一元函数积分学在经济中的应用
一、导数在经济分析中的应用
（一）边际成本
总成本函数的导数称为边际成本。
边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数，用以判断增减产量在经济上是否合算。它是在管理会计和经营决策中常用的名词。当产量未达到一定限度时，边际成本随产量的扩大而递减，但当产量超越一定限度时，就转而递增。因此，当增加一个单位产量所增加的收入高于边际成本时，是合算的；反之，是不合算的。因此计算边际成本等于边际收入时，为企业获得其最大利润的产量。通过确定边际成本来提供经营决策所需资料的成本决策，称为边际成本计算。在实际工作中，边际成本计算常只按变动成本计算。
（二）边际收益
总收益函数的导数称为边际收益。
它表示销售一个单位产品后，再销售一个单位的产品所增加的收益。它可以是正值或负值。边际收益是厂商分析中的重要概念。利润最大化的一个必要条件是边际收益等于边际成本。在完全竞争条件下，任何厂商的产量变化都不会影响价格水平，需求弹性对个别厂商来说是无限的，总收益随销售量增加同比例增加，边际收益等于平均收益，等于价格。在非完全竞争）条件下，厂商的销售量同价格成反比。如果需求弹性大于1，即售量的增加的百分比，快于价格降低的百分比，总收益随销售量增加而增加，尽管不是同比例增加，平均收益下降，边际收益为零；如果需求弹性小于1，这时总收益随销售量增加而减少，平均收益更快下降，边际收益为负数。
（三）边际利润
总利润函数的导数称为边际利润。它表示：若已经生产了x个单位的产品，再生产多一个单位的产品总利润的增加量。
边际利润是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益。销售单价扣除边际成本即为边际利润，边际利润是指增加单位产量所增加的利润。企业的经营收益减去会计成本，所得到的就是会计利润。按照我国的财会制度，有销售利润、利润总额及税后利润等概念。销售利润是销售收入扣除成本、费用和各种流转税及附加费后的余额；利润总额是企业在一定时期内实现盈亏的总额；税后利润是企业利润总额扣除应缴所得税后的利润。
一般情况下，总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差，则边际利润是边际收益与边际成本之差。
二、函数在经济学中的应用。
需求函数。在经济管理中，需求函数是用来表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说，影响需求数量的各种因素是自变量，需求数量是因变量。需求函数是单调减少函数。
供给函数。供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。
均衡价格。均衡价格是指一种商品的需求价格和供给价格相一致时的价格，也就是这种商品的市场需求曲线与市场供给曲线相交时的价格。
所谓需求价格，是指消费者对一定量商品所愿意支付的价格。在其他条件不变的情况下，市场上对某种商品的需求一般与其价格呈反方向运动。即价格上涨，需求量下降；价格下跌，需求量增加。在其他条件不变的情况下，商品的供给与其价格呈同方向运动。即价格上涨，供给增加；价格下跌，供给减少。当然，影响需求与供给变动的因素不仅仅是价格。影响需求变化的其他因素还有还有消费者收入、代替品价格、互补品价格、对未来价格的预期等；影响供给变化的其他因素还有生产技术水平、生产要素价格、相关商品价格等。这些因素变化了，会导致需求曲线和供给曲线发生位移，从而也会使均衡价格发生变化。但是，在均衡价格下，供求相等并不意味着所有商品都找到了买主或所有需要这种商品的人都得到了满足。一部分消费者可能认为这种均衡价格太高而放弃或减少购买；一部分生产者可能觉得这种均衡价格太低而减少生产或增加库存。
某商品在价格水平下，商品的社会需求量和商品的供给量达到平衡，则称为均衡价格。在同一坐标系中作出需求曲线和供给曲线，二者相交点称为供需平衡点。
成本函数。成本函数指在技术水平和要素价格不变的条件下，成本与产出之间的相互关系。成本理论主要分析成本函数。成本函数是一个变量为产量的函数式。
企业为提高经济效益降低成本，通常需要考察分摊到每个单位产品中的成本，即平均成本，以评价企业生产经营管理状况。
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
第三章 一元函数积分学 一．不定积分 例1：设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?，求?dx x )(?（答案： C x x +-+1ln 2） 例2：已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数，求?dx x f x )('3（答案： C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2） 例3：设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ，求?dx x f )( 例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4 2 )1(= F ，若当0>x 时，有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ，求)(x f 。（答案：) 1(21)(x x x f += ） 例5：求? dx x x )1,,max(23 例6：求?dx e e x x 2arctan 二．定积分 例1：求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2：设)(x f 在]1,0[上连续，且 )(1 =?dx x f ，试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3：已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ，求??? ??+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21）
例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ，求?2 1 )(dx x f 的 值。（答案： 4 3 ） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6：求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证： 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-； 0)()2(0 =?T dx x f 求证：LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=?
