三角函数
1. 与(0°≤ < 360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):
终边在 x 轴上的角的集合:
终边在 y 轴上的角的集合:
终边在坐标轴上的角的集合:
终边在 y = x 轴上的角的集合:
终边在轴上的角的集合:
若角与角的终边关于 x 轴对称,则角与角的关系:
若角与角的终边关于 y 轴对称,则角与角的关系:
若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:
角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:
2. 角度与弧度的互换关系: 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零 .
、弧度与角度互换公式: 1rad =°≈ 57.30 ° =57 ° 18 ˊ. 1 °=≈ 0.01745 ( rad )
3 、弧长公式:. 扇形面积公式:
4 、三角函数: 设 是一个任意角,在 的终边上任取(异
于原点的)一点 P ( x,y ) P 与原点的距离为 r ,则
;
;
;
;
; .
.
5 、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
6 、三角函数线
正弦线: MP; 余弦线: OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: 三角函数
定义域
sin x cos x
tan x
cot x
sec x
csc x
r
o
x
y
a 的终边
P (x,y
)正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
8 、同角三角函数的基本关系式:
9 、诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系
公式组二
公式组三
公式组四
(3) 若 o 2 , 则sinx (2) (1) |sinx|>|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y 公式组五 公式组六 (二)角与角之间的互换 公式组一公式组二 公式组三公式组四公式组五 , , ,. 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: ( A 、> 0 ) 定 义 域 R R R 值 域 R R 周 期 性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非 偶 当奇函数 单调 性 上为增函 数;;上为增 函数 上 为增函数 () 上为 减函数 () 上为增函数; 上为减函数( ) 上为减函数 ( ) 上为减函数( ) 注意: 与 的单调性正好相反; 与 的单调性也同样相反 . 一般地,若 在 上递增(减),则 在 上递减(增) . 与 的周期是 . 或 ( )的周期 . 的周期为 2 ( ,如图,翻折无效) . 的对称轴方程是 ( ),对称中心( ); 的对称轴方程是 ( ),对称中心( ); 的对称中心( ) . 当 · ; · . 与 是同一函数 , 而 是偶函数,则 . 函数在上为增函数 . ( × ) [ 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的 ]. 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件 . (奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:) 奇偶性的单调性:奇同偶反 . 例如:是奇函数,是非奇非偶 . (定义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若的定义域,则一定有. (的定义域,则无此性质) 不是周期函数;为周期函数(); 是周期函数(如图);为周期函数(); 的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: . 有. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y = A sin (ω x +φ )的振幅 |A| ,周期,频率,相位初相(即当 x = 0 时的相位).(当 A > 0 ,ω > 0 时以上公式可去绝对值符号), 由 y = sin x 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当 | A| > 1 )或缩短(当 0 < | A| < 1 )到原来的 | A| 倍,得到 y = Asin x 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换.(用 y/A 替换 y ) 由 y = sin x 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长( 0 < | ω | < 1 )或缩 短( | ω | > 1 )到原来的倍,得到 y = sin ω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换. ( 用ω x 替换 x) 由 y = sin x 的图象上所有的点向左(当φ> 0 )或向右(当φ< 0 )平行移动|φ|个单位,得到 y = sin ( x +φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向 的平移. ( 用 x +φ替换 x) 由 y = sin x 的图象上所有的点向上(当 b > 0 )或向下(当 b < 0 )平行移动| b |个单位,得到 y = sin x + b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移.(用 y+(-b) 替换 y ) 由 y = sin x 的图象利用图象变换作函数 y = A sin (ω x +φ)( A > 0 ,ω> 0 )(x ∈ R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时, 原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 高中数学三角函数常见习题类型及解法 1. 三角函数恒等变形的基本策略。 ( 1 )常值代换:特别是用“ 1 ”的代换,如1=cos 2 θ +sin 2 θ =tanx · cotx=tan45 °等。 ( 2 )项的分拆与角的配凑。如分拆项: sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2 x=1+cos 2 x ;配凑角:α = (α + β)-β,β = -等。 ( 3 )降次与升次。( 4 )化弦(切)法。 ( 4 )引入辅助角。asin θ +bcos θ = sin( θ + ) ,这里辅助角所在象 限由 a 、 b 的符号确定,角的值由 tan = 确定。 2. 证明三角等式的思路和方法。 ( 1 )思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 ( 2 )证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3. 证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4. 解答三角高考题的策略。 ( 1 )发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 ( 2 )寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 ( 3 )合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例 1 .已知,求( 1 );( 2 ) 的值 . 解:( 1 ); (2) . 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。 例 2 .求函数的值域。 解:设,则原函数可化为 ,因为,所以 当时,,当时,, 所以,函数的值域为。 例 3 .已知函数。 ( 1 )求的最小正周期、的最大值及此时 x 的集合; ( 2 )证明:函数的图像关于直线对称。 