关节四基本图形性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。 正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。 一、线段的性质和线段中点的功能
应掌握好：1、线段的两种变换性质；2、线段中点的三项功能。 1、线段的变换性质
从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）
例1 如图，ABC ?是任意三角形，请画出BC A '?和ABC ?具有全等的关系。 【观察与思考】如果把要画的BC A '?看作是由ABC ?变换而来的，那么这个变换使线段BC 变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。 （1）
（2）
解：如图（2）（其中直线1l 是BC 所在的直线，点1A 为点A 关于直线1l 的对称点；直线2l 是线段BC 的垂直平分线，点2A 为点A 关于直线2l 的对称点；点O 是线段BC 的中点，点3A 和点A 关于点O 为对称。
BC A BC A BC A 321,,???都和ABC ?全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。 2、线段中点的三项功能
（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线
三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AG//DB ，交CB 延长线于点G 。 若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，GB//AD ，AG//DB ，知四边形AGBD 已是平行四边形，其次，
由四边形BEDF 是菱形，而点E 是AB 的中点，即ED 是ABD ?中AB 边上的中线，且 DE=EB=AE ，立刻知道?=∠90ADB ，即四边形AGBD 是矩形。
解：（略）
【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出 从DE=EB=AE ，导出?=∠90ADB 。
B
A
C
A
B
C
1A
3A
O
1l
2l
2A
C
D
B
E
F
（2）构造三角形的中位线
例3 如图（1），已知，AD 是ABC ?的中线，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交AB 于点F 。
（1）若E 是AD 的中点，则
=BF
AF ； （2）若AE ：ED 则
，21==BF AF ； （3）若AE ：ED n
1=
，则
=BF
AF ；
（1）
【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF ，交AB 于点M ，EF 为ADM ?的中位线，得AF=FM ，DM 为BCF ?的中位线，得BM=MF 。可知AF 2
1=
FB 。
（2）如图（3），作DM//CF ，交AB 于点M ，易知，AFE ?∽ADM ?, 得
2
1==ED
AE FM
AF 。又DM 为BCF ?的中位线，得DM=FM ，
4
12==
FM
AF BF
AF （2）
（3）类比于（1）和（2），应有
n
BF
AF 21=（其实可有与（2）类似的推演过程）
【说明】本题解决的关键就在于构造出BCF ?的中位线DM 。
（3）构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造” （3） （特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决。
例4、已知，如图D 是ABC ?的边BA 延长线上一点，有AD=BA ，E 是边AC 上一点，且DE=BC ，求证：
C DEA ∠=∠
【观察与思考】以BD 及其中点A 为基础，构造“中心对称型”三等三角形。 解法提示：如下面图（1），（2），（3）。
（2） （3）
（1）
方法一：如图（1），延长CA 到F ，使FA=CA ，连结FD ，有A C B
A
F D ???，DF=BC=DE ，得D
E A
F C ∠=∠=∠
方法二：如图（2），分别作CA DN ⊥交CA 的延长线于N ，,CA BM ⊥垂足为M ，则有,BAM Rt DAN Rt ???得，DN=BN ，进而推得CBM EDN Rt ???，得C DEA ∠=∠
A
B
D
C
E
F
B
A
D
C
E F
M
B A
D C E
F M
A B
C
E D
A
B C E
D F A
B
C E
D N M A
B
C E
D
G
方法三：如图（3）延长CA 到G ，使得AG=EA ，则,BGA DEA ???得,G DEA ∠=∠再由BG=DE=BC ，得
C G DEA ∠=∠=∠。
特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。 例5 操作： 如图，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与线段MN 相交于点O ，利用图（1）画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
（1）
（2）
探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AB//CD ，E 为BC 边的中点，AF EAF BAE ,∠=∠与DC 的延长线相交于点F ，试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论。
【观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ 上点O 的两侧分别取点E ，F 使OE=OF ，就有ONF OME ?（图略）对于图（2），延长AE 到G ，使EG=EA ，连结CG ，如图（2`）。由“操作”的结论可知GCE ABE ???，得AB=GC ，,GCB ABC ∠=∠即CG//AB ，而CF//AB ，可知点F 在GC 上，而由GAF BAG G ∠=∠=∠，得AF=GF 。这样就有CF AF CF GF GC AB +=+== 解：（略）
（2`）
由以上题目的解法研究看出：凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。
二、角平分线的功能
角平分线主要功能有：1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。 1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形 角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。
例1 如图，在ABC ?中，?=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CD 【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC 上作出AE 关于AD 的 的对称图形AF （如图（2）），进而希望有CF 和CD 也关于CE 对称，这就引导我们 获取了如下的证法。
证明：取AC 上的点F ，使AF=AE ，连结OF 。
在AOE AOF ??和中，AF=AE ，AO 公用，EAO ，FAO ∠=∠
（1）
M
N
P Q
O
A
B
E C
D
F
A
B
E
C
G F
D
A B
C
D E O
AOE 。AOF AOE ，AOF ∠=∠∴???∴
又因为
?
=?-?-?=∠-?-?=∠+∠-?=∠1206018021
180180211802
1
180）（B ）（ACB ）
BAC （AOC
（2）
?=∠=∠∴60AOF AOE
在COD COF ??和中CO 公用。COD AOE AOF AOC FOC DCO FCO ∠=∠=?=∠-∠=∠∠=∠60,
CD CF COD COF =∴???∴,。 CD AE CF AF AC +=+=∴
【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。
例 2 如图，已知点A （0，1）是y 轴上一个定点，点B 是x 轴上一个动点，以AB 为边，在OAB ∠外部作
,OAB BAE ∠=∠过点B 作,AB BC ⊥交AE 于点C ，设点C 的坐标为（y x ,），当点B 在x 轴上运动时，求y 关
于x 的函数关系式。
【观察与思考】先从几何图形的角度来看y x ,，为此作x CD ⊥轴 于点D （如图（2）），当点B 在x 的正半轴上时，,,CD y OD x ==现 考虑CD 与OD 之间的函数关系式。
再由AB 为OAE ∠的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB 的延长线交y 轴于'C ，由,AB CB ⊥可知B
C '和CB 关于AB 对称，即B 为C C '的中点，再结合x C
D ⊥轴，x O C ⊥'轴，则OB C CDB ’??和关于点B 为中心对称，得y CD OC ==‘，x OD OB 2
121=
=
。再由AOB BOC ??和'的相似关系即可导出欲求的函数关系式。
解：作x CD ⊥轴于点D ，延长CB ，交y 轴于点'C ，则x OD y CD ==,
OAE AB ∠是 的平分线，且''ABC ABC Rt AB ，CC ???∴⊥，得'BC BC =。
（2）
在OB C CDB ‘??和中，）AC CD B （OC DCB BO ，C CBD ’//‘’ ∠=∠∠=∠ B C CB ’=
x OD DB OB y CD O C OB ，C CDB 2121,’‘=
=
===∴???∴。
在BAO BO C ，AOB Rt BOC Rt ∠=∠??‘'中和（同为ABO ∠的余角）。
'BOC Rt ?∴∽Rt ,AOB ? 得
x
y
x OB
OA OC OB 21121
,'
=
=
即
，2
4
1x y =
∴。
容易知道，这个关系在0=x 和x 取负数值时，也是成立的。
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。
A
B
C
D
E
O F x y
O A
B E C
x
y
O A
B E
C
'C
D
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形
我们知道，若OP 是AOB ∠的平分线，则与OA 平行，与OB 平行，与OP 平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即
情形一，与OA 平行的直线MN 和OB ，OP 所在的直线相交如图（1）和（2）：
（1）MN 和OB ，OP 交出等腰三角形COD ，（2）MN 和OP ，OB 的反向延长线交出等腰三角形COD ， 其中CO=CD 。（213∠=∠=∠ ） 其中CO=CD 。（4123∠=∠=∠=∠ ）
情形二，与OP 平行的直线MN 和OA ，OB 所在的直线相交如图（3）和（4）
（3）MN 和OB 的反向延长线及OA 交出等腰三角形 （4）MN 和OA 的反向延长线及OB 交出等腰三角形 DCO ，其中OC=OD ，（4213∠=∠=∠=∠ ） OCD ，其中OC=OD 。（4213∠=∠=∠=∠ ） 情形三，与OB 平行的直线MN 和OA ，OP 所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。 由此可知：
①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”。
②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据。 角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；
例3 如图（1），在平行四边形ABCD 中，线段AE ，BF 分别平分ABC DAB ∠∠和，交CD 于点E ，F ，线段AE ，BF 相交于点M 。 （1）试说明：BF AE ⊥；
（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明。
【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得。 解：（1）?=∠+∠=
∠+
∠=
∠+∠90)(2
12
12
1ABC DAB ABC DAB MBA MAB
O B P A
M N C
D 1
2 3 1 B
P A O 2
C N
M D 3 4 O B P N
M A D C
2 1 3
4 O B
P
A
N M C D 1
2 2 4 A B C D M
F E
BF AE AMB ⊥∴?=?-?=∠∴.9090180。
（2）有结论：DF=CE ，理由如下：在DAE ?中，DA DE DEA BAE DAE =∴∠=∠=∠,。同理有CF=CB 。
CE EF CF EF DE DF CF CB DA DE =-=-=∴===∴.
