§2.2线性变换的基本性质
教学目标:
一、知识与技能：
会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝
βλαλA A 21+
二、方法与过程
分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。
三、情感、态度与价值观
感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。
教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念
（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???
?
??d c b a 称为二阶矩阵。特别地，
称二阶矩阵????
??0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵???
?
??1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称???
?
??y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换
在平面直角坐标系中，把形如???+=+=dy
cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性
变换。
（2）旋转变换
坐标公式为???+=-=α
αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为???
?
??-αα
αα
cos sin sin cos （3）反射变换
①关于x 的反射变换坐标公式为???-==y
y x x ``对应的二阶矩阵为?
??? ??-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为???=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为????
??-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为???==x y y x ``对应的二阶矩阵为?
??
?
??0110； （4）伸缩变换
坐标公式为???==y
k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为???
?
??21
0k k ； （5）投影变换
①投影在x 上的变换坐标公式为???==0``y x x 对应的二阶矩阵为????
??0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为???==y
y x ``0对应的二阶矩阵为????
??1000 （6）切变变换
①平行于x 轴的切变变换坐标公式为???=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为???? ??101s ?
???
??101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为???+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为???
?
??101s 二、新课讲解
定理1 设A ＝???
?
??d c b a ，???? ??=111y x X ，???? ??=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X
证明：（1）A （t 1X ）＝????
??d c b a ???? ??11ty tx ＝???? ??++11
11dty ctx bty atx ＝????
??++1111dy cx by ax t ＝t （A 1X ） （2）A 1X ＋A 2X ＝???? ??d c b a ???? ??11y x ＋???? ??d c b a ???
?
??22y x ＝????
??++1111dy cx by ax ＋???? ??++22
22dy cx by ax ＝????
??++++++22112211dy cx dy cx by ax by ax ＝???? ??++++++)()()()(2121
2121y y d x x c y y b x x a ＝????
??d c b a ????
??++2121y y x x ＝A （1X ＋2X ） （3）A （t 1X ＋k 2X ）＝A （t 1X ）＋A （k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X 由定理1还得出：
A （2X 1X -）＝A 2X ＋A （1X -）＝A 2X - A 1X 由定理1还可翻译为线性变换在向量上作用的等式
βαβαA A A +=+)(；ααtA t A =)(；)(21βλαλ+A ＝βλαλA A 21+
定理2 可逆的线性变换具有如下性质：
（1）直线仍变成直线； （2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形
证明：设可逆线性变换A 的矩阵为A 。
设0P ，1P ，2P 为平面三个不同的点，P 为平面上任意一点，
点0P ，1P ，2P ，P ，分别初恋换A 变到点`0P ，`1P ，`2P ，`
P 如图所示。设0OP ，1OP
，2OP ，OP ，`0OP ，`1OP ，`2OP ，`OP 的坐标分别是0X ，1X ，2X ，X ，`
0X ，`1X ，`2X ，`X
则`
0X ＝A 0X ，`1X ＝A 1X ，`2X ＝A 2X ，`
X ＝A X
设0P ，1P 不重合，决定一条直线0P 1P 和一条线段0P 1P
由于A 是可逆变换，`0P ，`
1P 也不重合，也决定一条直线`0P `
1P 和一条线段`0P `
1P
（1）点P 在直线0P 1P 上?存在实数t 使P 0＝t 10P P
?X -0X =t (1X -0X )?A(X -0X )=A t (1X -0X
)
? A X - A 0X =t (A 1X -A 0X )?`X -`0
X =t (`1X -`0X ) ``0P P =t `1`0P P ?`P 在直线`0P `
1P 上 因此，A 将直线0P 1P 变成直线`0P `1P
（2）点点P 在线段0P 1P 上?存在实数t 使10≤≤t 且P 0＝t 10P P
重复（1）的计算，知道P P 0＝t 10P P ?``0P P =t `1`0P P ?`P 在线段`0P `
1P 上
这说明A 将线段0P 1P 变成线段`0P `1P
（3）设四边形0P 1P 2P P 是平行四边形，则10P P ＝P 2，并且直线0P
1P 与直线2P P 不重合。 由于A 是可逆变换，直线`0P `1P 与直线`2P `
P 不重合。
并且，由（2）的结论，四边形0P 1P 2P P 的四条边0P 1P
，1P 2P ，2P P ，P 0P 分别变成4条线段`0P `1P ，`1P `2P ，`2P `P ，`P `0P ，
这4条线段围成一个四边形`0P `1P `2P `
P
且由10P P ＝P 2?1X -0X ＝X -2X
?A （1X -0X ）＝A （X -2X ）
?A 1X -A 0X ＝A X -A 2X ＝`1X -`
X ＝`X -`2X ?`1`0P P ＝``2P P
知道`0P `1P `
2P `
P 是平行四边形。
三、例题解析
例1、对矩阵A ＝???? ??0110，向量α＝???? ??-32，β＝???
