圆章节复习
课前测试
【题目】课前测试
如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．
【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，
∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB==2，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=AB=；
（3）如图（3），连接OC，
∵BD=x，
∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，
∴OE=OF+EF=+=
∴y=DF•OE=••
=（0＜x＜）．
总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．
【难度】4
【题目】课前测试
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；
【解析】（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，
∴OD=3；
（2）连接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，
∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴=，即=，
∴AC=7.5，
∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
=×2×3+×3×4.5﹣
=3+﹣
=．
总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
【难度】4
知识定位
适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下
知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三
部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。适用对象：成绩中等以及中等以下
注意事项：大部分学生试听这个内容主要想听一轮复习专题：圆
重点选讲：
①圆的有关性质
②与圆有关的位置关系
③圆的相关计算
知识梳理
知识梳理1：圆的有关性质
1.圆的相关概念
（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
（2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．
（3） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，
读作 弧AB ．
（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
（5） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （6） 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆；
（7） 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆是中心
对称图形，对称中心是圆心。 2.垂径定理
推论1
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分
弦，并且平分弦所对的另一条弧；
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即在⊙O 中，∵AB ∥CD ， ∴弧AC =弧BD
3.圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）
（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的
弦的弦心距相等．
（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
4.圆周角定理
（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． （3） 圆内接四边形性质（四点共圆）： 圆内接四边形的对角互补
O E
D
C
B
A
O
C
D
A
B
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推
出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD
注意：
①前提条件是在同圆或等圆中；
②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．
知识梳理2：与圆有关的位置关系
1.点和圆的位置关系
（1）设o 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：
点P 在圆外d r ⇔＞；
点P 在圆上d r ⇔=；
点P 在圆内d r ⇔＜
（2）确定一个圆有两个基本条件：
①圆心(定点)，确定圆的位置；
②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． （3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆
（4）经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆
的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 （5）三角形外心的性质：
➢ 外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ➢ 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但
一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
➢ 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点
处(直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
2.直线与圆的位置关系
直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点； 直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点； 直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；
r
d d C
B
A
O
d
r
d=r
r
d
3.切线的性质与判定
（1）切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定：
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）切线长和切线长定理：
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，
叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角．
（4）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
知识梳理3：圆的相关计算
1.圆内正多边形的计算
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心
正多边形的半径：多边形的一边到中心的距离外接圆的半径
正多边形的中心角：正多边形每一遍所对的圆心角
边心距：正多边形的一边到中心的距离
（1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.
2.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，
弧长公式：π180
n R l = 扇形面积公式：21π3602
n S R lR ==扇形 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+
圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线)
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
D C B A O
E C B A D O B
A
O
例题精讲
【题目】题型1：圆的有关性质
下列语句中不正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个B．2个C．1个D．4个
【答案】D
【解析】①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．
总结：在叙述命题时注意要强调命题成立的条件．
【难度】2
【题目】题型1变式练习1：圆的有关性质
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
【答案】78°；∠1=∠2．
【解析】（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
总结：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
【难度】3
【题目】题型1变式练习2：圆的有关性质
如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
【答案】BE=CE；四边形BFCD是菱形；2．【解析】（1）证明：∵AD是直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中
，
∴△BED≌△CEF，
∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，
∵∠AEC=∠CED，∠CAE=∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
∴=，
∴CE²=DE•AE，
设DE=x，
∵BC=8，AD=10，
∴42=x（10﹣x），
解得：x=2或x=8（舍去）
在Rt△CED中，
CD===2．
总结：本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
【难度】4
【题目】题型2：与圆有关的位置关系
如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
【答案】直线PB与⊙O相切；
【解析】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62，
解得x=．
则EC=2x=．
总结：此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．【难度】3
【题目】题型2变式训练1：与圆有关的位置关系
