一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 在△COF中， ∵∠OFC+∠OCF=90°， ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH， 在△AEH和△AFH中，
∵ AFH AEH AHF AHE AH AH ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△AEH≌△AFH（AAS）， ∴EH=FH； （3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O的半径为4， ∴CG=4， 连AG， ∵∠BCG=90°， ∴CG⊥x轴， ∴CG∥AF， ∵∠BAG=90°， ∴AG⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AG∥CE， ∴四边形AFCG为平行四边形， ∴AF=CG=4． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C 是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E． （1）求证：AE⊥DE； （2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
相似三角形与圆综合 第一部分：例题分析 例1、已知:如图，ＢＣ为半圆Ｏ的直径,AD⊥ＢC,垂足为D，过点Ｂ作弦BF交ＡD于点Ｅ，交半圆O于点F，弦A Ｃ与BF交于点Ｈ,且AE=BE．求证：（1)错误!=错误!；(2）AＨ·BC＝2AB·BE. 例2、如图，PＡ为圆的切线,A为切点，ＰBＣ为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AＣ于点E，求证：(1)ＡＤ=A Ｅ；(2）ＡB·AE=AC·DＢ. 例３、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙O上,∠BAＣ＝６0°,Ｐ是OB上一点,过P作AB的垂线与ＡC的延长线交于点Q,连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D. (１)求证：△CDＱ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值. 例4、△ＡBＣ内接于圆O，∠BＡC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于Ｆ,连结ＢＤ，ＣＤ. 求证:(１)ＢＤ平分∠CBE;(2)ＡＢ·BF=AF·DC. 例３、⊙O内两弦AB，ＣD的延长线相交于圆外一点E,由Ｅ引AD的平行线与直线BC交于Ｆ,作切线FG，Ｇ为切点,求证：EＦ=FG. 第二部分:当堂练习 1.如图，AＢ是⊙O直径，ED⊥ＡB于D，交⊙O于G,ＥA交⊙O于C，CB交ED于Ｆ，求证：DG2=ＤE?DF 2.如图,弦EF⊥直径MN于H,弦MＣ延长线交EF的反向延长线于A,求证:MA?ＭC＝MB?ＭＤ
D C B A O M N E H 3.如图,ＡB 、AC 分别是⊙Ｏ的直径和弦，点Ｄ为劣弧AC 上一点,弦E Ｄ分别交⊙Ｏ于点E ，交A Ｂ于点Ｈ,交AC 于点F ，过点Ｃ的切线交ＥD 的延长线于点Ｐ. （1)若PC ＝P Ｆ,求证：AB ⊥ED ； （2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD ２ =D Ｅ·DF ，为什么？ 4.如图(1)，AD 是△ABC 的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径,则有结论：AB · AC ＝AE · A Ｄ成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角,其它条件不变，如图(2），则上述结论是否仍然成立？ 5．如图,AD 是△A ＢＣ的角平分线，延长AD 交△A ＢC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结E Ｆ、DF ． (１)求证:△A ＥF ∽△F ＥD ; （2)若AD =8,DE ＝４，求EF 的长. ６．如图，ＰC 与⊙O 交于B ,点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠B ＡＰ. (1）求证:P A 是⊙O 的切线. (2)△ＡＢP 和△CAP 相似吗?为什么？ (3）若ＰB :BC =2:3，且P Ｃ=20,求ＰA 的长. D C B A O E 7.已知：如图, AD 是⊙O 的弦，ＯB ⊥A Ｄ于点Ｅ，交⊙O 于点C ，ＯE =1,BE =8，A Ｅ:A Ｂ=1:３． (１）求证:ＡB 是⊙O 的切线; (2)点F 是A ＣD 上的一点,当∠AOF =2∠Ｂ时,求AF 的长． ８.如图,⊿AB Ｃ内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径,AD ⊥B Ｃ于D ，Ｆ是弧ＢC 中点,且AF 交BC 于E ,A Ｂ=6,AC ＝8，求CD ,DE ，及EF 的长. 9． 已知：如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,4AC =,43BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ,点E 是BC 的中点,连结OD ，OB 、DE 交于点Ｆ． A C P E D H F O
二次函数与圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的 速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 2、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式 （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积． 3、如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作 PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式. 圆中综合题复习专题 第一组 1.若集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y)|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是________． 解：由题意知B ?A.当a<1时，B ＝?，满足题意；当a ＝1时，B ＝{(0，2)}，满足题意；当a>1时，则集合A ，B 分别表示圆面x 2＋y 2≤16与圆面x 2＋(y －2)2 ≤a －1，由题意得B 内含于A ，从而4－a －1≥2，解得a ≤5.综上，a ≤5. 2.已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_____条. 解以A (1,2)为圆心，3为半径的圆A ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，以B (5,5)为圆心，2为半径的圆B ：(x －5) 2＋(y －5)2＝4，根据题意所要满足的条件，则l 是圆A 与圆B 的公切线，因为A (1,2)，B (5,5)两点间的距离d ＝5，即d ＝r 1＋r 2，所以圆A 与圆B 相外切，所以有3条公切线. 3.过点(3，1)作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________． 解：点P (3，1)与圆心C (1，0)PA 2,则以P (3，1)为圆心，以2为半径的圆P 方程为(x －3)2＋(y －1)2 ＝4,则两圆的交点即为A ，B ，两圆相减可得AB 的方程为2x ＋y －3＝0． 