2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结
知识点梳理： 1. 双曲线的定义
第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;
当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
)0,(122
22>=-b a b
y a x )0,(122
22>=-b a b
x a y 图像
性 质
焦点 )0,(),0,(c c -
),0(),,0(c c -
焦距 c 2
范围
R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||
对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点
)0,(),0,(a a -
),0(),,0(a a -
轴 实轴长2a ，虚轴长2b
离心率 (1,)c
e a
=
∈+∞ 渐近线
x a
b
y ±
= x b
a y ±
= 2．共渐近线的双曲线系方程：
与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上． 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； 3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝
c ，tan ∠AOB
＝b
a ， △OF 2D 中，|F 2D |＝
b .
4. 注意定义中“陷阱”
问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为
点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支
12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116
92
2>=-
x y x 5. 注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2
3
±=，则离心率为
点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，3
13
=
e
热点考点题型探析
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
[例1] 已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )
A ．x ＝0 B. x 22－y 214＝1(x ≥2) C. x 22－y 2
14＝1
D. x 22－y 2
14＝1或x ＝0
解析：如右图，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆M 与两圆都相内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切. ④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则
|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2
故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2
根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b ＝c 2
－a 2
＝14，其方程为x 22－y 2
14＝1. 由①②③④可知选D.
练习
1.设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）
A ．36
B ．12
C ．312
D ．24
解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①
又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF
,52||,52||||2212221==+F F PF PF
为21F PF ∴直角三角形，
.12462
1
||||212121=??=?=
∴?PF PF S F PF 故选B 。
2. 如图2所示，F 为双曲线116
9:
2
2=-y x C 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则
F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27 [解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C
3. P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，
且焦距为2c ，则21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+
［解析］设21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为0x ，
由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2），求
双曲线C 的方程．
[解析] 解法一：设双曲线方程为22
a x －22b
y =1.由题意易求c =25.
又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24
b
=1.
又∵a 2
+b 2
=（25）2
，∴a 2
=12，b 2
=8. ∴所求双曲线的方程为122
x －8
2y =1.
解法二：设双曲线方程为k x -162
－k y +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，
所以双曲线方程为122
x －8
2y ＝1.
练习
4. 已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线
的方程为 ；
[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为
14
2
2
=-
λ
λ
y x ，20104
52
=∴=∴λλ
， 当0<λ时，化为14
22
=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205
x y -
=或12052
2=-x y 5. 以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为______________.
[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，
9)32(342
=∴=∴λλ，双曲线方程为13
922=-y x 6. 已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与
圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
A ．22
1(1)8y x x -=<- B ．22
1(1)8
y x x -=> C ．1822
=+y x （x > 0） D ．22
1(1)10
y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围
[例3] 已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P
在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决
[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得
183PF a =
，22
3
PF a =，在12PF F ?中，由余弦定理，得22
2
221898173
2382494964cos e a a c a a PF F -=??-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最
小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53
e =．即e 的最大值为5
3．
(方法2) a c a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于3
5
,421≤∴≥-+
e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=
，∵a x ≥，∴3
5
≤e ，∴e 的最大值为5
3
．
总结
（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；
（2）点P 在变化过程中，|
||
|21PF PF 的范围变化值得探究；
（3）运用不等式知识转化为c b a ,,的齐次式是关键 练习
7. 已知双曲线22
1x y m n
-=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为
．
[解析]当0,0>>n m 时，16
9=n m ，9252=+=m n m e ，当0,0< 2=+=n n m e ，=∴e 53或54 8. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲 线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ） A ．2 15+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在 [解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2 +=， =+∴c a a 2 c ab ?3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题 [例4]若双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双 曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3 C.5 D.2 【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系 [解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122 222 =+==a b a c e ,所以 5=e 【新题导练】 9. 设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为 ( C ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2 2x D ．y ＝ ±12x 10.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（ ） A.ab B.a 2＋b 2 C ．a D ．b 解析：右焦点为F (c,0)，渐近线为bx ±ay ＝0，所求圆半径r 等于F (c,0)到直线bx ±ay ＝0的距离． 考点3 双曲线的综合应用 [例6] 已知等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上一定点P (x 0，y 0)及曲线C 上两动点A 、B 满足(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＝0.