二次函数综合题训练题型集合
(收集海南省以及各省市历年来二次函数题型)
姓名 班级 评价
1、(06年海南省中考)如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与
该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次
函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）D 为直线AB 得四边形DCEP 明理由.
2、(07年河北中考)如图2，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ． （1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，
求m 的值及点Q 到x 轴的距离. 3、(07年海口模拟一)如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.
（1） 求这条抛物线的函数关系式.
（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.
① 求S 与t 的函数关系式；
② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；
③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.
★绝密资料★
★妥善保管★
E B
A C P
图1
O x y
D x y
O 3 －9 －1 －1
A B
图2
P
B
A
C
O
Q
图3
4、(07年海南省调研)某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏
损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.
根据图象提供信息，解答下列问题：
（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；
（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；
（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
（4）求第8个月公司所获利是多少元？
5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线c
x
b
x
a
y+
+
=2的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.
（1）求该抛物线的函数关系式.
（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x 轴交抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD 的面积为S.
①求S与t之间的函数关系式.
②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周
长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.
D
图5
E B
A
C
O
1
E
O
1
备用图
-3
-1
-2
1
2
3
4
S(万元)
图4
1 23 4 5 6 t(月)
6、(07浙江中考)如图6，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。
7、（07海南中考）如图7，直线43
4
+-
=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒
2
3
个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →
A 的路线运动，
当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S .
①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .
图6
图7
8、（05海南中考）如图8，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上 滑动到什么位置时，满足S △PAB =8,并求出此时P 点的坐标；
(3)设(1)中抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上 是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由. 为常数).
的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值， 10、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在 抛物线221x y =上，以A 为顶点的四边形ABCD 是平行四边形，
且项点B ，C ，D 在抛物线上，AD ∥x 轴，点D 在第一象限. (1)求BC 的长；
(2)若点P 是线段CD 上一动点，当点P 运动到何位置时， △DAP 的面积是7.
(3)连结AC ，E 为AC 上一动点，当点E 运动到何位置时， 直线OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时E 点的 坐标及直线OE 的函数关系式. 11、（07本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如 图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米. （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，
其表达式是c ax y +=2的形式. 请根据所给的数据求出c a ,的值. （2）求支柱MN 的长度.
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE 是一条宽2米 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的 三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
图8 x
x
y
01234-1
-1-2-3
1
2A B
C D A
B
C
D
O y x
图10
M N
10米
20米
6米
5米
图11-1
图11-2
D E O x
A B C y
二次函数综合题训练题型集合
1、 (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m 上，
∴ 4=3+m. ………………………………（1分） ∴ m=1. ………………………………（2分）
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2
. ………………………………（3分）
∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2
的图象上，
∴ 4=a(3-1)2
,
∴ a=1. ………………………………（4分）
∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2
.
即y=x 2
-2x+1. ………………………………（5分） (2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .
∴ PE=h=y P -y E ………………………………（6分）
=(x+1)-(x 2
-2x+1) ………………………………（7分）
=-x 2
+3x. ………………………………（8分）
即h=-x 2
+3x (0＜x ＜3). ………………………………（9分） (3) 存在. ………………………………（10分）
解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC. …………………（11分） ∵ 点D 在直线y=x+1上, ∴ 点D 的坐标为(1,2),
∴ -x 2
+3x=2 .
即x 2
-3x+2=0 . ………………………………（12分） 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. ……………（14分） 解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP ∥CE. ………………（11分） 设直线CE 的函数关系式为y=x+b. ∵ 直线CE 经过点C(1,0), ∴ 0=1+b, ∴ b=-1 .
∴ 直线CE 的函数关系式为y=x-1 .
∴ ???+-=-=1
21
2
x x y x y 得x 2-3x+2=0. ………………………………（12分）
解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. ……………（14分）
2、解：（1）将x =-1，y =-1；x =3，y =-9分别代入c x ax y +-=42得
?
??+?-?=-+-?--?=-.3439,)1(4)1(122c a c a 解得 ???-==.6,1c a ∴二次函数的表达式为642
--=x x y ．
（2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ， 解得121,6m m =-=．∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去．
∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称，∴点Q 到x 轴的距离为6．
E F P
B A
C O
Q
图13
3、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)，
∴ ??
???==+=+03390
416c b a b a .解得 0,3
3
4,33==-=c b a . ………（2分） ∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 3
34332+-
=. ………………（3分） (注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)
（2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，AB=2.
由tan ∠BAE=
3=AE
BE
，得∠BAE =60°. …………（4分） （ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，PA=4-t .
