第二章 综合练习题
一、 填空题
1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+??
，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin
2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x =
-的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1|
x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0,
x x f x x
a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x
=在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1
1x e -是无穷小量
8 设21,10(),
012,12x x f x x x x x ?--≤
，()f x 在 处间断 9 当0x →时，arctan x 是x 的 阶无穷小量
10 极限2352lim sin 53x x x x
→∞+=+ 二、 选择题
1. 设数列1,1,1
n n n u n n -??=??+?为奇数,为偶数, 则当n →∞时，n u 是（ ） A. 无界变量 B. 无穷大量 C. 有界变量 D. 无穷小量
2. 函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件
B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 0sin()sin lim x x x
ββ→+-的值是 （ ） A. sin β B. cos β C. 1 D. 极限不存在
4. n ）
A. 1
B. 0
C. 12
D. 因为当n →∞时，分母为0，因此极限不存在 5. 下列极限正确的是 （ ） A. 01sin
lim 11x x x →= B. 1sin lim 11x x x →∞= C. 01lim sin 1x x x →= D. 1lim sin 0x x x
→∞= 6. 设函数在点处连续，则下列陈述中不正确的是（ ）
A. ()f x 在点0x 处有定义
B. ()f x 在点0x 处的左极限存在
C. ()f x 在点0x 处可导
D. ()f x 在点0x 处的值与0
lim ()x x f x →相等 三、 计算题
1. 求下列极限：
（1
）n →∞ （2）41sin 2lim
1cos 4x x x π→
+- （3
）0
x → （4
）01lim x x
→ （5）11lim x x x -→
（6
）201lim 1x x e →-
2.
设1;()4,1x f x x ≠==?
，求,a b ，使()f x 在1x =处连续。
3. 求k
k x 为当0x →时的等价无穷小。
4. 求函数tan()4()(1)
x
x f x x π-=+在区间(0,2)π内的间断点，并判断其类型。
证明题
1. 证明：方程sin 10x x ++=在开区间,22ππ??- ???
内至少有一个实根。 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，,0p q >，证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.
3. 设()f x 在[,]a b 上连续，且恒为正，证明：对于任意1212,(,)()x x a b x x ∈<，在12[,]
x x
上至少存在一点ξ，使得()f ξ=
第三章 综合练习题
一、选择题
1.若'()f a k =存在，则1lim (()())h f a f a h h --=→+∞
（ ） （A ）k - (B)k (C)0 (D)不存在
2. 若()(),lim f x f a A A x a x a
-=-→为常数，则以下结论不正确的是： （A ）()f x 在点x a =处连续 （B ）()f x 在点x a =处可导
（C ）()lim f x x a
→存在 (D) ()()()f x f a A x a -=-
3.函数1()1x y f x +=-
满足'()arctan f x =2
dy dx x == （A
）
(B) - (C)0 (D)3
4.设)(x f 在0x 的附近有定义，则下列选项中与命题“'()0
f x 存在”不等价的是： （A ）()()00lim 0
f x kx f x x x +-→存在（01k ≠或） (B) (())()00lim ,()0
f x a x f x a x x +-→其中()0,lim ()00a x a x x >=→且 (C) 1lim [(()())]000
x f x f x x x --→存在 (D)()()00lim sin 0
f x x f x x x --→ 存在 5.若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数'()0f x >，二阶导数"
()0f x <，则函数()f x 在此区间内
(A)单调减少，曲线是凹的 (B)单调减少，曲线是凸的
(C)单调增加，曲线是凹的 (D)单调增加，曲线是凸的
6.设()f x 在(,)-∞+∞有定义，0x 是()f x 的极大值点0(0)x ≠，则
(A)0x -必是()f x --的极小值点 (B)0x 是()f x 的驻点
(C)0x -是()f x -的极大值点 (D)对一切x 有0()()f x f x ≤
7.设()f x 在闭区间[,]a b 有定义，在(,)a b 内可导，则
(A) 当()()0f a f b <，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=
(B) 对任意(,)a b ξ∈，有lim(()())0x f x f ξ
ξ→-= (C) 当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈使'()0f ξ=
(D) 存在(,)a b ξ∈，使'