如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
【答案】直线DE与⊙O相切，DE=4.75．【解析】
（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
总结：此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．
【难度】3
【题目】题型2变式训练2：与圆有关的位置关系
如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．
【答案】直线BC是⊙O的切线；AO=3．
【解析】（1）连接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△DOB与△COB中，
，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB=∠ODB，
∵BD切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴AC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）∵∠DEO=∠2，
∴tan∠DEO=tan∠2=，
设；OC=r，BC=r，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD=BC=r，
由切割线定理得：AD2=AE•AC=2（2+2r），∴AD=2，
∵DE∥BO，
∴，
∴，
∴r=1，
《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 ?点A在圆外； 3、点在圆外?d r 三、直线与圆的位置关系 >?无交点； 1、直线与圆相离?d r
=?有一个交点； 2、直线与圆相切?d r +； 外离（图1）?无交点?d R r =+； 外切（图2）?有一个交点?d R r -<<+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r =-； 内切（图4）?有一个交点?d R r <-； 内含（图5）?无交点?d R r 五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论 中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理
九年级数学下册第三章圆知识总结北师大版 年级： 姓名：
圆的知识总结 24.1 圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母O表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr2，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 周长计算公式
圆章节复习 课前测试 【题目】课前测试 如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）． 【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC， ∴BD=BC=， ∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的． 连接AB，则AB==2， ∵D和E分别是线段BC和AC的中点， ∴DE=AB=； （3）如图（3），连接OC， ∵BD=x， ∴OD=， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=45°， 过D作DF⊥OE． ∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==， ∴OE=OF+EF=+= ∴y=DF•OE=•• =（0＜x＜）．
总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等． 【难度】4 【题目】课前测试 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和． 【答案】OD=3；AE是⊙O的切线； 【解析】（1）∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB， 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==， ∴OD=3； （2）连接OE， ∵AE=OD=3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO，
九年级下册第三章圆 【知识梳理】 一、圆的认识 1. 圆的定义： 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心 ．．；以点O为圆心的圆，记作⊙ ．．；线段OA叫做半径 O，读作“圆O” 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ．．．．，圆 ．．，定长叫做圆的半径 心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆 ．．。 对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面； ②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 2、与圆相关的概念 ①弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。 直径：经过圆心的弦叫做直径 ．．。 ②弧、半圆、优弧、劣弧： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为 “”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆 ．．。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧 ．．。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 ．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 ．．。 ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆 ．．．。 ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 ．．。 ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ．．．. ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距 ．．．. 3、点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d
题型全解10 圆动点的运动路径问题 【思路梳理】 1.两种运动情形：①运动轨迹是直线型；②运动轨迹是圆弧型 2.解析技巧：抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束位置），并把这三点连线，确定运动路线，再求出它的长度； 【典型例题】 1.正方形ABCD的边长为4cm，点P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，连接AQ，当点P从B点运动到C点时，线段AQ的中点所经过的路径长为_____ 思路分析： 抓住点O运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。 ①初始位置：点P的初始位置是点B，此时Q与C重合，AQ与对角线AC重合，AQ的中点O即为正方形对角线的中点O`； ②任意位置：题目给的图形即是点O运动的任意位置； ③结束位置：当P与C重合时，AP与AC重合，Q是PQ⊥AP的垂足，所以Q与C、P重合，AQ与AC重合，AQ的中点O仍是正方形对角线的中点O`， 把以上三个位置连线，可知线段AQ的中点O的运动轨迹是O`---O----0`这条线段上运动，而CQ的长度也是由小到大再到小的变化，则OO`是中位线，所以，当CQ有最大值时，OO`也有最大值.由于图中出现了“一线三直角”的典型模型，我们可以用代数办法来求CQ的最大值。 解题过程： 如图，连接AC，取AC的中点O`，取AQ的中点O，连接OO`，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，∵△ABP∽△PCQ，∴AB:PC=BP:CQ,即4:(4-x)=x:y,∴y=-0.5x*2+x=-0.5+1(0 一、考点突破 1. 了解圆内接正多边形的有关概念。 2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。 3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。 二、重难点提示 重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。 难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。 考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。 ② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。 AOB 叫做这个正五边形的中心角。 A E 【要点诠释】 ① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 ② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等） 2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系 ① 正三角形——在中进行：； ② 正四边形——在中进行，； ③ 正六边形——在中进行，。 D E O C O B O D B A C A A B 【规律总结】 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ） 2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。 典例精讲 例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ） A. 5：4 B. 5：2 C.：2 D.： 思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。 答案：解：如图1所示，连接OD ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB ＝∠ABO ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝1， ∵∠AOB ＝45°，∴OB ＝AB ＝1， 由勾股定理得：OD ＝＝，∴扇形的面积是＝π； 如图2所示，连接MB 、MC ， ∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形， ∴∠BMC ＝90°，MB ＝MC ，∴∠MCB ＝∠MBC ＝45°， ∵BC ＝1，∴MC ＝MB ＝，∴⊙M 的面积是π×（）2＝π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是。 