2x ＋ sin x ＝ 2sin2x － 2cos2x ＋ 2＝ 2 sin 2x － ＋ 2，故选择 C. 4 π tan α＋ tan β 9. 3 【解析】由 (1 ＋ 3tan α)(1 ＋ 3tan β) ＝ 4，可得 1－tan αtan β ＝ 3，即 tan( α＋β ) ＝ 3. π 又 α＋β∈ (0 ，π ) ，∴α＋β＝ 3 . 5 α α α α 10. － 5 解析：∵α 是第二象限的角，∴ 2 可能在第一或第三象限，又 sin 2 α 4 3 α 1＋cos α 5 限的角， ∴cos 2 <0. ∵tan α＝－ 3，∴ cos α＝－ 5，∴ cos 2 ＝－ 2 ＝－5. 12. 【解析】∵ , (0, ) ， cos 7 ∴ tan 1 ( 3 ,0), tan 1 ( 3 ,0), 50 7 3 3 3 ∴ , ( 5 , ) ，α +2β (5 ,3 ),又 6 2 tan2 β= 2 tan 3 , tan( 2 tan tan 2 1 ,[ 11 tan 2 4 ) tan tan 2 来源 :] ∴α +2β= 1 1 4 【拓展提高参考答案】 πx π πx π π 3 π3 π 1、【解析】 (1)f(x) ＝ sin 4 cos 6 － cos 4 sin 6 －cos 4 x ＝ 2 sin 4 x － 2cos 4 x 2π π π π ＝ 3sin( 4 x － 3 ) ，故 f(x) 的最小正周期为 T ＝ 4 ＝ 8 (2) 法一：在 y ＝ g(x) 的图象上任取一点 (x ， g(x)) ，它关于 x ＝ 1 的对称点 (2 －x ， g(x)). 由题设条件，点 (2 － x ， g(x)) 在 y ＝ f(x) 的图象上，从而 g(x) ＝ f(2 －x) ＝ 3sin[ π π (2 －x) － ] 4 3 π π π π π ＝ 3sin[ 2 － 4 x － 3 ] ＝ 3cos( 4 x ＋ 3 ) ， 4 π π π 2π 4 g(x) π 3 当 0≤x ≤ 时， ≤ x ＋ ≤ 3 ，因此 y ＝ g(x) 在区间 [0 ， ] 上的最大值为 max ＝3cos ＝ . 3 3 4 3 3 3 2 4 2 法二：因区间 [0 ，3] 关于 x ＝ 1 的对称区间为 [ 3， 2] ，且 y ＝ g(x) 与 y ＝ f(x) 的图象关于 x ＝1 对称， 4 2 上的最大值，由 (1) 知 f(x) ＝ 3sin( π π 故 y ＝ g(x) 在 [0 ， ] 上的最大值为 y ＝f(x) 在 [ ， 2] x － ) ， 3 3 4 3 2 π π π π 4 ＝ 3sin π 3 当 3≤x ≤2时，－ 6 ≤ 4 x － 3 ≤ 6 ，因此 y ＝ g(x) 在 [0 ，3] 上的最大值为 g(x) 6＝2 . max 2 、【解析】 (1) ∵a ＝(cos α， sin α) ，b ＝(cos β， sin β) ， ∴a － b ＝(cos α－ cos β， sin α－ sin β). 2 5 2 2 2 5 4 ∵|a － b| ＝ 5 ，∴ ( cos α－ cos β ) ＋ ( sin α－ sin β ) ＝ 5 ， 即 2－2cos( α－β ) ＝ 5，∴cos( α 3 －β ) ＝ . 5 ππ 3 4 5 (2) ∵0<α< 2 ，－ 2 <β<0， ∴0<α－β <π， ∵cos( α－β ) ＝ 5，∴sin( α－β ) ＝ 5 ∵sin β＝－ 13， 12 ∴cos β＝ 13， ∴sin α＝ sin[( α－β ) ＋β ] ＝sin( α－β )cos β＋ cos( α－β )sin β＝ 4· 12＋ 3 ·( － 5 ) ＝ 33 5 13 5 13 65 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 1 三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin=, 0 五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值 例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解 例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。 4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a << 第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一 高一数学 三角恒等变换 一、考点、热点回顾 1、诱导公试:奇变偶不变,符号瞧象限 2、同角三角函数得基本关系式: 22sin cos 1θθ+=,tan θ=θ θ cos sin ,tan 1cot θθ?= 3、与差角公式: ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ○3β αβ αβαtan tan 1tan an )tan(?±=± t 4、倍角公式: ①θ θθθ2 tan 2cos sin 22sin ==②2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=- 5、降次升角公式: ○121cos 2sin 2 θ θ-= ○22 2cos 1cos 2θθ+= ○31 sin cos sin 22θθθ= 6、万能公式: ○122tan sin 21tan θ θθ = + ○2 221tan cos21tan θ θθ -= + 7、半角公式:(符号得选择由2 θ 所在得象限确定) ①2cos 12sin θθ-±= ○22cos 12cos θθ+±= ○3sin 1cos tan 2 1cos sin θ θθ θθ -== + 8、辅助角公式: sin cos a b αα±)α?±,(tan b a ?= )、 ), tan )a b αγγ=（、 二、典型例题 1.已知角α得终边过点p(－5,12),则cos α= ,tan α= . 2.若cos θtan θ＞0,则θ就是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一、二象限角 D.第二、三象限角 3.sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2 225°得值就是 ( ) A. 14 B. 34 C. 114 D. 94 4.已知sin(π+α)=－3 5 ,则 ( ) A.cos α= 45 B.tan α= 34 C.cos α= －45 D.sin(π－α)= 3 5 3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=； 因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式， 三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等）， 三角恒等式证明9种基本技巧 三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。 例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左： 将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。 例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。 三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式： sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2 、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2 三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。 知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】 三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α； ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是 的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z) 三角恒等变换技巧 三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、 切割化弦 “切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想． 【例1】 证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22 +=++ 证明：左边ααα αααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin 22 +?+?= ααααααααααααc o s s i n 1 c o s s i n )c o s (s i n c o s s i n c o s c o s s i n 2s i n 2224224=+=++= 右边α αααααααααcos sin 1 cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证． 点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类． 