第3讲圆
知识点1 圆周角定理
1. 圆的有关概念
（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．
（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．
（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（5）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；
小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．
2. 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．
3. 圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
典例剖析
例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）
A．20°B．70°C．30°D．90°
（例（1）图）（例（2）图）
（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．
跟踪训练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°
（第1题图）（第2题图）（第3题图）
2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°
（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）
A．45°B．60°C．75°D．90°
5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°
（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）
6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°
7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）
A．40°B．50°C．70°D．80°
8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．
9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．
（第9题图）（第10题图）
10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．
知识点2 垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
典例剖析
例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）
A．8B．12C．16D．2
（例（1）图）（例（2）图）
（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．
跟踪训练
1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1
（第1题图）（第2题图）
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
（第1题图）（第2题图）（第3题图）
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．8
3．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）
A．2B．2C．2D．4
（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．
6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．
7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．
知识点3 切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线性质的运用
见切点，连半径，见垂直．
例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）
A．2B．C．D．
跟踪训练
1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）
A．70°B．60°C．55°D．35°
（第1题图）（第2题图）
2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5
过关精练
1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．20°
3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）
A．40°B．50°C．65°D．75°
（第3题图）（第4题图）（第5题图）
4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）
A．54°B．36°C．32°D．27°
6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）
A．B．C．5D．
8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）
A．1B．2C．D．
（第8题图）（第9题图）
9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）
A．2B．2C．3D．4
10．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．
（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．
13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．
（第13题图）（第14题图）（第15题图）
14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．
15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．
（第16题图）（第17题图）
17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．
知识点4 扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．
跟踪训练
1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．
（第1题图）（第2题图）（第3题图）
2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）
A．B．（2﹣）πC．πD．π
3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）
A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π
（第1题图）（第2题图）（第3题图）
2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．+
3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）
A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣2
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）
A．π﹣1B．4﹣πC．D．2
（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣
6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）
A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π
7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．
8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB
上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4
（第8题图）（第8 题图）（第10题图）
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点
A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积
为．（结果保留π）
11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．
（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．
13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．
14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为
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半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
（第14题图） （第15题图）
16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
（第16题图） （第17题图） （第18题图）
17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为 ．
（第19题图） （第20题图）
20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ．
21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD
的长为半径画
弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB
．
为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是
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中考数学专项复习《圆的综合题》练习题(附答案) 一、单选题 1．连接圆上的任意两点的线段叫做圆的（）. A．半径B．直径C．弦D．弧2．如图为△ABC和一圆的重叠情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70∘，∠B=60°，则CD̂的度数为何（） A．50∘B．60∘C．100∘D．120∘3．挂钟分针的长10cm，经过20分钟，它的针尖转过的路程是() A．20π3cm B．10πcm C．20πcm D．5πcm 4．已知，AB是∠O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（） A．∠A+∠B=900B．∠A=∠B C．∠A+∠B＞900D．∠A+∠B的值无法确定 5．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2√3B．3√3C．4√3D．6√3 6．若一圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是() A．40°B．80°C．120°D．150°7．如图，AB是∠O的直径，∠CDB=40°，则∠ABC=（） A．40°B．50°C．60°D．80°
8．如图，在平面直角坐标系中已知B(2，0)，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆 ⌢的长为（）. 上，则FC A．√5π B．√5πC．5π2D．5π2 9．如图所示，矩形纸片ABCD中AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 10．如图，半径为5的⊙O中有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB=CD=8，则OE的长为（） A．3B．√3C．2 √3D．3 √2 11．已知在∠ABC中AB=AC=13，BC=10，那么∠ABC的内切圆的半径为（）A．103B．125C．2D．3 12．如图，AB为∠O直径，∠BCD＝30°，则∠ABD为（）
中考数学复习 圆的基本性质 一、选择题 1．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠OBC ＝50°，则∠A 的度数是( A ) A ．40° B ．50° C ．80° D ．100° 【解析】∠A ＝12∠COB ＝12(180°－2∠OBC )＝1 2 (180°－2×50°)＝40°. ,第1题图) ,第2题图) 2．如图为4×4的网格，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是( B ) A ．△ACD 的外心 B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心 3．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B ) A ．26π B ．13π C.96π5 D.3910π 5 【解析】连结OA ，∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，∴AM ＝1 2AB ＝6，∵OM ∶MD ＝5∶8， ∴设OM ＝5x ，DM ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，∴AM ＝12x ＝6，∴x ＝12，∴OA ＝13 2，∴⊙O 的周 长＝2OA ·π＝13π.故选B. ,第3题图) ,第4题图) 4．如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是弧AB 上一点，则∠ACB ＝( D ) A ．110° B ．120° C ．122° D ．119° 【解析】因为同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以与∠AOB 所对同弧 的圆周角度数为1 2∠AOB ＝61°，由圆内接四边形对角互补，得∠ACB ＝180°－61°＝119°，故 选D.