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ： ()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22 669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是_______________________． 解：由题意，圆C 与圆C 1和圆C 2的公共弦分别为圆C 1和圆C 2的直径，设C (a ，0），则(a ﹣4)2+(0﹣8)2+1=(a ﹣6)2+(0+6)2+9，∴a =0，∴圆C 的方程是x 2+y 2=81． 5.圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________． 15+，解得a =± 51=-，得0a =.综上 a =±0． 6.在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________． 解:由题意知以A(2，2)为圆心，1为半径的圆与以B(m ，0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2＋ 4<16，所以－23＋2 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， OB OC 5∴==， AB m 5==， OB OC AB ∴==， AOB ∴是等边三角形， AOB 60∠∴=， 1 ACB AOB 302 ∠∠∴==， 故答案为30； ()2①如图2，连接AO 并延长交 O 于D ，连接BD ， AD 为O 的直径， AD 10∴=，ABD 90∠=， 在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3 tan ADB BD 4 ∠∴= =， C ADB ∠∠=， C ∠∴的正切值为3 4 ； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ， AC BC =，AO BO =， CE ∴为AB 的垂直平分线， AE BE 3∴==， 在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=， CE OE OC 9∴=+=， ABC 11 S AB CE 692722 ∴=?=??=； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4， 中考数学圆与相似综合练习题含详细答案 一、相似 1．已知如图 1，抛物线 y=﹣ x2﹣ x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相 交于点 C，点 D 的坐标是（ 0，﹣ 1），连接 BC、 AC （1）求出直线AD 的解析式； （2）如图2，若在直线AC 上方的抛物线上有一点F，当△ ADF 的面积最大时，有一线段 MN=（点 M 在点 N 的左侧）在直线BD 上移动，首尾顺次连接点A、 M、 N、 F 构成四边形 AMNF，请求出四边形AMNF 的周长最小时点N 的横坐标； （ 3 ）如图3，将△ DBC 绕点 D 逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△ DBC为 △DB′，C′若直线 B′与C′直线 AC 交于点 P，直线 B′与C′直线 DC 交于点 Q，当△ CPQ是等腰三角形时，求 CP 的值． 【答案】（1）解：∵抛物线 y=﹣x2﹣x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点， ∴0=﹣ x2﹣ x+3， ∴x=2 或 x=﹣4， ∴A（﹣ 4， 0）， B（ 2， 0）， ∵D（ 0，﹣ 1）， ∴直线 AD 解析式为y=﹣x﹣ 1 （2）解：如图1， 过点 F 作 FH⊥ x 轴，交 AD 于 H， 设 F（m，﹣m2﹣m+3）， H（ m，﹣m﹣ 1）， ∴FH=﹣m2﹣m+3﹣（﹣m﹣ 1） =﹣m2﹣m+4， △ADF △AFH △DFH DA （﹣m 2﹣ m+4） =﹣m2﹣ m+8=﹣（ m+ ∴S=S+S=FH × |x﹣ x |=2FH=2 ）2+ ， 当 m=﹣时， S△ADF最大， ∴F（﹣，） 如图 2，作点 A 关于直线 BD 的对称点 A1，把 A1沿平行直线 BD 方向平移到 A2，且A A =， 12 连接 A2F，交直线 BD 于点 N，把点 N 沿直线 BD 向左平移得点 M，此时四边形AMNF 的周长最小．． ∵O B=2， OD=1， ∴t an ∠ OBD= ， ∵AB=6， 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 图 3 图6 《圆》综合复习测试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．图1是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ） （A ）内含 （B ）相交 （C ）相切 （D ）外离 2．如图2，点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若72AOB ∠=?，则A C B ∠ 的度数是（ ） （A ）18° （B ）30° （C ）36° （D ）72° 3．已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距124O O =cm ，则两圆的位置关系是（ ） （A ）相切 （B ）内含 （C ）外离 （D ）相交 4.如图3，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50o ，则∠C 的度数是（ ） （A ）50o （B ）40o （C ）30o （D ）25o 5.边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） (Ａ) 3 3 (B) 3 (Ｃ)2 3 (Ｄ)2 3 3 6．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为 （ ） (A)3 8 cm (B) 3 16cm (C)3cm (D) 3 4cm 7.如图5，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin∠APO 等于（ ） (A)5 4 (B)5 3 (C)3 4 (D)4 3 8.如图6,AB 是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 9.如图7，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC 夹角为120 ，AB 的长为30cm ，贴纸部分 BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ） 图1 O C B A 图2 P O A · 图5 中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及答案 一、相似 1．如图所示，△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90°， AD⊥ BC， DE⊥ AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF 交 BE、 DE、 DC分别于点 G、 H、I． （1）求证： AF⊥ BE； （2）求证： AD=3DI． 