【例2】 已知θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22 =-=-θθθθ和， 且b a ,均不为零，试求“b a ,”b 的关系． 解：?????=-=-② ① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 2 2 θθθθ 显然0cos ≠θ，由①×θ2 cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ 又0≠a ，∴a b -=θcos 代入①得a a b b a 2223=+ 0)(222=-?b a ∴22b a = 点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径． 【例3】 化简)10tan 31(50sin 00+ 解：原式=000000 010cos ) 10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +?=+ 110 cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 0 000000 00===+?= 点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧． 二、 角的拆变 在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为 三角恒等变换习题详解 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π 4)，x ∈R ，则函数f (x ) 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2的偶函数 [答案] A [解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π 2＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3 2 ，则cos2α＝( ) A ．－1 4 B ．－1 2 C.12 D.3 2 [答案] B [解析] ∵|a |2＝cos 2α＋?? ? ?222 ＝cos 2α＋12＝34， ∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1 2. 3．已知tan α 2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.4 15 D ．－35 [答案] B [解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α 2＝cos 2α2－sin 2 α2cos 2α2＋sin 2 α 2 ＝1－tan 2 α 21＋tan 2 α2 ＝1－91＋9＝－4 5 ，故选B. 4．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝1 3，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．± 17 3 B ．－ 173 C.13 D. 173 [答案] D [解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－8 9<0，∴x ∈????π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝17 9 且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝ 17 3 ，故选D. 5．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y D ．x ＞y [答案] D [解析] ∵π>A ＋B ＞π 2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选 D. 6．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π 2个单位长度 B ．向左平移π 4个单位长度 C ．向右平移π 2个单位长度 D ．向右平移π 4个单位长度 [答案] D [解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ， 将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π 4个单位得，sin2????x －π4＝sin ????2x －π2＝－sin ??? ?π 2－2x ＝－cos2x ，故选D. 7．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α 2 B ．2cos α 2 C ．－2sin α 2 D ．2sin α 2 [答案] C [解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π 4. ∴1＋sin α＋1－sin α 高中数学必修4 三角恒等变换1 1．已知(,0)2 x π ∈-，4 cos 5 x = ，则=x 2tan （ ） A ． 247 B ．247- C ．7 24 D ．724- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为 4π的奇函数 B.周期为4π 的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期 为2 π 的偶函数 5．已知cos 23 θ= ，则44 sin cos θθ+的值为（ ） A ． 1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 6. 函数2 sin cos y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ） A .2( ,32π- B .5(,62π- C .2(,32π- D .(,3 π 7. 当04 x π <<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ． 12 C ．2 D ．14 8. 已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π= 对称，则?可能是（ ） A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 9. 将函数sin()3y x π =-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将 所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =- 三角函数知识点总结 1、任意角： 正角： ；负角： ；零角： ； 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份， 再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距 离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． 高一数学必修四三角恒等变换知识点 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ (α+β)=—————— 1-tanα·tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公 式)sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1- 2sin^2(α)2tanα tan2α=————— 1-tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1-cosα sin^2(α/2)=————— 2 1+cosα cos^2(α/2)=————— 2 1-cosα tan^2(α/2)=————— 1+cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan^2(α/2) 1-tan^2(α/2) cosα=—————— 1+tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan^2(α/2) 和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式α+βα-βsinα+sinβ=2sin—----·cos—--- 22 α+βα-β sinα-sinβ=2cos—----·sin—---- 22 α+βα-β cosα+cosβ=2cos—-----·cos—----- 22 α+βα-β cosα-cosβ=-2sin—-----·sin—----- 22 积化和差公式 ⒏三角函数的积化和差公式 sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)] 9解三角形 步骤1. 在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点DCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.
人教版高中数学必修四三角恒等变换题库
简单的三角恒等变换(基础)
高一数学三角恒等变换
高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)
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