由以上的例题可以看出：
当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：
Ⅰ。以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？
Ⅱ。以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。
三、等腰三角形的变换性质
等腰三角形具有这样的变换性质1、等腰三角形是轴对称图形；2、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性。 1、等腰三角形的轴对称图形
等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的。如图（1）
凡是涉及等腰三角形的问题，都首先应当沿着“轴对称”这一特征去分析，去认识，去寻找解决的方法。 （1）
（2）
例1 如图（2），ABC ?中，AB=AC ，过A 作GE//BC ，角平分线BD ，CF 相交于点H ，它们的延长线分别与GE 交于点E ，G ，试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
【观察与思考】找全等三角形，实际上是去找图中关于ABC ?的对称轴（尽管没有把它画出来）为对称的三角形。
解：全等的三角形有：;;;ADE AFG ACG ABE ACF ABD ?????????
DCB FBC HDC HFB ??????;
以证ADE AFG ??为例：在CDB BCF ??和中，BC 公用，BCD CBF ∠=∠，CBD ，CBF BCD BCF ∠=∠=∠=∠2
1
2
1
CD BF CBD 。BCF =∴???∴。
在ADE AFG ??和中，E EBC GCB G EAD ，ACB ABC GAF ∠=∠=∠=∠∠=∠=∠=∠，AF=AB-BF=AC-CD=AD ， ADE AFG ???∴。
【说明】三角形全等本来只是图形“形状和大小”的问题，现在，在等腰三角形这一特殊（轴对称）背景下，可以借助于“位置的对称”来寻找和认识它们，这就为我们研究和利用它们提供了一个新的视角，新的途径，无疑是非常有帮助的。
例2 如图（1），ABC ?中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF//AB ，连结BP 并延长，交AC 于点E ，交CF 于点F 。
求证：PF PE BP ?=2
（1） （1`）
A
C
B
A
G
E
H
F D
B C A F E P A F E
P
【观察与思考】若作PB 关于AD 的对称线段PC ，则PC=PB ，而易知PCE ?∽PFC ?，可使问题获解。 证明：连结PC （如图（1`））
在ACP APB ??和中，AP 公用，AB=AC ，CAP BAP ∠=∠， ACP ABP CP ，BP ACP ，APB =∠=∴???∴且。
在F ABP PCE FPC ，CPE ，PFC PCE ∠=∠=∠∠=∠??中和
PCE ?∴∽PFC ?，PF PE PB
PF ，PE PC
PC
PE PF
PC ?=?=∴=
∴
2
2
即。
【说明】可以看出，当问题的基本背景为等腰三角形时，以该三角形的对称轴去探索问题的解决途径，常常是很有效的。
2、等腰三角形的“两腰的旋转重合性”
如图，在等腰三角形ABC 中，若顶角α=∠BAC ，则显然有：
腰AB 与腰AC 重合，反之有
腰AC 与腰AB 重合。
等腰三角形这一特征，我们称之为等腰三角形“两腰的旋转重合性”，等腰三角形的这一特征，也是解决某结与等腰三角形相关问题的向导。
例3 如图（1），ABC ?是等边三角形，BDC ?是顶角?=∠120BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作 60°的角，它的两边分别与AB ，AC 交于点M 和N ，连结MN 。 （1）探究：NC MN BM ,,之间的关系，并加以证明；
（2）若点M ，N 分别在射线AB ，CA 上，其他条件不变，再探究线段BM ，MN ，NC 之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由。
（1）
（2） 【观察与思考】对于（1），这时在DMB ?中，有?=?+?=∠+∠=∠906030CBA DBC DBM 为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，
作： DMB ?
DGC ?（如图（1`），从而有MB=GC ，而此时恰又有GND MND ??，
得BM NC CG NC NG MN +=+==。
（2`）
绕点A 逆时针 旋转α
绕点A 顺时针 旋转α
A B
C
α
A B C D
A B
C D N M 绕点D 顺时针
旋转?120角 A
B
M N
C
A
B
N
G
（1`）
对于（2），此时的图形（2`），仍作（1）中的的旋转，类似地可以推得MN=CN —BM
解：（1）关系为MN=BM+NC 。
证明：延长AC 到G ，使CG=BM ，连结DG ，如图（2`）
?=+?=∠+∠=∠903060CBD ABC ABD 。同理也有?=∠90ACD 。 在DC ，DB
DGC Rt DMB Rt =??中和，BM=CG 。
GDC MDB DG DM DGC Rt DMB Rt ∠=∠=∴???∴,,。
在GND MND ??和中，ND 公用，DM=DG ，?=∠60MDN ?=∠+∠=∠+∠=∠60CDN MDB CDN GDC GDN 。
NC BM NC GC GN MN GND ，MND +=+==∴???∴。
（2）此时，图形如图（2`），有关系式：MN=CN —BM 。理由如下： 在CN 上截取CG=BM ，连结DG ，如图（2`）。
与（1）中情况类似，可推得GDC MDB DG ，DM DGC Rt DMB Rt ，ACD ABD ∠=∠=????=∠=∠得且,90 仍与（1）中情况类似，可推得BM NC CG NC GN MN GND MND -=-==??就有,。
【说明】由本题可以看出，恰当地运用等腰三角形的“两腰的旋转重合性”，可在一定的条件下实现图形 （线段、角）的“转移”，从而使问题解决。
当题目背景为等腰三角形时，应注意充分运用其“轴对称性”和“两腰的旋转重合性”。
四、等边三角形的变换性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有轴对称性，且有三条对称轴，但是，等边三角形具有更为特殊的变换性质，并更多地成为相关问题展开的焦点，那么，充分运用这些变换性质，便成为打开相关问题解决之门的钥匙。 等边三角形具有如下的变换性质
1、它是轴对称图形（有三条对称轴）；
2、它是绕中心的?120的旋转对称图形；
3、它的两邻边具有60°旋转重合性； 1、等边三角形的“?120的旋转对称性”
如果一个图形沿某一条直线作轴对称图形与它本身重合，就称这个图形为轴对称图形，完全类似地，如果一个图形以某一点为中心旋转α角（?<
可以知道，任意的等边三角形ABC ，以它的中心O （三条中线的交点，也即中心、内心、垂心、外心）为中心旋转?120，就与自身重合，所以，“等边三角形是?120的旋转对称图形。”如图
重合于等边三角形BCA ，等边三角形的这一变换性质，可以帮助
我们更好地发现与找到许多问题的解决方法。
ABC ?
