弧长和扇形的面积圆锥侧面展开图 教案 夯实基础 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积
的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用
公式解决问题；
3. 能准确计算组合图形的面积.
查漏补缺 圆的性质。
中考考点 1、圆的有关概念；
2、圆周角与圆心角；
3、直线与圆的位置关系。
思维拓展
圆的综合问题。 弧长和扇形面积圆锥的侧面展开图 需掌握的知识点
要点一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积
2
360
l
S rl
π
π
=
扇
n
=，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
小结反思 熟练掌握常见的辅助线添加方法，有助于提高解题速度。
情况反馈 ○ 非常满意
○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：
主管签字： 日期
一、典型例题
类型一、弧长和扇形的有关计算
1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）．
A ．33π
B ．32
π C ．π D ．32π
图（1）
举一反三：
【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)
2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
C
B O
举一反三：
【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A
为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交
AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（
）．
A ．449-π
B ．849
-π C ．489-π D ．889-π
图（1）
类型二、圆锥面积的计算
3．如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比；
（2）圆锥的全面积．
类型三、组合图形面积的计算
4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．
二、巩固练习
1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A.5π
B. 4π
C.3π
D.2π
A E
B
C F P
2．如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( )．
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
3．劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为( )．
A．250πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．1000πcm2
4．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．
A．120° B．180° C．240° D．300°
5．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( )．
A．7.5π cm2 B．12π cm2 C．15πcm2 D．24π cm2
6．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）
A．πB．πC．πD．π
7．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________．
8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送厘米.
第8题图第9题图第11题图
9．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．10.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．
''的位11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C 置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长．
12．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于．
13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．
14. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
15．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝63cm，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．
16.已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）线段AD的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积．
答案解析
一、选择题
1.【答案】C .
【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π，
圆锥的侧面面积为2π，底面半径为1，
圆锥的底面面积为π，则该圆锥的全面积是2π+π=3π.
故选C.
2.【答案】B
【解析】小羊的活动区域是扇形，或是扇形的组合图形，只要算出每个扇形的面积，
即可比较出拴在B 处时活动区域的面积最大．
3.【答案】B ；
4.【答案】B ；
【解析】由22rl r ππ=得2l r =， ∴ 22180
n r r ππ=
．∴ n ＝180°． 5.【答案】C ；
【解析】可求圆锥母线长是5cm ．
6.【答案】B ；
【解析】因为正五边形ABCDE 的内角和是（5﹣2）×180=540°，
则正五边形ABCDE 的一个内角==108°； 连接OA 、OB 、OC ，
∵圆O 与正五边形ABCDE 相切于点A 、C ，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°，
∴∠AOC=144°
所以劣弧AC 的长度为=π．故选B ．
二、填空题
7.【答案】240πcm 2 ；
【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积．
8．【答案】20π（cm ）；
【解析】904020180180
n r l πππ?===(cm)． 9．【答案】3π； 【解析】由扇形面积公式得22
12033360360n R S πππ?===扇形
(cm 2)． 10．【答案】2 ；
【解析】扇形的弧长==4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
故答案为：2．．
11．【答案】20()cm π；
【解析】顶点A 经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30cm,
1203020()180l cm ππ?=
=. 12．【答案】 3
π； 【解析】 连接AC ，知AC ＝AB ＝BC ，
∴ ∠BAC ＝60°，
∴ 弧6011803BC ππ=?=．
三、解答题
13.【答案与解析】
将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ， 过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC=12，
∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，