5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O 的直径AB ＝100，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M (最高点)，此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止．设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是( C ) 【解析】设运动员的速度为v ，则运动的路程为v t ，设∠BOC ＝α，当点C 从B 运动到M 时，∵v t ＝α·π·50180＝5πα18，∴α＝18v t 5π，在直角三角形中，∵d ＝50sin α＝50sin 18v t 5π，∴d 与t 之间的关系d ＝50sin 18v t 5π，当点C 从M 运动到A 时，d 与t 之间的关系d ＝50sin(180－18v t 5π)， 故C 正确． 二、填空题 6．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵ 上一点．若∠OAB ＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC 的大小为__30__度． 【解析】∵∠BAO ＝25°，∠ACO ＝40°，OA ＝OC ，∴∠C ＝∠CAO ＝40°，∴∠CAB ＝∠CAO －∠BAO ＝15°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝30°. ,第6题图) ,第7题图) 7．如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为__70°__． 【解析】∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，∴∠DOE ＝180°－40° ＝140°，∴∠P ＝1 2 ∠DOE ＝70°. 8．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是__52 2 __．
第3讲圆 知识点1 圆周角定理 1. 圆的有关概念 （1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”． 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． （2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦． （3）直径：经过圆心的弦叫做直径． （4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （5）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）； 小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）． 2. 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”． 3. 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 典例剖析 例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（） A．20°B．70°C．30°D．90° （例（1）图）（例（2）图） （2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．
第8讲圆及其基本性质 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习圆及其基本性质，重点掌握圆的有关概念，能够对相关概念进行辨析，其次理解与圆有关的性质、定理及其推论，着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题，本章是中考重点内容之一，也是历年常考难点知识点之一，希望同学们认真学习，为后面的学习奠定良好的基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 圆的相关概念 （1）圆的定义 ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个 端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做 半径，以O点为圆心的圆，记作“①O”，读作“圆O”； ①圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）半径：联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径； （3）直径：经过圆心，并与圆两端相交的线段叫做圆的直径； （4）圆心角：以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角； （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角； （6）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧； （7）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫 做半圆； （8）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
课堂精讲精练 【例题1】 下列说法错误的是（）。 A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】B 【解析】本题考查了与圆有关的概念， A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误； C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确； D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，故选：B． 讲解用时：3分钟 解题思路：根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断。 教学建议：基础概念题，必须熟练掌握。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：江阴市期末年份：2017 【练习1】 下列说法正确的是（）。 A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆 C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【答案】B 【解析】本题考查了与圆有关的概念， A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误； B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确； C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误，故选：B．
圆专题 一、圆的相关概念 1.圆的定义 （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． （2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O ⊙“，读作” 圆O“． （4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2.弦和弧 （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3.圆心角和圆周角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 二、圆的对称性 1.旋转对称性 （1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． （2）圆的旋转对称性?圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2.轴对称性 （1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2）圆的轴对称性?垂径定理． 三、圆的性质定理 1.圆周角定理
中考数学《圆的综合题》专项练习题及答案 一、单选题 1．如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（） A．13B．49C．12D．23 2．如图，AB为⊙O的直径，弦DC垂直AB于点E，⊙DCB=30°，EB=3，则弦AC的长度为 （） A．3 √3B．4√3C．5√3D．6√3 3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB于点D，且AB=6cm，OD=4cm。则DC的长为（） A．cm B．1cm C．2cm D．5cm 4．如图，四边形ABCD内接于⊙ O，AB为⊙ O的直径，∠ABD=20∘，则∠BCD的度数是（）
A．90°B．100°C．110°D．120° 5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则⊙ABD=（） A．⊙ACD B．⊙ADB C．⊙AED D．⊙ACB 6．如图，在⊙O中，弦AB⊙CD，若⊙ABC=40°，则⊙BOD=（） A．20°B．40°C．50°D．80° 7．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个B．2个C．3个D．4个 8．已知如图，PA、PB切⊙O于A，B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则⊙PMN的周长是（） A．7.5cm B．10cm C．15cm D．12.5cm 9．若小李同学掷出的铅球在场地航砸出一个直径为10厘米，深2厘米的小坑，则该铅球的直径为（）