绕点O 顺（逆）时针
旋转120°角 A O
例1 如图（1），扇形DOE 的圆心角为120°，等边三角形ABC 的中心恰好为扇形 DOE 的圆心O ，且点B 在
扇形DOE 内
（1）请连结OA ，OB ，并证明BOG AOF ???；
（2）求证：ABC ?与扇形DOE 重叠部分的面积等于ABC ?面积的
3
1。
（1）
【 观察与思考】注意到点O 为等边三角形ABC 的中心，而FOG ∠恰为120°，即 重合于OG 。因此，
（1）有AOF ? 重合于BOG ?。
（2）由（1）的结论可推得。
【证明】（1）连结OA ，OB （如图（1`）。 点O 是等边ABC ?的中心，
?=?=
∠?=∠=∠=1203
360,30,AOB OBG OAF OB OA 。
又知BOG BOF FOG BOF AOB AOF FOG ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴?=∠,120。
BOG AOF ???∴。
（2）ABC OAB OAF OFB OBG OFB OFBG
S S S S S S S ??????=
=+=+=3
1四边形
【说明】由本题的结论及其推导过程可以进一步概括出：在等边三角形ABC 中，
①任意顶点在ABC ?的中心的120°的角的两边，截下的ABC ?的部分的面积，都等于ABC ?面积的
3
1。
②任意以ABC ?的中心O 为端点的射线（如上图中的OD ），以O 为中心旋转120°以后（如上图中的OE ），与ABC ?的边交出的对应线段有着同样的旋转对称关系，当然也就相等（如上图中OF=OG ，AF=BG ，BF=CG ）。 例2 如图，已知，点D 是边长为1的等边三角形ABC 的内心，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且满足?=∠60EDF 。求AEF ?的周长。
【观察与思考】AEF ?的三边的长不可能通过分别计算求得，因此，第一个想法 就是把它的三条边等长转化到同一条直线上，利用等边三角形120°的旋转对称性， 先把AF 转化到AB 上，为此，如图（1`），连结DA （注意到点D 就是ABC ?的中心）
（1） 作变换：
重合到BDG ?。
当然就有AF=BG 。在这种情况下，又诱发我们看到DEG DEF ???， 即有EF=EG ，这时就可以看出，AEF ?的周长应当等于ABC ?的一条边长。 （1`）
解：如图（1`），连结DA ，DB ，并在BA 上截取BG=AF ，连结DG ， 在BDG ADF ???中， ?=∠=∠==30,,DBG DAF BD AD BG AF （因为D 为ABC ?的内心）
A O C B
E
D G
F
OF
绕点O 逆时针
旋转120°角
绕点O 逆时针
旋转120°角 A
O C B
E
D
G
F
A
B C D F E
A B
C D
F E
G
?ADF 绕点D 逆时针
旋转120°角
.,,BDG ADF DG DF BDG ADF ∠=∠=∴???
在DEG DEF ??和中，DE 公用，DF=DG ，?=∠60EDF ，而
BDG ADE ADB EDG ∠-∠-∠=∠()?=?-?=∠-?=∠+∠-?=6060120120120EDF
ADF ADE
EG EF DEG ，DEF =∴???∴
∴AEF ?的周长1==++=++=AB BG EG AE AF EF AE
【说明】正是等边三角形的120°的旋转对称性，启发了整个的解题思路和辅助线的作法。 2、等边三角形“两邻边的60°旋转重合性。
因为等边三角形的每个角都是60°，且三边相等，所以，以其一个顶点（如图的A ）为中心，将过该顶点的一条边（如AB ）沿适当的方向旋转60°（如这里逆时针旋转60°）就能与顶点的另一条边（如AC ）重合。
等边三角形的这一性质，我们可称之为等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”。
这一性质，在不少与等边三角形相关的题目中，也有关着很重要的作用。
例3 如图，已知AD 和BC 相交于点O ，且OCD OAB ??和均为等边三角形， 以为边作和OB OD 平行四边形ODEB ，连结AC ，AE 和CE 。
求证：ACE ?也是等边三角形 【观察与思考】借助于等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，容易发现：
Ⅰ、 重合于ABE ?；
Ⅱ、 重合于EDC ?。
由以上旋转重合中任选一个，都不难使本题获解。 证明方法一：在ABE AOC ??和中，
AB ，AO =ABE OBE ABO COD ABO AOC BE ，OD OC ∠=∠+∠=∠+∠=?=∠==120，
EAB CAO AE ，AC ABE ，AOC ∠=∠=∴???∴。
又?=∠=∠+∠=∠+∠=∠60OAB OAE EAB OAE CAO CAE ACE ?∴是等边三角形。
方法二：通过证AOC ?和EDC ?全等，请同学们自己完成。
【说明】由上例进一步看出，熟悉并善于运用等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，能更快速、更准确地发现与等边三角形相关问题中的全等关系，进而解决许多有关的问题。
以等边三角形为背景的题目，绝大部分是依以上三种变换性质展开或衍生的。因此，依这三种变换性质去寻找解法，既是正路，也是捷径。 五、等腰直角三角形的变换性质
从变换的视角来看，等腰直角三角形有如下的三种特征：
特征一：它是以斜边上的中线所在直线为轴的对称图形（这是由“等腰”决定的）； 特征二：它是以斜边上的中点为中心的90°旋转重合图形（意义见下文）； 特征三：它的两条直角边关于直角顶点具有90°的旋转重合性。
特征一的应用亦如一般的等腰三角形一样，而与等腰直角三角形相关的问题，更多的却是由其特征二和特征三所引发的，相应地，这些问题的解决也便多以特征二和特征三为思考的依据及落实的线索，以下举例来说明。 1、等腰直角三角形“以斜边中点为中心的90°旋转重合性”。
我们知道，在等腰直角三角形ABC 中，若AO 是斜边AB 的中线（或高线，或顶角的平分线）——即O 为斜边
A B C
O
B
E
D
C A O
AOC ? 绕A 沿逆时针方向 旋转60°
AOC ? 绕C 沿顺时针方向 旋转60°
的中点，那么，将ACO Rt ?绕点O 顺时针旋转90°，则它与CBO Rt ?重合（点A 重合于点C 处，点C 重合于点B 处）。如图所示，同样地，将COB Rt ?绕点O 逆时针旋转90°，则它与AOC Rt ?重合（点C 重合于点A 处，点B 处重合于点C 处）。
等腰直角三角形以上的性质，我们称之为“等腰直角三角形以斜边中点为中心的90°旋转重合性”（以下简称“90°旋转重合性”）。这一性质可以说是等腰直角三角形最为本质的特征，因此有着极为广泛的应用。
例1 在ABC ?中，AC=BC ，?=∠90C ，将一块直角三角板的顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC ，CB 于D ，E 两点，图（1），（2），（3）是旋转三角板得的图形中的三种情况。
探究并证明：线段PD 和PE 之间有什么数量关系？写出结论并证明。
（1） （2） （3）
【观察与思考】根据题目的条件和要回答的问题，我们首先考虑到等腰直角三角形的“90°旋转重合性”。为此，在三种情况的图形中均连结CP ，如下面各图：
（3`） （1`）
（2`）
在图（1），图（2），图（3）中均有：
重合于EBP ?，从而EBP DCP ???，得PD=PE ，即3种情况有统一的结论
和统一的证法。
解：在3种情况中，均有结论，PD=PE 。证明如下：
在图（1），图（2），图（3）中，都连结CP ，在DCP ?和EBP ?中，CP=BP ，EBP DCP ∠=∠（在图（1）和 图（2）中，这两个角都为45°，而在图（3）这两个角都为135°）EPB DPC ∠=∠（在图（1）和图（2）中这两个角同为CPE ∠的余角，而图（3）中，这两个角同为DPB ∠的余角。 ∴EBP DCP ???，可得PD=PE 。
【说明】在本题中，等腰直角三角形的“90°旋转重合性”）引导我们找到如上的既统一又简捷的解决方法，这就是本质特征所揭示的规律的普遍化作用。
例2，如图，在ABC ?中，BC AC ACB =?=∠,90，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于点D ，
MN BE ⊥于点E 。
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE ；
A B C E P D A B C E P D A
B C E P D
A
B C E P
D A B
C E
P
D A B
C
E
P
D
DCP ? 绕点P 逆时针 旋转90°
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD —BE ；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。 （1）
（2）
（3）
【观察与思考】首先想到借助等腰直角三角形的“90°旋转重合性”来探究：
在图（1），图（2），图（3）中，都取斜边AB 的中点P 如下面的图（1`），图（2`），图（3`）则容易看到：
（1`） （2`） （3`）
在这三个图中均有：
重合于CBE Rt ?，即CBE Rt ACD Rt ???， 由此推得：
AD=CE ，CD=BE 。据此不仅立刻得到图（1）和图（2）情况的结论，并且也使我们很快看到在图（3）的情况应当有DE=BE —AD 。
解：在图（1），图（2）和图（3）中，同时考查ACD Rt ?和,CBE Rt ?
CBE ACD CB AC ∠=∠=, （同为BCE ∠的余角）。
CE ，AD CBE Rt ACD Rt =???∴得,CD=BE 。
（1）在图（1）的情况下，DE=CE+CD=AD+BE ； （2）在图（2）的情况下，DE=CE —CD=AD —BE ；
（3）在图（3）的情况下，结论为DE=BE —AD ，理由是：此时DE=CD —CE=BE —AD
【说明】由于我们从等腰直角三角形的“90°旋转重合性”这一特征出发，就抓住了图（1），图（2）和图（3）各种情况的本质（ACD Rt ?和,CBE Rt ?关于点P 成90°旋转重合），因此，三种情况下不同的结论只是共同性质的不同反映而已，可见，最为优化的解法是由最恰当地运用最为本质的性质而得到的。
A
B
C
N
M
D
E
A
B
C N
M
D
E
B
C
M
N
E
D
A B
C N M
D
E P A
B
C
N
M
D
E
P B
C
M
N
E D P A
ACD Rt ?