【答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC 的中点， ∴AD=BD=CD，∠ ACB=45 ，° ∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥ AC， ∴A E=CE， ∵△ CDE沿直线 BC 翻折到△ CDF， ∴△ CDE≌ △CDF， ∴C F=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，° ∴C F=AE，∠ ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，° 在△ ABE 与△ ACF中， ， ∴△ ABE≌ △ ACF（SAS）， ∴∠ ABE=∠ FAC， ∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，° ∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，° ∴∠ AGB=90 ，° ∴AF⊥BE （2）证明：作IC 的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠ DEC=∠ECF=∠ CFD=90° ∴四边形 DECF是正方形， ∴EC∥ DF， EC=DF， ∴∠ EAH=∠ HFD， AE=DF， 在△ AEH 与△FDH 中 ， ∴△ AEH≌ △FDH（ AAS）， ∴EH=DH， ∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，° ∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，° ∴∠ AGB=90 ，° ∴AF⊥BE， ∵M 是 IC 的中点， E 是 AC 的中点， ∴EM∥AI， ∴， ∴DI=IM ， ∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI 【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性 质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。 （2）作IC 的中点M ，结合正方形的性质，可证得∠ EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS 证明△AEH 与△ FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。 2．已知：如图，在△ABC 中， AB=BC=10，以 AB 为直径作⊙ O 分别交 AC， BC 于点 D，E，连接 DE 和 DB，过点 E 作 EF⊥ AB，垂足为 F，交 BD 于点 P． 中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题附答案解析 一、相似 1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证： （1）∠OAE=∠OBE； （2）AE=BE+ OE． 【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴OB⊥AC， ∴∠AOB=90°， ∵∠AEB=90°， ∴A，B，E，O四点共圆， ∴∠OAE=∠OBE （2）证明：在AE上截取EF=BE， 则△EFB是等腰直角三角形， ∴，∠FBE=45°， ∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴∠ABO=45°， ∴∠ABF=∠OBE， ∵， ∴， ∴△ABF∽△BOE， ∴ = ， ∴AF= OE， ∵AE=AF+EF， ∴AE=BE+ OE． 【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。 （2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由； （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形， 在中， 分别是的中点， 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 相似与圆综合题目练习 2．(20１3?湛江）如图，已知ＡＢ是⊙O的直径，P为⊙O外一点,且OP∥BＣ,∠Ｐ=∠BAC. （1）求证:PA为⊙Ｏ的切线; (2）若ＯB=5，OP＝，求ＡC的长. 3.（２0１3?营口）如图，点Ｃ是以AB为直径的⊙O上的一点,AＤ与过点Ｃ的切线互相垂直，垂足为点D．(1）求证:AC平分∠ＢAD； （2）若CＤ＝1，ＡC=，求⊙O的半径长． ４．（2013?西宁）如图,⊙O是△AＢC的外接圆,BC为⊙O直径,作∠CAＤ=∠Ｂ，且点D在ＢC的延长线上，CE⊥AD 于点E. （1）求证：AＤ是⊙O的切线； （２)若⊙O的半径为８，ＣE=２，求CD的长． 6．（2013?宁夏）在Rt△ABC中,∠ＡCB=90°，D是AＢ边上的一点,以BＤ为直径作⊙Ｏ交ＡＣ于点Ｅ,连结DＥ并延长,与BC的延长线交于点F.且BＤ=ＢF． (1)求证：AC与⊙O相切． （2）若ＢC=6，ＡB＝1２,求⊙O的面积. 7．(20１3?黄冈)如图，ＡＢ为⊙O的直径，C为⊙Ｏ上一点，AＤ和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且ＡＣ平分∠ＤAＢ． （1)求证:DＣ为⊙O的切线； （２）若⊙Ｏ的半径为3，AD=4，求AＣ的长． ９．(20１3?朝阳)如图,直线AＢ与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB＝8,ＯB=10 (１）求⊙Ｏ的半径． （2)点Ｅ在⊙O上，连接ＡE，ＡC,ＥC，并且AE＝AＣ，判断直线EC与AＢ有怎样的位置关系?并证明你的结论．（3）求弦EC的长. １１.(２０１3?巴中）如图,在平行四边形ABＣD中,过点Ａ作ＡE⊥ＢC,垂足为Ｅ,连接DE,Ｆ为线段ＤE上一点,且∠AFE=∠B （１）求证：△ADＦ∽△DEＣ； （2)若AB=8，ＡＤ=6,ＡF=4,求ＡE的长. 12.（2012?岳阳)如图所示，在⊙O中,=，弦AB与弦AＣ交于点Ａ，弦ＣD与ＡＢ交于点F,连接BC． (1）求证:AＣ2=AB?AF； （2)若⊙Ｏ的半径长为2cm，∠B=６0°,求图中阴影部分面积. 1４．(２0１2?陕西）如图,正三角形ABＣ的边长为3+． (1)如图①，正方形EＦPＮ的顶点E、Ｆ在边AＢ上，顶点N在边AＣ上，在正三角形ＡBC及其内部，以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形Ｅ′F′P′Ｎ′，且使正方形E′F′Ｐ′N′的面积最大（不要求写作法)； (2）求(1)中作出的正方形E′F′Ｐ′N′的边长; (3)如图②,在正三角形ＡBC中放入正方形ＤEMN和正方形ＥFPH，使得DE、EF在边AB上,点Ｐ、N分别在边CB、CＡ上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由. 中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一．教学内容: １．圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (２）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4)圆内接四边形的性质定理及其推论。 （5）切线的性质及判定。 （6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 (9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表： 圆的知识在中考中所占的比例大,题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ? 圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系（这是重点） 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理（这是重点） 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质（这是重点） 切线的判定（这是重点） 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切（这是重点） 外切（这是重点）两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算 圆周长、弧长（这是重点） 圆、扇形、弓形面积（这是重点） 圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【典型例题】 【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点１２０m以外的安全区域。