∴OC 为小圆的半径，
∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆
=π?OB 2-π?OC 2
=π（OB 2-OC 2）
=πAC 2
=72π．
故答案为72π．
14.【答案与解析】
(1)证明：同圆中的半径相等，即OA ＝OB ，OC ＝OD ．
再由∠AOB ＝∠COD ＝90°，得∠1＝∠2，
所以△AOC ≌△BOD ．
(2)解：22211
()(91)2(cm )44S S S OA OC πππ=-=-=-=阴影扇形AOB 扇形COD ．
15.【答案与解析】
(1)如图所示，连接OC ，则OC ⊥AB ，
∴ OA ＝OB ，
∴ AC ＝BC ＝1
1
63cm 33cm 22AB =?=．
在Rt △AOC 中，
22226(33)cm 3cm OC OA AC =-=-=． ∴ ⊙O 的半径为3 cm ．
(2)∵ OC ＝3cm 1
2=OB ，∠B ＝30°，∠COD ＝60°．
∴ 扇形OCD 的面积为226033(cm )3602
ππ=． ∴ 阴影部分的面积为 213933(cm )22BOC OCD S S OC CB ππ?--=
-=扇形． 16. 【答案与解析】
解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°；
（2）∵∠AOC=60°，AO=CO ， ∴△AOC 是等边三角形； ∵OH=，
∴AO=4；
∵AD 与⊙O 相切，
∴AD=；
（3）∵S 扇形OAC =
=π，S △AOD =×4×4=8； ∴．
《弧长和扇形的面积》说课稿 一、说教材分析： （一）、说教材的地位与作用： 本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书，人教版九年级上册第24章《圆》中的“弧长和扇形面积”，从孩提时代的感觉圆形，到小学的认识图形，再到如今的系统学习，学生对圆的认识正在发生着质的变化。这节课是学生在前阶段学习了“圆的认识”“与圆有关的位置、关系”“正多边形和圆”的基础上进行的拓展与延伸。本课时在中考中占有一定的分值，掌握好这部分内容就是中考制胜的法宝，针对知识的形成过程，本节课创造性的使用教材，本节课的主要内容是在小学阶段学过的圆周长和面积公式的基础上，采用由特殊到一般的方法探索弧长及扇形面积公式，利用小组合作的方式让学生更好的理解弧长和扇形的面积的形成过程，让学生充分体验知识的形成过程，也注重数学方法的渗透。并运用公式解决一些具体问题，为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。对学生以后学习用动态解决数学问题的学习起到了铺垫作用。 （二）说教学目标 1、知识与技能（1）经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； （2）了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。 2、过程与方法（1）经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力。（2）了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。 3、情感态度与价值观（1）经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。（2）通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。（三）说教学重、难点 重点：弧长公式，扇形面积的推导及公式的应用。 难点：运用弧长和扇形的面积，计算组合图形的面积。 （四）说教法 针对九年级学生年龄特点和心理特点，以及他们现有的知识水平，通过小组合作与交流尝试练习促进共同进步，并用肯定的语言进行鼓励，激励学生。 引导学生积极思维、热情参与、大胆质疑、勇于实践，具体做法如下：（1）提问法----- 启发诱导、逐渐深入（2）讨论法----- 积极参与、求同化异（3）练习法----- 学生实践、巩固提高 二、说学生分析 （一）、说学生状况分析 九年级学生已经具备较强的逻辑思维能力和很好的表达能力。本班的学生学习能力一般，成绩中等较多。但是班级的学习积极较高，团结性较好，合作能力较好。因此学知识时要循序渐进，巩固基础，在逐步拓展提升。 （二）、说学法 通过小组合作共同探究引导学生借助圆的周长公式、面积公式正确理解弧长、扇形面积公式及推导，巩固应用公式计算，求简单组合图形的扇形面积，培养学生的创新能力和概括表达能力。让学生体验“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想。
弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积 一、温故而知新 1、（2009 旅顺）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为． 2、（2009 海南）正方形ABCD的边长为2cm，以B点为圆心，AB长为半径作AC，则图中阴影部分的面积为（） A、（4—π）cm2 B、（8—π）cm2 C 、（2π—4）cm2 D、（π—2）cm2 3、（2008 山西）要在面积为1256m2的三角形广场ABC 的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求 草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径 应是 m（π取3.14） 4、（2009 陕西）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（） A、48π B、48 C、24π D、24 二、考点解读 （1）、考点 1、圆周长：C=2πR 2、弧长：L= 1 180 nπR 3、扇形面积：S=1 360nπR2=1 2 LR 4、圆柱的侧面积 S=2πr·h （r是底面积，r是底面半径） S表 =S侧 + 2S底=2πr·h+ 2πr2 5、圆锥的侧面积 S=1 2 L·2πr=πrL（L是母线，r是底面半径）
S 表=S 侧 + S 底=πrL+πr 2 （2）、难点 1、圆锥、圆柱侧面展开图的计算 2、弓形面积的求法：① 当弓形的弧是劣弧时 S 弓形=S 扇形－S ▲ ② 当弓形的弧是优弧时S 弓形=S 扇形+S ▲ 2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，一般不能直接利用公式，常采用① 割补法 ② 拼凑法 ③ 等积变形法 二、 例题讲解 1、如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，求这个圆锥的 侧面积． 解：根据条件得：圆锥母线长为10cm ，所以圆锥侧 面积为： S=πrL=π·6·10=60π 变式题：如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ， 则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为 2、AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、 BD 的延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的 面积是（ ） A 、43π B 、2 3π C 、23π、1 3 π 解、∵AE ED DB == ∴ ∠A=∠ABC=600 ∴△ABC 是等边三角形 又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900 即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =43 π故选A
