环境工程系统工程学
——GM(1,1)灰色模型预测
南通市人口
组员：金艳青李月寒陆祎韵王翻翻杨小梅张月
GM(1,1)灰色模型预测南通市人口
摘要：人口预测是制定国民经济计划、区域发展规划、城市总体规划的基础，对研究区域和城市发展战略具有重要意义。本文以灰色预测理论为指导，选取南通市不同时期的三组样本分别建立了人口规模GM(1,1)模型，并对未来人口规模进行了预测和精度分析。
关键词：灰色预测、GM(1,1)模型、南通市人口预测
1人口预测的意义
人口增长是影响一个国家、一个地区持续发展的重要因素。自第二次世界大战结束以来，世界人口进入了快速增长时期。1987年7月11日世界人口突破50亿大关，而据联合国人口基金会的估计，世界人口将在本世纪末超过60亿，其中新增人口的90%集中在发展中国家。人口的过速增长已经带来了诸如环境污染、资源短缺等一系列问题。
由于人口数量极其增长速度在区域发展战略中具有举足轻重的地位，因此在制定国民经济计划、区域发展规划、城市总体规划以及区域或城市发展战略时，人口问题便自然成为必须深入探讨的一项课题，其中对研究地区未来人口的预测更显重要。
人口发展受多种因素的影响如人口政策受教育程度、经济条件、社会发展水平、宗教习俗、自然环境等等。人口预测就是根据人口现状及对影响人口发展的各种因素的假设，对未来人口规模、结构、变动和趋势所作的测算。但是，在影响人口发展的各种因素中，对特定地区的人口发展而言，许多因素是不能定量描述的或模糊的，有些因素甚至是不可知的。所以，利用传统的计量方法建立人口预测模型时，对那些不可知或部分不可知的影响因素很难把握。实际上，人口发展是一个比较典型的灰色系统，利用灰色系统理论建立预测模型进行人口预测，能够获得比较满意的效果[1]。本文用GM(1,1)模型对江苏省南通市人口规模进行预测，进而对其预测精度进行一些必要的探讨。
2人口预测模型的选择
2.1相关模型介绍
2.1.1一元线性模型
一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法。常用统计指标：平均数、增减量、平均增减量，其确定直线的方法是最小二乘法最小二乘法的基本思想：最有代表性的直线应该是直线到各点的距离最近。然后用这条直线进行预测。
一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x 与Y的线性回归方程进行预测的方法。由于市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个因素的影响。所以应用一元线性回归分析预测法，必须对影响市场现象的多种因素做全面分析。只有当诸多的影响因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析市场预测法进行预测。
一元线性回归分析法的预测模型为：
（1）
式中，x t代表t期自变量的值；
代表t期因变量的值；
a、b代表一元线性回归方程的参数。
a、b参数由下列公式求得（用代表）：
为简便计算，我们作以下定义：
(2)
式中：
这样定义a、b后，参数由下列公式求得：
(3)
将a、b代入一元线性回归方程Y t = a + bx t，就可以建立预测模型，那么，只要给定x t值，即可求出预测值。
在回归分析预测法中，需要对Ｘ、Ｙ之间相关程度作出判断，这就要计算相关系数Ｙ，其公式如下：
相关系数r的特征有：
①相关系数取值范围为：-1≤r≤1 。
②r与b符合相同。当r>0，称正线性相关，X i上升，Y i呈线性增加。当r<0，称负线性相关，X i上升，Y i呈线性减少。
③|r|=0，X与Y无线性相关关系；|r|=1，完全确定的线性相关关系；0<|r|<1，X与Y存在一定的线性相关关系；|r|>0.7，为高度线性相关；
0.3<|r|≤0.7，为中度线性相关；|r|≤0.3，为低度线性相关。
(4)
2.2．2马尔萨斯模型
最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记t时刻的人口总数为x(t)。初始时刻t=0时的人口为x0。人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。在r>0时，人口将按指数规律增长。
但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。
历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。
基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。最简单的假定是r是x
的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因此就有，这个模型就是Logistic模型。
Logistic模型
2.2.3灰色预测GM（1,1）
如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特性为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型(Grey Model)，简称GM模型，它揭示了系统内部事物连续发展变化的过程。
灰色模型（grey models）就是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
从灰色系统中抽象出来的模型。灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统，这样的系统普遍存在。研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。灰色系统理论是控制论的观点和方法延伸到社会、经济领域的产物，也是自动控制科学与运筹学数学方法相结合的结果。
如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序
列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。
基本思想是用原始数据组成原始序列(0)，经累加生成法生成序列(1)，它可以弱化原始数据的随机性，使其呈现出较为明显的特征规律。对生成变换后的序列(1) 建立微分方程型的模型即GM模型。GM(1,1) 模型表示1阶的、1个变量的微分方程模型。GM(1,1) 模型群中，新陈代谢模型是最理想的模型。这是因为任何一个灰色系统在发展过程中，随着时间的推移，将会不断地有一些随即扰动和驱动因素进入系统，使系统的发展相继地受其影响。用GM(1,1) 模型进行预测，精度较高的仅仅是原点数据(0)(n) 以后的1到2个数据，即预测时刻越远预测的意义越弱[3]。而新陈代谢GM(1,1)模型的基本思想为越接近的数据，对未来的影响越大。也就是说，在不断补充新信息的同时，去掉意义不大的老信息，这样的建模序列更能动态地反映系统最新的特征，这实际上是一种动态预测模型。
2灰色预测与GM(1,1)模型的建立
2.1 灰色系统和灰色预测
灰色系统(Grey System)理论是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论。该理论将信息完全明确的系统定义为白色系统，将信息完全不明确的系统定义为黑色系统，将信息部分明确、部分不明确的系统定义为灰色系统。