过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t 2
3
，
∴ S=2
1PA ·QF t t 2
3)4(21?-=
t t 34
32
+-
=. ……（6分） （ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4时，Q 点的纵坐标为3，PA=4-t .
这时，S=3)4(2
1
?-t 3223+-=t . ……………………（8分）
②（ⅰ）当0＜t ≤2时，3)2(4
3
34322+--=+-
=t t t S . ∵ 04
3
<-
，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值S=3. ……（9分） （ⅱ）当2≤t ＜4时，322
3
+-=t S
∵ 02
3
<-
， ∴ S 随着t 的增大而减小. ∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值33222
3
=+?-
=S . 综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3.
△PQA 是等边三角形. ③ 存在.
当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，
这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 3
4=t .
∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(3
4,0)，Q 1(310,33
2). ……（13分）
当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为5-t 和t ，要使得△PQA
是直角三角形，则必须5-t =t ，∴ 2
5=t
∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(2
5,3). ………………（14分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)
4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈. ………………………（1分） （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，
故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2
-2. …………（2分 ∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得
a(t-2)2
-2=0，解得a=2
1 . ……（4分）
∴ 所求函数关系式为：S=21t-2)2-2或S=21t 2
-2t. …………（6分）
（3）把S=30代入S=21t-2)2-2，得2
1t-2)2
-2=30. …………（7分）
解得t 1=10，t 2=-6（舍去）. ……………………（8分）
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. ………………………（9分）
（4）把t=7代入关系式，得S=2
1×72
-2×7=10.5 ……………………………（10分）
把t=8代入关系式，得S=2
1×82
-2×8=16
16-10.5=5.5 …………（11
答：第8个月公司所获利是5.5万元. ………………………………（12分） 5、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2顶点为F （1,0）
∴ 2)1(-=x a y ………（1分） ∵ 该抛线经过点E （0,1） ∴ 2)10(1-=a
∴ 1=a
∴ 2)1(-=x y ，
即所求抛物线的函数关系式为122+-=x x y . ………（3分）
（2）① ∵ A 点的坐标为（t ,0）, AB=4，且点C 、D 在抛物线上，
∴ B 、C 、D 点的坐标分别为(t +4,0)，(t +4, (t +3)2
)，(t ,(t -1)2
). …（5分）
∴ 20844])3()1[(2
1
)(21222++=?++-=?+=t t t t AB BC AD S .………（7分）
② 16)1(4208422++=++=t t t S . ………（8分） ∴ 当t =-1时，四边形ABCD 的最小面积为16， ………（9分）
E
O
1
D B
A C
P
此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD 是正方形. ………（10分） ③ 当四边形ABCD 的面积最小时，四边形ABCD 是正方形，
其对角线BD 上存在点P, 使得ΔPAE 的周长最小. ………（11分） ∵AE=4（定值），
∴要使ΔPAE 的周长最小，只需PA+PE 最小.
∵此时四边形ABCD 是正方形，点A 与点C 关于BD 所在直线对称,
∴由几何知识可知，P 是直线CE 与正方形ABCD 对角线BD 的交点. ∵点E 、B 、C 、D 的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） ∴直线BD ，EC 的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.
∴ P(35,3
4) ………（13分）
在Rt △CEB 中，CE=524222=+,
∴ △PAE 的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52. ………（14分）
6、解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分）
∴A （－1，0）B （3，0）；（1分）
将C 点的横坐标x =2代入2
23y x x =--得y=－3，∴C （2，－3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=－x －1
（2）设P 点的横坐标为x （－1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，－x －1），（1分） E （2
(,23)x x x --（1分）
∵P 点在E 点的上方，PE=2
2
(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =
时，PE 的最大值=9
4
（1分）
（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 7、解：（1）令0=x ，则4=y ； 令0=y 则3=x .∴()0,3A 、()4,0C ∵二次函数的图象过点()4,0C ， ∴可设二次函数的关系式为
42++=bx ax y ┄1分
又∵该函数图象过点()0,3A 、()0,1-B
∴??
?+-=++=.
40,
4390b a b a ┄2分
解之，得34-
=a ，3
8=b ∴所求二次函数的关系式为43
8
342++-
=x x y ┄3分 （2）∵43
8
342++-=x x y =()3
161342+--x
∴顶点M 的坐标为??
?
??
316,
1 ┄4分 过点M 作MF x ⊥轴于F
∴FOCM AFM AOCM S S S 梯形四边形+=? =
()1013164213161321=???