中考数学专题训练：弧长与扇形的面积专项练习 知识精讲 一．弧长公式 1.圆的周长：2πR C = 2.弧长公式：π180n l R = （其中，l 表示弧长，n 表示这段弧所对圆心角度数值；R 表示该弧所在圆的半径）． 二．扇形面积公式 1.圆的面积公式：2πS R = 2.扇形面积公式：21π3602n S R lR = =扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）． 三．不规则图形面积的巧算 一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：=S S S -弓形三角形扇形． 弧长公式 1.一个扇形的半径为8cm ，弧长为163 cm π，则扇形的圆心角为__________． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=20°，BC=3，以点C 为圆心，BC 的长为半径的⊙C 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则（劣弧）的长为（ ） A.π B.π C.π D.π 3.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=3，CE=1．则BD 的长是（ ）
A.3π B. 23π C. 3π D. 23π . 扇形面积公式 例题1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（） A.175πcm2 B.350πcm2 C.πcm2 D.150πcm2 例题2、如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为． 随练1、如图：⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（） A.π B.1 2 π C.2π D. 1 4 π 随练2、如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．
教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积 一、弧长和扇形的面积： 『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式 比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S = 360 n πR 2化为S = 180R n ·2 1 R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积： 1．圆锥的基本概念： 的线 段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线， 的线段叫做圆锥的高． 2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系： 将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式 圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形= 2 1 ·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式 S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ） A 1
三、例题讲解： 例1、（2011?德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为．例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD ∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15． （1）求此圆的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1． （1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系； （2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．
《弧长与扇形的面积》教案1 教学目标 【知识与技能】 理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算. 【过程与方法】 经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力. 【情感态度】 调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 教学重点 弧长公式及其运用. 教学难点 运用弧长公式解决实际问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 如图是某城市摩天轮的示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB =120°.你能想办法求出AB 的长度吗？ 【教学说明】学生根据AB 是120°是 13 周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础. 二、思考探究，获取新知 问题1在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______. 【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出. 问题2 1度的圆心角所对的弧长l =_____. 问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l =______. 【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了. 结论:半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为
·2360180 n n r l r ππ== 注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量. 三、典例精析，掌握新知 例1已知圆O 的半径为30cm ，求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm ) 解：()40302020.91801803 n R l cm πππ??===≈. 答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm . 【教学说明】此题是直接导用公式. 例2如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交点D ，若AC =6，求弧AD 的长. 【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠ACD 的度数即可. 解:连接CD . 因为∠B =15°，∠BCA =90°， 所以∠A =90°-∠B =90°-15°=75°. 又因为CA =CD ，所以∠CDA =∠A =75°. 所以∠DCA =180°-2∠A =30°. 所以AD 的长=306180 π?=π. 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角. 例3如图为一个边长为10cm 的等边三角形，木板ABC 在水平桌面绕顶点C 沿 顺时针方向旋转到△A ′B ′C 的位置.求顶点A 从开始到结束所经过的路程为多少？ 解：由题可知∠A ′CB ′=60°. ∴∠ACA ′=120°.A 点经过的路程即为AA ′的长.等边三角形的边长为10cm .即AA ′的半径为10cm . ∴AA ′的长=12010201803 ππ?= (cm ). 答：点A 从开始到结束经过的路程为 203πcm . 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了. 练习题：1、如课本图，是一个闹钟正面的内、外轮廓线.内轮廓线由一段圆弧和一条弦AB 组成，圆心为O ，半径为3.2cm ，圆心角∠AOB =83°，求内轮廓线的圆弧的长度.