灰色预测是应用灰色模型GM(1,1)对灰色系统进行分析、建模、求解、预测的过程。由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机分布，也能得到较高的预测精度。因此，灰色预测在社会经济、管理决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的应用[2]。
灰色预测的特点是单数列预测。在形式上，只运用预测对象自身的时间序列建立模型，与其相关联的因素没有参与运算和建模。这是否说，那些因素对预测对象没有影响和作用呢?模型是否不够全面或完善呢?并不是，灰色系统的“灰”，正体现在这里。任何一个客观系统，究竟含有多少因素，是难以说清楚的。如对于人口系统，影响其增长的因素既有社会经济的，也有自然环境的，还有科学技术方面的。这些众多的因素，不是用几个指标所能表达清楚的。而且，这些因素之间的结构关系难以准确描述，它们对人口增长的作用更是无法精确计算。多数因素都在动态变化之中，其运行机制和变化规律难以完全明白。这反映了人口系统具有明显的灰色性，他是一个既含有许多已知信息，又存在许多未知或未确知信息的灰色系统。灰色系统理论把这样受众多因素影响，而又无法确定其复杂关系的量，称为灰色量。对灰色量进行预测，不必拼凑数据不准，关系不清、变化不明的参数，而是从自身的时间序列中寻找有用信息建立模型，发现和认识内在规律，并进行预测。但不是说，像人口这样的灰色量不受任何因素的影响，而是说，他们时间序列数据的动态变化，正是那些主要的、次要的，直接的、间接的，已知的、未知的，明显的、隐含的众多因素相互联系、相互制约协同作用的结果。实际上它们的影响，已或多或少地反映在起伏波动的数据里。如每年的总人口数，既有育龄妇女当年生育的因素，也受育龄妇女没有生育的影响，既有老人自然死亡的因素，也有疾病、事故、自然灾害等的影响，既有国家计划生育政策的积极作用，也受传统思想的影响等。正是这些既明白又不完全清楚的众多因素共同作用的结果，才获得现实的一个灰色量——总人口数。
灰色预测的另一特点是不追求大样本量。灰色系统分析有个重要原则就是现实信息优先的原则，即在处理历史信息和现实信息的关系时，重视现实信息。这是由于在信息不完全系统中，表征或反映它的状态特征和行为的主要是现实信息，直接影响系统未来发展趋势、起着主导作用的也是现实信息；同时在历史信息中，能反映客观事物发展规律的那部分信息，都会以这样或那样的方式被现实信息所载有。这一点对于社会、经济等本征性灰色系统更为明显。显然，我们不能用改革开放前的社会经济信息来描述和表征改革开放后的社会经济状态，更不能将它作为主要依据来预测未来社会经济的发展趋势。所以，灰色预测不追求大量历史数据，也不苛求它的典型分布。而是对已掌握的部分信息进行合理的技术
处理，通过建立模型，在更高的层次上，对系统动态过程进行科学的描述[3]。
2.2 GM(1,1)模型建立的基本过程[4]
GM(1,1)模型是基于累加生成的数列预测模型，建立的步骤为：
(1)x (0)(1), x (0)(2)，……x (0)(Ｍ)错误！未找到引用源。是所要预测的某项指标的原始数据。对原始数据作一次累加生成处理，即： 错误！未找到引用源。 (1)
得到一个新的数列。这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。
(2)将新数列的变化趋势近似地用微分方程描述，
错误！未找到引用源。
=
，
(2)
错误！未找到引用源。 (3)
其中，a 、u 为辨识参数，辨别参数通过最小二乘法拟合得到。
(3)构造数据矩阵。(3)式中错误！未找到引用源。为列向量，错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。， B 为构造数据矩阵，
B=错误！未找到引用源。 (4)
(4)求出预测模型。
x (1)的灰色预测GM （1，1）模型为
()()()()1011at u u x t x e a a ∧-?
?+=-+
???? (5) 则其实际预测值可用下式得出
(0)(1)(1)(1)(1)()
x t x t x t ∧∧∧+=+-
3南通市人口规模的GM （1，1）模型构造与分析
3.1模型构造[5]
根据南通人口统计数据，首先将1996 年－2010年的部份（15个）数据在不加任何筛选的情况下作为一个独立的时间数据列；其次，将1996年－2000年为第一个时间序列；将2001年－2005年的数据作为第二个时间序列；将2006年－2010年的数据作为第三个时间序列，由此得到个数分别为5，5，5的三组人口模型动态变化模型。
3.2.1 模型1
（一）1996年—2000年模型计算
可获得1996年—2000年的南通市人口数，见表1[6]。
表1 1996年—2000年的南通市人口规模 万人 年份 1996 1997 1998 1999 2000 人口
785.24 784.24 787.49 785.99 784.53
由上表可得南通市人口的原始序列 错误！未找到引用源。 由（1）式得一次累加数据序列
错误！未找到引用源。 由（4）式得
-1177.36-1963.22-2749.96-3535.221111T
B ??=????
则错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
-4-4
-4
-4-1
3.8110 1.2710-1.2610-3.79101.14
0.54-0.05
-0.65T
T
B B B ??
????=?
???
（）
由此得：
-1a 0.00243506=u 770.0342T T
M B B B Y ????=????????
（）
则
770.0342316228.010.00243506
u a == 由（5）式得预测模型： ()()()()1011at u u x t x e a a ∧-?
?+=-+
???
? 错误！未找到引用源。 (6) （二）模型1的残差检验
将t=0,1，2，3，4，5，6，7带入预测模型（6），得1996年—2000年累加值。由：错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
分别求出预测值，绝对误差和相对误差值，结果见表2。
表2 1996年—2000年南通市人口预测模型计算值与实际值的相对误差
年份 1996
1997
1998
1999
2000
实际值 785.24 784.24 787.49 785.99 784.53 预测值 785.24 767.18 765.32 763.46 761.61 绝对误差
17.06 22.17 22.53 22.92 相对误差（%） 0
2.17
2.81
2.86
2.92
注：残差是指绝对误差
由表2可知，平均相对误差为2.1错误！未找到引用源。，模型精确度较高。
3.2.2 模型2
（一）2001年—2005年模型计算
通过网络资源，我们可获得2001年—2005年的南通市人口数，见表3[6]。
表3 2001年—2005年的南通市人口规模 万人 年份 2001 2002 2003 2004 2005 人口
786.46
780.26
777.62
773.79
770.86
由上表可得南通市人口的原始序列
}86.770,79.773,62.777,26.780,46.786{)()0(=t x
由（1）式得一次累加数据序列
}99.3884,13.3114,34.2340,72.1562,46.782{)()1(=t x
由（4）式得
???