()()()()f b f a f b a ξ-=-
8.已知函数()y f x =对一切x 满足"'2()3[()]1x xf x x f x e
-+=-，若'00()0(0)f x x =≠，则
(A)0()f x 是()f x 的极大值 (B)0()f x 是()f x 的极小值
(C)00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 (D)以上均不对
二、填空题
1. 曲线2ln 1x y y +=在点(1,1)处的法线方程是
2. 某企业每月生产q 吨产品时总成本c 函数为2()1020c q q q =-+则每月生产产品8吨时的边际成本是
3. 设()y y x =是由方程tan()x x y =- 所确定的隐函数则22d y dx
4.设函数()f x 的二阶导数存在，则 ()()2()lim 20f x h f x h f x h h
++--=→ 5.2
1()1x x f x ax b
x ?>=?+≤?，在1x =处连续且可导，则a = ，b = 6 '(sin ln )x x =
7
设y =dy =
8 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0()lim
x f tx x
→= 9 ()y f x =是由方程2cos xy e y x +=确定的隐函数，则dy dx = 10.0ln lim ln(1)
x x x e +→=- ； 11.设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，又知0a >，
则a = ，b = ；
12.设在[0,1]上"()0f x >，则''
(0),(1),(1)(0)f f f f -的大小顺序是 ；
13.曲线21x y xe =的垂直渐近线是 ；
14.'0()0f x =是可导函数()f x 在点0x 处有极值的 条件；
15.曲线2x y e -=上凸区间是 。
三、计算
1．
设ln(1)()x f x +??=1001x x -<≤<< ，讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性。 2. 设()f x 在1x =处具有连续导数，且'(1)3f =
，求lim 0d f dx x +
→ 3.设2()2||,f x x x x =+ 求'()f x ，并证明"(0)f 不存在。
4.设()f x 在(0,)+∞上连续，,(0,)12x x ?∈+∞满足()()()1212
f x x f x f x =+，已知'(1)f 存在，且'(1)1f =，试证明()f x 在(0,)+∞内可导，并求'()f x
5 设,0()12,0
a x f x x x
b x ?≥?=+??+
6 设曲线3()f x x ax =+与2
()g x bx c =+都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公切线，求,,a b c
7 已知1
1(1)x y x =+，求'1
x y = 8、 函数的导函数为单调函数，问此函数是否也是单调函数？举例说明。
9、 确定函数22ln y x x =-的单调区间
10、设()f x 具有一阶连续导数，且'(0)0,(0)2f f ==，求20(1cos )lim tan x f x x
→- 11、210arcsin lim()x x x
→ 12、确定曲线4y x =的凸向与拐点
13、函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，求()y y x =的驻点，并判别它是否为极值点
四、应用题
1、某商品的需求量Q 关于价格P 的函数为275Q P =-（1）求4P =时的需求价格弹性并说明经济意义；（2）4P =时，若价格提高001，总收益是增加还是减少？变化百分之几？
2、设某产品的成本函数为2C aq bq c =++，需求函数为1()q d P e
=- 其中C 为成本，q 为需求量（也是产量），P 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求：
1) 需求价格弹性
2) 需求价格弹性的绝对值为1时的产量
3、某商品进价为a （元/件），据经验，当销售价为b （元/件）时，销售量为c 件（,,a b c 为正数，且43
b a ≥）市场调查表明，销售价每下降0010，销售量可增加0040，现决定一次性降价，问当销售价定为多少时，可获最大利润，并求最大利润
证明题
1、证明函数1,0()10,
0x x x f x e x ?≠?=?-?=?在0x =处不可导
2.证明方程5
10x x +-=只有一个正根
3.已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证明：在(,)a b
内至少存在一点ξ，使得'2()()0f f ξξ-=
4. 已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，又有(,)c a b ∈使得()0f c f ，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ''p .。
5 设()f x 在[]0,a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)0f =，'()f x 单调增加，则()f x x 在(0,)a 内也单调增加。
6、证明ln(1)(1)ln 1x x x x x +>>+
7、23
ln(1)(0)23
x x x x x -+>+> 8、设()()(),()f x f a F x x a x a
-=>-其中()f x 在[),a +∞上连续，"()f x 在(),a +∞内存在且大于零，求证()F x 在(),a +∞内单调递增。
9、证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一根。
10、 设0a b <<，()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明存在(,)a b ξ∈，使