弧长和扇形的面积圆锥侧面展开图 教案 夯实基础 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用 公式解决问题； 3. 能准确计算组合图形的面积. 查漏补缺 圆的性质。 中考考点 1、圆的有关概念； 2、圆周角与圆心角； 3、直线与圆的位置关系。 思维拓展 圆的综合问题。 弧长和扇形面积圆锥的侧面展开图 需掌握的知识点
要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 要点三、圆锥的侧面积和全面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积 2 360 l S rl π π = 扇 n =， 圆锥的全面积. 要点诠释： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
弧长和扇形面积—知识讲解 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）．
A B C ．π D ．3 2 π 图（1） 【答案】A. 【解析】连结OB 、OC ，如图（2） 则0OBA ∠?＝9， ，0A ∠?＝3，0AOB ∠?＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=?＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠?＝6. 则劣弧BC 的弧长为 60=1803 π，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：. 举一反三： 【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即 的长(结果精确到0.1mm) 【答案】R=40mm ，n=110 ∴的长==≈76.8(mm) 因此，管道的展直长度约为76.8mm ． 2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题； 3. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 要点三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则 圆锥的侧面积2 360 l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积. 要点诠释： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ， OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．3 B ．2 C ．π D ．32π 图（1） 【答案】A. 【解析】连结OB 、OC ，如图（2） 则0OBA ∠?＝9， ，0A ∠?＝3，0AOB ∠?＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=?＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠?＝6. 则劣弧BC ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式： . 举一反三： 【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到 0.1mm)
《圆》第四节弧长和扇形面积导学案1 主编人：占利华主审人：文档设计者：设计时间：文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载 班级：学号：姓名： 学习目标： 【知识与技能】 1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式 2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长 【过程与方法】 1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积 2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力 【情感、态度与价值观】 1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部 2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用 【重点】 弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积 【难点】 运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积 学习过程: 一、自主学习 （一）复习巩固 1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？ 2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一 部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？ （二）自主探究 1、如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm 1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
O B O B A A B O A B O A B O 2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道 的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)． 3、上面求的是110°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ?，如何计算它所对的弧长呢？ 请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180?、90?、45?、1?、n ?所对的弧长。 因此弧长的计算公式为 l =__________________________ 4、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1?的扇形面积是面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积 如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ， 那么扇形的面积为S = ___ . 因此扇形面积的计算公式： S =———————— 或 S =——————————
圆的弧长和扇形面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？ [生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
弧长与扇形面积一 1、（2013?徐州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为cm． 2. （2012山东泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若 ∠ABC=120°，OC=3，则BC的长为【】 A．πB．2πC．3πD．5π 3、（2013?嘉兴）如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头 侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长 cm B cm C cm D 4、（2013?苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为．（结 果保留π） 5、（2013?嘉兴）如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头 侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长 cm B cm C cm D 6、（2013?玉林）如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经 过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是m． 7、（2013?恩施州）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长 为． 2013宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧 EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是． 