?
??
??----=156.3499123.2727153.1951159.1172T
B 则通过计算可得：
??????==??????-24.78500412.0)(1M T T Y B B B u a 则
23.19059200412
.024.785==a u 错误！未找到引用源。 由（5）式得预测模型：
()()()()1011at u u x t x e a a ∧-?
?+=-+
???
? 23.19059277.189********.0+-=-t e （7） （二）模型2的残差检验
将t=0，1，2，3，4，5，带入预测模型（7），得2001年—2005年累加值。 由：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
分别求出预测值，绝对误差和相对误差值，结果见表4
表4 2001年—2005年南通市人口预测模型计算值与实际值的相对误差 年份 2001 2002 2003 2004 2005 实际值 782.46 780.26 777.62 773.79 770.86 预测值 782.46 780.41 777.20 774.00 770.82 绝对误差
0 0.15 0.42 0.21 0.04 相对误差（%）
0.019
0.019
0.054
0.027
0.005
由表4可知，平均相对误差为0.025 3.2.3 模型3
（一）2006年—2010年模型计算
通过网络资源，我们可获得2006年—2010年的南通市人口数，见表5[6]。
表5 2006年—2010年的南通市人口规模 万人 年份 2006 2007 2008 2009 2010 人口
769.79
766.13
763.72
762.66
762.92
由上表可得南通市人口的原始序列
}92.762,66.762,72.763,13.766,79.769{)()0(=t x
由（1）式得一次累加数据序列
}22.3825,30.3062,64.2299,92.1535,79.769{)()1(=t x
由（4）式得
???
???----=176.3443197.2680178.1917185.1152T B 则通过计算可得：
??????-==??????-0645.76700012599.0)(1M T
T Y B B B u a 则
69.608829600012599
.00645.767-=-=a u 错误！未找到引用源。 由（5）式得预测模型：
()()()()1011at u u x t x e a a ∧-?
?+=-+
???
? 69.608829648.608906600012599.0+-=-t e （8） （8）
（二）模型3的残差检验
将t=0，1，2，3，4，5，带入预测模型（8），得2006年—2010年累加值。 由：错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
分别求出预测值，绝对误差和相对误差值，结果见表6
表6 2006年—2010年南通市人口预测模型计算值与实际值的相对误差 年份 2006 2007 2008 2009 2010 实际值 769.79 766.13 763.72 762.66 762.92 预测值 769.79 767.21 768.39 772.07 776.91 绝对误差
0 1.08 4.67 9.41 13.99 相对误差（%）
0.14
0.61
1.23
1.83
由表6可知，平均相对误差为0.762
3.3 模型预测
通过计算我们可以得到1996-2000年、2001-2005年、2006-2010年三个时间段的GM （1，1）模型，见表7。
表7南通市人口规模不同样本组GM （1，1）模型比较
模型 样本 样本时段 GM （1，1）模型
模型1 5 1996-2000年 (1)0.00243506(1)315442.77316228.01t x t e ∧-+=-+ 模型2 5 2001-2005年
(1)0.00412(1)189809.77190592.23t x t e ∧-+=-+
模型3
5
2006-2010年 (1)0.00012599(1)6089066.486088296.69
t x t e ∧-+=-+利用所建的3个GM （1，1）模型分别计算2015年、2020年和2025年南通市人口规模的预测值，见表8。
表8 南通市人口规模预测（万人）
年代 2015 2020 2025 模型1 734.29 725.40 716.62 模型2 739.71 724.63 709.85 模型3
766.34
765.86
765.38
4.小结
GM(1,1)预测模型的数据量要求小，精度较高，具有较强的实用性和有效性，是比较理想的预测方法。
从南通市人口规模预测建模和精度检验分析，可以得到以下结论:
(1)根据灰色系统理论建立GM(1,1)模型预测区域人口规模的发展是可行的，也是比较理想的。
(2)建立GM(1,1)模型时，并非原始数列越长预测结果越好。由于人口发展在不同社会经济环境条件下的规律有很大差异。因此，当原始数列跨越有巨大差异的历史时期时，预测精度可能受到影响。所以，在建模时必须认真分析研究地区人口及社会、经济发展的历史，根据区域发展的阶段性特点合理选择原始数据，以提高预测精度[7]。
参考文献
[1]杨景平.甘肃省人口规模GM(1,1)模型及预测精度检验[J].开发研究，1994,4:13-14.
[2]段锋,杨芬.灰色预测模型的研究及应用[J].湘南学院学报,2008,4(29):17-21.
[3]郝永红,王学萌.灰色动态模型及其在人口预测中的作用[J].数学的实践与认识,2002,9(32):813-820.
[4]周瑞平.GM(1,1)模型灰色预测法预测城市人口规模[J].内蒙古师范大学学报,2005,3(34).
[5]陈飞.灰色预测模型及应用[J].网络探究.
[6]https://www.doczj.com/doc/2d10973166.html,/disclosureparticular.aspx?id=56
[7]刘兆德,刘西雷.人口规模预测的GM(1,1)模型应用初探[J].资源开发与市场,1995,15(1).