?
??21，验证以下等式成立 （1）βαβαA A A +=+)(； （2）A （α21
）＝2
1
A α 解：（1）=+)(βαA ????
??0110（???? ??-32＋???? ??21）＝???? ??0110???? ??-51＝???
?
??-15 βαA A +＝???? ??0110???? ??-32+???? ??0110???? ??21＝???? ??-23+???? ??12＝???
?
??-15
∴βαβαA A A +=+)(
（2）A （α21）＝???? ??0110???? ??-231＝???
? ??-123 21A α＝21???? ??0110???? ??-32＝21???? ??-23＝???
? ??-123 ∴A （α2
1）＝21
A α
例2、直线l 经过点A （1,0）和B （1,1），考查矩阵M ???
? ??1011把直线l 变成什么图形？
思路点拔：考虑在矩阵M ???
?
??1011对应变换下点A ，B 所得的点A 1.和B 1
，确定图形形状 解：???? ??1011???? ??01＝???? ??01 ???? ??1011???? ??11＝???
? ??12
即在矩阵M 的作用下点A 变成点A ，点B （1,1）变成点B 1
（2,1） M ＝M －M ＝1OB －＝1AB
即变成1AB ，由于A 和B 1
不重合，1≠AB ，所以，矩阵M 把直线l 变成了经过点A 和B 1
的直
线
例3、梯形OABC 的顶点为A （2，0）B （2，3），C （0,2），且AB ∥OC ，求证：梯形OABC 在M ＝???
? ??--1221
矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。 证明：由????
??--1221???? ??00＝???? ??00； ???? ??--1221
?
??? ??02＝???? ??-42； ???? ??--1221???? ??32＝???? ??-78； ???? ??--1221???? ??20＝???
? ??-24 所以在矩阵M 的作用下点O,A,B,C 分别变成点O ，A 1
（2，4-），B 1
（8, 7-），C 1
（4，2-）
11B A ＝（6，3-）
， 1OC ＝（4，2-） 11B A ＝12
3
OC ，即A 1B 1∥OC 1平行且不相等
所以梯形OABC 在M ＝?
??
?
??--1221
矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。
四、课堂练习
1、给定矩阵M ＝???
?
??0001，考查该矩阵抒经过点A （2，1）垂直于x 轴的直线l 变成什么？
2、已知△ABC 的顶点坐标分别是A （0,0），B （1，3），C （0,2），求证：在矩阵?????
?
?
?
-
212
32321变换下△ABC 仍是三角形。
五、小结
1、矩阵既可以对点进行线性变换，也可以对向量进行线性变换，共线向量在矩阵对应的线
性变换作用下所得到向量仍共线，且所成比例不变
2、可逆变换保持图形性状不变，直线变成直线，平行直线变成平行直线，相交直线变成相交直
线等；而不可逆变换则有可能改变图形形状，直线变成点，矩形变成线段。
六、课后作业：
课本35页 习题2
教学反思：
第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则
cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。
§2.2线性变换的基本性质 教学目标: 一、知识与技能： 会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝ βλαλA A 21+ 二、方法与过程 分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。 三、情感、态度与价值观 感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。 教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念 （1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表??? ? ??d c b a 称为二阶矩阵。特别地， 称二阶矩阵???? ??0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵??? ? ??1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称??? ? ??y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换 在平面直角坐标系中，把形如???+=+=dy cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性 变换。 （2）旋转变换
坐标公式为???+=-=α αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为??? ? ??-αα αα cos sin sin cos （3）反射变换 ①关于x 的反射变换坐标公式为???-==y y x x ``对应的二阶矩阵为? ??? ??-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为???=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为???? ??-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为???==x y y x ``对应的二阶矩阵为? ?? ? ??0110； （4）伸缩变换 坐标公式为???==y k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为??? ? ??21 0k k ； （5）投影变换 ①投影在x 上的变换坐标公式为???==0``y x x 对应的二阶矩阵为???? ??0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为???==y y x ``0对应的二阶矩阵为???? ??1000 （6）切变变换 ①平行于x 轴的切变变换坐标公式为???=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为???? ??101s ? ??? ??101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为???+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为??? ? ??101s 二、新课讲解 定理1 设A ＝??? ? ??d c b a ，???? ??=111y x X ，???? ??=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X
教学过程 预设问题： 1. 分式的分子、分母是多项式时，怎样约分？ 2. 约分的步骤是什么？ 3. 应用分式性质进行约分时要注意什么？ 教学过程设计 （一） 创设情境，导入新课（自探、合探） 1.分式的基本性质用字母表示为：__________________________________________． 2．因式分解：m 2 –m= , x 2-9= , a 2-2a-3= 3. 不改变分式的值，将下列分式中分子和分母的各项系数都化为整数： （1）y x y x 2.0203.01.0-+ = （2）n m n m 5.03.035.1--= 4. 21?11x x x -=+-，111?2+-=-x x x 则？处应填上_______ _ _ 5．根据分式的性质进行约分，把下列分式化为最简分式： a a 1282=_____;c a b b c a 23245125=_______，()()b a b a ++13262=__________， （二）自探、合探 例1：将下列分式进行约分（提示：怎样找到分子分母的公因式呢？可参考书上7页例2）
（1）()22y x xy x ++ （2）2232m m m m -+- （3）22699 x x x ++- （三）学生展示、评价 （2）、（3）两组派学生展示，两组评价。 （四）、教师精讲 通过上面的例题，总结分子分母是多项式时，进行约分的步骤； 1. 先将能分解的分子分母分解因式 2. 找到分子分母的公因式，利用分式的性质进行约分。 3. 检查分式是否是最简分式 注意：当分子、分母中的各项是相乘关系时才能进行约分。 （五）巩固练习： 1、下列分式哪些是可以约分的？对可以约分的分式尝试写出约分的结果。 A 、m m --44 B 、4 4---m m C 、2)2(2m m m -- D 、n m n m +-22 E 、n m n m ++22 F 、21-+x x 2、下列约分正确的是（ ） A 1x y x y -+=-- B 022=--y x y x C b a b x a x =++ D 33=+m m 3、约分：（1）22248ab b a ； （2）()()a ab a b a --1241822； （3）12122+--x x x （六）检测：1、化简分式2b ab b +的结果是： （ ） A 、 b a +1 B 、b a 11+ C 、2 1b a + D 、b ab +1 2、下列分式中是最简分式是（ ） A 2222n m n m +- B 9322-+m m m C 32 2) (y x y x +- D 222)(n m n m -- 3、当m=________时， ()()4 322--+m m m 的值为0. 5、化简求值： （1）22 2448x y x xy --其中4 1,21==y x 。 （2）96922+--a a a 其中5=a （七）小结（1）知识 ；（2）注意： （八）作业 ：书上8页基础2，提升1、2 （九）课后反思： 10.2 分式的性质（第二课时）学案
三维线性变换 陈祥科 1、线性空间 (2) 1.1、线性空间的代数定义 (2) 1.2 线性空间的基和维度 (2) 2、线性变换 (2) 2.1、变换的定义 (2) 2.2、线性变换的定义 (2) 2.3线性变换的性质 (3) 2.4、线性变换下的坐标变换 (3) 2.5、线性变换的矩阵表示： (3) 3、三维图形的几何变换 (4) 3.1平移变换 (5) 3.2缩放变换 (5) 3.3绕坐标轴的旋转变换 (5) 3.4绕任意轴的旋转变换 (6) 4、三维线性变换的应用实例 (7) 4.1 三维图形变换理论 (7) 4.1.1 三维图形的几何变换 (7) 4.1.2 组合三维几何变换 (8) 4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 (9) 4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 (9) 4.2 叉车稳定性试验的仿真 (10) 4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 (10) 4.2.2 横向稳定性试验的仿真 (11) 4.3 结论 (12)
1、线性空间 1.1、 线性空间的代数定义 一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。 1.2 线性空间的基和维度 对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。显然，三维空间的基有3个元素组成。三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。 2、线性变换 2.1、变换的定义 变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式 β=T(α) 称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。 2.2、线性变换的定义 R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足 ()()()()() a k ka b a b a σσσσσ=+=+ 其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式： )()()(βσασβασl k l k +=+ F l k R ∈∈?,,,βα
15.1.2 分式的基本性质 一、教学目标 1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形． 2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力． 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、教学重点和难点 1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键． 2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形． 三、教学方法 分组讨论． 四、教学手段 幻灯片． 五、教学过程 (一)复习提问 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ (二)新课 1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： 2．加深对分式基本性质的理解： 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 由学生口述分析，并反问：为什么c≠0？ 解：∵c≠0， 学生口答，教师设疑：为什么题目未给x≠0的条件？(引导学生学会分析题目中的隐含条件．)
解：∵x ≠0， 学生口答． 解：∵z ≠0， 例2 填空： 把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据． 练习1： 化简下列分式(约分) （1）2a bc ab （2） （3） 教师给出定义： 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分. 问：分式约分的依据是什么？ 分式的基本性质 在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 教师指出：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. d b a 24c b a 323223-()()b a 25b a 152 +-+-y x 20xy 5222x 20x 5y x 20xy 5= x 41xy 5x 4xy 5y x 20xy 52=?=
第 7章 线性变换 7、1知识点归纳与要点解析 一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。 注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2、线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么: σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3、线性变换的性质 设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα?∈L 。 性质1、 ()()00,σσαα==-; 性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。 性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性无关。 注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果: 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L L L L L 记: ()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? L L L L M M M L 于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换, 12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:
第七章线性变换 计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 （P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义 1 （P310） 注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 （P311） 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 （1）. 乘法运算 定义 3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.
课题：9.1 分式及其基本性质（2） 第二课时 分式的约分 主备人：王刚喜 审核人： 杨明 使用时间：2011年 月 日 年级 班 姓名： 学习目标： 1. 强化对分式的基本性质的理解和应用; 2. 能根据分式的基本性质约分 3．能通过分式的约分将分式化为最简分式。 学习重点： 掌握分式的基本性质和分式的约分 学习难点： 分子、分母是多项式的约分 一、学前准备 【回顾】 1．化简： 812 =____； 12545 =____； 2613 =_____．依据是 2.把下列各式分解因式 (1)224b ab -=_________； (2)_________422=-y x (3)___________4422=+-y xy x (4) ___________232=+-x x 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“-”号. a b 56--， y x 3-， 2m n m --+， x y y -+-． 试总结符号变化的一般规律： 4.思考：下列分式是怎样从左边变形到右边的？。 （1）)0(22≠=y xy by x b ； （2） y x xy x 2 3 = ； 二、探究活动
【探究新知】 1．填空：（1） () 2 15() 5xy x y = （2） () _______1 4 22 = -+y y 2．思考：○ 1完成以上两小题填空的依据是什么？ 3．归纳定义：约分---- 4．练一练：给下列各式约分 （1）c ab b a 2 2 63 （2） 5 3 2164xyz yz x - （3） 34 82a b ab 5．约分的目的：把分式化为最简分式或整式。 最简分式: 6．想一想：下列分式如何约分？ （1） 2 2424x x x -- （2） 22 a b a b -+ （3） 1 212 2 +--x x x 7．自我归纳：分式约分的步骤是什么？ 8．练一练：给下列各式约分 （1）x y y x --3 )(2 （2） 2 2 699 x x x ++- （3） 2 2 2 a a b a b +- 【例题分析】 例1.下列最简分式有哪些？
第七章线性变换 计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1（P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件 教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义1 （P310） 注意：＋是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义2（P311） 显然k也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算 定义3 （P311-312） 注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可
能是零变换. (2). 线性变换 的方幂 四. 可逆线性变换 定义4 （P 313） 线性变换可逆的充要条件 例2 （P 314） 线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时） 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ()关于同一个基的坐 标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 线性变换关于基的矩阵 定义 （P 316） 。 注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316） 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317） 例3 （P 317） 二. 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318） 三. L (V )与M n (F )的同构 定理7.3.2 （P 320） 定理7.3.3 （P 320） 注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求
第七章 线 性 变 换 § 1 线性变换的定义 上一章我们看到，数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与n P 同构，因之，有限维线性空间的同构可以认为是完全清楚了.线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象.我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射.线性空间到自身的映射通常称为的一个变换.这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是代数的一个主要研究对象. 下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P 上的线性空间. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于V 中的任意的元素αβ,和数域中任意数k ,都有 ()()A A αβαβ+=+ ()()A k kA αα= （1） 以后我们一般用黑体答谢拉丁字 A , B ，…代表 V 的变换，()A k α或()A α代表 元素α在变换下的象. 定义中等式（1）所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 问题1: 线性变换与线性同构有什么异同？ 下面我们来看几个简单的例子 ，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的. 例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间 . 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转θ角，就是一个线性变换，我们用I θ表示。如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么象I θα()的坐标，即旋转θ角之后的坐标是(,)x y ''按照公式 cos sin sin cos x x y y θθθ θ'-??????= ? ???'?????? 来计算的.同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设α是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内映射的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是 (,)()(,) ααξξααα∏= 这里(,)αξ表示内积. 例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ，即 ()E αα= ()V α∈ 以及零变换0，即 0()0α= ()V α∈ 都是线性变换. 例 4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个数 ，定义V 的变换如下： ,k αα→ ()V α∈ 不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用k 表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换. 例 5 在线性空间[]P x 或者[]n P x 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即11220r r k k k ααα+++=， (())()D f x f x '= 例 6 定义在闭区间[a,b ]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C (a,b )代表.在这个空间中，变换