8. （2012山东德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径 的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于． 9、(2013?遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开 cm πcm 滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为cm． 11、（2013?黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线 l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为． 12、（2013?常州）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是cm，扇形的面 积是cm2（结果保留π）． 13. （2012山东日照）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆 半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1S2（用“>”、“<”或“=”填空）. 14、（2013?遂宁）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长 度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中 阴影部分的面积约是．（π≈3.14，结果精确到0.1）
＜弧长、扇形面积和圆锥＞练习卷 一、填空题 1． 在一个圆中，如果?60的圆心角所对的弧长是6πcm ，那么这个圆的半径r=_________． 2． 正n 边形的中心角的度数是_______?． 3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________． 4． 已知扇形的半径为3，圆心角为?60，那么这个扇形的面积等于_________． 5． 如果圆锥的高为8cm ，圆锥底面半径为6cm ，那么它的侧面积为_________cm 2． 6． 在一个周长为180厘米的圆中，长度为60厘米的弧所对圆心角为 度． 7． 已知扇形的弧长是π4cm ，面积为π122cm ，那么它的圆心角为 度． 8． 已知一个圆柱的高是π16cm ，如果它的侧面展开图是一个正方形， 那么底面半径是 cm ． 9． 已知圆柱的底面圆的半径为2 cm ，高为cm 10，那么它的侧面积是 2cm 10． 已知圆锥底面的面积为16πcm ，高为3cm ，那么它的全面积为 2cm ． 11． 如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，则图中阴影部分的面积是 ． 12． 如右下图，已知阴影部分甲比阴影部分乙的面积大240cm π，直径AB 长40 cm ， 则BC 的长是 ． 二、选择题 13．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）． A ．2：1 B ．1：2 C ．4:3 D ．2:3 14．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）． A ． 43 B ．23 C ．21 D ．4 1 15．如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的全面积是（ ）cm 2． A ．16π B ．20π C ．28π D ．36π 16．已知：如右上图，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心， 以BA 为 半径画弧，则阴影部分面积为（ ）． A ．(1-π)a 2 B ．1-π C ． 44π- D ．4 4π-a 2 17．已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=?90，AB=AC=2，以AB 为 直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为（ ）． A ．1 B ．2 C ．1+ 4π D ．2-4 π 18．如果一个正方形的周长和一个圆的周长相等，那么这两个图形的面积相比较，结果是（ ）． A ．正方形面积大 B ．圆的面积大 C ．一样大 D ．不能比较 19．在四个命题：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的有（ ）． D C B A O 乙 甲 D A
正多边形与圆、弧长与扇形面积 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法就是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数! 学习目标: ● 了解正多边形与圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系,会应用正多边形与圆的有关知识画正多边形. ● 通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n °的圆心角所对的弧长180n R l π=与扇形面积2360n R S π=扇的计算公式,并应用这些公式解决问题、 ● 了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题、 重点难点: ● 重点:正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;n °的圆心角所对的弧长180 n R l π=,扇形面积2360 n R S π=扇及它们的应用;圆锥侧面积与全面积的计算公式. ● 难点:正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;弧长与扇形面积公式的应用;由圆的周长与面积迁移到弧长与扇形面积公式的过程;圆锥侧面积与全面积的计算公式. 学习策略: ● 要结合图形真正理解掌握相关概念,注意多观察实物模型、多动手、 二、学习与应用 (一)多边形的内角与公式为 ,多边形的外角与为 、 (二)正ｎ边形有 个内角,每一个内角都 ,每一个内角的度数为 、 (三)正n 边形有 个外角,每一个外角都 ,每一个外角度数为 、 (四)正ｎ边形有 条对角线. (五)圆的半径为r ,则其周长为 ,面积为 、 知识点一:正多边形的概念 各边 ,各角也 的多边形就是正多边形、 要点诠释: “凡事预则立,不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性与针对性.知识要点——预习与课堂学习 知识回顾——复习 学习新知识之前,瞧瞧您的知识贮备过关了不？
6 弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积 一、 温故而知新 1、（2009 旅顺）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为 ． 2、（2009 海南）正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 点为圆心，AB 长为半径作AC ，则图中阴影部分的面积为（ ） A 、（4— π）cm 2 B 、（8—π ）cm 2 C 、（2π —4）cm 2 D 、（π —2）cm 2 3、（2008 山西）要在面积为1256m 2的三角形广场ABC 的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是 m （π取3.14） 4、（2009 陕西）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（ ） A 、48π B 、48 C 、24π D 、24 二、考点解读 （1）、考点 1、圆周长：C=2πR 2、弧长：L= 1 180 n πR 3、扇形面积：S= 1360n πR 2=1 2 LR 4、圆柱的侧面积 S=2πr ·h （r 是底面积，r 是底面半径） S 表 =S 侧 + 2S 底=2πr ·h+ 2πr 2 5、圆锥的侧面积 S=12 L ·2πr=πrL （L 是母线，r 是底面半径）