环境系统数学模型
环境系统数学模型 引自文献《环境评价》 1环境系统简化图： 图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y；真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。2模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3灰箱模型建立 ·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。
·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： (){}(),,;y t f x u t t αξ∨ =+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+ （3.2） {},,y g x u α= （3.3） 式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）； α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）； η——输出的观测误差向量（即测量噪声）； t ——时间历程； k t ——第k 次观测的时间； y ∨ ——表示随着时间t 变化的输出向量y 4 灰箱模型的灵敏度分析 输出变量对模型的灵敏度系数'y s 定义为 'y y s α ?=? （4.1） 'y y s s y α = （4.2） 式中 α——模型的系数值
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
数学模型实验报告 实验内容1. 实验目的：学习使用lingo和MATLAB解决数学模型问题 实验原理： 实验环境：MATLAB7.0 实验结论： 源程序 第4章：实验目的，学会使用lingo解决数学模型中线性规划问题1.习题第一题 实验原理： 源程序： 运行结果： 、 管 路 敷 设 技 术 通 过 管 线 不 仅 可 以 解 决 吊 顶 层 配 置 不 规 范 高 中 资 料 试 卷 问 题 ， 而 且 可 保 障 各 类 管 路 习 题 到 位 。 在 管 路 敷 设 过 程 中 ， 要 加 强 看 护 关 于 管 路 高 中 资 料 试 卷 连 接 管 口 处 理 高 中 资 料 试 卷 弯 扁 度 固 定 盒 位 置 保 护 层 防 腐 跨 接 地 线 弯 曲 半 径 标 等 ， 要 求 技 术 交 底 。 管 线 敷 设 技 术 中 包 含 线 槽 、 管 架 等 多 项 方 式 ， 为 解 决 高 中 语 文 电 气 课 件 中 管 壁 薄 、 接 口 不 严 等 问 题 ， 合 理 利 用 管 线 敷 设 技 术 。 线 缆 敷 设 原 则 ： 在 分 线 盒 处 ， 当 不 同 电 压 回 路 交 叉 时 ， 应 采 用 金 属 隔 板 进 行 隔 开 处 理 ； 同 一 线 槽 内 强 电 回 路 须 同 时 切 断 习 题 电 源 ， 线 缆 敷 设 完 毕 ， 要 进 行 检 查 和 检 测 处 理 。 、 电 气 课 件 中 调 试 对 全 部 高 中 资 料 试 卷 电 气 设 备 ， 在 安 装 过 程 中 以 及 安 装 结 束 后 进 行 高 中 资 料 试 卷 调 整 试 验 ； 通 电 检 查 所 有 设 备 高 中 资 料 试 卷 相 互 作 用 与 相 互 关 系 ， 根 据 生 产 工 艺 高 中 资 料 试 卷 要 求 ， 对 电 气 设 备 进 行 空 载 与 带 负 荷 下 高 中 资 料 试 卷 调 控 试 验 ； 对 设 备 进 行 调 整 使 其 在 正 常 工 况 下 与 过 度 工 作 下 都 可 以 正 常 工 作 ； 对 于 继 电 保 护 进 行 整 核 对 定 值 ， 审 核 与 校 对 图 纸 ， 编 写 复 杂 设 备 与 装 置 高 中 资 料 试 卷 调 试 方 案 ， 编 写 重 要 设 备 高 中 资 料 试 卷 试 验 方 案 以 及 系 统 启 动 方 案 ； 对 整 套 启 动 过 程 中 高 中 资 料 试 卷 电 气 设 备 进 行 调 试 工 作 并 且 进 行 过 关 运 行 高 中 资 料 试 卷 技 术 指 导 。 对 于 调 试 过 程 中 高 中 资 料 试 卷 技 术 问 题 ， 作 为 调 试 人 员 ， 需 要 在 事 前 掌 握 图 纸 资 料 、 设 备 制 造 厂 家 出 具 高 中 资 料 试 卷 试 验 报 告 与 相 关 技 术 资 料 ， 并 且 了 解 现 场 设 备 高 中 资 料 试 卷 布 置 情 况 与 有 关 高 中 资 料 试 卷 电 气 系 统 接 线 等 情 况 ， 然 后 根 据 规 范 与 规 程 规 定 ， 制 定 设 备 调 试 高 中 资 料 试 卷 方 案 。 、 电 气 设 备 调 试 高 中 资 料 试 卷 技 术 电 力 保 护 装 置 调 试 技 术 ， 电 力 保 护 高 中 资 料 试 卷 配 置 技 术 是 指 机 组 在 进 行 继 电 保 护 高 中 资 料 试 卷 总 体 配 置 时 ， 需 要 在 最 大 限 度 内 来 确 保 机 组 高 中 资 料 试 卷 安 全 ， 并 且 尽 可 能 地 缩 小 故 障 高 中 资 料 试 卷 破 坏 范 围 ， 或 者 对 某 些 异 常 高 中 资 料 试 卷 工 况 进 行 自 动 处 理 ， 尤 其 要 避 免 错 误 高 中 资 料 试 卷 保 护 装 置 动 作 ， 并 且 拒 绝 动 作 ， 来 避 免 不 必 要 高 中 资 料 试 卷 突 然 停 机 。 因 此 ， 电 力 高 中 资 料 试 卷 保 护 装 置 调 试 技 术 ， 要 求 电 力 保 护 装 置 做 到 准 确 灵 活 。 对 于 差 动 保 护 装 置 高 中 资 料 试 卷 调 试 技 术 是 指 发 电 机 一 变 压 器 组 在 发 生 内 部 故 障 时 ， 需 要 进 行 外 部 电 源 高 中 资 料 试 卷 切 除 从 而 采 用 高 中 资 料 试 卷 主 要 保 护 装 置 。
