充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
充要条件
学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
[自主预习·探新知]
1．充分条件与必要条件
命题真假“若p，则q”是真命题
：
“若p，则q”是假命题
推出关系p?q p q
条件关系p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
/
q不是p的必要条件
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p 的必要条件是q.这五种表述形式等价吗
[提示](1)相同，都是p?q(2)等价
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p?q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．
|
(3)若q?p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里
[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
[基础自测]
~
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()
(2)q不是p的必要条件时，“pD?/q”成立．()
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．()
[答案](1)√(2)√(3)×
2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
?
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]
3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .
【导学号：】
}
(1)(3) [在(1)(3)中，p ?q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ?p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充
分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；
—
(4)p ：a ＜b ，q ：a
b ＜1.
[思路探究] 判断p ?q 与q ?p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件． [解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ?BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件．
(2)因为x ＝2且y ＝6?x ＋y ＝8，即q ?p ，但p ?q ，所以p 是q 的充分不必要条件．
(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q
的必要不充分条件．
(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a
b ＞1；
当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a
b ＜1； 当a ＞0，b ＞0，a
b ＜1时，可以推出a ＜b ；
@
当a ＜0，b ＜0，a
b ＜1时，可以推出a ＞b .
因此p是q的既不充分也不必要条件．
[规律方法]充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若p?q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
》
若p?q，且q p，则p是q的必要不充分条件；
若p?q，则p与q互为充要条件；
若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()
【导学号：】A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
;
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]
(2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是()
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．
/
A．①④B．①②③
C．①②③④ D．①②④
D[①Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．
②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．
③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ
＝0，故③错误．
④Δ＝b 2－4ac <0?方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根?函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]
充要条件的探求与证明
/
(1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )
A ．0 B ．0 C ．x >0 D ．x <4 (2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1 y 的充要条件是xy >0. [思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集． (2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明． [解析] (1)由x 2－4x <0得0 : (2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y . 必要性：由1x <1y ，得1x －1 y <0，即y －x xy <0. 因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1 y 的充要条件是xy >0. 法二：1x <1y ?1x －1 y <0?y －x xy <0. 由条件x >y ?y －x <0，故由y －x xy <0?xy >0. 所以1x <1 y ?xy >0， 即1x <1 y 的充要条件是xy >0. ~ [规律方法] 1.探求充要条件一般有两种方法： (1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样 就能说明A 成立的充要条件是B ，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明． 2．充要条件的证明 (1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ?q ”为真，又要证明“q ?p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性． (2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论． [跟踪训练] 2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是() < 【导学号：】A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞) C．