故选A 。 题型全解3 五大性质定理之圆心角定理 【知识梳理】 1.圆心角定理（附：顶点在圆心的角叫圆心角）-----“知一推三”： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（一般指劣弧）、两条弦、对应弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 简记为：等圆心角 等弦心距。（知一推三） 例:只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， ①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 2. 解析注意： ①一个知识点：知一推三； ②一个注意点：在同圆或等圆中； ③一条思路线：从等弧的角度思考等边（弦）、等角（圆心角）之间的关系 3.注意圆心角与圆周角综合运用题型 （1）圆周角与圆心角关系：等弧或同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 即：如图，∠BOC=2∠A 注意：①熟悉三个位置图 ②熟悉四个辅助线图（特别注意3、4图，圆周角定理与垂径定理结合图） 31 3.圆心角与圆周角关系 圆心角在圆周角边上 圆心角在圆周角外部圆心角在圆周角内部O A C O A B C B A O B A O 【典型例题】 1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO=（） 解析：∵弧BC=弧CD=弧DE，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°,∴∠AOE=78°,∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO=51° 2.如图，B是劣弧AC的中点，已知∠BAO=65°,则∠BCO=_____________ 解析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=65°,∴∠AOB=50°,∵弧AB=弧BC，∴∠BOC=∠AOB=50°,∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=65°. 3．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为． 解析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长C B A O 北师大版九年级下册数学第三章圆含 答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，⊙ 与正方形的两边相切，且与⊙ 相切于点.若，，则⊙ 的半径为（） A. B. C. D. 2、如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（） A. B. C. D. 3、已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 ；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则 ，其中，真命题的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=62°，则∠CAO的度数是（） A.28° B.30 ° C.31 ° D.62 ° 5、如图，A为⊙O外一点，AB与⊙O相切于B点，点P是⊙O上的一个动点，若OB＝5，AB＝12，则AP的最小值为（） A.5 B.8 C.13 D.18 6、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（） A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm 7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（） A. B. C. D. 8、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠ACB=110°，则∠P的度数是（） A.55° B.30° C.35° D.40° 9、如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（） A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 10、如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，PO与AB相交于点C， ，，则OC的长等于 A. B.3 C. D. 11、如图，内接于⊙ , ，则的度数为（） A.110° B.115° C.120° D.125° 第04讲_圆内接正多边形 知识图谱 正多边形和圆 知识精讲 一. 正多边形的概念及性质 1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 2. 正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 补充说明：正多边形的性质： （1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形； （2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴； （3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 二. 正多边形与圆的关系 1. 把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆． 三. 正多边形有关的计算 1. 正n边形的每个内角都等于()2180 n n -⋅︒ ； 2. 正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360 n ︒ ； 3. 设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n d ，周长为n C ，面积为n S ；则： 22 2111422 n n n n n n n n n R d a C na S n d a d C =+==⋅⋅=⋅，， 三点剖析 考点：正多边形的概念、性质及相关计算 重难点：正多边形相关计算． 易错点：对正多边形相关的概念混淆不清． 正多边形的相关概念 例题1、 下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120︒的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________． 【答案】 ②⑤ 【解析】 ①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可． 例题2、 若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 B 【解析】 由于任意多边形的外角和均为360°，所以这个正多边形的边数为360 660 =，所以正六边形的中心角的度 数为360606 ︒=︒． 例题3、 正六边形的边心距与边长之比为（ ） A.3：3 B.3：2 C.1：2 D.2：2 【答案】 B 【解析】 此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a ，由勾股定理即可求得OC 的长，继而求得答案． 如图：设六边形的边长是a ， 则半径长也是a ； 经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ， 则AC=12AB=1 2 a ， ∴OC=22OA AC -=3 2 a ， a n d n R O C B A 专题2 圆相关的概念及性质 （一）圆的定义 1.圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 注： ①确定圆需要两个因素，一是圆心，二是半径。圆心确定位置，半径确定其大小。 ②圆是一条封闭曲线，曲线是圆周，而不能认为是圆面. ③“圆上的点”指圆周上的点。 （二）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内⇔d ＜ r ； 点P在圆上⇔d = r ； 点P在圆外⇔d ＞r. 说明：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 注：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； （三）与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆知识精讲 弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 注：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 注：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心且角的两边与圆相交的角叫做圆心角. 注：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 6.弧、弦、圆心角的关系 （1）圆心角与弧的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等． 注：①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （四）确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. （4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心， 这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 章末复习 【知识与技能】 1.掌握圆的相关概念和定理； 2.圆的相关概念和定理的应用. 【过程与方法】 通过对本章知识的系统复习，使学生对本章知识能够全面的了解，掌握. 【情感态度】 在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决圆的相关问题的一般方法. 【教学重点】 掌握圆的相关概念和定理. 【教学难点】 圆的相关概念和定理的应用. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解 1.圆的定义 2.与圆相关的概念： ①弦和直径 ②弧、半圆、优弧、劣弧 ③等圆 ④等弧 ⑤圆心角 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 3.