环境系统数学模型引自文献《环境评价》1环境系统简化图: 图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉a表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等）这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y;真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。 2模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3灰箱模型建立 ?适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。 ?不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： y t = f ,x ,u 打t t （3.1） y t k 二h「x, ：；t" t k （3.2） y = g ：x,u,二（3.3） 式中x——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u――实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）; G ――模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ――状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确 定性地观测到的）； ――输出的观测误差向量（即测量噪声）； t ――时间历程；
数学模型与实验报告 姓名：王珂 班级：121111 学号：442 指导老师：沈远彤
数学模型与实验 一、数学规划模型 某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制。 （1）请为该企业制定一个生产计划，使每天获利最大。 （2）若用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资若投资，每天最多购买多少吨铝原料 （3）如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时几元 （4）如果每吨A型材的获利增加到3000元，应否改变生产计划 题目分析： 每5吨原料可以有如下两种选择： 1、在甲机器上用12小时加工成3吨A每吨盈利2400元 2、在乙机器上用8小时加工成4吨B每吨盈利1600元 限制条件： 原料最多不可超过250吨，产品A不可超过100吨。工作时间不可超过480小时线性规划模型： 设在甲设备上加工的材料为x1吨，在乙设备上加工的原材料为x2吨，获利为z，由题意易得约束条件有： Max z = 7200x1/5 +6400x2/5 x1 + x2 ≦ 250
12x1/5 + 8x2/5 ≦ 480 0≦3x1/5 ≦ 100, x2 ≧ 0 用LINGO求解得： VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2 ROW SLACK OR SURPLUS DUAI PRICE 1 2 3 4 做敏感性分析为： VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COFF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 3 4 INFINITY 1、可见最优解为x1=100，x2=150，MAXz=336000。因此最优解为在甲设备上用100吨原料生产A产品，在乙设备上用150吨原料生产B产品。最大盈利为336000. 2、由运算结果看约束条件1（原料）的影子价格是960，即每增加1吨原料可收入960，小于1000元，因此不购入。 3、同理可得，每小时的影子价格是40元，因此聘用员工的工资不可超过每小时40元。
冬季冰雪覆盖对高山湖泊中污染物浓度和通量的影响模型 摘要：最近的一些监测研究和根据环境变化模拟生态系统的远程动态响应模型，诸多涉及到高山湖泊。高山湖泊与类似纬度的低地湖泊相比，一个重要的区别是，在冬季被厚厚的冰雪所覆盖，导致可与大气隔离6个月或更长时间。冬季沉积在冰雪里的污染物，随着春季解冻进入水体中，这一过程具有很强的季节性。在水体中的污染物浓度，可通过水柱通量的沉积来测量。本文介绍了这些过程的数学模型。该模型中使用210铅作为示踪剂，结果表明冰雪融化后，污染物的浓度立即增强高达70％。虽然理论值往往比较保守，但是水柱通量模式显示了类似的实证结果。通过测量水柱通量与大气通量，估计每年沉降到集水区的210铅有 4-6％被输送到湖泊，且平均停留时间是500-750年。 关键词：大气污染物；高山湖泊；210铅；沉积物记录；放射性核素示踪剂 1引言 许多研究表明，湖泊沉淀物可以准确表征一系列物理、化学和生物的参数，这些参数可用来研究当地的生态环境历史。由于高山湖泊属敏感生态系统，且受环境变化影响大，因此在研究欧洲大气污染物和气候变化时，比较关注它。 尽管存在大量可靠的沉淀数据记录，但是这些沉淀数据记录和生态系统之间的关系还有待于研究。例如，湖的表面和集水区都有大气污染物的的沉积。假如用水柱中沉淀物数据记录来表征集水区-湖泊系统的话，那么集水运输过程将被忽略，但是这一过程却影响着放射性核素的沉降，例如210铅。 集水区-湖泊系统已经逐步建立了大气沉降和沉降通量之间的关系。该系统主要用于估计水柱和大气沉降中污染物的浓度。高山湖泊生态系统很复杂，但是基础物理参数却很有限，并且考虑其它简单模型也不现实。有学者利用这个模型，并根据一些经验值，测定210铅的大气沉降是个常数，从而估计水柱中210铅的年平均浓度和通量。然而，冬季水和大气被冰雪隔离，直到春季才接触，所以经验值可能受季节性的影响。本文介绍的模型既涉及集水运输过程，又考虑了季节性的影响。 2模型 集水-湖泊系统的基本要素如图1。系统可简化为湖泊和集水区两个主要要素。 长时间的径流、侵蚀过程，使土壤表面的沉积物随着集水运输到湖泊中。假定Φ(t)表示大气通量（单位面积的沉降率），集水区的总沉降率表示为A Φ(t),其 C 中A C是集水区的面积。ΨC(t)表示输送率，Q C表示集水区的存有量，由质量守恒得方程： 集水区存有量（近似）=面积ⅹ单位面积沉降率-输送率-衰减 上式中：λ为衰减率,ΨC(t)可用时间函数h（s）的单位变化量来表示,即 取s=t-τ,对于任意的大气通量有：
第三部分 大环境系统模型——环境质量基本模型 计算题 1、河流中稳定排放污水，污水排放量)(q 为·s -1，污水中BOD 5=30mg·L -1，河流径流量)(Q m 3·s -1，河水平均流速)(x u 为 m 3·s -1，河水BOD 5的本底浓度为 mg·L -1。已知，BOD 5的衰减速率常数12.0-=d k ，弥散系数1210-?=s m D x 。试求排放点下游10km 处BOD 5的浓度。 解（1）求起始点的5BOD 初始浓度 根据一维稳态初始浓度式，有（P36） 12 ,c q i o Q c c Q q += + q —污水流量 5.50.50.1530 0.15 5.5 ?+?= + 11.2832()mg L -=? ~ （2）求下游10km 处的5BOD 浓度 a.河流推流和弥散共同作用下的i c ,任一维稳态浓度分布公式，有： ,exp 12x i i o x u x c c D ?? ?=? ? ??? ?? （P36） （3） 30.310101.2832exp 1210?? ???=-?? ?????? 11.18793()mg L -=? b.忽略弥散作用，只考虑推流的i c ,exp i i o x kx c c u ?? =- ??? P36（4） ()310.2/8640010101.2832exp 0.31.18791() mg L -?? ??=-?? ??=?
} 由题可见，在稳态条件下，考虑和忽略弥散，两者的计算结果几乎一致，说明存在对流作用时。纵向弥散对污染物的影响可忽略。 2、连续点源排放，源强为50g.s -1，河流水深m .h 51=，流速-130s .m .u x =，横向弥散系数-125s .m D y =，污染衰减速率常数0=k 。试求： ⑴在无边界的情况下，)102000()(m ,m y ,x =处污染物的浓度； ⑵在边界上排放，环境宽度无限大时，)102000()(m ,m y ,x =处的污染物浓度； ⑶在边界上排放，环境宽度m B 100=时，)102000()(m ,m y ,x =处的污染物浓度。 解（1）依无边界条件下二维的连续点源稳态排放公式 若忽略横向流速y u =0，且纵向扩散的影响远小于推（对）流的影响0x D =P38（4）无边界 ( 2(,)exp 4x i y x u y kx c x y D x u ????=--?? ??????? 则：20.310(2000,10)1452000i c ???=-??????? 10.17()mg L -=? （2）边界排放，环境宽度无限大的i c 依公式（5） 2exp 4x i y x u y kx c D x u ????=--?? ??????? 即此种情况下i c 为（1）的2倍 故21(2000,10)2(2000,10)0.34()i i c c mg L -==?（）（1） （3）边界上排放，且B=100m 时的i c 公式（6） :
第一章 掌握系统工程解决问题的基本步骤： ①系统地提出问题，明确其目标和范围； ②选择评价系统功能的指标或目标函数； ③明确系统的组成因素，提出各种可选用的方案； ④建立数学模式或进行数学模拟； ⑤分析模式特点，确定选优方法，使系统最优化； ⑥按选定的最优方案，建立环境污染控制系统。 掌握系统分析的过程方法： 分解和综合是系统分析的基本方法； 分解：研究和描述组成系统的各个要素的特征，掌握各要素的变化规律。 模型化过程，研究描述环境系统主要功能的逻辑模式(定性的)和数学模式(定量的)； 综合：研究各要素之间的联系和有机组合，达到系统的总目标最优。 最优化过程，利用数学模式进行最优化分析。 记住环境系统工程的定义： 定义：以环境质量的变化规律、污染物对人体和生态的影响、环境自净能力以及有关环境工程技术原理为依据， 运用系统工程学的理论和方法， 研究如何建立起一个合理的环境污染预防/控制系统的数学模型， 并研究如何利用它来分析各种污染控制过程可调因素（或各种可替换方案）对环境目标或费用、能耗等的影响， 以及寻求最优决策方案。。 第二章 掌握数学模型的建立过程、方法： 分类：白箱模型（机理模型）、黑箱模型（经验模型）、灰箱模型（半机理半经验模型） 过程：数据收集-模型结构选择-参数估值-模型检验 参数的估计方法：图解法、一元线性回归、多元线性性回归、最优化法 模型的检验与验证：图形法、相关系数法、相对误差法 灵敏度分析：状态\目标对参数的灵敏度、目标对状态的灵敏度 第三章 污染物在环境介质中的运动特征： 推流迁移、分散（分子扩散、湍流扩散、弥散）、衰减和转化 环境质量基本模型： 零维模型（认为排放的污染物或其他物质进入该环境单元后，很快混合均匀，单元内污染物
《数学模型实验》实验报告 姓名：王佳蕾学院：数学与信息科 学学院 地点：主楼402 学号：055专业：数学类时间：2017年4 月16日 实验名称： 商人和仆人安全渡河问题的matlab实现 实验目的： 1.熟悉matlab基础知识，初步了解matlab程序设计； 2.研究多步决策过程的程序设计方法； 3.（允许）状态集合、（允许）决策集合以及状态转移公式的matlab表示；实验任务： 只有一艘船，三个商人三个仆人过河，每一次船仅且能坐1-2个人，而且任何一边河岸上仆人比商人多的时候，仆人会杀人越货。怎么在保证商人安全的情况下，六个人都到河对岸去，建模并matlab实现。 要求：代码运行流畅，结果正确，为关键语句加详细注释。 实验步骤： 1.模型构成 2.求决策 3.设计程序 4.得出结论（最佳解决方案） 实验内容： （一）构造模型并求决策
设第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk，k=1,2,...，xk，yk=0,1,2,3.将二维向量sk=（xk，yk）定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S，S 对此岸和彼岸都是安全的。 S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2} 设第k次渡船上的商人数为uk，随从数vk，将二维变量dk=（uk，vk）定义为决策，允许决策集合记为D,由小船的容量可知， D={(u,v)|1<=u+v<=2,u,v=0,1,2} k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时，船从彼岸驶向此岸，状态sk随决策变量dk的变化规律为sk+1=sk+(-1)^k*dk（状态转移律） 这样制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型： 求决策dk∈D(k=1,2,...,n)，使状态sk∈S，按照转移律，由初始状态s1=（3,3）经有限步n到达状态sn+1=（0,0）。 （二）程序设计
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
实验10 概率模型（2学时） （第9章 概率模型） 1.（验证）报童的诀窍p302~304, 323（习题2） 关于每天报纸购进量的优化模型： 已知b 为每份报纸的购进价，a 为零售价，c 为退回价（a > b > c ），每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r )(r =0,1,2,…)。 求每天购进量n 份，使日平均收入，即 1 ()[()()()]()()()n r r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞ ==+=----+ -∑∑ 达到最大。 视r 为连续变量，f (r )转化为概率密度函数p (r )，则所求n *满足 * ()n a b p r dr a c -= -? 已知b =0.75, a =1, c =0.6，r 服从均值μ=500（份），均方差σ=50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？ [提示：normpdf, normcdf] 要求：
(1) 在同一图形窗口内绘制10 ()()n y n p r dr =?和2()a b y n a c -= -的图形，观察其交点。 [提示] 22 ()2()r p r μσ-- = ，0 () ()()n n p r dr p r dr p r dr -∞ -∞ =-??? ☆(1) 运行程序并给出结果： (2) 求方程0()n a b p r dr a c -= -?的根n *（四舍五入取整），并求G (n *)。
☆(2) 运行程序并给出结果： 2.（编程）轧钢中的浪费p307~310 设要轧制长l =2.0m 的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差 σ=0.2m ，问这时钢材长度的均值m 应调整到多少使浪费最少。 平均每得到一根成品材所需钢材的长度为 ()() m J m P m = 其中， 2()2()(), ()x m l P m p x dx p x σ-- ∞ == ? 求m 使J (m )达到最小。 等价于求方程 () ()z z z λ?Φ=- 的根z *。 其中：
福建农林大学计算机与信息学院 （数学类课程） 实验报告 课程名称：数学模型 姓名： 系：信息与计算科学 专业：信息与计算科学 年级：2007级 学号：071152035 指导教师：姜永 职称：副教授 2009年12月18日
实验项目列表
1．实验项目名称：数学规划模型建立及其软件求解 2．实验目的和要求： 了解数学规划的的基本理论和方法，并用于建立实际问题的数学规划模型；会用LINDO 和LINGO 软件解数学规划问题并对结果加以分析应用。 3．实验使用的主要仪器设备和软件： 惠普微机；1.6LINDO 和0.9LINGO 版本 4．实验的基本理论和方法： 数学规划模型的一般形式为 m i x g t s x f z Min i x ,,2,1,0)(..) ( =≤= 其中)(x f 表示目标函数，),,2,1(0)(m i x g i =≤为约束条件。 LINDO/LINGO 是美国LINDO 系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。LINDO 用于求解线性规划和二次规划问题，LINGO 除了具有LINDO 的全部功能外，还可以用于求解非线性规划问题，也可以用于一些线性和非线性方程（组）的求解，等等。LINDO/LINGO 软件的最大特色在于可以允许优化模型中的决策变量是整数，而且执行速度很快。 线性优化求解程序通常使用单纯形算法，对LINDO/LINGO 软件，为了能解大规模问题，也可以使用内点算法。非线性优化求解程序采用的是顺序线性规划法，即通过迭代求解一系列线性规划来达到求解非线性规划的目的。 5．实验内容与步骤： 题一： 问题阐述： 某公司将3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分别记为A ，B ），按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A ，B ．已知原料甲，乙，丙的含硫量分别是3%，1%，2%，进货价格分别为6千元/ t ，16千元/ t ，10千元/t ，产品A ，B 的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9千元/t ，15千元/t ，根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t ；产品A ，B 的最大市场需求量分别为100t ,200t ． (1) 应如何安排生产？ (2) 如果产品A 的最大市场需求量增长为600t ，应如何安排生产？ (3) 如果乙的进货价格下降为13千元/t ，应如何安排生产？分别、对（1）、（2）两种情况进行讨论． 建立模型： （1）设A 中含甲乙原料混合物1y 吨，含丙原料1z 吨；B 中含甲乙原料混合物2y 吨，含丙原料2 z 吨；甲乙原料混合物中，甲原料占比例为1x ，乙原料占比例为2x （即121=+x x ）。 安排生产应该让公司的利润最高，即销售价格-成本最大，得到目标函数为： 22211121)1015()16615()109()1669(z y x x z y x x Max -+--+-+--= 约束条件： 1）A 的含硫量不能超过2.5%： %5.202.001.003.01 11 1211≤+++z y z y x y x
环境系统数学模型 引自 文献《环境评价》 1 环境系统简化图： 图中，系统A 的状态参数（变量）以节点x 表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u 和单一输出的结果y ；真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。 2 模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3 灰箱模型建立 ·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。 ·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： (){}(),,;y t f x u t t αξ∨ =+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+ （3.2） {},,y g x u α= （3.3） 式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）； α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）；
第二章控制系统的数学模型 2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？ 答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对 数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几 何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空 间模型；等等。 2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？ 答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。 机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。 实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学 模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。 如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其 中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于 上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。 2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？ 答主要步骤有： ⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。 ⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要 因素。⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述 对象运动规律的原始微分 方程式（或方程式组）。 ⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。 ⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得 出无因次的、能够 描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段 线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。 2-4 试述传递函数的定义。如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。 答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条 件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。 如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述： 式中y为输出变量，x为输入变量，表示y(t) 的n阶导数，表示x(t)