x∈(0,1) D．x∈(1,3) B[由x(x－2)<0得0 (2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. ①证明p?q，即证明必要性． ， ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ②证明q?p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. \ ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [ 1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么若p是q的必要不充分条件呢 提示：若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，B A. 2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件若N?M，M＝N呢\ 提示：若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． [思路探究] [解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ?q 且q p . 即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集， 所以????? m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或???? ? 1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9. 所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． " [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞)) 母题探究：1.本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取 值范围． [解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ?p ，且p q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0} {x |－2≤x ≤10} 所以???? ? m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0 即m 的取值范围是(0,3]． 2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4 … [解] 因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ?P . 所以? ???? a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5 即a 的取值范围是[－1,5]． [规律方法] 利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围 (1)化简p 、q 两命题， (2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， " (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围． 1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 B [若x ＝1，y ＝－1，则|x |＝|y |，但x ≠y ；若x ＝y ，则|x |＝|y |，故选B.] 2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( ) $ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B [由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一 定成立，故选B.] 3．下列条件中，是x 2<4的必要不充分条件是( ) A ．－2≤x ≤2 B ．－2 D ．1 A [由x 2<4得－2 【导学号：】 (－∞，1] [由(x －1)(x －2)＞0可得x ＞2或x ＜1， 由已知条件，知{x |x ＜m }{x |x ＞2或x ＜1}， ∴m ≤1.] 5．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2. [证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2， 由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2. (2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1， 所以????? Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2 ＝－m <0，即????? m ≥2或m ≤－2， m >0， 所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实J 根的充分必要条件． 高一数学教案充要条件 教材：充要条件(1) 目的：通过实例要求学生明白得充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够初步判定给定的两个命题之间的关系。 过程： 一、复习：写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假： 1) 假设x>0那么x2>0；2) 假设两个三角形全等，那么两三角形的面积相等； 3) 等腰三角形两底角相等；4) 假设x2=y2那么x=y。 〔解答略〕 二、给出推断符号，紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义 1．由上例一：由x>0，通过推理可得出x2>0 记作：x>0 ?x2>0 表示x>0是x2>0的充分条件 即：只要x>0成立x2>0就一定成立x>0包蕴着x2>0； 同样表示：x2>0是x>0的必要条件。 一样：假设p那么q, 记作p?q其中p是q的充分条件, q是p的必要条件 明显：x2>0 ?x>0 我们讲x2>0不是x>0的充分条件 x>0也不是x2>0的必要条件 由上例二：两个三角形全等?两个三角形面积相等 明显, 逆命题两个三角形面积相等?两个三角形全等 ∴我们讲：两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件由上例三：三角形为等腰三角形?三角形两底角相等 我们讲三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条件，这种既充分又必要条件，称为充要条件。 由上例四：明显x2=y2?x=y x2=y2是x=y的必要不充分条件；x=y是x2=y2的充分不必要条件。 三、小结：要判定两个命题之间的关系，关键是用什么样的推断符号把两个 命题联结起来。 四、例一：〔课本P34例一〕 例二：〔课本P35-36 例二〕 练习P35 、P36 五、作业：P36-37 习题1.8 主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §2.3 充要条件 【学习目标】 1、 能在具体实例中理解、判断充要条件； 2、 通过学习充要条件，提高学生的逻辑思维能力和分析能力； 3、 体验自主探究、合作式学习的快乐！