第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d， 则有： ⊙点P在圆外⊙d＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙d＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。
课堂精讲精练 【例题1】 到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ）。 A ．圆的外部 B ．圆的内部 C ．圆 D ．圆的内部和圆 【答案】D 【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系， 根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合； 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合． 所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）． 故选：D ． 讲解用时：3分钟 解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决。 教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。 难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：盱眙县校级月考 年份：2016秋 【练习1】 已知Rt⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=7，CD⊙AB ，垂足为点D ，以点D 为圆心作⊙D ，使得点A 在⊙D 外，且点B 在⊙D 内，设⊙D 的半径为r ，那么r 的取值范围是 。 【答案】 4 947< 初三数学圆精选练习题及答案 1.正确答案为C。圆的切线垂直于圆的半径。 2.正确答案为A。AB＞2CD。 3.图中能用字母表示的直角共有4个。 4.正确答案为B。CD-AB=4cm，根据勾股定理可得AB与CD的距离为14cm。 5.正确答案为120°。圆周角等于弧所对圆心角的两倍，2×60°=120°。 6.正确答案为130°。圆周角等于圆心角的两倍， 2×100°=200°，而∠ACB为圆周角减去弧所对圆心角，200°-70°=130°。 7.正确答案为B。根据正弦定理可得 S AOB=(1/2)×20×20×sin120°=503cm2. 8.正确答案为D。由于OA=AB，所以 ∠OAB=∠OBA=30°，而∠BCO=90°-∠OAB=60°，所以 ∠BOC=2∠BCO=120°。又因为∠XXX∠OCA=30°，所以 ∠AOC=120°，所以∠BOD=60°-∠OAB=30°， ∠XXX∠OED=∠XXX°。 9.正确答案为A。根据勾股定理可得d=20√3，所以 R2=(d/2)2+202=400，r2=(d/2)2+102=100，所以R=20，r=10， 两圆内切。 10.正确答案为225°。圆锥的侧面展开图为一个扇形，圆 心角为360°-2arctan(5/3)，约为225°。 11.若一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 $120^\circ$。 12.在圆 $\odot O$ 中，若直径 $AB=10$ cm，弦 $CD=6$ cm，则圆心 $O$ 到弦 $CD$ 的距离为 $2\sqrt{19}$ cm。 13.在圆 $\odot O$ 中，弦 $AB$ 所对的圆周角等于其所在 圆周的一半。 14.如图所示，圆 $\odot O$ 中，$AB$、$CD$ 是两条直径，弦 $CE\parallel AB$，且 $\angle EOC=40^\circ$，则 $\angle BOD=140^\circ$。 15.点 $A$ 是半径为 $3$ 的圆外一点，它到圆的最近点的 距离为 $5$，则过点 $A$ 的切线长为 $4\sqrt{2}$。 中考数学复习《圆》专题训练-附带有参考答案 一、选择题 1．下列语句：①长度相等的弧是等弧；②过平面内三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于弦；④90°的圆周角所对的弦是直径；⑤等弦对等弧.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠C ＝44°，则∠AOB 的大小为（ ） A ．22° B ．88° C ．66° D ．70° 3．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则弧长为（ ） A ．2π3cm B ．2πcm C ．4cm D ．π3cm 4．如图，⊙O 中，弦AB ⊥CD 于 E ，若∠A =30°，⊙O 的半径等于6，则弧AC 的长为（ ） A ．6π B ．5π C ．4π D ．3π 5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B.若P =60∘，则AB ⌢的长为（ ） A ．133π B ．136π C ．6π D ．52π 6．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ⌢的中点，点 E 是BC ⌢上的一点，若∠ADC =110°，则∠DEC 的度数是（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55° 7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（） A．√3B．3 C．2√3D．√6 8．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（） A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2 二、填空题 9．如图，AB，CD是⊙O的弦，连结AD，延长AB，CD相交于点P，已知∠P=30°，∠ADC=40°，则BD 的度数是. 10．如图，AB为⊙O的切线点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=25°则∠ABO的度数为． 11．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若⊙O半径是4，∠B＝22.5°，那么BC的长是． 人教版九年级数学中考圆的有关概念及性质专项练习 基础达标 一、选择题 1. (2018广西贵港)如图,点A,B,C均在☉O上,若∠A=66°,则∠OCB的度数是() A.24° B.28° C.33° D.48° ∠A=66°,∴∠COB=132°. ∵CO=BO, ∴∠OCB=∠OBC=1 (180°-132°)=24°, 2 故选A. 2. (2018江苏盐城)如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为() A.35° B.45° C.55° D.65° ,∠ABC=∠ADC=35°, ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CAB=90°-∠ABC=55°, 故选C. 3. (2018湖北襄阳)如图,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为() A.4 B.2√2 C.√3 D.2√3 OA⊥BC, ∴CH=BH,AA ⏜, ⏜=AA ∴∠AOB=2∠CDA=60°, ∴BH=OB·sin∠AOB=√3,∴BC=2BH=2√3,故选D. 二、填空题 4.如图,☉O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C=25°,则∠ADC=. ∠C=25°, ∴∠A=∠C=25°. ∵☉O的直径AB过弦CD的中点E, ∴AB⊥CD,∴∠AED=90°, ∴∠D=90°-25°=65°. 5. (2018江苏扬州)如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=. √2 AD,BD,OA,OB, ∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°, ∵OA=OB=2,∴AB=2√2. 三、解答题 6. “今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深1寸,锯道长一尺,问径几何?”这是《九章算术》中的问题,用现在的数学语言可以表述为:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长. ,连接OA,根据垂径定理,得AE=5寸. 在Rt△AOE中,设OA=x寸,则OE=(x-1)寸,根据勾股定理有52+(x-1)2=x2,解得x=13,所以直径CD=26寸. 7. (2018浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC. (1)求证:AE=ED; ⏜的长. (2)若AB=10,∠CBD=36°,求AA AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°, 即OC⊥AD,∴AE=ED. OC⊥AD,∴AA ⏜, ⏜=AA ∴∠ABC=∠CBD=36°, ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°, 夯实基础2023中考数学专题——圆习题精选一 一、单选题 1．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（） A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm 2．