6 S 表=S 侧 + S 底=πrL+πr 2 （2）、难点 1、圆锥、圆柱侧面展开图的计算 2、弓形面积的求法：① 当弓形的弧是劣弧时 S 弓形=S 扇形－S ▲ ② 当弓形的弧是优弧时S 弓形=S 扇形+S ▲ 2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，一般不能直接利用公式，常采用① 割补法 ② 拼凑法 ③ 等积变形法 二、 例题讲解 1、如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，求这个圆锥的 侧面积． 解：根据条件得：圆锥母线长为10cm ，所以圆锥侧 面积为： S=πrL=π·6·10=60π 变式题：如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ， 则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为 2、AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、 BD 的延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的 面积是（ ） A 、43π－3 B 、2 3π C 、23π－3 D 、1 3π 解、∵AE ED DB == ∴ ∠A=∠ABC=600 ∴△ABC 是等边三角形 又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900 即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =43 π－3 故选A
2019-2020年九年级数学上册第28章圆28.5弧长和扇形面积的计算 练习新版冀教版 知|识|目|标 1．通过对扇形的认识，探索弧长公式及扇形的面积公式，能够利用公式计算弧长及扇形的面积． 2．通过对圆锥侧面展开图的探究，知道圆锥的侧面积和展开图扇形面积之间的关系，会计算圆锥的侧面积． 目标一掌握弧长及扇形面积的计算公式 例1 教材补充例题如图28－5－1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转120°至△A′B′C的位置，则点A经过的路线的长度是( ) 图28－5－1 A.32π 3 B．4 3 C．8 D. 8π 3 【归纳总结】利用弧长公式解题的“三个步骤” 第一步：从问题中找出公式所涉及三个量(弧长、弧所对的圆心角、半径)中的两个； 第二步：把已知的两个量代入弧长公式； 第三步：求出公式中的未知量． 例2 教材补充例题如图28－5－2，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形BAD的面积为________．
图28－5－2 例3 教材补充例题如图28－5－3，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为( ) 图28－5－3 A ．π－4 B.23π－1 C ．π－2 D.2π 3－2 【归纳总结】求图形面积的方法 求图形面积的方法一般有两种，规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则利用割补、旋转、平移等方法，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积或规则图形面积的和或差进行计算． 目标二 掌握圆锥的有关计算 例4 教材补充例题如图28－5－4，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( ) 图28－5－4 A ．40 cm B ．50 cm C ．60 cm D ．80 cm 【归纳总结】圆锥和侧面展开图之间的“两个对应” (1)圆锥的母线与展开后扇形的半径对应； (2)展开后扇形的弧长与圆锥底面圆周长对应． 根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法．
弧长及扇形的面积 教学目标 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学过程 一．创设问题情境，引入新课 如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗?纸扇面积是多少? 弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索． 二．活动与探究 探究一、1、已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）圆周长是多少？ （2）1°圆心角所对弧长是多少？ （3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？ （4）n°圆心角所对弧长是多少？ 如果设⊙O半径为R，圆心角为n°,所对弧长为l，那么l=？ 练习：1、圆弧形状的纸扇，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°,求出纸扇边沿的长度吗? 探究二、已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积? （1）半径为R的圆,面积是多少? （2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍？ （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少? 如果⊙O半径为R，圆心角为n°,扇形面积为S扇形，则S=？ 三、知识运用： 制作弯形管道时，需要先按中心线计算"展直长度"再下料，试计算下图中管道的展直长度，
即的长(结果精确到0.1mm)． 分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径． 解：R＝40mm，n＝110． ∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm．因此，管道的展直长度约为76.8mm． 四、思考： 弧长与扇形面积有什么关系？我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流． 五、随堂练习 1、如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°, 纸扇面积是多少? 2、一个扇形的圆心角为90o，半径为2，cm 则弧长= ，扇形面积= . 3、已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是（） A. 3π B.4π C.5π D.6π 六、课时小结 学了本节课你有哪些收获? 1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． 七、当堂检测 (1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为( ) (2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧长为( ) (3)已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______ (4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______。 八、课后作业 习题24.4 第4、5题
24.4 弧长和扇形面积习题 一、 选择题 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕 点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ） A ．1 B ．π C ．2 D ．2π (1) (2) (3) 3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆 都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm 4．圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 5．在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用剩余部分制作成一个底面直径 为80cm ，母线长为50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ） A ．228° B ．144° C ．72° D ．36° 6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，?从点A 出发 绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ） A ．3 B ． 332 C ．3 D ．3 二、填空题 1．如果一条弧长等于4 πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________． 2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍． 3．母线长为L ，底面半径为r 的圆锥的表面积=_______． 4．矩形ABCD 的边AB=5cm ，AD=8cm ，以直线AD 为轴旋转一周，?所得圆柱体的表 面积是__________（用含π的代数式表示） 5．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部 铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m 2 的油毡．