第二章 导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1 导数概念 一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ),
求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值
000)()(t t t f t f t t s s --=
--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明
动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取比值0
0)
()(t t t f t f --的极限, 如果这个
极限存在, 设为v , 即
0)
()(lim 0t t t f t f v t t --=→,
这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题
设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.
设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为
000)
()(tan x x x f x f x x y y --=--=?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即
0)
()(lim 0x x x f x f k x x --=→
存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.
二、导数的定义
1. 函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
0)
()(lim
x x x f x f x x --→.
令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0
0)
()(lim 0
x x x f x f x x --→
成为
x y
x ??→?0lim
或x
x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000.
定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即
x
x f x x f x y
x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim
)(00000,
也可记为0|x x y =', 0 x x dx dy =或0
)
(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.
导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有
h
x f h x f x f h )
()(lim )(0000-+='→,
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→.
在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.
如果极限x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim 000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.
如果不可导的原因是由于∞=?-?+→?x
x f x x f x )
()(lim
000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.
如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作
y ',)(x f ', dx dy , 或
dx
x df )
(.
导函数的定义式:
x x f x x f y x ?-?+='→?)()(lim 0=h
x f h x f h )
()(lim 0-+→.
f '(x 0)与f '(x )之间的关系:
函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即 0)()(0x x x f x f ='='.
导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义
f (x )在0x 的左导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(0000-+='-→-;
f (x )在0x 的右导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(0000-+='+→+.
如果极限h
x f h x f h )
()(lim 000-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数.
如果极限x f h x f h )
()(lim 000-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.
导数与左右导数的关系 2．求导数举例
例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数.
解: h
x f h x f x f h )
()(lim
)(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.
例2. 求x
x f 1
)(=的导数.
解: h x h x h x f h x f x f h h 1
1lim )
()(lim )(00-+=-+='→→ 2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数.
解: h x h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )
()(lim
)( x
x h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→.
例2．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数.
解: f '(a )a x a f x f a x --=→)
()(lim
a x a x n n a x --=→lim a
x →=lim (x n -1+ax n -2+ ? ? ? +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1.
(C )'=0, 21
)1(x x -=', x
x 21)(=', 1)(-?='μμμx x .
更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数. 例3．求函数f (x )=sin x 的导数.
解: f '(x )h
x f h x f h )
()(lim 0-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2
sin )2cos(21lim 0h
h x h h +?=→
x h h
h x h cos 2
2sin )2
cos(lim 0=?+=→.
即 (sin x )'=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x .
例4．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数.
解: f '(x )h x f h x f h )
()(lim
0-+=→h
a a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)
1(log lim 0t t a a t x +→ a a e
a x a x ln log 1==.
特别地有(e x )=e x .
例5．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数.
解: h
x h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )
()(lim )(00-+=-+='→→
h x
a h a h a h x
h x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a
x e x a ln 1log 1==.
解:h x
h x x f a a h log )(log lim
)(0-+='→)1(log 1lim 0x
h h a h +=→ h x
a h x h x )1(log lim 10+=→a
x e x a ln 1log 1==.
即 a x x a ln 1)(log =' . :
特殊地 x
x 1
)(ln ='.
a x x a ln 1)(log =', x
x 1)(ln ='.
3．单侧导数:
极限h x f h x f h )
()(lim 0-+→存在的充分必要条件是
h
x f h x f h )()(lim 0-+-→及h x f h x f h )
()(lim 0-++→
都存在且相等.
f (x )在0x 处的左导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(00-+='-
→-
,
f (x )在0x 处的右导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(00-+='+→+.
+-[a , b ]上可导.
例6．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数.
解: 1|
|lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-
h h h f h f f h h , 1|
|lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+
h h h
f h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.
四、导数的几何意义
函数y =f (x f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即
其中α 如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. :
, 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为
00y =f (x )在点M 处的法线如果 f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)
(10x f '-, 从而法线方程为
)()
(1000x x x f y y -'-=-.
例8. 求等边双曲线x
y 1
=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解: 21
x
y -=', 所求切线及法线的斜率分别为
4)1(2
121-=-==x x k , 41112=-=k k .
所求切线方程为)21
(42--=-x y , 即4x +y -4=0.
所求法线方程为)21
(412-=-x y , 即2x -8y +15=0.
例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.
解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为
02
1
2302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为
)
(2300
00x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此
)
0(23400
00x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为
)4(42
3
44-=-x y , 即3x -y -4=0.
四、函数的可导性与连续性的关系
设函数y =f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim
00x f x
y
x '=??→?存在. 则
00)(lim lim lim
lim 00
000=?'=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x .
这就是说, 函数y =f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续. 另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.
例7． 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大
h
f h f h )
0()0(lim
0-+→+∞=-=→h h h 0lim 3
0.
§2. 2 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x
)
都在点x 具有导数, 并且
[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;
[u (x )?v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );
)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='??
????. 证明 (1)h
x v x u h x v h x u x v x u h )]
()([)]()([lim ])()([0±-+±+='±→
??
?
???-+±
-+=→h x v h x v h x u h x u h )()()()(lim 0=u '(x )±v '(x ). 法则(1)可简单地表示为 (u ±v )'=u '±v ' .
(2)h
x v x u h x v h x u x v x u h )
()()()(lim ])()([0-++='?→
)]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h
h -+++-++=→
??
?
-+++???-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()
()()()(lim 0 h
x v h x v x u h x v h x u h x u h h h )
()(lim )()(lim )()(lim 000-+?++?-+=→→→
=u '(x )v (x )+u (x )v '(x ),
其中0
lim →h v (x +h )=v (x )是由于v '(x )存在, 故v (x )在点x 连续.
法则(2)可简单地表示为 (uv )'=u 'v +uv '.
(3) h x v h x v h x v x u x v h x u h x v x u h x v h x u x v x u h h )()()()()()(lim )()
()()(lim )()(00
++-+=-
++='??????→→
h
x v h x v x v h x v x u x v x u h x u h )()()]
()()[()()]()([lim 0+-+--+=→
)()()
()()
()()()(lim 0x v h x v h x v h x v x u x v h x u h x u h +-+--+=→
)
()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=.
法则(3)可简单地表示为
2
)(v v u v u v u '-'='.
(u ±v )'=u '±v ', (uv )'=u 'v +uv ', 2
)(v v u v u v u '
-'='.
定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u =u (x )、v =v (x )、w =w (x )均可导, 则有
(u +v -w )'=u '+v '-w '.
(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '
=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '. 即 (uvw )' =u 'vw +uv 'w +uvw '.
在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '.
例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '
解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2?3x 2-5?2x +3=6x 2-10x +3.
例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2
(πf '.
解: x x x x x f sin 43)2
(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,
44
3)2 (2-='ππf .
例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.
解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x .
例4．y =tan x , 求y '.
解: x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '
-'='='='
x x
x x x 2222
2sec cos 1cos sin cos ==+=.
即 (tan x )'=sec 2x . 例5．y =sec x , 求y '.
解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '?-'='='='x
x
2cos sin ==sec x tan x .
即 (sec x )'=sec x tan x .
用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,
(csc x )'=-csc x cot x .
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且
)
(1])([1y f x f '='-. 或dy dx dx dy
1=.
简要证明: 由于x =f (y )在I y 内单调、可导(从而连续), 所以x =f (y )的反函数y =f -1(x )存在, 且f -1(x )在I x 内也单调、连续.
任取x ∈I x , 给x 以增量?x (?x ≠0, x +?x ∈I x ), 由y =f -1(x )的单调性可知 ?y =f -1(x +?x )-f -1(x )≠0, 于是
y x
x y ??=??1. 因为y =f -1(x )连续, 故 0lim 0
=?→y x
从而
)
(11lim lim
])([001y f y
x x y
x f y x '=??=??='→?→?-.
上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6．设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2
,2 (ππ-内单调、可导, 且
(sin y )'=cos y >0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有
2
211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='.
类似地有: 2
11
)(arccos x x --
='. 例7．设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2
,2 (ππ-内单
调、可导, 且
(tan y )'=sec 2 y ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有
2
2211tan 11sec 1)(tan 1)(arctan x y y y x +=
+=='='. 类似地有: 2
11
)cot arc (x x +-='.
例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且
(a y )'=a y ln a ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 a
x a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？
三、复合函数的求导法则
定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为
)()(x g u f dx
dy
'?'=或dx du du dy dx dy ?=.
证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [?(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ?u ≠0, 此时有
x
x g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ?-?+?
-?+-?+=?-?+=??)()()()()]([)]([)]([)]([ x
x g x x g u u f u u f ?-?+??-?+=)
()()()(,
x
x g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ?-?+??-?+=??=→?→?→?)
()(lim )()(lim lim 000= f '(u )?g '(x ).
简要证明:
x u u y x y dx dy x x ?????=??=→?→?00lim lim
)()(lim lim 00x g u f x
u u y
x u ''=?????=→?→?. 例9 3x e y =, 求dx
dy
.
解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此
32233x u e x x e dx
du
du dy dx dy =?=?=.
例10 212sin x x y +=, 求dx dy
.
解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 2
12x x
u +=复合而成的, 因此 2
222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +?+-=+-+?=?=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,
例11．lnsin x , 求dx
dy
.
解: )(sin sin 1)sin (ln '?='=x x x dx dy x x x
cot cos sin 1=?=.
例12．3221x y -=, 求dx dy
.
解: )21()21(31
])21[(2322312'-?-='-=-x x x dx dy 322)
21(34x x --=.
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =?(v ), v =ψ(x ), 则
dx
dv dv du du dy dx du du dy dx dy ??=?=.
例13．y =lncos(e x ), 求
dx
dy . 解: ])[cos()
cos(1])cos([ln '?='=x x x e e e dx dy
)tan()()]sin([)
cos(1x x x x x e e e e e -='?-?=
. 例14．x e y 1sin
=, 求dx
dy .
解: )1(1cos )1
(sin )(1sin 1sin 1sin '??='?='=x x e x e e dx dy x x x
x
e x x 1cos 11sin
2??-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.
解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以
(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ?(μ ln x )'= e μ ln x ?μ x -1=μ x μ-1. 四、基本求导法则与导数公式
1．基本初等函数的导数: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ?tan x , (8)(csc x )'=-csc x ?cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x ,
(11) a x x a ln 1)(log =',
(12) x
x 1
)(ln =',
(13) 2
11)(arcsin x x -=',
(14) 2
11)(arccos x x --='.
(15) 211)(arctan x
x +=',
(16) 2
11
)cot arc (x x +-='.
2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '?v +u ?v ',
(4)2
)(v v u v u v u '-'='.
3．反函数的求导法则
设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且
)
(1])([1y f x f '='-. 或dy dx dx dy
1=.
4．复合函数的求导法则
设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为
dx
du
du dy dx dy ?=或y '(x )=f '(u )?g '(x ).
例16. 求双曲正弦sh x 的导数. 解: 因为)(2
1sh x x e e x --=, 所以
x e e e e x x x x x ch )(2
1)(21)sh (=+='-='--,
即 (sh x )'=ch x . 类似地, 有
(ch x )'=sh x .
例17. 求双曲正切th x 的导数. 解: 因为x x x ch sh th =, 所以
x
x x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1=.
例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数. 解: 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以
2
2211)11(11)arsh (x x x x x x +=++?++=
'. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得1
1)arch (2-='x x .
由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (x
x -='.
类似地可得1
1)arch (2-='x x , 211)arth (x x -='.
例19．y =sin nx ?sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ? (sin n x )'
= n cos nx ?sin n x +sin nx ? n ? sin n -1 x ?(sin x )'
= n cos nx ?sin n x +n sin n -1 x ? cos x =n sin n -1 x ? sin(n +1)x .
§2. 3 高阶导数
一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作
y ''、f ''(x )或22dx
y
d ,
即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dx
dy
dx d dx y d =.
相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ? ? ?, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx
y
d .
函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ? ? ?, y (n )都称为高阶导数.
例1．y =ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.
例2．s =sin ω t , 求s ''.
解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .
例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0.
证明: 因为2
2212222x x x x x x y --=--=
', 22222222)1(2x x x x x
x x x y -------='')
2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=
32
3
21)2(1
y
x x -=--=,
所以y 3y ''+1=0.
例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得 y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .
例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,
)2
sin(cos π+=='x x y ,
)2
2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,
)2
3sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ?+=+?+=?+='''x x x y ,
)2
4sin()2 3cos()4(ππ?+=?+=x x y ,
一般地, 可得
)2
sin()(π?+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π?+=n x x n .
用类似方法, 可得)2
cos()(cos )(π?+=n x x n .
例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数 解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2,
y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, 一般地, 可得
y (n )=(-1)(-2)? ? ?(-n +1)(1+x )-n n
n x n )1()!
1()1(1+--=-,
即 n
n n x n x )1()!
1()1()]1[ln(1)(+--=+-.
例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式. 解: y '=μx μ-1, y ''=μ(μ-1)x μ-2,
y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,
y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得
y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到
(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .
如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且 (u ±v )(n )=u (n )+v (n ) . (uv )'=u 'v +uv '
(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',
(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' , 用数学归纳法可以证明 ∑=-=n
k k k n k n n v u C uv 0)()()
()(, 这一公式称为莱布尼茨公式.
例8．y =x 2e 2x , 求y (20). 解: 设u =e 2x , v =x 2, 则
(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ? ? ? , 20),
v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ? ? ? , 20), 代入莱布尼茨公式, 得
y (20)=(u v )(20)=u (20)?v +C 201u (19)?v '+C 202u (18)?v '' =220e 2x ? x 2+20 ? 219e 2x ? 2x !
21920?+218e 2x ? 2
=220e 2x (x 2+20x +95).
§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x . 隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.
如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.
例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ? y '+y +xy '=0,
从而 y e
x y
y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在 x =0处的导数y '|x =0.
解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ?y '+2y '-1-21x 6=0,
由此得 2
521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以
21|2521
1|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆19162
2=+y x 在)32
3 ,2(处的切线方程.
解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 09
28='?+y y x .
从而 y
x y 169-='.
当x =2时, 32
3=y , 代入上式得所求切线的斜率
4
3|2-='==x y k .
所求的切线方程为
)2(4
3323--=-x y , 即03843=-+y x .
解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得
09
2
8='?+y y x .
将x =2, 323
=y , 代入上式得
031
41='?+y ,
于是 k =y '|x =24
3
-
=. 所求的切线方程为
)2(4
3323--=-x y , 即03843=-+y x .
例4．求由方程0sin 2
1=+-y y x 所确定的隐函数y
的二阶导数.
解: 方程两边对x 求导, 得
0cos 211=?+-dx dy
y dx dy ,
于是 y
dx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得
3
222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dy
y dx y d --=-?-=. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设y =f (x ), 两边取对数, 得 ln y = ln f (x ), 两边对x 求导, 得
])([ln 1'='x f y y
,
y '= f (x )?[ln f (x )]'.
对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之 积和商的导数.
例5．求y =x sin x (x >0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得 ln y =sin x ? ln x , 上式两边对x 求导, 得
x
x x x y y 1sin ln cos 1?+?=',
于是 )1sin ln (cos x x x x y y ?+?='
)
sin ln (cos sin x
x x x x x +?=.
解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:
y =x sin x =e sin x ·
ln x ,
)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x
x x x x x x e y x x x +?='?='?.
例6. 求函数)
4)(3()
2)(1(----=x x x x y 的导数.
解: 先在两边取对数(假定x >4), 得
ln y 2
1=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],
上式两边对x 求导, 得
)4
1312111(211-----+-='x x x x y y ,
于是 )41312111(2-----+-='x x x x y
y .
当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2 4)(3() 2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果. 注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y 与x 的函数关系是由参数方程? ??==)() (t y t x ψ?确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的 函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =?(t )具有单调连续反函数t =?-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[?-1(x ) ], 若x =?(t )和y =ψ(t )都可导, 则 ) () (1t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ?ψ''=?=?=, 即 ) () (t t dx dy ?ψ''=或dt dx dt dy dx dy =. 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题 二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x） 的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】 三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解 闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解 第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y = 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y . 高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义 10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限 第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-； 广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限 （一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y. 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。 8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y ' 4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y '' 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 、OM 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a b c －4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a a a 0 = 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→ → ==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以 2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 1 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 2 的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程 第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+= 法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==; 【最新整理，下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x 第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度 ★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不同济大学高等数学教学大纲
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