如图，正方形ABCD内接于⊙O ，点P在AB⌢上，则∠P的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC 相切，则⊙O的半径为（） A．2√3B．3C．4D．4-√3 4．下列语句中，正确的是（） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 5．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（） A．3cm B．√6cm C．2.5cm D．√5cm 6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（） A．2√13 13B．3√13 13 C．23D．32 7．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（） A．2B．√3C．√2D．12 8．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是（） A．DC＝DT B．AD＝√2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC 9．如图，等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（） A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小 C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小10．欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图，解法是：画Rt△ABC，使 ∠ACB＝90°，BC＝a 2，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝ a 2.则该方程的一个正根 是() A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长 11．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（） 专题八圆 图2E D C B A o A B C 第5 A B C 第6 O D E 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：〔1〕圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高) 〔2〕圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21 =πrR. 〔L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径〕 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形.2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心； 三角形的心 ⇔ 两角平分线的交点 ⇔ 三角形的切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系：〔其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径〕 直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：〔其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r 〕 两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆切 ⇔ d=R-r ； 两圆含 ⇔ d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用："交点连半径证垂直〞和"不知交点作垂直证半径〞 的方法加辅助线. 圆中考专题练习 一：选择题。 1. 〔2010红河自治州〕如图2，BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，假设∠AOD=60°，则∠DBC 的度数 为〔 〕 A.30° B.40° C.50° D.60° 2、〔11〕．如上图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝ 120°，则弦AB 的长是〔 〕． 〔A 〕22 〔B 〕32 〔C 〕5 〔D 〕53 3、〔2011省〕9.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有〔 〕 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、〔2011〕，〕如下图，在圆O 有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为〔 〕 A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 5、〔11·〕如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，假设把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于〔 〕 A ．6π B ．9π C ．12π D ．15π 6、〔2010·〕．如图，⊙O 的直径AB ⊥弦CD 于点 E ．以下结论中一定．． 正确的选项是〔 〕 初三数学中考复习 圆专题训练题 一、选择题 1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵ ，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( D ) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30° 2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D ) A ．15° B ．30° C ．60° D ．75° 3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB＝30°，AB＝3，则阴影部分的面积是( C ) A. 3 2 B. π 6 C. 3 2－ π 6 D. 3 3－ π 6 4．已知⊙O的半径为10 cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm，则AB和CD 的距离为( C ) A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．10 cm或20 cm 5．如图，从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是( C ) A．12 cm B．6 cm C．3 2 cm D．2 3 cm 二、填空题 6．如图，⊙O的直径CD＝20 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM ＝6 cm，则AB的长为__16__cm. 7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝__125°． 8．如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA ＝13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵ 的长是__10π__cm(计算结果保留π)． 9．如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，若弦CD ＝2，则图中阴影部分的面积为__2π 3__． 圆 一、选择题 1．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A．50°B．80°C．90°D．100° 2．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（） A． cm B．9cm C． cm D． cm 3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离 4．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（） A．B． C．D． 5．如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（） A．2 B．2C．D．2 二、填空题 7．如图，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=3cm，则劣弧的长为cm． 8．如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为度． 9．如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2（结果保留π）． 10．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A=36°，则∠C= 度． 11．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为cm． 12．如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离和． 三、解答题 13．在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E． （1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； （2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求的值． 九年级数学中考复习《圆》解答综合练习题（附答案） 1．如图，△ABC中，∠A＝45°，D是AC边上一点，⊙O过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）OD，AB相交于点E，若AB＝AC，OD＝r，写出求AE长的思路． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC＝∠A； （2）若CE＝4，DE＝2，求⊙O的直径． 3．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，直线CG与⊙O相切于点C，CG∥AE，CG与BA 的延长线交于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F． （1）求证：＝； （2）若∠EAB＝30°，CF＝a，写出求四边形GAFC周长的思路． 4．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM． （1）求证：AM＝BM； （2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长． 5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF． （1）求证：DF＝2CE； （2）若BC＝3，sin B＝，求线段BF的长． 6．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ． （1）求证：RQ是⊙O的切线； （2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2； （3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围． 7．如图，AB＝AC，AB是直径，求证：BC＝2DE． 8．如图，△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作⊙O的切线DE，使DE⊥AC于E． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，连接FH，若BC＝4，求FH的长． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F． （1）求证：DF⊥AC； （2）如果sin C＝，AE的长为2．求⊙O的半径． 10．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若∠EAB＝30°，CF＝2，求AG的长． 11．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．（1）求证：DE⊥BC； （2）如果DE＝2，tan C＝，求⊙O的直径． 初中数学专项练习《圆》100道解答题 包含答案 一、解答题(共100题) 1、如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD． 2、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长． 3、四边形ABCD中，AB∥ DC ， BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD 的长. 图24-1-4-11 4、如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米． （1）求此圆形门洞的半径； （2）求要打掉墙体的面积． 5、如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD． 求证：CD为⊙O的切线． 6、如图，△OAB的底边与⊙O相切，切点为C，且OA=OB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点，D、E分别为OA、OB的中点。 （1）求的度数； （2）若阴影部分的面积为，求⊙O的半径r 7、如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=4 ，求⊙O的半径． 8、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P。 （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若OC＝CP，AB＝3，求CD的长。 9、如图Rt中，∠A=30°，OB=2，如果将Rt在坐标平面内，绕原点O按顺时针方向旋转到的位置． （1）求点的坐标． （2）求顶点A从开始到点结束经过的路径长． 10、如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度） ①请画出△A 1B 1 C 1 ，使△A 1 B 1 C 1 与△ABC关于原点对称； ②将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 2B 2 C 2 ，并直接写出 线段OB旋转到OB 2 扫过图形的面积． 11、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？ 中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础） 【考纲要求】 1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、圆的有关概念 1. 圆的定义 如图所示，有两种定义方式： ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径； ②圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.与圆有关的概念 ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦． ③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ， BAC ． ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． ⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角． ⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角． 考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理 ①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧． ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示： 要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相 圆【1】 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 五．圆内接四边形 六．会用切线, 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学） 十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 2022年中考数学《圆》专题训练及答案 一．选择题（共25小题） 1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB ̂上，则∠BPC的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．90° 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（） A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinα C．AE＝m•cosαD．S△COD=1 2m 2•sinα 3．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC=√3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（） A．πB．π+3√3 4C． 3√3 2 D．2π 4．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（） A．60°B．70°C．80°D．90° 5．如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE ̂的度数 为（ ） A ．50° B ．25° C ．80° D ．65° 6．如图，六边形ABCDEF 是正六边形，点P 是边AF 的中点，PC ，PD 分别与BE 交于点M ，N ，则S △PBM ：S △PCD 的值为（ ） A ．1 2 B ．2 3 C ．1 4 D ．3 8 7．如图，三角形纸片ABC 的周长为24cm ，⊙O 是△ABC 的内切圆，华华用剪刀在⊙O 的左侧沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一个周长为8cm 的△AMN ，那么BC 的长是（ ） A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．根据MN 位置的不同而变化 8．如图，⊙O 是正方形ABCD 的内切圆，切点分别为E ，F ，G ，H ，ED 与⊙O 相交于点M ，则tan ∠MFG 的值是（ ） A ．1 3 B ．1 2 C ． √55 D ． 2√55 9．如图，等边三角形的边长为a ，高为h ，内切圆、外接圆的半径分别为r ，R ，则下列结论不正确的是（ ）初三数学圆精选练习题及答案
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