?
??+?+?-? ∴四边形AOCM 的面积为10 ┄6分 （3）①不存在DE ∥OC ┄7分
∵若DE ∥OC ，则点D 、E 应分别在线段OA 、CA 上，此时 1 1-= t x ，∴5 12 121-=t x ∵DE ∥OC ， ∴ t t 2351212=- ∴38 =t ┄8分 ∵3 8 =t >2，不满足1 ∴不存在DE ∥OC. ┄9分 ②根据题意得D 、E 两点相遇的时间为 1124 42 3543= +++（秒） ┄10分 现分情况讨论如下： ⅰ当0 3 21t t t S =??= ； ┄11分 ⅱ当1 E C A y O B x M D ∴ ()54454 2--= t y ，∴5 16362t y -= ∴t t t t S 5 275125163623212+-=-??= ┄12分 ⅲ当2 24 时，设点E 的坐标为()33,y x ，类似ⅱ可得516363t y -= 设点D 的坐标为()44,y x ∴5 32 3 44 -=t y ， ∴5 12 64-=t y ∴AOD AOE S S S ??-= 512 632151636321-? ?--??=t t =5 72533+-t ┄13分 ③80 243 0=S ┄14分 10、（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC. ∵A(0,8), ∴设D 点坐标为(x 1,8), 代入22 1x y = 又∵D 点在第一象限， ∴ x 1=4，∴ BC=4. （2）∵C(2,2)，D(4,8)， ∴直线CD 的函数关系式为y=3x-4. 设点P 在线段CD 上，P(x 2,y 2)， ∴y 2=3x 2-4. ∵AD=BC=4, ∴21×4(8-y 2)=7， ∴y 2=2 9. ∴3x 2-4=29， ∴x 2=617. ∴P(617,2 9), 即当点P 在(617,2 9)的位置时，△DAP 的面积是7. （3）连接AC ，当点E 运动到AC 的中点（或AC 与BD 的交点）时，即E 点为? ABCD 的中心，其坐标为E （1,5）,直线OE 将? ABCD 分成面积相等的两部分. 设直线OE 的函数关系式为y=kx, ∴k=5，∴直线OE 的函数关系式为y=5x. 11、(1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). A B C D O y x E 将B 、C 的坐标代入c ax y +=2，得 ?? ?+==. 1000, 6c a c 解得6,50 3=-=c a . ∴抛物线的表达式是650 32+-=x y . (2) 可设N(5,N y )， 于是5.46550 32=+?-=N y 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米. (3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3). 过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则350 13675032>+=+?-=H y . 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车. G H D E O x A B C y 二次函数与圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的 速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 2、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式 （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积． 3、如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作 PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式. 【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式． 【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线． 动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、 Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由． 提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式． （2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值． （3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标． 【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线 l 过()01-，点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； ⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2 P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x 周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省） 二次函数与几何综合 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 二次函数典型中考试题解析及训练 [解读中考要点] 1、二次函数 一般地，形如 2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做x 的二次函数。 解读：在函数中注意二次项系数0a ≠，,b c 是任意的实数即可。 2、二次函数 2y ax =（0a ≠）的性质 解读：（1）二次函数2y ax =的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是y 轴。 （2）当0a >时， 抛物线2y ax =的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当0a <时，抛物线2 y ax =的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。 3、二次函数 2y ax k =+（0a ≠）的图象与性质 解读：（1）二次函数2y ax k =+的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数2y ax =的图 象得到 2y ax k =+的图象。当0k >时，向上平移k 个单位长度；当0k <时，向下平移k 个单位长度。 （2）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。 （3）抛物线的顶点是 ()0,k ，对称轴是y 轴。 4、二次函数 ()2 y a x h k =-+（0a ≠）的图象与性质 解读：（1）它的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过二次函数2 y ax =的图象得到()2 y a x h k =-+的图象。 （2）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。 （3）抛物线的顶点是 (),h k ，对称轴是y 轴。 5、关于二次函数 2y ax bx c =++（0a ≠）的图象 解读：（1）二次函数 2y ax bx c =++（0a ≠）的图象是与2y ax =的图象的形状完全一样的一条抛物线。 （2）抛物线2 y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴是直线2b x a =-，顶点是24,24b ac b a a ??-- ???。 （3）当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。当2b x a =-时，函数有最小值 244ac b a -；当2b x a <- 时， y 的值随x 值的增大而减小；当2b x a >- 时，y 的值随x 值的增大而增大。 二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 , 填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二 次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为D ， 问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积. 【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已 专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题 1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线 y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ． （1）求抛物线的解析式； （2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，?23 ）或（-65 ，-3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 . 【解析】（1）△直线y=﹣1 3x ﹣1与x 轴交于A 点， △点A 坐标为（﹣3，0）， 又△直线x=﹣1为对称轴， △点C 坐标为（1，0）， △抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3； （2）存在； 由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1）， 设点P 的坐标为（a ，﹣13 a ﹣1）， △当△AOB△△ADP 时， AD AO = DP OB ，即23 = 1 3 a+11 ， 解得：a=﹣1； 点P 坐标为（﹣1，?2 3）； △当△AOB△△APD 时， 过点P 作PE△x 轴于点E ， 则△APE△△PED ， △PE 2=AE?ED ， △（﹣1 3a ﹣1）2=（a+3）（﹣a ﹣1）， 解得a 1=﹣3（舍去），a 2=﹣6 5， △点P 坐标为（﹣6 5 ，﹣3 5 ）； （3）存在，CQ 最小值为 √37?√5 2 ； 如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣1 2）为圆心， 二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； 圆与二次函数综合题 1.已知圆P 的圆心在反比例函数k y x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形． 2.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标； （2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标； （3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的 面积. （3） （2） 3.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、 C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴 交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，点P在y轴上，半径为3的⊙P分别交x轴于A、B两点，AB=4，交y轴负半轴于点C，连接AP并延长交⊙P于点D，过D作⊙P的切线分别交x轴、y轴于点F、G； （1）求直线FG的解析式； （2）连接CD交AB于点E，求PCD ∠ tan的值； （3）设M是劣弧BC上的一个动点，连接DM交x轴于点N，问：是否存在这样的一个常数k，始终满足AN·AB+DN·DM=K，如果存在，请求出K的值，如果不存在，请说明理由； （图1） （图2） 5.已知：如图， 抛物线2 33 y x x =--x轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点A C ，，点D是劣弧OA上一动点（D点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E的坐标；（2）求M的面积； （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2 FG=，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由． 6.(0) A m，(0) m<，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F． （1）求证：BF DO =； （2）设直线l是BDO △的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是BDO △的 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343 23y x x =- -+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ． （1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标； （3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323 y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2343 2333y x x =- -+a=233 - ，则抛物线的“衍生直线”的解析式为 二次函数综合题训练题 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与该二次函数的图象交 于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4) ，B点在轴y上. (1 )求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次 函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由? 2、如图3,已知抛物线y ax2 bx c经过0(0,0) , A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB,过 点B作BC// x轴交该抛物线于点 C. (1) 求这条抛物线的函数关系式? (2) 两个动点P、Q分别从O A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A T B T C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t (秒)(0 V t V 4) , △ PQA的面积记为S. ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状； ③是否存在这样的t值，使得△ PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由 图3 4 3、如图7,直线y —x 4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过 3 点A、C和点B 1,0 .（1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； 3 （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 2 按O T A T C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O T C A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动?设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S . ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE // OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 4、如图5,已知抛物线y a x2 b x c的顶点坐标为E（ 1,0 ），与y轴的交点坐标为（0,1 ）. （1）求该抛物线的函数关系式? （2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4, A在B的左边，过A作ADL x轴交抛物线于D,过B作BC L x轴交抛物线于 C.设A点的坐标为（t,0 ）,四边形ABCD 的面积为S. ①求S与t之间的函数关系式■ ②求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ ③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△ PAE的周 长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△ PAE的周长；若不存在，说明理由. A O E B x 图5 中考专题： 圆与函数综合题 1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式． 2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1， 0）．若抛物线2 3 y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值． 3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,01 16 ）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2）， (1)求a,b,c 的值； (2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交； （3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()21 2x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。 4、如图，二次函数y =x 2 +bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于 点C ，且经过点（b －2，2b 2 －5b －1）. （1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.圆的综合大题
二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)
二次函数经典测试题及答案解析
二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)
二次函数最经典综合提高题
(完整版)初中数学二次函数综合题及答案
-圆与二次函数综合题精练(带答案)教学文案
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合含答案
二次函数典型中考试题解析和训练
初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)
初中中招二次函数和圆的综合体包含答案
专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版)
二次函数综合题训练(含答案)
圆与二次函数综合练习
中考数学二次函数综合练习题附答案
二次函数综合题经典习题(含答案)
中考专题：圆与二次函数结合题
相关主题
文本预览