绕点P 顺时针
旋转90°
2、等腰直角三角形两直角边以直角顶点为中心的90°旋转重合性 如图，等腰直角三角形ABC 中，CA ，CB 是直角边，显然有
有 重合于CB ，当然亦有CB 绕点C 顺时针旋转90°则与CA 重合。
我们将等腰直角三角形的这一性质简称为“两直角边90°旋转重合性”。等腰直角三角形的这一特征也有着广泛的应用。
例3 如图，在ABC ?中，已知,,90CB CA ACB =?=∠D ，E 为AB 上的两点，且?=∠45DCE 。 求证：2
2
2
DE
BE
AD
=+
【观察与思考】由要证的结论立刻想到应将AD ，BE ，DE 三条线段转化成同一个直角三角形的三条边（且与DE 相等的边斜边）。
若作 重合于'CBD ?，如图（1），连结'ED ， （1） 这时易知EB D '?中?=∠90'BE D 。
证明：在CAB ?的外侧作,'ACD BCD ∠=∠截取,'CD CD =连结E D B D ','如图（1`）。 在CAD ?和'CBD ?中，CA=CB ，','BCD ACD CD CD ∠=∠=，
BD AD CAD CBD CBD CAD =?=∠=∠∴???∴且,45','′， （1`）
D ∠∴′CBD B
E ∠=′?=?+?=∠+904545CBA
又∴在CED ?和CED ?′中，CE 公用，CD=CD ′。
ECD ∠′BCD ECB ∠+∠=′ECD DCE ACB ACD ECB ∠=?=?-?=∠-∠=∠+∠=454590
E D DE CED CED ','=???∴得
在EB D Rt '?中，有,''22
2E D BE
B D =+即2
2
2
.DE BE
AD
=+
【说明】这里就是恰当地运用了等腰直角三角形两直角边关于直角顶角的90°旋转重合性。成功地实现了对线段AD ，DE 的“转移”，将原本在一条直线的三条线段转化成了同一个直角三角形的三条边。 3、等腰直角三角形的轴对称性
等 腰直角三角形的轴对称图形（斜边上的中线所在的直线为其对称轴），有的题目的解决， 需要借此作“轴对称构造”。 例4 如图，在ABC ?中，,,90AC AB BAC =?=∠D 是ABC ?内一点， 且?=∠=∠15DCA DAC （1）
求证：BD=BA 。
【观察与思考】由?=∠15DAC ，启发我们利用等腰直角三角形的轴对称性，作?=∠15BAE ，且取AE=AD ，
CA 以C 为中心逆时针 旋转90°
A B
C A
D
E
B
C
CAD ? 绕点C 逆时针 旋转90°
A
D
E
B
C
'D
A B
C
D
如图（1`），易知,AC D ABE ???而AED ?为等边三角形。从中推得,150?=∠=∠DEB AEB 进而可有
DBE ABE ???，得BA=BD 。
证明：在ABC ?内作?=∠=∠15CAD BAE ，且取AE=AD ，连结BE ，DE ，如图（1`），这时AED ?为等边三角形。 在ABE ?和ACD ? 中，AB=AC ，AE=AD ，?=∠=∠15CAD BAE ?=∠=∠∴???∴150,ADC AEB ACD ABE
在BAE ?和BDE ?中，BE 公用，AD=DE 。
（1`）
BEA ∠=?=?-?-?=150********
BD BA BDE BAE =∴???∴
【说明】 在本题，尽管没有画出对称轴，但并不妨碍我们利用“等腰直角三角形的轴对称性”去思考问题，这恰恰说明了“变换性质”做为观察和研究图形的一个“视角”，一种“思想意识”，是多么有力有效。
通过以上几例可以看出，等 腰直角三角形的三大特征：“绕斜边中点90°旋转重合性”、“两直角边的90°旋转重合性”、“轴对称性”，是认识等腰直角三角形和解决与之相关问题的重要基础和有力武器。
六、平行四边形的变换性质
从变换的视角来看，平行四边形的基本特征反映在如下的两个方面：特征Ⅰ：平行四边形是“中心对称图形”，两条对角线的交点就是它的对称中心；特征Ⅱ：平行四边形的两组对边，分别具有“平移重合”的关系。与平行四边形有关的的问题，大都可以沿着如上的两个特征去观察、研究，并获得解决。 1、平行四边的“中心对称性”和其应用
如图，若O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，那么平行四边形ABCD 重合于平行四边形CDAB 。
在上述的180°旋转变换中，不仅有 , ,
, ,
还有关于点O 所有中心对称的元素都是相互重合的。 平行四边形的这一特征，有着极为广泛的应用。
例1 如图 ，四边形ABCD 为平行四边形，BD AE ⊥于点E ，BD CF ⊥ 于点F ，在DB 的延长线上和BD 的延长线上分别有点G 和点H ，且BG=DH 。 （1）请写出图中所有的全等三角形。
（2）请选一个全等三角形给出证明（CDB ABD ???除外）
【观察与思考】显然，BD 的中点O 为整个图形的对称中心，即有 ， ， ， 。这样，当任取其中的三点在图中构成三角形时，则分别与它们中心对称的
三点也在图中构成三角形，并且这样的两个三角形是全等的，因此，图中的全等三角形有：
;CDB ABD ???CDF ABE ???；CDH ABG ???； CFH AEG ???；CBH ADG ???；CBF ADE ???。
这些全等三角形的每条依据也是是关于点O 为中心对称的。
解：（2）现在证明AEG ?和CFH ?全等。
D
E A
B
C
AED BEA BED ∠-∠-?=∠360绕点O 逆（顺）时针
旋转180° A
C B
D OA
OC
OB
OD
A
B
C
D
O
A C
B D E F
G H A
B
C
D
H
F E
CDF ABE CD AB ∠=∠=, （内错角） CDF Rt ABE Rt ???∴，得AE=CF ，BE=DF 。
CFH Rt AEG Rt FH DH FD BG EB EG CF AE ???∴=+=+==∴,,。
【说明】本题中不仅全等三角形是中心对称的，而且应按中心对称去寻找相等的对应元素。
例2 如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交 于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，以图中的任意四点（即点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 中的任意四点）为顶点画出两种不同的平行四边形，并说明理由。
第二种：
第一种：
【观察与思考】当然，用试着画的方法，不难解答本题，但如果按平行四边形的中心对称性来思考，则可有序地得到全部可能的答案。A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 这八个点关于点O 有如下的对称关系：
， ， ， 共四对。从这四对中任意取出两对，
（共四个点），当它们不在同一条直线时，则必构成平行四边形，这就是：
平行四边形ABCD （已知），平行四边形AFCH ，平行四边形BEDG ，平行四边形EFGH 。 【说明】这样依变换性质指导下的思考既有秩序又全面。 2、平行四边形的对边平行关系的应用
平行四边形的对边平行且相等（即可经过平移后重合），其作用常体现在以下两个方面：Ⅰ、构造相似三角形；Ⅱ、进行等积变换。
（1）平行四边形基础上的相似三角形
例3 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 以及CD 的延长线相交于点E ，F ，G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是 。
【观察与思考】在图中，由AB//CG ，可得GCE ?∽BAE ?，从中推得EA
EC
EB
EG =①
而由AF//BC ，易知CEB ?∽AEF ?，从中推得
EF
EB EA
EC =
②。
由①和②得5.122
5
,2
2
==
==EF
EB EG EF
EB EB
EG 即
而5.1025.12=-=-=EF EG FG
解：5.10=FG 。
（2）平行四边形基础上的面积问题
例4 已知如图，平行四边形ABCD 中，α=∠==ABC b AB a AD ,,，点F 为线段BC 上的一点（端点B ，C 除外），连结AF ，AC ，连结DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连结CE 。
（1）当F 为BC 的中点时，求证EFC ?与ABF ?和面积相等；
（2）当F 为BC 上任意一点时，EFC ?与ABF ?的面积还相等吗？说明理由。
A B C D O F G E H A B C D O
F G E A
A C
B D E G F H A B
C D
G
E
F
D
A
C
F B E
【观察与思考】由四边形ABCD 是平行四边形，不难发现
EFC ABF DCF EFC EDC ABCD
DCF ABF S S ，S S S S S S ???????=+===
+得平行四边形
2
1
这样一来，（1）和（2）的解决途径同时被发现了，其实，点F 为BC 上任意一点时ABF EFC S S ??=被证明了，当然（1）的情况已包含于其中了。
解；在情况（1）和情况（2）中，均有ABF EFC S S ??=。证明如下： 设F 为BC 上任意一点，则有
ABCD
FAB ABCD
DCF ABF S S S S S 平行四边形
平行四边形
2
1=-=+???，ACD ECD S S ??=（这是因为AE//CD ）=
ABCD
S 平行四边形
2
1。
ABCD
DCF EFC ECD S S S S 平行四边形
2
1=
+=∴???
