《双曲线》典型例题12例
典型例题一
例1 讨论
19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 解：（1）当9 所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259< k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3）25 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感． 典型例题二 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点??? ??4153，P ，?? ? ??-5316， Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上． （3）与双曲线14 162 2=- y x 有相同焦点，且经过点() 223， 解：（1）设双曲线方程为12 2=+ n y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴???????=+=+1 259256116225 9n m n m 解得???=-=916n m ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212 22 1=-+PF PF PF PF ∴1002 2 2 1=+PF PF ∵() 100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F 说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 典型例题四 例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422 =-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积． 分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积． 解：∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 212221==+F F PF PF ∵()162212 22 12 21=-+=-PF PF PF PF PF PF ∴1622021=-PF PF ∴221=?PF PF ∴12 1 2121=?= ?PF PF S PF F 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用． 典型例题五 例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a ∴16435222222==-=-=a c b ∴所求方程116 92 2=- y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算． （2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解． 典型例题六 例6 在ABC ?中，2=BC ，且A B C sin 21 sin sin =-，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？ 解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ． 设()y x A ，，由A B C sin 21 sin sin =-及正弦定理可得： 12 1 ==-BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为： ()0012 2 22>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴2 1 = a ，1=c ∴4 3222= -=a c b ∴所求双曲线方程为13 442 2 =-y x ∵01>=-AC AB ∴2 1> x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 典型例题七 例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程： （1）与⊙()2222 =++y x C ： 内切，且过点()02，A （2）与⊙()112 21=-+y x C ：和⊙()412 22=++y x C ：都外切． （3）与⊙()9322 1=++y x C ： 外切，且与⊙()1322 2=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程． 解：设动圆M 的半径为r （1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA ∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有： 22= a ，2=c ，2 7222=-=a c b ∴双曲线方程为() 217 222 2 -≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ， 112=-MC MC ∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有： 21= a ，1=c ，4 3222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为： ?? ? ? ?≥ =-43134422 y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有： 2=a ，3=c ，5222=-=a c b ∴所求双曲线方程为： ()215 42 2≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标． 典型例题八 例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，?=∠90MPN ，4 3tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-， c MN 2=，所以利用条件确定MPN ?的边长是关键． 解：∵MPN ?的周长为48，且4 3 tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ． 以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双 曲线方程为122 22=+b y a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ． 由962 2 2 =-=a c b ，得所求双曲线方程为196 42 2=- y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷． 典型例题九 例9 P 是双曲线 136 642 2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且 171=PF ，求2PF 的值． 分析：利用双曲线的定义求解． 解：在双曲线136 642 2=- y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ． 说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或 332=PF ． 典型例题十 例10 若椭圆122=+ n y m x )0(>>n m 和双曲线12 2=-t y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ?的值是( ) ． A ．s m - B ．)(2 1 s m - C ．22s m - D ．s m - 分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF 的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-． 两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=?，故s m PF PF -=?21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF 的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ． 典型例题十一 例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹． 分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ． 解：21=AA ． (1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ．