第七章 线性变换
学习单元1： 线性变换的定义
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● 导学
学习目标：
理解线性空间的线性变换的概念；会判断线性空间的一个变换是否为线性变换；掌握线性变换的基本性质。
学习建议：
本学习单元主要是线性变换的概念，大家可以多看书、多看例题，掌握判断一个变换是否是线性变换的技巧。
重点难点：
重点：深刻理解线性变换的概念。
难点：理解线性变换的基本性质。
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● 学习内容
一、线性变换的概念及例
定义 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足
（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；
（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= kA (α)。
则称A 为V 的线性变换。
例1 θ?为把2V 中向量绕坐标原点反时针旋转θ角的变换。
θ?为2V 的线性变换。
例2 α为2V 中一个固定向量，α∏表示把2V 中的向量ξ投影到α上，即()αξ∏为ξ在
α上的内射影，也即
(,)()(,)
a ααξξαα∏=
， α∏为2V 的线性变换，这里(,)αξ表示内积。 例3 V 的恒等变换E 和零变换O 均为V 的线性变换。
例4 V 的数乘变换?：,,k k P V ααα→∈∈
是V 的线性变换。
例5、例6见书，自学。
二、线性变换的基本性质
设A 为V 的线性变换。
性质1 (0)0,()()A A A αα=-=-。
性质2 若11r r k k βαα=++L ，则11()()()r r A k A k A βαα=++L 。
性质3 若1,,r ααL 线性相关，则1(),,()r A A ααL 线性相关。
注：性质3的逆不成立，如V 的零变换，把线性无关向量组变成线性相关向量组。 当A 为双射时，A 为V 到V 的同构映射，称A 为V 的自同构。
记号(){|L V A A =为V 的线性变换}。
【教师解读】
利用线性变换研究线性空间是研究代数系统的一般方法，在代数系统的研究中，通常叫代数系统的自同态，线性变换就是线性空间的自同态。
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拓展资料
判断下列变换是否是线性变换
（1）把复数域看成复数域上的线性空间，
()σαα=，其中α为α的共扼复数。
（2）把复数域看成实数域上的线性空间，
()σαα=，其中α为α的共扼复数。
（3）设3P 为三维行向量构成的线性空间，
221231233((,,))(,,)x x x x x x x σ=+。
（4）在[]n P x 中， (())()f x xf x σ=。
（5）在[]P x 中， (())()f x xf x σ=。
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讨论交流
讨论主题：讨论线性变换与同构映射的区别与联系。
教师提示：回顾同构映射与线性变换的概念。
第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则
cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。
§2.2线性变换的基本性质 教学目标: 一、知识与技能： 会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝ βλαλA A 21+ 二、方法与过程 分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。 三、情感、态度与价值观 感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。 教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念 （1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表??? ? ??d c b a 称为二阶矩阵。特别地， 称二阶矩阵???? ??0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵??? ? ??1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称??? ? ??y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换 在平面直角坐标系中，把形如???+=+=dy cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性 变换。 （2）旋转变换
坐标公式为???+=-=α αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为??? ? ??-αα αα cos sin sin cos （3）反射变换 ①关于x 的反射变换坐标公式为???-==y y x x ``对应的二阶矩阵为? ??? ??-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为???=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为???? ??-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为???==x y y x ``对应的二阶矩阵为? ?? ? ??0110； （4）伸缩变换 坐标公式为???==y k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为??? ? ??21 0k k ； （5）投影变换 ①投影在x 上的变换坐标公式为???==0``y x x 对应的二阶矩阵为???? ??0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为???==y y x ``0对应的二阶矩阵为???? ??1000 （6）切变变换 ①平行于x 轴的切变变换坐标公式为???=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为???? ??101s ? ??? ??101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为???+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为??? ? ??101s 二、新课讲解 定理1 设A ＝??? ? ??d c b a ，???? ??=111y x X ，???? ??=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X
三维线性变换 陈祥科 1、线性空间 (2) 1.1、线性空间的代数定义 (2) 1.2 线性空间的基和维度 (2) 2、线性变换 (2) 2.1、变换的定义 (2) 2.2、线性变换的定义 (2) 2.3线性变换的性质 (3) 2.4、线性变换下的坐标变换 (3) 2.5、线性变换的矩阵表示： (3) 3、三维图形的几何变换 (4) 3.1平移变换 (5) 3.2缩放变换 (5) 3.3绕坐标轴的旋转变换 (5) 3.4绕任意轴的旋转变换 (6) 4、三维线性变换的应用实例 (7) 4.1 三维图形变换理论 (7) 4.1.1 三维图形的几何变换 (7) 4.1.2 组合三维几何变换 (8) 4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 (9) 4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 (9) 4.2 叉车稳定性试验的仿真 (10) 4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 (10) 4.2.2 横向稳定性试验的仿真 (11) 4.3 结论 (12)
1、线性空间 1.1、 线性空间的代数定义 一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。 1.2 线性空间的基和维度 对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。显然，三维空间的基有3个元素组成。三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。 2、线性变换 2.1、变换的定义 变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式 β=T(α) 称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。 2.2、线性变换的定义 R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足 ()()()()() a k ka b a b a σσσσσ=+=+ 其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式： )()()(βσασβασl k l k +=+ F l k R ∈∈?,,,βα
第 7章 线性变换 7、1知识点归纳与要点解析 一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。 注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2、线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么: σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3、线性变换的性质 设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα?∈L 。 性质1、 ()()00,σσαα==-; 性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。 性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性无关。 注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果: 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L L L L L 记: ()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? L L L L M M M L 于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换, 12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:
第七章线性变换 计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 （P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义 1 （P310） 注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 （P311） 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 （1）. 乘法运算 定义 3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.
第七章线性变换 计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1（P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件 教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义1 （P310） 注意：＋是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义2（P311） 显然k也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算 定义3 （P311-312） 注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可
能是零变换. (2). 线性变换 的方幂 四. 可逆线性变换 定义4 （P 313） 线性变换可逆的充要条件 例2 （P 314） 线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时） 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ()关于同一个基的坐 标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 线性变换关于基的矩阵 定义 （P 316） 。 注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316） 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317） 例3 （P 317） 二. 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318） 三. L (V )与M n (F )的同构 定理7.3.2 （P 320） 定理7.3.3 （P 320） 注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求
第七章 线 性 变 换 § 1 线性变换的定义 上一章我们看到，数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与n P 同构，因之，有限维线性空间的同构可以认为是完全清楚了.线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象.我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射.线性空间到自身的映射通常称为的一个变换.这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是代数的一个主要研究对象. 下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P 上的线性空间. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于V 中的任意的元素αβ,和数域中任意数k ,都有 ()()A A αβαβ+=+ ()()A k kA αα= （1） 以后我们一般用黑体答谢拉丁字 A , B ，…代表 V 的变换，()A k α或()A α代表 元素α在变换下的象. 定义中等式（1）所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 问题1: 线性变换与线性同构有什么异同？ 下面我们来看几个简单的例子 ，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的. 例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间 . 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转θ角，就是一个线性变换，我们用I θ表示。如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么象I θα()的坐标，即旋转θ角之后的坐标是(,)x y ''按照公式 cos sin sin cos x x y y θθθ θ'-??????= ? ???'?????? 来计算的.同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设α是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内映射的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是 (,)()(,) ααξξααα∏= 这里(,)αξ表示内积. 例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ，即 ()E αα= ()V α∈ 以及零变换0，即 0()0α= ()V α∈ 都是线性变换. 例 4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个数 ，定义V 的变换如下： ,k αα→ ()V α∈ 不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用k 表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换. 例 5 在线性空间[]P x 或者[]n P x 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即11220r r k k k ααα+++=， (())()D f x f x '= 例 6 定义在闭区间[a,b ]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C (a,b )代表.在这个空间中，变换
线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学
姓名： 学号： 线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景 学院 专业 学号 学生姓名 指导教师 指导教师职称 指导教师单位 年月日
学位论文写作声明 本人重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：日期：年月日 论文作者签名：导师签名： 日期：年月日
线性变换的几何背景 摘要 线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。 关键词：线性变换；几何现象；矩阵
The geometry background of linear transformation Abstract：Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena, geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the relationship of matrix and linear transformation on the basis of geometric meaning, researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the questions on the basis of connection between linear transformation and geometry, and considers the linear transformation of projective geometry. In conclusion, the thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze the geometry meaning of linear meaning, but the matrix is one of the tools to study the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation related problems are involved in the geometric phenomena, and the combination of linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems, but different geometry research objects have various aspects. Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix
三、线性变换的基本性质（1） 学习目标 理解线性变换的基本性质 新课讲解 定义： 1.数乘平面向量：设x y α→ ??=????，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→??=???? 2.平面向量的加法：设11x y α→ ??=????，22x y β→??=????，则1212x x y y αβ→→+??+=??+?? 探究：设向量?? ????=21，吧此向量先伸长2倍，在按逆时针方向旋转90°；吧此向量先按逆时针方向旋转90°再伸长2倍。这两个过程的结果相同吗？ 相同，即A （α2）=2A α. 探究：()A A λαλα→→ =是否成立呢？ 设A=a b c d ??????，x y α→??=????，则??????++=??????++=dy cx by ax A dy cx by ax λλλλλλλλλλ,A ）（ 所以()A A λαλα→→ =. 同理，可得出()A A A αβαβ→→→→+=+。 性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则 （1）()A A λαλα→→=；（2）()A A A αβαβ→→→→+=+ 。 定理1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，21λλ，是任意两个实数，则βλαλβπαλA A A 2121)(+=+。 探究：线性变换把平面上的直线（或线段）变成什么图形？ 研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形： ①伸缩变换：1002?????? ②旋转变换：12122?-?????? ③切变变换：1201?????? 性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。
线性变换思想在中学数学中的应用 摘要：本文首先给出了线性变换的定义以及中学数学中涉及到的几种特殊的线性变换，包括其表达式及特征等。然后介绍了这几种线性变换在中学几何中的意义, 它是普通线性变换的一个自然推广,同时研究了线性变换在几何中的应用。最后,给出了具体实例说明了利用线性变换解决中学中平面几何题的方法以及线性变换思想在中学数学中的影响。 关键词：线性变换中学数学几何应用 随着社会的进步和时代的发展，针对我国中学数学课程现状，制定和实施新 的课程标准势在必行。2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下 简称《标准》)。由参考文献[1]、[2]、[3]、[4]可知： 《标准》规定的课程与以往的课程相比，内容上发生很大的变化，尤其在选修系列中，增加了矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、风险与决策、开关电路与布尔代数等内容，矩阵与变换是选修系列的内容。 # 矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，认真研究怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，最终用矩阵来表示线性变换可以更有效地学习和运用这部分知识。中学数学引入矩阵初步知识，主要是为表达数据提供新的工具。矩阵作为研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。由矩阵建立的线性变换就是 平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用，用二阶矩阵 a b c d ?? ?? ?? 确定的变换,
就是构造映射,使平面上的点(向量) x y ?? ?? ?? 变成(对应)点(向量)1 1 x y ?? ?? ?? = a b c d ?? ?? ?? x y ?? ?? ?? ,这个映射的对 应法则就是左乘 a b c d ?? ?? ?? ，在这个线性变换中，矩阵 a b c d ?? ?? ?? 称之为变换矩阵，变换矩阵不同， 得到的是不同的变换。 线性变换在数学上是一个很有用的工具，在其它学科中也有着广泛的应用。线性变换在大学中作为“线性代数”的一个重要内容，被系统地讲授。近些年来，有些国家在中学也讲授部分线性变换的知识。由于线性变换的重要性和它的应用的广泛性，在《标准》中，把“矩阵与变换”作为一门选修课。该课通过几何图形的变换，介绍线性变换的基础知识和基本思想。开设这门选修课的目的是希望学生在基本思想上对线性变换有一个初步了解，对将来进一步学习和工作有所帮助。 1 线性变换的概念 大学教材中的线性变换 一般地，把平面内的一个点变成同一个平面内的和它相应的唯一的一点，不同的点所变成的点不相同，并且平面内的每一点都是由某一个相应的点变成的，这就是平面内的点的一个变换。变换就是一个映射，而且是一个一一映射。换句话说，变换就是从平面内的点的集合到同一个平面内的点的集合的一个一一映射。把两个变换复合起来就得到了一个新的变换。变换的复合一般不具有交换性。恒等变换是一个不动的变换，它把平面上的每个点都变成它自己。变换的复合看成变换的乘积，可得到变换的逆交换的概念。变换的逆交换就是这样一种变换，无论它从左或从右复合，结果都得到恒等变换。每一个变换都有逆变换。 中学教材中的线性变换 在平面直角坐标系中，把形如 ' ' x ax by y cx dy ?=+ ? =+ ? （其中a，b，c，d为常数）的几何变换 叫做线性变换。[5]
线性变换 本章中我们将讨论同一线性空间向量间的联系、线性空间之间的一种特殊的映射，即所谓的线性变换，这是一种保持线性结构的映射，是线性代数的一个重要的研究对象。 从这里我们可以初步看出线性代数的几何理论（变换）与代数理论（矩阵） 间的有机结合，而用代数的方法研究几何问题是线性代数的一个基本思想。 要求掌握： 线性变换的定义 线性变换和矩阵的特征值和特征向量 矩阵的相似标准形 矩阵相似于对角阵的充分必要条件 一．线性变换的定义和性质 1. 线性变换的定义 例：图形的伸缩变换。对坐标平面的单位圆：12 2 =+y x 做如下的伸缩变换 y v x u 2,3== 得到一个椭圆上述变换将单位圆沿x 轴方向放大3倍，沿y 轴方向放大2倍，从而得到一个 椭圆。 14 92 2=+v u 3212 1 上述变换只对图形沿数轴方向进行了伸缩，没有改变图形的基本形状。我们说 它们是线性的变换。 旋转变换不改变图形的形状，只改变它的位置，它也是一种线性的变换。
例：坐标平面上的如下变换 ???+=+=y x y y x x 2.0~1.0~ 设C1是由边平行于坐标轴的矩形网格， C2是单位圆12 2 =+y x ， C3是正弦曲线 )sin(x y =。绘制变换前后的图形，观察图形的变化。 变换前的C1与C2 变换后的C1与 C2 变换前的C1与C3 变换后的C1与C3 图形不仅沿斜线方向发生伸缩变化，并且产生错切现象。 但上述变换仍保持图形的基本形状不变，例如，直线仍变为直线，平行直线变为平行直线，圆变为椭圆。 将直线变为直线且将平行直线变为平行直线是图形线性变换的基本特性。这一特性可以由 图形变换 保持线性组合运算不变。 ??? ? ??-???? ??-???? ??11,cos sin sin cos ,θθθθ μλ 伸缩变换、旋转变换、反射变换
线性变换的基本性质 学习目标 理解线性变换的基本性质 教学重点 理解线性变换的基本性质 新课讲解 一、 数乘平面向量与矩阵的运算 1.数乘平面向量：设x y α→ ??=????，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→??=???? 2.平面向量的加法：设11x y α→ ??=????，22x y β→??=????，则1212x x y y αβ→→+??+=??+?? 性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→ 是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则 （1）()A A λαλα→→=；（2）()A A A αβαβ→→→→+=+ 。 定理1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，21λλ，是任意两个实数，则βλαλβπαλA A A 2121)(+=+。 【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。 二、直线在线性变换下的图形 研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形：
①伸缩变换：1002??? ??? ②旋转变换：12122?-?????? ③切变变换：1201?????? 性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。 （证明见课本P 18） 三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形 分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。 ① 恒等变换：1001??? ??? ②旋转变换：cos sin sin cos αααα-??? ??? ③切变变换：101k ??? ???
④反射变换：1001??? ?-?? ⑤投影变换：1000??? ??? 【练习：P 27】 【应用】 试研究函数1y x = 在旋转变换2222-??????? 作用下得到的新曲线的方程。 课堂小结 1.数乘平面向量与平面向量的加法运算。 2.直线在线性变换下的图形。 3.平面图形在线性变换下的像所形成的图形。
第七章 线性变换 学习单元1： 线性变换的定义 _________________________________________________________ ● 导学 学习目标： 理解线性空间的线性变换的概念；会判断线性空间的一个变换是否为线性变换；掌握线性变换的基本性质。 学习建议： 本学习单元主要是线性变换的概念，大家可以多看书、多看例题，掌握判断一个变换是否是线性变换的技巧。 重点难点： 重点：深刻理解线性变换的概念。 难点：理解线性变换的基本性质。 _________________________________________________________ ● 学习内容 一、线性变换的概念及例 定义 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足 （1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)； （2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= kA (α)。 则称A 为V 的线性变换。 例1 θ?为把2V 中向量绕坐标原点反时针旋转θ角的变换。 θ?为2V 的线性变换。 例2 α为2V 中一个固定向量，α∏表示把2V 中的向量ξ投影到α上，即()αξ∏为ξ在
α上的内射影，也即 (,)()(,) a ααξξαα∏= ， α∏为2V 的线性变换，这里(,)αξ表示内积。 例3 V 的恒等变换E 和零变换O 均为V 的线性变换。 例4 V 的数乘变换?：,,k k P V ααα→∈∈ 是V 的线性变换。 例5、例6见书，自学。 二、线性变换的基本性质 设A 为V 的线性变换。 性质1 (0)0,()()A A A αα=-=-。 性质2 若11r r k k βαα=++L ，则11()()()r r A k A k A βαα=++L 。 性质3 若1,,r ααL 线性相关，则1(),,()r A A ααL 线性相关。 注：性质3的逆不成立，如V 的零变换，把线性无关向量组变成线性相关向量组。 当A 为双射时，A 为V 到V 的同构映射，称A 为V 的自同构。 记号(){|L V A A =为V 的线性变换}。 【教师解读】 利用线性变换研究线性空间是研究代数系统的一般方法，在代数系统的研究中，通常叫代数系统的自同态，线性变换就是线性空间的自同态。 _________________________________________________________ 拓展资料 判断下列变换是否是线性变换 （1）把复数域看成复数域上的线性空间，
第七章 线性变换 [教学过程] §1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 一、 定义和例子 定义 设V 是数域P 上的线性空间，A 是V 上的变换，如果 P k V ∈?∈?,,βα，有 ()()() ()() A A A A k kA αβαβαα+=+?= 则称V V A →:为V 上的线性变换。 例1 在R 2中，A 为平面上绕原点逆时钟方向旋转θ角的变换，即 cos sin sin cos x x y y θθθ θ'-?????? = ? ???'?????? 容易验证A 是V 上的线性变换。 例2 P[x]中，令D （f(x)）=f(x)的导数，容易验证A 是V 上的线性变换, 二、几个特殊的线性变换 1、恒等（单位）变换E ：V E ∈?=ααα,)(。 2、零变换0：V ∈?=αα,0)(0。 3、数乘变换k ：V k k ∈?=ααα,)(。 三、性质： 1、)()(,0)0(ααA A A -=-=。 2、若r r k k k αααβ +++= 2211， 则)()()()(2211r r A k A k A k A αααβ+++= 。
3 若r ααα,,,21 线性相关，则)(,),(),(21r A A A ααα 也线性相关。 练习：323P 1。 四、记{}()L V A A V =是的线性变换 1 乘法：对()()()()()A B L V AB A B αα?∈=，，定义可证()AB L V ∈，设A ，B ，C ()L V ∈，有)()(BC A C AB =。 2、定义加法：()()()()αααB A B A +=+，可证()A B L V +∈。 则()L V 也是P 上的线性空间。 （若又有()()CA BA A C B AC AB C B A +=++=+,，则()L V 作成一个环）。 五、逆变换：()A L V ∈若()B L V ?∈，使E BA AB ==，则称A 是可逆的线性变换，而B 称为A 的逆变换，记为1-=A B ，则1-A 也是可逆的线性变换。 特别地：()E A A n A AA A n ==0,,个 ； ()()0,,,≥==+n m A A A A A mn n m n m n m ； ()()+--∈=Z n A A n n ,1。（A 可逆） 六、 ()011a x a x a x f m m m m +++=-- ，A 是线性变换， 则 ()E A A a A a A f m m m m 011+++=-- 称为A 的多项式且()()f A L V ∈。 作业：234P 3，4。 §3 线性变换的矩阵 一、 给定数域P 上的线性空间V ，n εεε,,,21 是V 的一组基，V ∈?ξ， 有n n x x x εεεξ+++= 2211，ξ在n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n x x x 是唯一
第 7章 线性变换 知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈L 。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,αααL 线性相关，那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,αααL 线性无关，那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββL ，12,,,s γγγL 是V 中的两个向量组， 如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L L L L L 记： ()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? L L L L M M M L 于是，若()dim V n =，12,,,n αααL 是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββL 是 V 中任意一组向量，如果：
第 7章 线性变换 7.1知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组， 如果： 记： 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： 记： 那么： 设112111222 212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的