DCF EFC DCF ABF S S S S ????+=+∴ EFC ABF S S ??=∴
【说明】如上的解法，一是恰当地运用了“平行四边形对边平行”所带来的三角形面积的转换；二是把不易直接沟通的两个三角形的面积同时加上DCF S ?后，便与原平行四边形的面积巧妙地联系起来了。
七、正方形变换性质
从变换的角度来看，正方形的本质特征可以反映在以下三个方面：特征Ⅰ、正方形是以其中心（即对角线的交点）为中心的“90°旋转对称”图形； 特征Ⅱ、正方形的邻边以其公共顶点为中心“90°旋转重合”；特征Ⅲ、正方形是轴对称图形，对边中点连线和两条对角线，都是它的对称轴。与正方形有关的许多问题，正是要以这些特征为解决的依据和思考的线索。
1、正方形的“90°旋转对称性”及其应用
如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，若以O 为中心，按顺时针（或逆时针）旋转90°，则
，B C ， C D ， D A 。即旋转后的图形与原正方形重合，这就是正方形的“90°旋转
对称性”。
这一性质是正方形本质特征的最为典型的表现，因此有着极广的应用。
例1 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线，AC ，BD 的交点，过点O 作OF OE ⊥， OE ，OF 分别交边AB ，BC 于点E 和F ，若AE=4，CF=3。 （1）求EF 的长；
（2）求EOF ?的面积
【观察与思考】（1）根据正方形的“90°旋转对称性”，易知在本题中有： 重合于
BFO ?，在EFB Rt ?中，可求出EF 的长。
（2）由正方形的“90°旋转对称性”，可知：
A B O A B C D O A D
C B
F E
AEO ?
绕点O 逆时针
旋转90°
EOF ABCD
OEBF
S ，S S ?=
进而可求出
正方形
四边形
4
1。
解：（1）在AEO ?和BFO ?中，BOF AOE OBF OAE BO AO ∠=∠?=∠=∠=,45,（同为EOB ∠的余角）
4,==???∴BF AE BFO AEO 得
347734=-=-=∴==+=+=∴AE AB EB AB ，FC BF BC
在54
3432
22
2
=+=+=
==?BF EB
EF ，，BF ，EB EFB Rt 得中
（2）4
494
1497
2
2
=
====ABCD
OEBF
ABCD
S S ，AB
S 正方形
四边形
正方形
而
4
25432
14
49=
??-
=
-=∴??EFB OEBF
EOF S S S 四边形
【说明】对于正方形的“90°旋转对称性”的认识，不仅帮我们顺利地发现了问题的解决思路，并借助“90°旋转对称性”，规则地找到了全等三角形的对应元素。另外，在求EOF ?的面积时更是借助正方形的“90°旋转对称性”巧妙而有效地沟通了该面积与正方形ABCD 的面积及EFB Rt ?面积的关系，使问题快速得解。
例2 如图（1），四边形ABCD 是正方形，直线321,,l l l ，分别经过A ，B ，C 三点，且321////l l l ，若1l 与2l 的距离为,a 32l l 与的距离为,b 则正方形ABCD 的面积等于 。
（1`）
【观察与思考】关键是要把正方形的边长和两个距离b a ,沟通起来。
若作2l AE ⊥点E ，作2l CF ⊥点F ，则,,b CF a AE ==（如图（1`）），这时容易看到：
可知，在CBF Rt ?中，由,,a AE BF b CF ===可推得2
2
2
2
2
b a CF BF CB S ABCD
+=+==正方形
解：填2
2
b a +
【说明】在本题的解法思考中，正方形的“90°旋转对称性”发挥着关键的引导作用。 2、正方形邻边的“90°旋转重合性”及其应用
如图，正方形ABCD 中，若以顶点A 为中心，将边AB 逆时针旋转90°，则与边AD 重合，这一性质可简称为正方形邻边“90°旋转重合性”，这一性质在一些关于正方形题目有着很好的作用。
例3 在平面直角坐标系xOy 中，四边形OEFG 为正方形，点F 的坐标为（1，1）。
A B D C 1l 2l
3l A B D C 1l 2l
3l
O
E F BAE Rt ?
绕点O 顺时针 旋转90°
重合于
CBF Rt ?
A D
将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上。
（1）如图（1），当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直线边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形
OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 。 （2）若三角形纸片的直角顶点不与点O ，F 重合，且两条 直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角 形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时 （1） 的图形。
【观察与思考】对于（1），易知；S 2
1=
重叠对于（2），容易想到符合条件的两种情况，图（11）和 （22），其
中均有OEFG
S S 正方形
阴影正方形2
1=
，这时，阴影正方形的边长为2
2。
（11）
（22）
再根据正方形邻边的“90°旋转重合性”，图（11）和图（22）可分别（等积地）演变成一般情况如图（111）和 图（222）。
解：（1）
2
1；
（2）直角顶点的坐标为???? ?
?
22,
22
或???
? ??--221,221此时的图形如图（11`）和图（22`）
（22`）
（11`）
x
y
O
G E
1
1 F x y
O G
E
F
x
y
O G
E
F
x
y
O
G
E 1 F
1
x
y
O
G
E
F
1
1
【说明】正是对正方形邻的“90°旋转重合性”的深刻认识，使本题的解决顺畅而简捷 3、正方形轴对称性及其应用
我们知道，正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，正方形的这一性质，也在许多题目中起着很好的作用。 例4 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，,,BC PF DC PE ⊥⊥E ，F 分别是垂足。 求证：EF AP =。
（1`）
（1）
【观察与思考】注意到BD 是正方形ABCD 的一条对称轴，点C 和A 关于该对称轴对称，立刻有如下的解。 解：如图（1`）连结PC 。
根据已知条件四边形CEPF 是矩形，得CP=EF 。
而在DCP DAP ??和中，DC ，DA =DP 公用， ADP ∠CDP ∠=?=45， DCP DAP ???∴，有AP=CP ，进而有AP=EF
以正方形为背景的题目：大都是沿正方形如上的三种变换性质生成的，其相应的解法从三种变换性质入手，再合适不过，恰当不过！
练习题
1、如图，在ABC ?中，BC AD C B ⊥∠=∠,2于D ，M 为BC 的中点，cm AB 8=，则MD 的长为 。 （1）
（2）
（3）
2、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90BAC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使,2
1AB AD =连结
DE ，DF 。
（1）求证：AF 与DE 互相平分； （2）若BC=4，求DF 的长。
3、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90A ，D 为斜边BC 的中点，E 为AB 上任意一点（ 不与A ，B 重合），DE DF ⊥于D ，交AC 于点F 。 求证：2
2
2
CF
BE
EF +=
4、如图，在ABC ?中，?=∠60B ，AD ，CE 分别是BCA BAC ∠∠,的平分线，AD ，CE 相交于点F 。请你判断FE 和FD 之间的数量关系。并说明理由。
A
B C D E
P
F A
B C D E
P
F A
B
C
D
M
C
A
B D F
E
A C
B
D
E
F
B
D E F
5、已知：如图，平行四边形ABCD 中，BCD ∠的平分线交AB 于E ，交DA 的延长线于F 。 求证：AE=AF
6、如图，D 为等边三角形ABC 内一点，E 为ABC ?外部一点，满足：DBC DBE BA BE DB DA ∠=∠==,,。求BED ∠的度数。
7、如图，D 为等边三角形ABC 的BC 边上一点，以AD 为边作等边三角形ADE ，连结BE 。 探究：BE 和AC 有怎样的位置关系？并说明理由。
8、如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点，以P 为直角顶点的两边分别与边AB ，AC ，交于点 E ，F ，当EPF ∠绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），PEF ?也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。
9、如图，在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，D 为BC 的中点，AB DE ⊥垂足为E ，过点B 作BF//AC 交DE 的延长线于点F ，连结CF 交AD 于G 。
（1）求证：CF AD ⊥；
（2）连结AF ，试ACF ?判断的形状，并说明理由。
A
B D
C E
F A
B C D E
A
C B
D E A B C P
E F
A B C D
E F
G
第周周 判断题： 1.（1）在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等。（） （2）如图1，如果180 A B ∠+∠=，那么180 C D ∠+∠=。（） 图1 图2 (3)两直线平行，同旁内角相等。（） (4)如果两条平行线被第三条直线所截，则一对同旁内角的平分线互相垂直。（） (5)两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行。（） 2.如图2，AB∥CD，则（） A.∠1=∠5； B.∠2=∠6； C.∠3=∠7； D.∠5=∠8 3.下列说法，其中是平行线性质的是（） ①两直线平行，同旁内角互补②同位角相等，两直线平行③内错角相等，两直线平 行④垂直于同一条直线的两直线平行 A.① B.②③ C.④ D.①④ 4.如图3，已知∠1=∠2，∠3=125°，那么∠4的度数为（） °°°° 图3 图4 图5 5.如图4，已知AB∥DE，∠A=150°，∠D=140°，则∠C的度数是。 6. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则同旁内角_________。 7. 如图5，直线a∥b，若∠1=118°，则∠2=_________。 8. 如图6，已知AB∥CD，BC∥DE，那么= ∠ + ∠D B_________。 纠错栏
图6 图7 9. 如图7，已知CE 是DC 的延长线，AB ∥DC ，AD ∥BC ，若∠B =60°，则∠BCE =_________，∠D =_________，∠A =_________。 10. 填写推理的理由 （1）如图8，∵BE 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠3（ ） 又∵∠1=∠2(已知) ∴_________=∠2 ∴_________∥_________（ ） ∴∠AED =_________（ ） （2）如图9，∵AB ∥CD ∴∠A +_________=180°( ) ∵BC ∥AD ， ∴∠A +_________=180°( ) ∴∠B =_________。 11. 如图所示，//AB CD ,直线EF 分别交,AB CD 于点,,E F EG 平分BEF ∠,若 172∠=，求2∠的度数。 321E A B C D F G 评价等级： 评 语： 批阅时间： 图8 图9
第2讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，错角相等； 两条直线平行，同旁角互补. 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数 为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° 02．（）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65° 03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数. 【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠ EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________ 02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数. A B C D O E F A E B C （第1题图） （第2题图） E A F G D C B B A M C D N P （第3题图）
平行线性质的应用 ——同底三角形面积存在性的探究 教学目标 知识目标：平行线距离处处相等和平行线分线段成比例性质的理解和应用； 会运用平行线解决抛物线中三角形面积相关问题 能力目标：利用平行线性质解决同底三角形面积存在性问题的能力； 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发 展空间观念、推理能力和有条 理表达的能力；培养学生分类，转化方程思想； 情感目标：通过自主探究 培养学生勤于思考、勇于探索、钻研的能力； 教学重点：在坐标系中平行线间的距离之比等于在Y 轴上对应线段之比的理解，并利用求平行线解析式判断交点情况； 教学难点：理解同底三角形面积相等或成比例时如何求相应的平行线解析式以及判断点的个数. 教学设计 一、课前准备 1.如图，在平面内能否找到一点P 使△ABC 与△PBC 面积相等？如果能,请画出所有的点P ；如果不能，请说明理由. 设计意图：在学生已学会的简单三角形出发，引入课例，为学生解决较难的综合题提供简洁的方法，以达到由浅入深的目的. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴，y 轴于点A(-3,0)，B(0,-3)．则： (1)直线AB 的函数解析式是__________ (2)若直线l 过点C （1，1）且与直线AB 平行，则直线l 解析式_______________ (3)若直线AB 向上平移2个单位，得直线___________ 设计意图：学生简单回顾平行线解析式的求法 为后面铺垫. 二、合作探究 在y=-x-5上取一点D(-1,-4)，连接AD,BD,问在坐标轴上是否存在一 点C,使得 , 若存在，请求出所有C 点坐标； 若不存在，请说明理由. 变式：若使得 ABD ABC S S ??=2 ，C 点坐标怎么求？ 思考：如何解决同底三角形面积相等或成比例时找点的问题呢？ 设计意图：让学生很快进入知识情景，在坐标轴中寻找使面积相等的点，为引入函数做好准备 . ABD ABC S S ?? =
一次函数图象和性质 【知识梳理】 1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（k b -，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质 【思想方法】数形结合 【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方. 例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l 2表示的一次函数表达式； （2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？ k 、b 的符号 k ＞0，b ＞0 k ＞0，b ＜0 k ＜0，b ＞0 k ＜0，b ＜0 图像的大致位 置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大而而 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大 而
x y O 3 2y x a =+ 1y kx b =+ y x O B A 【当堂检测】 1.直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______； 2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列 结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >- B ． 1m <- C ．1m =- D ．1m < 4.一次函数23y x =-的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ） 6.已知整数x 满足-5≤x≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-9 7.如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（ 22，2 2-） C.（－21，－2 1 ） D.（－22，－22） 8．一次函数y =2x －2的图象不经过．．． 的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上两点，则下列判断正确的是 （ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1 2010年全国各地数学中考试题分类汇编25 平行线的性质与判定 一、选择题 1．（2010山东济宁） 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70?方向到达B 地，然后再沿北偏西20?方向走了500m 到达目的地C ,此时小霞在营地A 的 A. 北偏东20?方向上 B. 北偏东30?方向上 C. 北偏东40?方向上 D. 北偏西30?方向上 【答案】C 2．2．（2010山东威海）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是 A ．40° B ．60° C ．70° D ．80° 【答案】C 3．（2010山东聊城） 如图，l ∥m ，∠1＝115o，∠2＝ 95o，则∠3＝（ ） A ．120o B ．130o C ．140o D ．150o （第10 题） A E 【答案】D 4．（2010 山东省德州）如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70，∠C ＝40，则∠E 等于 （Ａ）30° （Ｂ）40° （C ）60° （Ｄ）70° 【答案】A 5．（2010 四川成都）如图，已知//AB ED ，65ECF ∠=，则BAC ∠的度数为（ ） （A ）115 （B ）65 （C ）60 （D ）25 【答案】B 6．（2010广东中山）如图，已知∠1=0 70，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为 （ ） A ．0 70 B ．0100 C ．0110 D ． 0 120 【答案】C A C B D E 第2题图 7．（2010湖南郴州）下列图形中，由AB CD ，能得到12∠=∠的是 【答案】 B 8．（2010四川内江）将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠AFC 的度数为 A ．45° B ．50° C ．60° D ．75° 【答案】D 9．（2010广东东莞）如图，已知∠1＝70°如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ） A ．70° B ．100° C ．110° D ．120° 【答案】C 10．（2010湖北襄樊）如图1，已知直线AB//CD ，BE 平分∠ABC ，交CD 于D ，∠CDE =150°， 则∠C 的度数为（ ） A ．150° B ．130° C ．120° D ．100° C D E A B C D E A D E F 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例： 例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。 证明：∵与成正比例， 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx， 其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例。 例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， ∴=-3x-1, 平行线的性质与判定的证明 温故而知新： 1.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行互补. 例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数； （2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系． 解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解. （标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN） 答案：（标注∠MND=∠AMN=60°， ∠DNP=∠EPN=80°） 解：（1）∵AB∥CD∥EF， ∴∠MND=∠AMN=60°， ∠DNP=∠EPN=80°， ∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°， 又NQ平分∠MNP， ∴∠MNQ=1 2 ∠MNP= 1 2 ×140°=70°， ∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°， ∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步) （2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN） 由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN， ∴∠MNQ=1 2 ∠MNP= 1 2 （∠AMN+∠EPN）， ∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND =1 2 （∠AMN+∠EPN）-∠AMN =1 2 （∠EPN-∠AMN）， 即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN. 小结： 在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2. 解析：（标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF） 答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB） 证明：因为∠AGD=∠ACB， 所以DG∥BC， 所以∠1＝∠DCB， 又因为CD⊥AB,EF⊥AB， 所以CD∥EF， 所以∠2＝∠DCB， 所以∠1=∠2. 课题：平行线的判定和性质 的综合应用（1） 授课人：王维 学科：数学 授课班级：初一（3）班 学校：运河中学 时间： 2010年 5月 7日 教材分析： 1.单元所对应的课标要求 了解余角、补角、对顶角等概念。知道同角（或等角）的余角、补角相等，对顶角相等. 条直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质. 直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 2.单元教学目标 （1）使学生初步学会通过观察认识事物之间的关系； （2）使学生初步学会通过实验认识事物之间的关系； （3）使学生初步学会通过归纳认识事物之间的关系； （4）使学生初步学会通过类比认识事物之间的关系； （5）使学生初步学会通过猜想认识事物之间的关系； （6）使学生初步学会运用说理处理生活中、数学中的逻辑关系； （7）使学生了解定义、命题、公理、定理的概念，并初步学会运用推理的方法证明图形中的等量关系，了解同角（或等角）的余角相等、补角相等及对顶角相等的性质； （8）使学生了解同位角、内错角、同旁内角的概念，并初步理解平行线的判定公理及定理，平行线的性质公理及定理； （9）通过本章的学习，培养学生的逻辑思维能力，养成言必有据的良好习惯. 3.单元学习内容的前后联系 4. 5.单元教材分析（先总体分析本单元主要内容、地位作用、教育价值、蕴含的核心数学思想方法，然后分节分析） 第八章的内容是在第四章的基础上对平面几何内容的进一步研究，这一章在初中的教学的地位是承前启后，为后面研究图形问题打下良好的基础性。如果本章节的知识学生理解掌握的不透彻，将直接影响后面的几何的学习。 平行线的判定和性质是平面几何中的基础知识，是后面研究图形性质的重要途径。学生要理解判定和性质的联系和区别，并体会平行线的定义作为判定和性质的双重性。在研究平行相关的问题时要能够准确的选择相应的公理和定理。 由浅入深的训练学生体会和掌握用分析法和综合法证明几何题。在教学中渗透逻辑推理思想，培养严谨的思维方式，训练学生规范的书写格式。 6.课时安排建议 7.教学建议 第五章 相交线与平行线 5.3 平行线的性质 1．如图，若13∠=∠，则下列结论一定成立的是 A ．14∠=∠ B ．34∠=∠ C ．24180∠+∠=? D ．12180∠+∠=? 2．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若165∠=?，则2∠的度数为 A ．10? B ．15? C ．25? D ．35? 3．下列语句不是命题的是 A ．明天有可能下雨 B ．同位角相等 C ．∠A 是锐角 D ．中国是世界上人口最多的国家 4．