高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='-
) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一．原函数的概念 例1.下列等式成立色是（ ） ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2．下列写法是否有误，为什么？ ()1 .ln c dx e e x x +=?（c 为任意正常数） ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗？ ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5．求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2 π=x 时，这函数值为2，求 此函数. 解：因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q
在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O
一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1< 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法 第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础，要求在掌握基本积分法的基础上，更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系（互为逆运算） 3. 不定积分的性质 4．基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求，因 当时 ；当时 ； 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ，，， 二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法（凑微分法） ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若，则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数，且，又具有原函数，则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于，(其中，表示关于，的有理函数)，可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例 第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图 二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞. 一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1 11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1 一元函数积分学在经济中的应用 一、导数在经济分析中的应用 （一）边际成本 总成本函数的导数称为边际成本。 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数，用以判断增减产量在经济上是否合算。它是在管理会计和经营决策中常用的名词。当产量未达到一定限度时，边际成本随产量的扩大而递减，但当产量超越一定限度时，就转而递增。因此，当增加一个单位产量所增加的收入高于边际成本时，是合算的；反之，是不合算的。因此计算边际成本等于边际收入时，为企业获得其最大利润的产量。通过确定边际成本来提供经营决策所需资料的成本决策，称为边际成本计算。在实际工作中，边际成本计算常只按变动成本计算。 （二）边际收益 总收益函数的导数称为边际收益。 它表示销售一个单位产品后，再销售一个单位的产品所增加的收益。它可以是正值或负值。边际收益是厂商分析中的重要概念。利润最大化的一个必要条件是边际收益等于边际成本。在完全竞争条件下，任何厂商的产量变化都不会影响价格水平，需求弹性对个别厂商来说是无限的，总收益随销售量增加同比例增加，边际收益等于平均收益，等于价格。在非完全竞争）条件下，厂商的销售量同价格成反比。如果需求弹性大于1，即售量的增加的百分比，快于价格降低的百分比，总收益随销售量增加而增加，尽管不是同比例增加，平均收益下降，边际收益为零；如果需求弹性小于1，这时总收益随销售量增加而减少，平均收益更快下降，边际收益为负数。 （三）边际利润 总利润函数的导数称为边际利润。它表示：若已经生产了x个单位的产品，再生产多一个单位的产品总利润的增加量。 边际利润是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益。销售单价扣除边际成本即为边际利润，边际利润是指增加单位产量所增加的利润。企业的经营收益减去会计成本，所得到的就是会计利润。按照我国的财会制度，有销售利润、利润总额及税后利润等概念。销售利润是销售收入扣除成本、费用和各种流转税及附加费后的余额；利润总额是企业在一定时期内实现盈亏的总额；税后利润是企业利润总额扣除应缴所得税后的利润。 一般情况下，总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差，则边际利润是边际收益与边际成本之差。 二、函数在经济学中的应用。 需求函数。在经济管理中，需求函数是用来表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说，影响需求数量的各种因素是自变量，需求数量是因变量。需求函数是单调减少函数。 供给函数。供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。 均衡价格。均衡价格是指一种商品的需求价格和供给价格相一致时的价格，也就是这种商品的市场需求曲线与市场供给曲线相交时的价格。 高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y 第六章 多元函数微积分学 §6.1空间解析几何 习题 6-1 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限: (2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2); (2,3,1); (3,3,5); (1,2,3).E F G H ------ 2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置: (2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D --- 3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标. 4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程. 5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 6. 指出下列方程组所表示的曲面 222(1)4x y z ++=； 7.指出下列方程组所表示的曲线: 22225(1)3 x y z x ?++=?=?； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=； 2 2(5)1916x y +=； 2 2 (6)125 y x -=； (7)0y -=； 2 (8)430y y -+=； 2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=. §6.2 多元函数的基本概念 习题 6-2 1.设22,y f x y x y x ? ?+=- ?? ?，求(,)f x y . 2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+. 3.求下列各函数的定义域: 2 (1)ln(21)z y x =-+ ; (2)z = 22(3)z = ; (4)z = ; (5)ln()z y x =- ; (6)u =4.求下列各极限 : 10 (1)y x y →→ (,)(0,0)(2) lim x y →; 22() (3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +; 222200 (4)lim x y x y x y →→+ ; 00(5)x y →→;22222200 1cos() (6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在: 2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 1 00 (2)lim(1)x y x y xy +→→+ ; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性: 222(1)(,)2y x f x y y x +=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+. 第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 `第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，第三章-一元函数积分学
多元函数微分学习题
《数学分析》多元函数微分学
成人高考一元函数积分学整理.
一元函数积分学在经济中的应用(1)
多元函数微分学复习(精简版)
多元函数微积分学
高数一元函数积分学习题及答案
一元函数微分学知识点
多元函数微分学总结
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