这个导火索的长度为１8cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以1２０m为半径的圆的外部，如图所示: 九年级《圆》测试题 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请选出来） 1．如图，点A B C ，，都在⊙O 上，若34C =o ∠， 则AOB ∠的度数为（ ） A ．34o B ．56o C ．60o D ．68o 2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7， 则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 3．如图，圆内接正五边形ABCD E 中，∠ADB ＝（ ）． A ．35° B ．36° C ．40° D ．54° 4．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b ,,则a 与b 大小为（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ． a ≥b 5．如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，． 已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF ∠等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70° 6．边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ． 2 4 3a B ．2a C ． 2 2 33a D ．233a 7．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方 向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的 方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时 处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ） A ．52° B ．60° C ．72° D ．76° 8．一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） O C B A （第1题图） O A F C E （第5题图） E A B C D （第3题图） （第7题图） 专题三圆压轴题 一、核心讲练 1.如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC=1：2，点D为弧AB的中点，BE⊥CD垂足为E． (1)求∠BCE的度数； (2)求证：D为CE的中点； (3)连接OE交BC于点F，若AB OE的长度． 2.如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点(点C在∠AOD内部)，AD与BC交于点E，AD与OC交于点F． (1)求∠CED的度数； (2)若C是弧AD的中点，求AF：ED的值； (3)若AF=2，DE=4，求EF的长． 3.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC．延长AD到E，使得∠EBD=∠CAB． (1)如图1，若BD AC=6．①求证：BE是⊙O的切线；②求DE的长； (2)如图2，连结CD，交AB于点F，若BD CF=3，求⊙O的半径． 4.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C． (1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由； (2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD～△ACF； (3)点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+1 2 F A的最小值． 二、满分突破 5.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点E 在弧BC 上，AE 交BC 于点D ，EB 2=ED ?EA 经过B 、C 两点的圆弧交AE 于I ． (1)求证：△ABE ∽△BDE ； (2)如果BI 平分∠ABC ，求证=AB AE BD EI ; (3)设O 的半径为5，BC =8，∠BDE =45°，求AD 的长． 圆的综合问题 一、 填空题 1. “k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的 条件. 2. 直线y ＝kx ＋1与圆M ：x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是 . 3. 已知直线y ＝kx ＋1与圆（x －3）2＋（y －2）2＝9相交于A ，B 两点.若AB>4，则实数k 的取值范围是 . 4. 过点P （－4，0）的直线l 与圆C ：（x －1）2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 . 5. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 . 6. （2017·苏北四市期末）已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆 C 2：（x －3）2＋（y －4）2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为 . 7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2＋y 2 ＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 . 8. 在平面直角坐标系xOy 中，过点M （1，0）的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点， 其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为 . 二、 解答题 9. 已知圆C 经过点A （－2，0），B （0，2），且圆心在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点. （1） 求圆C 的方程； （2） 若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值. 2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案） 类型一 与全等结合 1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝ 2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵ 上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数； (2)当点P 移动到劣弧CB ︵ 的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等． 