如图所示，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1＝∠F ＝40°，且A ，C ，F 三点共线，那么与∠FCD 相等的角有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ，图中相等的角共有 A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 6．如图，AB ∥CD ，若∠2是∠1的4倍，则∠2的度数是 A ．144° B ．135° C ．126° D ．108° 7．如图，AB ∥CD ，直线l 分别交AB 、CD 于E ，F ，∠1=56°，则∠2的度数是________°． 8．如图，a ∥b ，AC 分别交直线a 、b 于点B 、C ，AC CD ⊥，若125∠=?，则2∠=__________度． 9．如图，AB ∥CD ，∠B =115°，∠C =45°，则∠BEC =__________． 10．分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式． （1）两点确定一条直线； （2）等角的补角相等； （3）内错角相等． 11．如图，MF NF ⊥于F ，MF 交AB 于点E ，NF 交CD 于点G ，1140∠=?，250∠=?，试判断AB 和CD 的位置关系，并说明理由． 12．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，则∠x 、∠y 、∠z 三者之间的关系是 A ．180x y z ∠+∠+∠=? B ．180x y z ∠+∠-∠=? C ．360x y z ∠+∠+∠=? D ．x z y ∠+∠=∠ 13．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A ，B ，C 三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一 F E D C B A 课题：平行线的性质和判定的综合运用 课型：复习 学习目标：1.分清平行线的性质和判定.已知平行用性质, 要证平行用判定. 2.能够综合运用平行线性质和判定解题. 学习重点：平行线性质和判定综合应用 学习难点：平行线性质和判定灵活运用 学习过程： 一、学前准备 1、预习疑难： 。 2、填空：①平行线的性质有哪些？ ②平行线的判定有哪些？ 二、平行线的性质与判定的区别与联系 1、区别：性质是：根据两条直线平行，去证角的相等或互补． 判定是：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． 2、联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提； 它们的条件和结论是互逆的。 3、总结：已知平行用性质,要证平行用判定 三、应用 （一） 例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。 1、分析： (执果索因)从图直观分析，欲证AD ∥EF ，只需∠A +∠AEF =180°，(由因求果)因为AD ∥BC ，所以∠A +∠B =180°，又∠B =∠AEF ， 所以∠A +∠AEF =180°成立．于是得证 2、证明：∵ AD ∥BC （已知） ∴ ∠A+∠B ＝180°（ ） ∵ ∠AEF=∠B （已知） ∴ ∠A ＋∠AEF ＝180°（等量代换） ∴ AD ∥EF （ ） 3、思考：在填写两个依据时要注意什么问题？ 4、推广：你有其他方法证明这个问题吗？你写出过程。 （二）练一练： 1、如图，已知：AB ∥DE ，∠ABC+∠DEF=180°, 求证：BC ∥EF 。 2、如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o 3、如图，已知：AB ∥CD ，MG 平分∠AMN ,NH 平分∠DNM ，求证：MG ∥NH 。 4、如图，已知：AB ∥CD ，∠A ＝∠C ， 求证：AD ∥BC 。 四、学习体会： 1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 2、预习时的疑难解决了吗？ 五、自我检测： 1、如图1,AB ∥EF,∠ECD=∠E,则CD ∥AB.说理如下: 因为∠ECD=∠E, 所以CD ∥EF( ) 又AB ∥EF, 所以CD ∥AB( ). （1） 2、下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;?③内错角相等,两直线平 行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④ 3、如图,平行光线AB 、DE 照射在平面镜上，经反射得到光线BC 与EF ，已知∠1= ∠2， ∠3= ∠4，则光线BC 与EF 平行吗？为什么？ A B C D F E C A B C D M F G 12 34 5 1A B C D M F G E H N 2 B E 第2讲 平行线得性质及其应用 考点·方法·破译 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补、 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 得延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 得度数为 （ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° 02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65° 03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 得度数、 【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 得度数、 【解法指导】平行线得性质与对顶角、邻补角、垂直与角平 分线相结合，可求各种位置得角得度数，但注意瞧清角得位置、 【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 得得度数＝_______________ 02、如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 得 度数、 【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F 、 【解法指导】 因果转化，综合运用、 A B C D O E F A E B C （第1题图） （第2题图） E A F G D C B B A M C D N P （第3题图） C D A B E F 1 3 2 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 七年级数学《平行线的性质》练习题 教学目标 1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力。 2.经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算. 重点、难点 重点:探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算. 难点:能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用. 一、选择题 1.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;?③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④ 2.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交 3、如图（1），a ∥b ，a 、b 被c 所截，得到∠1=∠2的依据是（ ） A ．两直线平行，同位角相等 B ．两直线平行，内错角相等 C ．同位角相等，两直线平行 D ．内错角相等，两直线平行 D C B A 1 E D B A (1) (2) (3) 4.如图2所示,AB ∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.如图3所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,?那么∠BDC 等 于( ) A.78° B.90° C.88° D.92° 6．同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则直线c 、d 的位置关系为（ ） A ．互相垂直 B ．互相平行 C ．相交 D ．无法确定 7．如图4，AD ∥BC ，∠B=30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 平行线的判定与性质练习 2013.3 一、选择题 1．下列命题中，不正确的是____ [ ] A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ] （2题）（3题）（5题） A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180° D．∠ACB=∠BAD 3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2， (2)∠3=∠6， (3)∠4+∠7=180°， (4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a∥b的条件是_________[ ] A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ] A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ] A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C 6．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 (6题) (8题) (9题) 7．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定 8．如图，AB∥CD，那么（） A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠5 9．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（） A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180° 10．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（） A．30° B．60° C．90° D．120° （10题）（ 11题） 二、填空题 11．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据． (1)∠1=∠2，________________________．(2)∠A=∠3，________________________．(3)∠ABC+∠C=180°，________________________． 12．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________． 13．同垂直于一条直线的两条直线________． 一次函数的图象与性质（基础篇） 知识要点 1．一次函数的定义： ①已知y=(m+1)x2－|m|+n+4，当m= ，y是x的一次函数；当m= ，n= 时，y是x 的正比例函数． ②已知函数y=(k+2)x+k2－2，当k时，它为一次函数；当k= 时，它为正比例函数． 2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象特征： 一次函数的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数图象时，描点时常选图象与x轴的交点和y轴的交点． ①当k>0，b>0时，直线过第象限． ②当k>0，b<0时，直线过第象限． ③当k<0，b>0时，直线过第象限． ④当k<0，b<0时，直线过第象限． ⑤若正比例函数y=－(k+1)x+k2－4的图象只经过第一、三象限，则k = ． ⑥一次函数y=－3x必过第象限． ⑦一次函数y=πx+3必过第象限． ⑧正比例函数y=(3k2+1)x必过第象限． 3．直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系： 直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系是平行关系． ①当b>0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向上平移个单位而得到． ②当b<0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向下平移个单位而得到． ③将直线y=3x沿y轴向平移个单位长度可得直线y=3x+6； ④将直线y=－5x+6沿y轴向平移个单位长度可得直线y=－x． 4．直线与坐标轴交点的求法： 求函数图象与x轴的交点坐标，令y=0，解方程kx+b=0得x的值，就是相应的横坐标x的值； 求函数图象与y轴的交点坐标，令x=0得y=b，就是相应的横坐标y的值； ①已知函数y=2x－6，与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标为． ②函数y=2x+1的图象是不经过第象限的直线，它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 5．一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性： 当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右呈上升趋势． 当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右呈下降趋势． ①已知一次函数y=(1－2k)x+2k－1，当k时，y随x的增大而增大，此时图象经过第象限． ②已知一次函数y=(6+3m)x+(n－4)． 当m时，y随x的增大而减小；当m，n时，函数图象与y轴的交点在x 轴下方；当m，n时，函数图象经过原点． 平行线的判定专项练习 1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE． 2．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE． 3．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF． 4．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由． 5．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线， 求证：DE∥BC． 6．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD． 7．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF． 8．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？ 9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD． 10．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF． 11．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠A，∠BDC的平分线交BC于点E．求证：DE∥AC． 12．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD． 13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？ 14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由． 15．如图，直线AB，CD被EF所截，∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥FG． 求证：AB∥CD． 16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF． 平行线相交线 教学目标 1.经历基础知识梳理的过程，进一步体会数学知识中数量关系和位置关系的一个有效数学模型 2.能够利用基础知识解答一些简单问题，帮助学生认识到运用基础知识解答一些简单问题的关键是理解定义、定理蕴含的关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 3.经历运用“平行线的判定方法”和“平行线的性质”解决有关几何问题过程，在活动中发展学生的合情推理意识，使学生逐步掌握说理基本方法。并在证明的过程中体会转化等数学思想； 教材分析 本节课是相交线与平行线的复习课，是对《平行线与相交线》的整个单元的知识进行梳理和复习，故以梳理、巩固基础知识为起点，对邻补角、对顶角以及两直线平行知识进行梳理，提升学生的基本应用技能。故教学呈现仍注重以实践归纳为主，从简单的问题入手，通过学生的自主体验，结合说理推证的途径，逐步提炼来实现对本章相关知识的掌握，解决在学生中存在的易错点与混淆点，逐步加深对建模思想的理解. 学生分析 学生已经完整的学习了《平行线与相交线》的整个单元的知识，但对基本概念和基本技能的掌握方面不够系统，故教学要引导学生通过操作、观察、归纳来获取知识，体会用动态的观点来看待静态的图形，感知几何变换的思想. 采用的是“操作、探究、启发、交流、引导”的教学方法。根据学生的认知规律，创设符合学生实际的情境，引导学生自主探索，积极参与课堂活动，培养学生的探究能力. 对推理能力的培养要有一个循序渐进的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程。总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写. 重点难点 教学重点： 1.相交线平行线知识的综合应用； 平行线的性质练习题 1、如图所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720° 2、若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交 3、同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定 4、若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交 5、如图所示，如果AB∥CD，那么（）． A．∠1=∠4，∠2=∠5 B．∠2=∠3，∠4=∠5 C．∠1=∠4，∠5=∠7 D．∠2=∠3，∠6=∠8 6、下列图形中，由AB‖CD ，能得到∠1=∠2的是（） 7、如图，AB ，CD 被EF 所截，AB//CD. 按要求填空： 若∠1＝120°，则∠2＝_＿__°（ ）； ∠3＝＿＿＿－ ∠1＝＿＿°（ ） 8、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，如果∠B=50°，那么∠ D= 。 9、如图所示,直线a ,b 被c ,d 所截,且c ⊥a ,c ⊥b ,∠1=70°,则∠2= 度. 10、一大门的栏杆如图所示,BA 垂直于 地面AE 于 A ,CD 平行于地面AE ,则∠ABC +∠BCD = 度. A E F C D 11、如图所示,已知AB ∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°,求∠BED 的度数. 12. 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,?请你从所得的四个关系中任选一个加以说明. (1) (2) (3) (4) 13、已知：如图，∠AOB 、∠BOC 互为邻补角，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC.求证： OE ⊥OF. 14、如图，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ，∠B=44°,∠C=85°.⑴求∠DAB 的度数；⑵求∠EAC 的度数；⑶求∠BAC 的度数；⑷通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？ E D C B A P D C B A P D C B A P D C B A P D C B A A D E B C 2014-2015学年度 《平行线的性质》练习题 1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）。 A ．120° B ．125° C ．130° D ．140° 2．如图，直线21//l l ，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ） A ．55° B ．60° C ．65° D ．70° 3．如图，已知AB ∥CD ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，∠C ＝∠D ＝120°，那么，∠CBF 是∠EAD 的（ ） A 、5倍 B 、4倍 C 4．如图，AB ∥DE ，∠B+∠C+∠D ＝（ ） A 、180° B、360° C、540° D、270° 5．如图a ∥b ，点P 在直线a 上，点A 、B 、C 都在直线b 上，且PA ＝2cm ，PB ＝3cm ，PC ＝4cm ，则a 、b 间的距离 A 、等于2cm B 、大于2cm C 、小于2cm D 、不大于2cm 6．如图，已知321////l l l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是（ ） 7．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( ) A ．垂直 B ．两条直线 C ．同一条直线 D ．两条直线垂直于同一条直线 8．如图所示，∠1与∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是（ ） A ．45° B ．55° C ．65° D ．75° 9．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2＋∠4＝90°；（4）∠4＋∠5＝180°．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．下列命题不正确的是( ) A ．两直线平行，同位角相等 B ．两点之间直线最短 人教版七年级数学下册 浅析平行线的判定与性质的应用 什么是平行线？即在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。 虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何.平行线的判定与性质是几何的基础知识，也是初中几何的重点内容.由于同学们初次接触“判定”与“性质”，对它们的关系不清楚，而且对推理证明的引入比较陌生，因而有些同学在学习中产生困难，本文谈几点看法，希望对同学们有所帮助. 一、要弄清“判定”与“性质”的区别与联系，二要明白它们的用法。 平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 以上性质可简单说成： 1.两条直线平行，同位角相等。 2.两条直线平行，内错角相等。 3.两条直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定 1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。） 2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。 3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 4.同位角相等，两直线平行。 5.内错角相等，两直线平行。 6.同旁内角互补，两直线平行。 平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形首先通过画图认识什么是平行线 平行线的画法用三角板和直尺过直线外一点作一条直线的平行线的方法可概括为：一“落”、二“靠”、三“推”、四“画”.即一“落”：三角板的一边落在已知直线上；二“靠”：直尺靠在三角板的另一边；三“推”：把三角板沿直尺推动，使开始落在已知直线上的一边经过已知点；四“画”过已知点沿三角板这边画直线.三线八角的概念。在研究平行线的判定和性质时要涉及到同位角、内错角、同旁内角，判别这些角的位置的关键是寻找两条直线被第三条直线相交，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件；它们的区别是：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的“判全国各地数学中考试题分类汇编平行线(含答案)Word版
一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解
(完整)七年级数学平行线的性质与判定的证明练习题及答案
平行线判定和性质的综合应用
平行线的性质练习题(含答案)
平行线性质和判定综合运用
平行线的性质及其应用
一次函数的图像与性质
七年级数学平行线的性质练习题
(完整版)七年级平行线的判定与性质练习题带答案
一次函数的图象与性质
平行线的性质判定专项练习40题
平行线性质的综合应用
人教版七年级下册数学习题：5.3.1平行线的性质练习题
2014-2015学年度《平行线的性质》最新练习题(含答案)
人教版数学七年级下册【教学论文】浅析平行线的判定与性质的应用
相关主题
文本预览