解: (1) 所以的最小正周期,因为, 所以,当,即时,最大值为; (2) 证明:欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立, 因为, , 所以成立,从而函数的图像关于直线对称。 例 4 .已知函数 y= cos 2 x+ sinx · cosx+1 (x ∈ R ) , ( 1 )当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; ( 2 )该函数的图像可由y=sinx(x ∈ R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:( 1 ) y= cos 2 x+ sinx · cosx+1= (2cos 2 x - 1)+ + ( 2sinx · cosx ) +1 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x · sin +sin2x · cos )+ = sin(2x+ )+ 所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2k π , (k ∈ Z ),即 x= +k π , (k ∈ Z )。所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为 { x|x= +k π,k ∈ Z} ( 2 )将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ( i )把函数 y=sinx 的图像向左平移,得到函数 y=sin(x+ ) 的图像; ( ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(2x+ ) 的图像; ( iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数 y= sin(2x+ ) 的图像; ( iv )把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 综上得到 y= cos 2 x+ sinxcosx+1 的图像。 说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像 和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终 化成 y= sin ( ω x+ )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题( 1 )还可以解法如下:当 cosx=0 时, y=1 ;当cosx ≠ 0 时, y= +1= +1 化简得: 2(y - 1)tan 2 x -tanx+2y - 3=0 ∵ tanx ∈ R ,∴△ =3 - 8(y - 1)(2y -3) ≥ 0, 解之得:≤ y ≤ ∴ y max = ,此时对应自变量 x 的值集为 { x|x=k π + ,k ∈ Z} 例 5 .已知函数 (Ⅰ)将 f(x) 写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 b 2 =ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及此时函数 f(x) 的值域 . 解: (Ⅰ)由=0 即 即对称中心的横坐标为 (Ⅱ)由已知 b 2 = a c 即的值域为. 综上所述,,值域为. 说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 例 6 .在中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且, (1) 求的值; (2) 若,且 a=c ,求的面积。 解: (1) 由正弦定理及,有, 即,所以, 又因为,,所以,因为,所以,又,所以。 (2) 在中,由余弦定理可得,又, 所以有,所以的面积为 。 三角函数 一、选择题 ( 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 ) 1 .已知点 P (tan α ,cos α )在第三象限,则角α 的终边在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 .集合 M = { x | x =± ,k ∈ Z } 与 N = { x | x =,k ∈ Z } 之间的关系是 () A. M N B. N M C. M =N D. M ∩ N = 3 .若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角度是() A.60 ° B. - 60 ° C.30 ° D. - 30 ° 4 .已知下列各角( 1 ) 787°, (2) - 957°, (3) - 289°, (4)1711°,其中在 第一象限的角是 ( ) A. ( 1 )( 2 ) B. ( 2 )( 3 ) C. ( 1 )( 3 ) D. ( 2 )( 4 ) 5 .设 a < 0 ,角α 的终边经过点 P (- 3 a , 4 a ),那么sin α +2cos α 的值等 于() A. B. - C. D. - 6 .若cos( π +α ) =-,π <α <2 π ,则sin(2 π -α ) 等于() A. - B. C. D. ± 7 .若α是第四象限角,则π-α是() A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 8 .已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2 ,则这个圆心角所对的弧长是 () A.2 B. C.2sin1 D.sin2 9 .如果 sin x + cos x =,且 0 < x <π ,那么 cot x 的值是() A. - B. -或- C. - D. 或- 10 .若实数 x 满足 log 2 x = 2 + sin θ,则 | x + 1| + | x - 10| 的值等于() A.2 x - 9 B.9 - 2 x C.11 D.9 二、填空题 ( 本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 ) 11 . tan300°+ cot765°的值是 _____________. 12 .若= 2 ,则sin α cos α 的值是 _____________. 13 .不等式( lg20) 2cos x > 1 ,( x ∈ (0 ,π )) 的解集为 _____________. 14 .若θ满足 cos θ>-,则角θ的取值集合是 _____________. 15 .若 cos130°= a ,则 tan50°= _____________. - 16 .已知 f ( x ) =,若α ∈ ( ,π ) ,则f (cos α ) + f ( -cos α ) 可化简 为 ___________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17 .(本小题满分 12 分)设一扇形的周长为 C ( C > 0) ,当扇形中心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多少? 18 . ( 本小题满分 14 分)设 90°<α< 180°,角α的终边上一点为 P ( x , ) ,且 cos α= x ,求sin α 与tan α 的值 . 19 . ( 本小题满分 14 分 ) 已知≤ θ ≤ π ,sin θ =,cos θ =,求 m 的值 . 20 . ( 本小题满分 15 分 ) 已知 0°<α < 45°,且lg(tan α ) -lg(sin α ) = lg(cos α ) -lg(cot α ) + 2lg3 -lg2 ,求cos 3 α -sin 3 α 的值 . 21 . ( 本小题满分 15 分 ) 已知sin(5 π -α ) =cos( π +β ) 和cos( -α ) =-cos( π +β ) ,且 0 <α <π , 0 <β <π ,求α 和β 的值 . 三角函数 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 .下列函数中,最小正周期为π的偶函数是() A. y = sin2 x B. y = cos C. y = sin2 x + cos2 x D. y = 2 .设函数 y = cos(sin x ) ,则() A. 它的定义域是[- 1 , 1 ] B. 它是偶函数 C. 它的值域是[- cos1 , cos1 ] D. 它不是周期函数 3 .把函数 y = cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大 到原来的两倍,然后把图象向左平移个单位 . 则所得图象表示的函数的解析式为() A. y = 2sin2 x B. y =- 2sin2 x C. y = 2cos(2 x +) D. y = 2cos( +) 4 .函数 y = 2sin(3 x -) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是() A. B. C. π D. 5 .若sin α +cos α = m ,且-≤ m <- 1 ,则α 角所在象限是() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6 .函数 y = |cot x |·sin x ( 0 <x ≤ 且x ≠ π )的图象是() 7 .设 y =,则下列结论中正确的是() A. y 有最大值也有最小值 B. y 有最大值但无最小值 C. y 有最小值但无最大值 D. y 既无最大值又无最小值 8 .函数 y = sin (- 2 x ) 的单调增区间是() A. [kπ -,kπ +]( k ∈ Z ) B. [kπ +,kπ +]( k ∈ Z ) C. [kπ -,kπ +]( k ∈ Z ) D. [kπ +,kπ +]( k ∈ Z ) 9 .已知0 ≤ x ≤ π ,且-< a < 0 ,那么函数 f ( x ) = cos 2 x - 2 a sin x - 1 的最小值是() A.2 a + 1 B.2 a - 1 C. - 2 a - 1 D.2 a 10 .求使函数 y = sin(2 x +θ ) +cos(2 x +θ ) 为奇函数,且在[ 0 ,]上是增函数的θ的一个值为() A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11 .函数 y =的值域是 _____________. 12 .函数 y =的定义域是 _____________. 13 .如果 x ,y ∈ [ 0 ,π ],且满足 |sin x | = 2cos y - 2 ,则 x = ___________ ,y = ___________. 14 .已知函数 y = 2cos x ,x ∈ [ 0 , 2 π]和 y = 2 ,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是 _____________ 15 .函数 y = sin x + cos x + sin2 x 的值域是 _____________. 16 .关于函数 f ( x ) = 4sin(2 x +)( x ∈ R ) 有下列命题: ① 由 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = 0 可得 x 1 - x 2 必是π 的整数倍; ② y = f ( x ) 的表达式可改为 y = 4cos(2 x -) ; ③ y = f ( x ) 的图象关于点(-, 0) 对称; ④ y = f ( x ) 的图象关于直线 x =-对称 . 其中正确的命题的序号是 _____________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 .(本小题满分 12 分)如图为函数 y =A sin( ωx +φ )( A > 0 ,ω > 0) 的图象的一部分,试求该函数的一个解析式 . 18 .(本小题满分 14 分)已知函数 y = (sin x + cos x ) 2 +2cos 2 x .( x ∈ R ) (1) 当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合 . (2) 该函数图象可由 y =sin x ( x ∈ R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 19 .(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) =(sin x - cos x ) ( 1 )求它的定义域和值域;( 2 )求它的单调减区间; ( 3 )判断它的奇偶性;( 4 )判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期 . 20 .(本小题满分 15 分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图),为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面 . 若水渠横断面面积设计为定值 m ,渠深 3 米,则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时,方能使修建的成本最低? 21 . ( 本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = sin( ωx +φ )( ω> 0 ,0 ≤ φ≤ π ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点 M (, 0) 对称,且在区间[ 0 ,]上是单调函数,求φ和ω的值 . 倒数关系: tan α · cot α =1 sin α · csc α =1 cos α · sec α =1 商的关系: sin α /cos α =tan α =sec α /csc α cos α /sin α =cot α =csc α /sec α 平方关系: sin^2( α )+cos^2( α )=1 1+tan^2( α )=sec^2( α ) 1+cot^2( α )=csc^2( α ) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2( α )+cos^2( α )=1 tan α *cot α =1 一个特殊公式 (sina+sin θ) * ( sina-sin θ) =sin (a+ θ) *sin ( a- θ) 证明:(sina+sin θ) * ( sina-sin θ)=2 sin[( θ +a)/2] cos[(a- θ )/2] *2 cos[( θ +a)/2] sin[(a- θ )/2] =sin (a+ θ) *sin ( a- θ) 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母 i 表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如 i=1:5. 如果把坡面与水平面的夹角记作 a( 叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦:sin α = ∠α的对边/ ∠α 的斜边 余弦:cos α = ∠α的邻边/ ∠α的斜边 正切:tan α = ∠α的对边/ ∠α的邻边 余切:cot α = ∠α的邻边/ ∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA · cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即 Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A= ( 2tanA ) / ( 1-tan^2(A) ) 三倍角公式 sin3 α =4sin α· sin( π /3+ α )sin( π /3- α ) cos3 α =4cos α· cos( π /3+ α )cos( π /3- α ) tan3a = tan a · tan( π /3+a) · tan( π /3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin 2 a)+(1-2sin 2 a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos 2 a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin 2 a) =4sina[( √ 3/2) 2 -sin 2 a] =4sina(sin 2 60 ° -sin 2 a) =4sina(sin60 ° +sina)(sin60 ° -sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60 ° -a)/2]*2sin[(60 ° -a)/2]cos[(60 ° -a)/2] =4sinasin(60 ° +a)sin(60 ° -a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos 2 a-3/4) =4cosa[cos 2 a-( √ 3/2)^2] =4cosa(cos 2 a-cos 2 30 ° ) =4cosa(cosa+cos30 ° )(cosa-cos30 ° ) =4cosa*2cos[(a+30 ° )/2]cos[(a-30 ° )/2]*{-2sin[(a+30 ° )/2]sin[(a-30 ° )/2]} =-4cosasin(a+30 ° )sin(a-30 ° ) =-4cosasin[90 ° -(60 ° -a)]sin[-90 ° +(60 ° +a)] =-4cosacos(60 ° -a)[-cos(60 ° +a)] =4cosacos(60 ° -a)cos(60 ° +a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60 ° -a)tan(60 ° +a) 现列出公式如下: sin2 α =2sin α cos α tan2 α =2tan α /(1-tan^2( α )) cos2 α =cos^2( α )-sin^2( α )=2cos^2( α )-1=1-2sin^2( α ) 可别轻视这些字符 , 它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中 三倍角公式 sin3 α =3sin α -4sin^3( α )=4sin α· sin( π /3+ α )sin( π /3- α ) cos3 α =4cos^3( α )-3cos α =4cos α· cos( π /3+ α )cos( π /3- α ) tan3 α =tan( α )*(- 3+tan( α )^2)/(-1+3*tan( α )^2)=tan a · tan( π /3+a) · tan( π /3-a) 半角公式 sin^2( α /2)=(1-cos α )/2cos^2( α /2)=(1+cos α )/2 tan^2( α /2)=(1-cos α )/(1+cos α ) tan( α /2)=sin α /(1+cos α )=(1-cos α )/sin α 万能公式 sin α =2tan( α /2)/[1+tan^2( α /2)] cos α =[1-tan^2( α /2)]/[1+tan^2( α /2)] tan α =2tan( α /2)/[1-tan^2( α /2)] 其他 sin α +sin( α +2 π /n)+sin( α +2 π *2/n)+sin( α +2 π *3/n)+ …… +sin[ α +2 π *(n-1)/n]=0 cos α +cos( α +2 π /n)+cos( α +2 π *2/n)+cos( α +2 π *3/n)+ …… +cos[ α +2 π *(n-1)/n]=0 以及sin^2( α )+sin^2( α -2 π /3)+sin^2( α +2 π /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式 sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((- 1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3- 6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式 sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(- 7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式 sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(- 高数常用公式 平方立方: 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin + sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2kπ+α)= sinα cos (2kπ+α)= cosα tan (2kπ+α)= tanα cot (2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)= -sinα cos (π+α)= -cosα tan (π+α)= tanα cot (π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即: 函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式: 【立方计算公式,不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式: a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2) 立方差公式: a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式: a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? = 1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=1 1() (1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?= 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2 d x x ax b +? = 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d () x x ax b +? =1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +? =2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7.2 d () x x ax b +? =2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8.2 2 d () x x ax b +? = 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9.2 d () x x ax b +? = 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10.x ? = C 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?= 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13.x ? = 2 2(23ax b C a -+ 14 .2 x ? = 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>? ? 16 .? =2a bx b - - ? 17.d x x ? =b ? 18.2 d x x ? =2 a x -+ ?(三)含有22x a ±的积分 19.2 2 d x x a +?= 1arctan x C a a + 20.22d () n x x a +? = 2 2 2 1 2 2 21 23d 2(1)() 2(1)() n n x n x n a x a n a x a ---+ -+-+? 21.2 2 d x x a -? = 1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2 d x ax b +? =(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23.2 d x x ax b +? = 2 1 ln 2ax b C a ++ 三角函数公式大全关系: 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 (sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ) 证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ) 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦: sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan 或tg) 余切(cot 或ctg) 正割(sec) 余割(csc) 函数关系 倒数关系: 商数关系: 平方关系: . 诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 其中的奇偶是指的奇偶倍数,变余不变试制三角函数的名称变化若变,则是正弦变余弦,正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋,来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终 边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数 值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得 到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终 边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负 值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角 的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要项数要 最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。 高等数学公式 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=, , , 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22) 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·积化和差公式: sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) csc(2α)=1/2*secα·cscα ·三倍角公式: sin(3α) = 3sinα-4sin^3α= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1) ·n倍角公式: sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-… cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-… ·半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cos α)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) 三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈°=57°18ˊ. 1°=180 π≈(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α 原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y =αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 常用公式表(一) 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式: ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系: (1)若N a b =,则 N b a log = (2)若N b =10 ,则N b lg = (3)若N e b =,则N b ln = 4、对数公式: (1) b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == (3)N a aN =log ,ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = (5)a b b e a ln = (6)N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- (8) M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式: (1)22sin cos 1α α+= (2)2 2 1tan sec αα += (3)221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式: (1)α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - (3)α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式(降幂公式): ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = + 此文档分为两部分:高等数学公式(13页)和补充的三角函数公式(7页)。 声明:源材料来自网络,自己稍加整理。 第一部分:高等数学公式 导数公式: 基本积分表: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 三角函数与反三角函数 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ·半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ)(tanφ=B/A) Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ)(tanφ=A/B) ·万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) ·降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ -tanγ·tanα) ·和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2 d () x x ax b +? =21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9. 2 d () x x ax b +? =211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 . x ? C + 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a - 12 .x x ? =2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 . x ? =22 (23ax b C a - 14 . 2x ? =222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? =2a bx b -- 17 . x ? =b ?18. 2d x x ? =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a + 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)高等数学常用公式大全
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