垂径定理 垂径定理推论 4.定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 5.圆周角的定义 6.圆周角定理及讨论 7.确定圆的条件 8.直线与圆的位置关系 9.点与圆的位置关系 10.切线的性质定理及推论 11.三角形的内切圆、内心 12.正多边形与圆的关系 13.弧长及扇形的面积 【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步理解本章知识. 三、典例精析，复习新知 1.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点∠BAC=70°，则∠OCB=________. 解:20° 2.如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB =30°，则 BC=________cm. 第三章圆 1 圆 2 圆的对称性 *3 垂径定理 4 圆周角和圆心角的关系 5 确定圆的条件 6 直线和圆的位置关系 *7 切线长定理 8 圆内接正多边形 9 弧长及扇形的面积 一．圆 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心 ；线段OA叫 ．． ；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O” 做半径 ．． ，定长集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ．． ，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做圆的半径 ．．．． 。 叫做定圆 ．． 对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面； ②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 ※2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上<===> d=r; ②点在圆内<===> d 系统地归纳总结本章的知识内容. 通过系统地归纳总结本章的知识内容,学会整理归纳知识的方法,使其条理化、系统化. 通过对圆与各种图形位置关系的复习,认识事物之间是相互联系的,通过运动和变化,知道事物之间可以相互转化. 【重点】 1.垂径定理的应用,相等的弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系应用. 2.掌握切线的性质及判定并能熟练应用其解决与圆有关的问题. 【难点】应用圆的有关性质及推论与解直角三角形、相似三角形的知识相结合解决问题. 圆 一、圆及其相关概念 1.概念:圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径. 2.相关概念:弦、直径、圆弧(优弧、半圆、劣弧)、等圆、等弧. 二、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形. ①对称轴:直径所在的直线; ②垂径定理及其逆定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. (2)圆是中心对称图形. ①对称中心:圆心. ②性质: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等; 如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,那么其余各组量都分别相等. 三、圆周角与圆心角的关系 (1)圆周角概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角. (2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (3)圆周角定理推论: ①同弧或等弧所对的圆周角相等. ②直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. (4)圆内接四边形. ①概念:顶点都在圆上的四边形是圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. ②性质:圆内接四边形对角互补. 四、确定圆的条件 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. (2)三角形的外接圆. ①三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆. ②外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.它到三角形三个顶点的距离相等. ③位置:锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边中点;钝角三角形的外心在三角形的外部. 五、与圆有关的位置关系 (1)点和圆的位置关系: 点在圆外⇔d>r;点在圆上⇔d=r;点在圆内⇔d 北师大版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积； 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形， 对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点12n A A A 、、在同一个圆上的方法 当 时， 在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离 . (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切. (3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： 圆心角与圆周角的关系 课前测试 【题目】课前测试 如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN． 求证：（1）M为BD的中点； （2）． 【答案】（1）M为BD的中点；（2）． 【解析】 证明： （1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA． 又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN， ∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM． ∴△BAM∽△CBM， ∴，即BM2=AM•CM．① 又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB， ∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM， ∴△DAM∽△CDM， 则，即DM2=AM•CM．② 由式①、②得BM=DM， 即M为BD的中点． （2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP． ∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC． ∵PC∥BD， ∴．③ 又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB， ∴∠ABC=∠MCP． 而∠ABC=∠APC， 则∠APC=∠MCP， 有MP=CM．④ 由式③、④得． 总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4 【题目】课前测试 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 【答案】等边三角形；CP=BP+AP； 当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】 证明：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中 ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）在PC上截取PD=AP，如图1， 又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 正多边形与圆的相关计算 课前测试 【题目】课前测试 如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE． （1）求∠AED的度数． （2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度． 【答案】∠AED=45°；DE =。 【解析】 （1）如图1中，连接OA、OD． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOD=90°， ∴∠AED=∠AOD=45°． （2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H． ∵BF∥DE，AB∥CD， ∴∠ABF=∠CDE， ∵∠CFA=∠AEC=90°， ∴∠DEC=∠AFB=135°， ∵CD=AB， ∴△CDE≌△ABF， ∴AF=CE=1， ∴AC==， ∴AD=AC=， ∵∠DHE=90°， ∴∠HDE=∠HED=45°， ∴DH=HE，设DH=EH=x， 在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2， ∴=（4﹣x）2+x2， 解得x=或（舍弃）， ∴DE=DH= 总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。 【难度】4 【题目】课前测试 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°． （1）求tan∠OAB的值； （2）计算S△AOB； （3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形） 【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB． ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=60°． ∴OC=1，AC=． ∴tan∠OAB=． 《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积； 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点12n A A A L 、、在同一个圆上的方法 当 时， 在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切. (3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
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