线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学
姓名： 学号： 线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景 学院 专业 学号 学生姓名 指导教师 指导教师职称 指导教师单位 年月日
学位论文写作声明 本人重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：日期：年月日 论文作者签名：导师签名： 日期：年月日
线性变换的几何背景 摘要 线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。 关键词：线性变换；几何现象；矩阵
The geometry background of linear transformation Abstract：Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena, geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the relationship of matrix and linear transformation on the basis of geometric meaning, researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the questions on the basis of connection between linear transformation and geometry, and considers the linear transformation of projective geometry. In conclusion, the thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze the geometry meaning of linear meaning, but the matrix is one of the tools to study the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation related problems are involved in the geometric phenomena, and the combination of linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems, but different geometry research objects have various aspects. Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix
课 题 8．2分式的基本性质（2） 教学目标：1、 了解分式约分的意义，能熟练的进行分式约分； 2、 理解最简分式的定义 教学重点：约分依据和作用。 教学难点：将一个分式化成一个最简分式 教学过程 一、预习导学1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 422 2(1) (2) (0)x x a b ab b b x y y a ab --==≠ 2、对分数812 怎样化简? 3、什么叫分数的约分？ 4、类似地，分式y x x 22 64也可约分吗？ 5、填空：（并说明理由） )(() ()()222 233(1) (2) 29 1(3) (3) 6b a b a b a a c ac c x a x y ++=== 6、什么叫分式的约分？ 7、尝试约分： 33 236ab c (a+b)(1) (2) 6abc (a+b)(a-b) 8、约分： 22 22 ma+nb+mc a 44(1) (2) a+b+c a 4ab b b -+- 9、如果的分式分子或分母有多项式应该怎样约分？
10、什么是最简分式？ 11、思考：约分要注意些什么？约分的一般步骤是怎样的？ 二、交流成果 三、合作探究： 1、下列分式a b b a b a b a b a b a x y y x a c b ----++++、、、）（、24)(35412222222中，最简分式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、判断正误，并说明原因。 （1）3322 =b b ； （2）b a m b m a =++； （3）022=++am am ； （4）2 1632-=-++x x x x ； （5）b b a b a +=+=+1331632； （6）a a a a 3212622=+； （7）m m m m m +-=-+-1111222 3、约分： ① 23 2636yz z xy - ②16282--m m ③44422-+-a a a 4、约分： 222215 21033223y x y x -- 5、先化简,再求值: ①16 16822-+-a a a ,其中a=5 四、拓展延伸： ①先化简，再求值222 2) 1()1()1(-+-x x x ； 其中x=21-
教案目标：分式的基本性质；分式的约分。 1、因式分解 =-22b a =++222b ab a 2、因式分解： (1) xy + 2y = (2) x 2– 4 = (3) x 2– 4 x + 4 = (4) 9x 2–25 y 2 = 3、十字相乘法分解因式 （1）232 +-x x 解：原式＝（x ）（x ） (2) 1242--x x 解：原式＝（x ）（x ） （3） 1452--x x 解：原式＝（x ）（x ） (4) 2762-+x x 解：原式＝（x ）（x ） (5) 24102++a a 解：原式＝ ( -2 ) ( -1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
二、学习新课： 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式， 分式的值不变。 2. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去。 例：约分： (1)4 322016xy y x - 解：原式 = y xy x xy 54443 3??- = (2)4 4422+--x x x 解：原式 = 2 )() )(2(+x = （3）3 5 )3()3((--x x 解：原式＝3 5 ) 3()(--x = 练习：约分： （1）2232axy y ax （2）) (3)(2b a b b a a ++- （3）3 2)()(a x x a --（4）y xy x 242+-