收获成功的喜悦！ 【重点、难点】 重点：充要条件的理解. 难点：充要条件的判定. 【学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 3、带※ 为选做题; 4、在小组长带领下齐读以上内容. 【自主探究】 探究任务1：充要条件的概念 对“p ：三角形的三边相等，q ：三角形三个角相等”来说，显然有p q ?，说明p 是q 的______条件；同时，又有 p q ? ，说明p 是q 的______条件.由此可得，p 是q 的_____________条件;.记作_________. 一般地,如果p q ?且p q ? ，那么称p 是q 的_____________条件.记作______ . 【合作探究】 探究1： 条件甲：“1a >”是条件乙：“a >”的（ ） A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件 探究2： “sinA=12 ”是“A=30o”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 探究3： “21= m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【巩固提高】（限时：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b >的充要条件 充分条件和必要条件 教学目标： 知识目标：（1）理解充分、必要条件的概念； （2）初步掌握充分、必要条件的判断方法。 能力目标：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。 情感目标：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。 教学重难点： 教学重点：充要条件的概念和判断方法。 教学难点：理解充要条件的概念。 课型：新授课教学方法：讲练结合教学法（配合多媒体辅助教学手段） 教具：多媒体、投影仪 教学程序： 1、复习旧知，引入新课 首先，在导入阶段的教学中，回顾上节研究的命题的一般形式“若p则q”和其真假判断的方法，先向学生介绍真假命题的简记符号。同时以命题“若x>0，则x2>0。”和其逆命题“若x2>0，则x>0。”为例让学生学习符号的使用。 在此基础上，让学生先分析下面的问题：（幻灯显示） [幻灯显示]例1、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假（用p与q的相互推出符号表示你的判断）。 p q （1）若x>2，则x>1。 （2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。 （3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形 （4）若a2>b2，则a>b。 教师在学生回答的基础上，结合（1）、（2）两个命题，分析引出对“充分的”和“必要的”这两个词汇的感性认识： 首先，在原命题中研究前者对后者的制约程度： 比如（1）中，p能推出q，表明要得到结论q，有了条件p就足够了，也就是说条件p对 于结论q是“充分的”。在（2）中，p不能推出q，表明条件p对于结论q是“不充分的”。 其次，在逆命题中研究后者对前者的依赖程度： 比如（2）中，p不能推出q，但p能被q推出，这说明p对于q又是一种什么样的联系呢？作出分析： 命题（2）中，两三角形面积相等不能说明两三角形必然全等，但是，如果两三角形的面积不相等，则两三角形会全等吗？不会。为什么？因为如果两三角形全等，则两三角形的面积是必然相等的。这也就是说，两三角形面积相等是两三角形全等这个结论成立所“必须具备” 的条件。那么，我们就说，p对于q而言是“必要的”。（板书：必要的）而在（1）中，p不能被q推出，表明条件p对于结论q是“不必要的”。 再让学生类比分析（3）、（4），不难得出：在（3）中，p对于q既是充分的，也是必要的；在（4）中，p对于q既不是充分的，也不是必要的。 结合上面的分析，向学生指明：我们看到，命题中的条件与结论之间这种相互推出的关系反映了两者之间的一种“充分的”或是“必要的”联系。在数学中，我们对这种联系进行了进一步的研究，引入的新的定义来描述它，这就是本节将研究的主要内容，从而引出课题： 充分条件和必要条件 2、阐述定义，理解内涵 由此，我们引入了如下定义： [幻灯显示] 充分、必要条件的定义 如果已知p q，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 在引导学生理解定义的过程中提出问题，引发思考： 问题：这里的p和q都叫做“条件”,那么“结论”又是什么呢?（引起认知冲突，鼓励学生发言）强调：分清“条件”和“结论”是理解定义的关键! 接下来再回到例1，对其中存在的充分必要关系再次进行认识。 [幻灯显示]例1、试判断下列各命题中：p 是q 的什么条件，q 又是p 的什么条件？（学生分析作答） p q （1）若x>2，则x>1。 （2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。 （3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形 充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ? 1.2.1 《充分条件与必要条件》导学案 编写人：董前周 审核：高二数学组 时间：2011-01-08 班级 组名： 姓名 【学习目标】 A 级目标：理解必要条件和充分条件的意义； B 级目标：能判断两个命题之间的关系. 【重点难点】 重点：充分条件、必要条件的意义； 难点：充分条件、必要条件的判断. 【学习过程】 一．课前准备 复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图. 复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假. 二．自主探究 得出结论 探究任务：充分条件和必要条件的概念 问题：分析以下四个命题的条件与结论间具有什么样的推出关系. 1. 若22x a b >+，则2x ab >； 2. 若0ab =,则0a =。 新知：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推 出q ,记作p q ?,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 试试：用符号“?”与“”填空： （1） 22x y = x y =； （2） 内错角相等 两直线平行； （3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4） ac bc = a b =. 三．合作交流，解决问题 例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x =，则2430x x -+=； （2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数. 练习1：下列“若P，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5 x> x>，则10 例2 下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？ （1）若x y =，则22 =； x y （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b > >，则ac bc 练习2：下列“若p，则q”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？ （1）若5 a+是无理数，则a是无理数； （2）若()()0 --=，则x a x a x b =. 小结：判断命题的真假是解题的关键. 练习3.下列各题中，p是q的什么条件？ （1）p：1 x-= x=，q：1 （2）p：|2|3 x-≤，q：15 -≤≤； x （3）p：2 x- x=，q：3 （4）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形. ※知识拓展 设,A B为两个集合,集合A B ?，那么x A ∈的 ∈是x A ∈的条件，x B ∈是x B 条件. 【当堂检测】 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直 充要条件 ●教学目标 （一）教学知识点（二）能力训练要求 1．充要条件的概念．1．理解并掌握充要条件的概念． 2．判断命题的条件的充要性的方法．2．掌握判断命题的条件的充要性的方法． 3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力． ●教学重点 1．理解充要条件的意义．2．命题条件的充要性判断． ●教学难点 命题条件的充要性判断． ●教学过程 Ⅰ．复习回顾 1、什么是充分条件和必要条件? 2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件? （1）若a是无理数，则a＋5是无理数． （2）若a＞b，则a＋c＞b＋c． （3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0． Ⅱ．讲授新课 §1.2.2充要条件 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作：“p?q”，“?”叫做等价符号，“p?q”表示“p?q，且q?p”． 这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件． 命题（1）中因：a是无理数?a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数?a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件． 命题（2）中因“a＞b?a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c?a＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件． 命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根?Δ＞0”，又有“Δ＞0”?“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．” 则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件． 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件． （1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； （2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0； （3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； （4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等. 命题（1）中因“（x－2）（x－3）＝0?x＝2或x＝3x－2＝0”； 而“x－2＝0?（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件． 命题（2）中因“同位角相等?两直线平行”，所以p是q的充要条件． 命题（3）中因“x＝3?x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件． 命题（4）中因“四边形的对角线相等四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件． 命题（5）中因：p：x 3 2+ x＝x2?x（3 2+ x－x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝ －1或x＝3．则有p q且q p．所以p是q的既不充分也不必要条件．由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定． 充要条件 1 教材分析 充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》“圆锥曲线”讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学“简易逻辑”。除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。 从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，新教材在小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善． 2 教学设计 根据新教学大纲的课时安排，充要条件这一内容共需2课时，本文给出的是第一课时的教学设计．由于这是充要条件的概念起始课，文字信息量较普通的数学课要大，因此，课前笔者用PowerPoint 软件自制了CAI 课件，以简化教师板书工作，增加课堂教学的信息容量，提高教学效益．同时，由于笔者任教的是重点中学，生源较好，因此，教学的要求较高． 2．1 复习旧知，引入新课 ﹝ppt 1﹞1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p 则q ． 2．四种命题及相互关系： 3．如果命题“若p 则q ”为真，则记作（或）。 q p ?p q ?4．如果命题“若p 则q ”为假，则记作p q 。 ﹝ppt 2﹞1．例1 判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假． （1）若，则。 y x =2 2y x =（2）有两角相等的三角形是等腰三角形． 第一章 集合与简易逻辑——第6课时：充要条件 高考数学 充要条件 专题教案 一．课题：充要条件 二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 三．教学重点：充要条件关系的判定． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明． （二）主要方法： 1．判断充要关系的关键是分清条件和结论； 2．判断p q ?是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假； 3．判断充要条件关系的三种方法： ①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）． 4．说明不充分或不必要时，常构造反例． （三）例题分析： 例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）在ABC ?中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ?中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22 :(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ?中，有正弦定理知道： sin sin a b A B = ∴sin sin A B a b >?> 又由a b A B >?> 所以，sin sin A B A B >?> 即p 是q 的的充要条件． （2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ?， 命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ， 所以p 是q 的充分不必要条件． （3）取120,30A B ==o o ，p 不能推导出q ；取30,120A B ==o o ，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件． （4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠ ?， 所以，p 是q 的充分非必要条件． 例2．设,x y R ∈，则22 2x y +< 是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略） 例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙， 因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁， 盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值； 1.2 充分条件与必要条件 教学目标 1.知识与技能： 正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。 2.过程与方法： 充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。 3.情感、态度与价值观 通过“p?q”与“q?p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。 教学重点与难点 1.重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念． (解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．) 2.难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。 3.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。 教学方法及教学准备 1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系，充要条件中的p、q与四种命题中的p、q要求是一样的，它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题。 2. 由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键，教学中应始终注意以学生为主，让学生在自我思考，相互交流中去给概念、“下定义”，去体会概念的本质属性。 3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明，为了能让学生能理解定义的合理性，在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。 4. 教学用具：多媒体 教学过程： 一、复习回顾 1、四种命题的形式与关系 x>”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假. 2、试写出命题“若x>1,则21 1.5充要条件教案 一、教学目标 （一）、知识目标： 1、理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。 2、利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。 （二八能力目标： 培养学生的“会观察”“敢归纳,”“善建构”的认识事物的能力? （三）、情感目标： 1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。 2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。 二、教学重难点 教学重点： 1充分条件、必要条件、充要条件概念的理解； 2判断给定命题的条件与结论之间的关系. 教学难点： 1在P=q中q是p的必要条件的理解； 2如何判断p是q的什么条件； 三、教法及学法 教法：情景引导，师生互动 学法：自主探索，合作交流 四、【设计思路】 小结'扩展例题'练习反馈。 五、【教学过程】 课题引入 同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我 的妈妈.”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？ 不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子. 那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题一一充分条件与必 要条件. 为等价转化作铺垫 引出课题 充分、必要条件定义：(推断“=”的含义) 如果p =：q ，称p是q的充分条件，同时q是p的必要条件? 思考：①如果p是q的必要条件？那么应该是p= q 还是q = p ? ②如何去判断p是q的什么条件？ 典型例题分析： 例1、用充分条件或必要条件填空 (1 )由于命题“如果a是有理数，那么a是实数”是正确的，因此“a是有理数”是a是实数 的_______________ , a是实数”是“是有理数”的 ___________________ 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 充要条件 学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) [自主预习·探新知] 1．充分条件与必要条件 命题真假“若p，则q”是真命题 ： “若p，则q”是假命题 推出关系p?q p q 条件关系p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 / q不是p的必要条件 (2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p 的必要条件是q.这五种表述形式等价吗 [提示](1)相同，都是p?q(2)等价 2．充要条件 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件． (2)若p?q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． | (3)若q?p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗 (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里 [提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． [基础自测] ~ 1．思考辨析 (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．() (2)q不是p的必要条件时，“pD?