(其中O 为原点) (1)求证：(OA →＋OP →)·(OB →＋OP →)＝0. (2)求|AB |的最小值． 解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AP 、BP 中点分别为M 、N ， 则x 21－y 21＝a 2，x 20－y 20＝a 2，∴x 21－x 20＝y 21－y 20 ∴ y 1－y 0x 1－x 0＝x 1＋x 0y 1＋y 0 同理y 2－y 0x 2－x 0＝x 2＋x 0 y 2＋y 0 ∵(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＝0， ∴AP →·BP →＝0，即AP →⊥BP → ∴ y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，∴x 1＋x 0y 1＋y 0·x 2＋x 0 y 2＋y 0 ＝－1 ∴OM ⊥ON 即(OA →＋OP →)·(OB →＋OP →)＝0 (2)又∵∠MON ＋∠MPN ＝π易知O 、M 、N 、P 四点共圆，且MN 为圆的直径，OP 为圆的任一弦， 故|MN |≥|OP | ∴|AB |≥2|OP |＝2x 20＋y 20 因此|AB |最小值为2x 20＋y 20. 10. (2010·广州一中)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直 线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若AB →＝12BC → ，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.10 解析：过点A (a,0)的直线的方程为y ＝－x ＋a ，则易求得该直线与双曲线的 渐近线y ＝±b a x 的交点B 、C 的坐标为B ? ????a 2 a ＋ b ，ab a ＋b 、C ? ????a 2a －b ，－ab a －b ，由AB →＝12BC → 得b ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝ 5. 故选C 课后练习 1. 以椭圆 221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线22 1916 x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-= [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b ，选A 2. 已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点， 且满足120MF MF ?= ，12||||2MF MF ?= ，则该双曲线的方程是 （ ） A ．2219x y -= B ．22 19y x -= C ．22137x y -= D ．22173 x y -= [解析]由 12||||2MF MF ?= 和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A 3. 两个正数a 、b 的等差中项是 9 2 ，一个等比中项是25，且,b a >则双曲线12 22 2=- b y a x 的离心率为( ) A ．53 B ．414 C ．54 D ．415 [解析] 414,5=∴==c b a ，选D 4. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线 的一个公共点，且满足021=?PF PF ，则2 212 2 21) (e e e e +的值为( ) A ． 2 1 B ．1 C ．2 D ．不确定 [解析] C. 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1， m a PF -=||2， 2224)()(c m a m a =-++21 1222 21222=+∴ =+∴e e c m a 5.已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过F 1且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） (A).),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3( [解析] 210122122222 + a b ，选B 6. 曲线 )6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(1952 2<<=-+-n n y n x 的 （ ） A ．焦距相等 B ．焦点相同 C ．离心率相等 D ．以上都 不对 [解析] 方程 )6(16102 2<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(1952 2<<=-+-n n y n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线， )5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A 7. 已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线 13222 22=-n y m x 有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程； （2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面 积为4 3 ，求双曲线的方程 [解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为 22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 4 3 ±=，． （2）设渐近线x y 4 3± =与直线c x l =:交于A 、B ，则23||c AB =，=?=?2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又4 3 = a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为13 1916192 2=-y x 8. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为( ) 3,0. （Ⅰ）求双曲线C 的方程 （Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?> OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围 解（1）设双曲线方程为22 221-=x y a b 由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b 故双曲线C 的方程为2 213 -=x y . （2）将2=+y kx 代入2 213-=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得() 22 22 1306236(13)36(1)0 ?-≠? ? ?=+-=->?? k k k 即21 3 ≠ k 且21 629 ,1313-+==--A B A B x y x y k k ，由2?> OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x 22 22 2 96237 (1)222131331 -+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即22 39031 -+>-k k 解此不等式得2 1 3.3< 13 < 故的取值范围为33(1,),133??-- ? ??? 双曲线考点与题型归纳 一、基础知识 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a?(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线?.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．?当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支. 当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. ?若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的 标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)． (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的 标准方程为y2 a2－x2 b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质 二、常用结论 (1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a ，也叫通径． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . (4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . 考点一 双曲线的标准方程 [典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 2 12＝1 B.y 23－x 2 2＝1 C ．x 2－ y 2 3 ＝1 D.3y 223－x 2 23 ＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12＝1 B.x 212－y 2 4＝1 C.x 23－y 2 9 ＝1 D.x 29－y 2 3 ＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0， b ＞0)，由题意得??? 4a 2－9 b 2 ＝1，b a ＝ 3， 解得? ???? a ＝1， b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2 －y 2 3 ＝1； 当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得 双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心 率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通 径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________ 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝± 2 2 x D.y ＝± 32 x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2 －a 2 ＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝c a ＝ 1＋? ?? ??b a 2 ＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2 x . 答案 A 2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN → ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23 (x ＋2)，由?????y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2 －5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN → ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D 3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点， 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值． 解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=． 因此选C ． 例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用． （三）求曲线的方程 双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 第二章 2.3 双曲线 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 2014年高考双曲线专题复习总结 知识点梳理： 1. 双曲线的定义 第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 )0,(122 22>=-b a b y a x )0,(122 22>=-b a b x a y 图像 性 质 焦点 )0,(),0,(c c - ),0(),,0(c c - 焦距 c 2 范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,|| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(),0,(a a - ),0(),,0(a a - 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 (1,)c e a = ∈+∞ 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 2．共渐近线的双曲线系方程： 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上． 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； 3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝ c ，tan ∠AOB ＝b a ， △OF 2D 中，|F 2D |＝ b . 4. 注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 5. 注意焦点的位置 问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3=b a ，313=e 热点考点题型探析 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1] 已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝0 B. x 22－y 214＝1(x ≥2) C. x 22－y 2 14＝1 D. x 22－y 214 ＝1或x ＝0 解析：如右图，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆M 与两圆都相内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切. ④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则 |MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方 程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则= ||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值． 解：Θ双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009 山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ．45 B ．5 C ． 2 5 D ．5 解析：双曲线 12 222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组 21 b y x a y x ? =?? ?=+?，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选 D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009 全国Ⅰ理）设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐 近线与抛物线2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )356解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选C ． 例4（2009 江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个 焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 2 B ．2 C ．52 D ．3 第八篇平面解析几何 专题8.07双曲线及其几何性质 【考试要求】 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 【知识梳理】 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a a ， b ， c 的关系 c 2＝a 2＋b 2 【微点提醒】 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a . 2.离心率e ＝c a ＝a 2＋ b 2a ＝ 1＋b 2 a 2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( ) (4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±y n ＝0.( ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1 e 22＝1(此条件中两条 双曲线称为共轭双曲线).( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 【解析】 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部. (3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线. 【教材衍化】 2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 【答案】 x 28－y 2 8＝1 【解析】 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点 A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 2 8 ＝ 1. 3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－ y 2 16 ＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 6 【解析】 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦 二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=． 的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ． 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠． 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠． 第二章 2.3 双曲线 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一 条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ 2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 1. 双曲线的定义 第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 )0,(122 22>=-b a b y a x )0,(122 22>=-b a b x a y 图像 性 质 焦点 )0,(),0,(c c - ),0(),,0(c c - 焦距 c 2 范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,|| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(),0,(a a - ),0(),,0(a a - 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 (1,)c e a = ∈+∞ 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 2．共渐近线的双曲线系方程： 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上． 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； 3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝ c ，tan ∠AOB ＝b a ， △OF 2D 中，|F 2D |＝ b . 4. 注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 5. 注意焦点的位置 问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，3 13 = e 热点考点题型探析 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1] 已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝0 B. x 22－y 214＝1(x ≥2) C. x 22－y 2 14＝1 D. x 22－y 2 14＝1或x ＝0 解析：如右图，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆M 与两圆都相内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切. ④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则 双曲线高考知识点及题型总结—(最新最全) 目录 双曲线知识点 (2) 1双曲线定义： (2) 2.双曲线的标准方程： (2) 3.双曲线的标准方程判别方法是： (2) 4.求双曲线的标准方程 (2) 5.曲线的简单几何性质 (2) 6曲线的内外部 (3) 7曲线的方程与渐近线方程的关系 (3) 8双曲线的切线方程 (3) 9线与椭圆相交的弦长公式 (4) 高考知识点解析 ........................................................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点一：双曲线定义问题 ............................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点二：双曲线标准方程问题 .................................................................................... 错误!未定义书签。 知识点三：双曲线在实际中的应用 ................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点四：双曲线的简单几何性质的应用 .................................................................... 错误!未定义书签。 知识点五：双曲线的离心率 ............................................................................................ 错误!未定义书签。 知识点六：直线与双曲线 (6) 考题赏析 .............................................................................................................................................................. 7-13分块讲练 .................................................................................................................................... 错误!未定义书签。 【学习目标】 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的实际背景及其简单应用. 【高考模拟】 一、单选题 1．设、分别是双曲线C：的左右焦点，点在双曲线C的右支上，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的性质求出c的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可． 【详解】 【点睛】 本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键． 2．设是双曲线的左右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点， ， ，， 为坐标原点，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出双曲线的方程为，再求出点P 的坐标，最后求 . 【详解】 【点睛】 （1）本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些 知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 双曲线的通径为. 3．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率. 【详解】 直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴， 根据双曲线的对称性，设点，， 则，即，且， 又直线的倾斜角为， 直线过坐标原点，， ，整理得，即，解方程得，（舍） 故选D. 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题. 圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法： 1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出. 根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率. 双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。 重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点 坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 专题１0.2 双曲线 【三年高考】 1. 【２01７高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213 x y -=的右准线与它的两条渐 近线分别交于点P ，Q ,其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ . 2. 【2016高考江苏】在平面直角坐标系x Ｏy 中,双曲线22 173 x y -=的焦距是 ▲ . 【答案】210 【解析】 试题分析:222227,3,7310,10,2210a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=.故答案应 填：210 【考点】双曲线性质 【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质,而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相 关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22 221(0,0)x y a b a b -=>>揭示焦 点在x 轴,实轴长为2a ,虚轴长为2b ，焦距为2222c a b =+,渐近线方程为b y x a =±,离心率 为22c a b a a +=． 2.【２012江苏,理8】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 22 214 x y m m -=+的离心率为5，则ｍ的值为__________. 【答案】2 【解析】根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在ｘ轴上,且ａ2＝m ，b2=m2+4， 故c ２=m ２＋m ＋４,于是222 224 (5)c m m e a m ++===,解得m=２，经检验符合题意． 4.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22 221x y a b -=（0a >,0b >）的一条渐近线被圆 () 2 224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ) A ．2 B. 3 C ． 2 双曲线知识点 知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且） 的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，， 对称性关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率 渐近线方 程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线 根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） 双曲线常考重难点题型归纳 必考点1： 双曲线的定义 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0) 图形 例题1： 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（ ） A ． 22 2 B 410 C 7 D 10 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，2 2 2 413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()2 2 103 y x x -=>，而点P 还在函数 2 34y x =-()2 2210334y x x y x ???->-==??，解得13233 2x y ?=? ???=??，即13271044OP =+= D. 例题2： 已知F 为双曲线22 :149 x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚 轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________． 【解析】根据题意，双曲线 22 :1 49 x y C-=的左焦点(13,0) F-，所以点(13,0) A是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图： ||||24 PF AP a -==①||||24 QF QA a -==②而||12 PQ=，①＋②得： ||||||8 PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32 PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32． 【小结】 1.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 双曲线的标准方程 例题3：已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（） A. 22 1 412 x y -= B. 22 1 124 x y -= C. 2 21 3 x y -= D. 2 21 3 y x-= 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：222 2 tan603 c c a b b a ? ?= ? =+ ? ? ?== ? ，解得：22 1,3 a b ==， 双曲线方程为： 2 21 3 y x-=.本题选择D选项.双曲线考点与题型归纳
双曲线知识点复习总结
部编版2020高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习
双曲线题型归纳含(答案)
双曲线知识点归纳总结
2014年高考双曲线专题复习总结
双曲线-题型归纳-含答案
专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结
双曲线知识点归纳总结
2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结
双曲线高考知识点及题型总结
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
经典双曲线知识点
高考数学总复习专题102双曲线
双曲线知识点总结 (1)
双曲线重难点题型归纳
相关主题
文本预览