第1题图 (1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝1 2 AB ＝2， ∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝1 2∠AOC ＝30°， 又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°， ∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°； 第1题解图 (2)证明：如解图，连接PB ，OP ， ∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°， 当点P 移动到CB ︵ 的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形， ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径， ∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 与Rt △CPA 中， ? ????AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)． 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ； (3)若sin B ＝4 5 ，求cos ∠BDM 的值． 第2题图 (1)证明：如解图，连接OD ， 中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及详细答案 一、相似 1．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ． （1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF?AD； （2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ． 【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ; ②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°， ∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ， 由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP， (本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP) （2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90° ∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ, 又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ， 由②得∠CBQ=∠CPQ， ∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= . 【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可 得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答 中考数学综合题专题圆专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于 点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于（） （A）3（B）3（C）3（D）3 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的3，那么这个圆 柱的侧面积是（） （A）100π平方厘米（B）200π平方厘米 （C）500π平方厘米（D）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问 题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径 几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足 为E，CE＝1寸，AB＝寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（） （A）3寸（B）13寸（C）25寸（D）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O 于点A，PA＝4，那么PC的长等于（） （A）6 （B）23（C）23（D）23 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5 厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（） （A）2厘米（B）23厘米（C）4厘米（D）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10 厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（） （A）7厘米（B）16厘米（C）21厘米（D）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝3，AO的延长线交BC 于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（） 3（B）3（C）3（D）3 （A） 8．（重庆市）一居民小区有一正多边形的活动场．为迎接“AAPP”会议在重庆市的召开，小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2米的扇形花台，花台都以多边形的顶点为圆心，比多边形的内角为圆心角，花台占地面积共为12π平方米．若每个花台的造价为400元，则建造这些花台共需资金（） （A）2400元（B）2800元（C）3200元（D）3600元 9．（河北省）如图，AB是⊙O直径，CD是弦．若AB＝10厘米，CD＝8厘米，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（） （A）12厘米（B）10厘米（C）8厘米（D）6厘米 10．（河北省）某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为3，AB＝6厘米，点 B到点C的距离等于AB，∠BAC＝3，则工件的面积等于（） （A）4π（B）6π（C）8π（D）10π 11．（沈阳市）如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线且过圆心，PA＝4， PB＝2，则⊙O的半径等于（） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 12．（哈尔滨市）已知⊙O的半径为33厘米，⊙3的半径为5厘米．⊙O与⊙3相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6厘米（圆心O、3在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O3的长为（） （A）2厘米（B）10厘米（C）2厘米或10厘米（D）4厘米 13．（陕西省）如图，两个等圆⊙O和⊙3的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于（）（A）3（B）3（C）3（D）314．（甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝3，则∠ABD＝（） （A）3（B）3（C）3（D）3 15．（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为3，则弧所在的圆的半径 为（） 3（C）12 （D）18 （A）6 （B）6 16．（甘肃省）如图，在△ABC中，∠BAC＝3，AB＝AC＝2，以AB 为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）圆中综合题复习专题
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