/q”成立．() (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．() [答案](1)√(2)√(3)× 充分条件、必要条件、充要条件 本节需要将逻辑推理关系这点重点掌握，把逻辑推理关系熟记。 知识提炼 “若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们说，由p可推出q记作：p?q，并且说p叫q的充分条件，同时q叫p的必要条件。 例题：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： （1）p：x=y；q：x2=y2; （2）p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等； 解：（1）因x=y?x2=y2,即p?q.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）因三角形的三条边相等?三角形的三个角相等，即p?q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。又因：三角形的三个角相等?三角形的三条边相等，即q?p。则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件； 变式： （a）p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0； （b）p：x=2或x=3,q:x-3=x-3. 解：（a）因x=1或x=2?x2-3x+2=0,即p?q。则p是q的充分条件，q是p 的必要条件又因x2-3x+2=0?x=1或x=2.则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。 （b）因x=2或x=3/?x-3=x-3，但x-3=x-3?x=2或x=3.即p/?q，而q?p。所以q是p的充分条件，p是q的必要条件。 特征： ①充分条件的特征是：“有它就行，没它未必不行”； 当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我 的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子” 呢？为什么？ 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子 ②必要条件的特征是：“没它不行，有它未必行”； 例：没有氧气，人类就不能生存；有了氧气，人类未必就能生存．我们说，氧气是 人类生存的必要条件． ③充要条件的特征是：“有它就行，没它不行”． 1、从逻辑推理关系看： ①若条件p?结论q，但结论q条件p，则条件p是结论q的充分不必要条 件； ②若结论q?条件p，但结条件p结论q，则条件p是结论q的必要不充分 条件； ③若条件p?结论q，且结论q?条件p，则条件p是结论q的充要条件； ④若条件p结论q，但结论q条件p，则条件p是结论q的既不充分又不 必要条件； 注意：逻辑推理关系用来判断充分条件、必要条件、充要条件的依据。需要重点掌握 例、如果A?B?C，那么A、B、C之间有什么关系？ A?B说明A是B的充分条件，B?C说明B与C互为充要条件，又由A?B?C知A?C， 2、从集合与集合之间的关系上看： 若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则 ①若A?B，则A是B的充分条件； ②若A?B，则A是B的必要条件； ③若A = B，则A是B的充要条件； 注意：集合关系用来判断小范围可以退出大范围，但大范围推不出小范围。 充要条件教案 一、教学目标 (一)知识目标 通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用( (二)能力目标 充要条件是重要的数学概念(它主要讨论命题的条件和结论的关系(通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力( (三)情感目标 运用充分、必要、充要条件以及轨迹的纯粹性、完备性等知识，阐明曲线与方程在坐标系建立的条件下是怎样既对应又统一的，怎样互相转化的，在进一步理解曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系的过程中进行辩证唯物主义思想教育( 二、教学重难点 1(重点:充分条件、必要条件和充要条件的概念( (解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证() 2(难点:充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用( (解决办法:先要求学生分清什么条件是什么条件的充分条件或必要条件，同时要注意一些常见命题的正确性() 三、活动设计 1(活动:提问、讲授、引导练习( 2(教具:小黑板、ppt 四、教学过程 (一)复习引入 1、概述一下命题的四种形式，已及相互之间的关系，并指出原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。 2、说出命题:“1、如果天下雨，那么地面湿。2、如果小明是湖北人，那么小明是宜昌人。”的逆命题，并判断其真假。 设计思路:对所学知识进行复习巩固，通过所学知识导入新知识，使前后连贯。 (二)充分条件和必要条件 1、指出命题p与q间的推导关系:A、“如果p那么q”为真，是指经过由p推理可以得出q，也就是说p成立，记作:p?q。B、如果由p推不出q,命题为假，记作:p q。 2、根据推导关系指出:对命题:若p(条件)，则q(结论) 如果已知p?q，则说p是q的充分条件; 如果已知q?p，则说p是q的必要条件; 3、分析原命题如果天下雨，那么地面湿中的推导关系，以及充分条件和必要条件。 设计思路:逐步深入，便于学生理解与掌握。 (三)充要条件 1、引导学生观察归纳，如果既有p?q，又有q?p，是什么情况。 2、逐步推出充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的情况和定义。 3、例题判断。 第1课时 §1 命题 一．学习目标： 理解命题的含义，能把命题改写成“若p ，则q ”的形式.理解四种命题之间的关系，学会根据原命题写出其它三种命题，学会用等价命题判断某一命题的真假. 二．学习重点、难点： 重点：由原命题准确写出另外三种命题 难点：理解四种命题之间的关系 三．学习过程： 知识链接： 1.阅读教材第一段，回忆命题的描述性定义是什么？什么是真命题、假命题？ 2. 判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题? ①若直线b a //，则直线a 与直线b 没有公 共点②2＋4=7③若12 =x ，则1=x ④指数函数是增函数吗？⑤那棵树真高啊！ ⑥5>x 以上语句中，是命题的有哪些？其它的为什么不是命题？ 反思1：由上题可以看出判断一个语句是否为命题，关键是看此语句要符合哪些条件？ 反思2：怎样判断一个命题的真假，数学中怎样判定一个命题是真命题，怎样断定一个命题是假命题？ 问题探究1： 一个命题一般由条件和结论两部分组成.下列命题的条件和结论分别是什么？ ①若一个三角形的两条边相等，则这两边所对的角相等. ②负实数的平方是正数. 反思：由上述两个命题条件和结论的判断过程，可以看到命题的一般形式是什么？ 小结：数学中有一些命题虽然表面上不是 “若p ，则q ”的形式，但把它的表述作适当改变，就可以写成“若p ，则q ”的形式，如上述命题②。这样，它的条件和结论就很清楚了。 问题探究2： 1.下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？ (1)若∠A=∠B ，则sinA=sinB. (2)若sinA=sinB ，则∠A=∠B. (3)若∠A ≠∠B ，则sinA ≠sinB. (4)若sinA ≠sinB ，则∠A ≠∠B. 2.阅读教材, 试着总结一下根据原命题写其它三种命题的方法. 3. 为书写方便，我们用“p ?”表示p 的否定，读作“非p ”。若原命题为“若p ，则q ”的形式，分别写出它的逆命题、否命题和逆否命题。 1.2.1 充要条件 【教学目标】 知识与技能目标：使学生能够正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。 过程与方法目标：在探究学习的过程中，掌握自主思考和合作学习的学习方法。 情感态度与价值观目标：在充要条件的学习过程中，感受数学语言的逻辑美，从而提高学生对本门课 程的兴趣。 【教学重点】 正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念． 【教学难点】 正确区分充分条件、必要条件． 【教学方法】 本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念． 【教学准备】 多媒体课件 【教学过程】 一、激趣导入 1、引入生活中的例子，请学生判断真假。 （1）如果下大雨，那么地面湿。 （2）如果王明是彭泽职教中心的学生，那么王明是中专部高职一(1)班的学生。 （3）如果李江是彭泽人，那么李江是九江人。 让学生在“如果……则……”的句式中，感知命题和推理的存在。 2、引入数学中的例子，请学生判断真假。 （1）如果x＝y,则x2＝y2； （2）在△ABC 中,如果AB＝AC,则∠B＝∠C ； （3）如果(x－2)(x－3)＝0，则x＝2. 通过对数学实例的判断，让学生进一步感知命题和推理。从而引出今天的课题。 二、讲授新知 1、命题与推出 在数学中，我们经常遇到“如果p则q”形式的命题，这种命题的真假要通过推理来判断。如果p真，证明q也是真的。那么如果p则q是真命题。这时，我们说p推出q。 符号记作：p ? q 读作：“p推出q” 2、推出与充分、必要条件 p推出q，通常还可以表述为 p是q的充分条件。 q是p的必要条件 这就是说： 如果p则q是真命题； p ? q； p是q的充分条件； q是p的必要条件。 充分条件与必要条件 2. 第一章 集合与简易逻辑的复习 二. 本周重、难点： 1. 关于充要条件的判断 2. 本章综合知识的应用 【典型例题】 [例1] 判断下列各组命题中p 是q 的什么条件？ （1）p ：0=ab ，q ：02 2=+b a （2）p ：0>xy ，q ：y x y x +=+ （3）p ：0>m ，q ：方程02 =--m x x 有实根 （4）p ：012>++ax ax 的解集为R ，q ：40<--x x ，q ：0122 2>-+-a x x ，若p 是q 的充分而不必要条件。求正实数a 的取值范围。 解： p ：10>x 或2- （3）r 与S ，r 与q ，S 与q 三对分别互为充要条件 [例4] 当且仅当m 取何整数值时，关于x 的方程。 0442=+-x mx ① 0544422=--+-m m mx x ②的根都是整数 解： 方程①有实根的充要条件是：01616≥-=?m 解得1≤m 方程②有实根的充要条件是：0)544(4162 2 ≥---=?m m m 解得45- ≥m ∴ 145 ≤≤- m 由m 为整数知：1-=m ，0，1 当1-=m 时，方程①为0442 =-+x x 它没有整数根 当0=m 时，方程②为052 =-x 它也没有整数根 当1=m 时，方程①、②的根都是整数 [例5] 设a 、b 、c 为ABC ?的三边，求证：方程0222=++b ax x 与022 2=-+b cx x 有 公共根的充要条件是?=∠90A 证明： （1）充分性 ∵ ?=∠90A ∴ 2 22c b a += ∴ 0222=++b ax x 可化为：022 22=-++c a ax x 0)]()][([=-+++c a x c a x ∴ c a x --=1，c a x +-=2 同理：0222=-+b cx x 可化为：022 22=-++a c cx x 0)]()][([=++-+a c x a c x ∴ c a x --=3，a c x +-=4 ∴ 两方程有公共根c a -- （2）必要性 设两方程有公共根α 则?????=-+=++02022222b c b a αααα ∴ 0)(22=++ααc a 又 ∵ 0≠α 若0=α代入任一方程得02 =b 即0=b 这与已知b 是三角形的边长0≠b 相矛盾 ∴ c a --=α 把c a --=α代入上面方程组与任何一个式子，均可得2 22c b a += ∴ ?=∠90A [例6] 设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式0112 1>++c x b x a 和+2 2x a 022>+c x b 的解集分别为M 和N ，那么“21 2121c c b b a a = =”是“M=N ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分与不必要条件 解：对于022>--x x 和022 >++-x x 有22111 1-=-=-，但其解集分别为}21|{<<-x x 和1|{- 教学目标 （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； （4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 教学建议 （一）教材分析 1．知识结构 首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识． 2．重点难点分析 本节的重点与难点是关于充要条件的判断． （1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系． （2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该： ①首先分清条件是什么，结论是什么； ②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立； ③最后再指出条件是结论的什么条件． （3）在讨论条件和条件的关系时，要注意： ①若，但，则是的充分但不必要条件； ②若，但，则是的必要但不充分条件； ③若，且，则是的充要条件； ④若，且，则是的充要条件； ⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件． （4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断． ①若，则是的充分条件； 显然，要使元素，只需就够了．类似地还有： ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充要条件； ④若，且，则是的既不必要也不充分条件． （5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立． （二）教法建议 1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题． 2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性． 3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念． 4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．高一数学教案充要条件
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