（5）15422---x x x （6）3 2)5(2510-+-x x x 3. 最简分式：约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式。 练习：下列分式中，是最简分式（填编号）。 (1)a b 2，(2)y x y x -+，(3)424-a ，(4) ()2 2 y xy y x ++，(5)22n m n m -+. 巩固练习 1. 写出下列各等式中未知的分子或分母： (1) 2 2)1(1 +-x x ＝ ()1 +x (2) ( )c c 72+＝ 7 1+c (3) ( )2 -a ＝31+a (4)323+x x ＝( ) x x 692- 2. 约分： (1) x b a bx a 254 34827= (2)y x y x 422128--= (3)2 2233ab b a ab a ++== (4)4 2322 y x y x xy xy ++==
5.2分式的基本性质(2) 课型：新授课 主备人：郏凌琳 审核人：翁琪峰 班级： 姓名： 【学习目标】 1.运用整体思想代入分式化简求值. 2.根据分式的基本性质,利用约分进行多项式的除法. 3.通过观察式子的特点,让学生体会整体思想的作用. 【学习重难点】 重点：利用约分进行多项式的除法运算。 难点：运用整体思想代入分式化简求值。 【学习过程】 一、复习回顾： 1.分式的基本性质. 2.如何不改变分式的值,把分式的分子和分母中各项的系数都化为整数? 3. 如何不改变分式的值,把分式的分子和分母的最高次项的系数都化为正数? 4.分式的约分. 二、新课学习 1.运用整体思想代入分式化简求值 例1 已知2x-5y=0，求分式 的值。 反思：你还有其他解法吗？ 例2 已知 ，求 的值。 【操作流程】： 课前先独学，完成知识准备。课堂对学、群学完成学习过程。 【预设点拨】： 1、本节内容是对分式的基本性质的进一步运用，前提是熟练掌握分式的基本性质。对于多项式除以多项式是把它转化为分式，然后通过约分化简得结果。 2、整体代入时，若分式的分子、分母中有乘方等运算，要把这个整体添上括号再进行计算。 2 22 254564y x y xy x ++-21 =-x x 221x x +
2.利用约分进行多项式除法 16÷4= ______； 2÷10= _____； _______； _____________. 学法指导： 多项式的除法：把两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简分式表示所求的商。 例3 计算 （1） )32()23(22b a b a ab -÷- （2）)94()9124(223223b a ab b a b a -÷+- （3）)44()168(224++÷+-a a a a 反思：你能归纳总结多项式除法的步骤吗？ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。 () = 4 () =2 ()= =÷a a a 2 ()==÷xy xy y x 2 4
三、线性变换的基本性质（1） 学习目标 理解线性变换的基本性质 新课讲解 定义： 1.数乘平面向量：设x y α→ ??=????，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→??=???? 2.平面向量的加法：设11x y α→ ??=????，22x y β→??=????，则1212x x y y αβ→→+??+=??+?? 探究：设向量?? ????=21，吧此向量先伸长2倍，在按逆时针方向旋转90°；吧此向量先按逆时针方向旋转90°再伸长2倍。这两个过程的结果相同吗？ 相同，即A （α2）=2A α. 探究：()A A λαλα→→ =是否成立呢？ 设A=a b c d ??????，x y α→??=????，则??????++=??????++=dy cx by ax A dy cx by ax λλλλλλλλλλ,A ）（ 所以()A A λαλα→→ =. 同理，可得出()A A A αβαβ→→→→+=+。 性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则 （1）()A A λαλα→→=；（2）()A A A αβαβ→→→→+=+ 。 定理1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，21λλ，是任意两个实数，则βλαλβπαλA A A 2121)(+=+。 探究：线性变换把平面上的直线（或线段）变成什么图形？ 研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形： ①伸缩变换：1002?????? ②旋转变换：12122?-?????? ③切变变换：1201?????? 性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。
怀柔区第四中学教案（2017-2018学年第一学期） 教学过程 预设问题： 1. 分式的分子、分母是多项式时，怎样约分？ 2. 约分的步骤是什么？ 3. 应用分式性质进行约分时要注意什么？ 教学过程设计 （一） 创设情境，导入新课（自探、合探） 1.分式的基本性质用字母表示为：__________________________________________． 2．因式分解：m 2 –m= , x 2-9= , a 2-2a-3= 3. 不改变分式的值，将下列分式中分子和分母的各项系数都化为整数： （1）y x y x 2.0203.01.0-+ = （2）n m n m 5.03.035.1--= 4. 21?11x x x -=+-，111?2+-=-x x x 则？处应填上_______ _ _ 5．根据分式的性质进行约分，把下列分式化为最简分式： a a 1282=_____;c a b b c a 23245125=_______，()()b a b a ++13262=__________， （二）自探、合探
例1：将下列分式进行约分（提示：怎样找到分子分母的公因式呢？可参考书上7页例2） （1）()22y x xy x ++ （2）2232m m m m -+- （3）22699 x x x ++- （三）学生展示、评价 （2）、（3）两组派学生展示，两组评价。 （四）、教师精讲 通过上面的例题，总结分子分母是多项式时，进行约分的步骤； 1. 先将能分解的分子分母分解因式 2. 找到分子分母的公因式，利用分式的性质进行约分。 3. 检查分式是否是最简分式 注意：当分子、分母中的各项是相乘关系时才能进行约分。 （五）巩固练习： 1、下列分式哪些是可以约分的？对可以约分的分式尝试写出约分的结果。 A 、m m --44 B 、4 4---m m C 、2)2(2m m m -- D 、n m n m +-22 E 、n m n m ++22 F 、21-+x x 2、下列约分正确的是（ ） A 1x y x y -+=-- B 022=--y x y x C b a b x a x =++ D 33=+m m 3、约分：（1）22248ab b a ； （2）()()a ab a b a --1241822； （3）12122+--x x x （六）检测：1、化简分式2b ab b +的结果是： （ ） A 、 b a +1 B 、b a 11+ C 、2 1b a + D 、b ab +1 2、下列分式中是最简分式是（ ） A 2222n m n m +- B 9322-+m m m C 32 2) (y x y x +- D 222)(n m n m -- 3、当m=________时， ()()4 322--+m m m 的值为0. 5、化简求值： （1）22 2448x y x xy --其中4 1,21==y x 。 （2）96922+--a a a 其中5=a （七）小结（1）知识 ；（2）注意： （八）作业 ：书上8页基础2，提升1、2 （九）课后反思：