《环境系统分析A》 课程设计 姓名 学号 专业名称 提交日期 2016年1月12日
第一章任务书 (3) 1.1课程设计目的 (3) 1.2课程设计要求 (3) 1.2.1环境质量要求 (3) 1.2.2报告主要研究内容 (3) 第二章课程设计内容 (4) 2.1总论 (4) 2.1.1设计依据 (4) 2.1.2评价因子 (4) 2.2项目 (4) 2.2.1热电厂 (4) 2.2.1.1背景介绍 (4) 2.2.1.2模型运用 (6) 2.2.1.3分析模型 (8) 2．2.2污水厂 (8) 2.2.2.1背景介绍 (8) 2.2.2.2模型运用 (9) ①污水厂处理前水质 (9) ②污水厂处理后 (11) 2.2.2.3分析模型 (11) 第三章应对措施 (12) 3.1对热电厂所采取的措施 (12) 3.1.1增加烟囱物理高度 (12) 3.1.2使用除硫除尘设备: (12) 3.1.3其他措施 (13) 3.2对污水处理采取的措施 (13) 第四章课程设计总结 (14) 第五章附录 (15) 5.1小组分工 (15) 5.2大气环境质量标准（部分） (16) 5.3地表水环境质量标准（部分） (16)
第一章任务书 1.1课程设计目的 环境系统分析以模型化为手段描述环境系统的特征，模拟和揭示环境系统分析的发展与变化规律，并通过最优化对系统的结构与运行做出最佳选择。而本课程设计是《环境系统分析》课程学习之后的设计训练，目的在于让学生们把理论运用于实践。设计内容主要在以前布置的水环境质量模式与大气环境质量模式大作业的工作基础上展开。通过课程设计，可以了解求“水环境污染物”与“大气环境污染物”的污染贡献估算所需的主要资料、应做的主要工作、所用的主要模式、工作的一般步骤等等，并锻炼在微机上求解的实际工作能力。 1.2课程设计要求 1.2.1环境质量要求 某城郊区域（假设原来无任何大气和水污染物）要进行国家级经济开发示范建设，先行开发项目有污水处理厂和热电厂，为保证开发区的大气环境质量和水环境质量达标，必须对该二厂排放的大气污染物和水污染物进行控制。 控制标准如下： （1）大气环境质量控制在国家一级标准 （2）水环境质量控制在地表水III类标准 1.2.2报告主要研究内容 （1）调查、统计水、大气环境资料。 （2）使用相应的河流/水质模型以及大气质量模型进行水环境质量、大气环境质量（污染状况）分析，并做出相应的计算过程。 （3）列举污染预测结果为保证达标需要采取的相应的措施手段。 （4）课程设计的结果分析、结论及讨论。
第九章水环境规划 第一节规划的原则与依据 一、规划目标与水功能区划分 水环境规划的主要目标是通过对水污染物排放的合理组织与控制，保证水体的水质满足人类生活、生产，以及生态与景观的需求。一般说来，水环境规划是一个多目标规划，涉及生态环境、经济技术、社会生活的各个方面。作为一个具体规划，其主要的目标是水质和实现水质目标的费用。 人们对水质的需求体现在水功能区目标上。水功能区是指为满足水资源开发和有效保护的需求，根据自然条件、功能要求、开发利用现状，按照流域综合规划、水资源保护规划和经济社会发展要求，在相应水域按其主导功能划定并执行相应质量标准的特定区域。 地表水的水功能区一般分为水功能一级区和水功能二级区。水功能一级区分为保护区、缓冲区、开发利用区和保留区四类。在水功能一级区中的开发利用区中又可以划分为七类二级区，它们是：饮用水源区、工业用水区、农业用水区、渔业用水区、景观娱乐用水区、过渡区和排污控制区。每一类水功能区都对应特定的水质标准（表9-1）。 水功能区的划分是水环境质量标准在具体水域的具体应用，是水环境规划的依据。水功能区的划分需要遵循“自上而下”的原则，即从流域层次上制订宏观的功能区划，然后从区域或城市的角度制订具体的功能区划。
表9-1 水功能区划分的条件指标和水质标准 二、水环境容量与允许排放量 环境容量一词早先用于描述某一地区的环境对人口增长和经济发展的承载能力。20世纪70年代初，针对当时的环境污染和公害肆 一级区 二级区 区划条件 区划指标 执行水质标准 保护区 国家级、省级自然保护区；具有典型意义的自然生境；大型调水工程水源地；重要河流的源头 集水面积、水量、 调水量、水质级别 I ～Ⅱ级或维持现状 缓冲区 跨地区边界的河流、湖泊的边界水域；用水矛盾突出的地区之间的水域 省界断面水域；矛盾突出的水域 按实际需要执行相关标准或按现状控制 饮用水源区 现有城镇生活用水取水口较集中 的水域；规划水平年内设置城镇供水 的水域 城镇人口、取水量、取水口分布等 Ⅱ～Ⅲ类 工业用水区 现有或规划水平年内设置的矿企业生产用水集中取水地 工业产值、取水总囊、取水口分布等 Ⅳ类 农业用水区 现有或规划水平年内需要设置的农业灌溉集中取水地 灌区面积、取水总量、取水口分布等 V 类 开发利用区 渔业用水区 自然形成的鱼、虾蟹、贝等水生生物的产卵场、索饵场。越冬场及回游通道天然水域中人工营造的水生生物养殖场 渔业生产条件及 生产状况 《渔业水质标准》并参照执行Ⅱ～Ⅲ类 景观娱乐 用水区 休闲、度假、娱乐、水上运动所涉及的水域；风景名胜区所涉及的水域 景观、娱乐类型、 规模、用水量 执行《景观娱乐用 水水质标准》或Ⅲ～Ⅳ 类 过渡区 下游用水的水质高于上游水质状况，有双向水流且水质要求不同的相邻劝能区之间的水域 水质、水量 出流断面水质达到相邻功能区的水质要求 排污控制区 接受含可稀释、降解污染物的污水的水域；水域的稀释自净能力较 强，有能力接纳污水的水域 污水量、污水水质、排污口的分布 出流断面水质达到相邻功能区的水质要求 保留区 受人类活动影响较少、水资源开 发利用程度较低的水域；目前不具备开发条件的水域；预留今后发展的水资源区 水域水质及其周边的人口产值、用水量等 按现状水质控制
江西理工大学题目 学模型在水环境中的应用 姓名：XXX 专业班级：XXX班 学号：XXXX 指导教师XXX老师 日期：XXX年XXX月 XXX 日
数学模型在水环境中的应用 摘要：水环境数学模型是十分重要的科学工具与技术手段。在水资源保护科研、评价与监测分析中应用，不但增加理论色彩，还可以提高成果水平。本文对常用各类数学模型进行了深入系统的理论解读与技术应用研究，明确指出，“模型”是十分有用的，但不是万能的，每种模型都有自己的使用范围与针对性，因此，选准模型，正确使用，至关重要。 关键词：水环境；数学模型；概述；理论解析 水环境数学模型可以描述水环境中物质混合、输移和转化的规律。它是在分析水环境中发生的物理、化学及生物现象基础上，依据质量、能量和动量守恒的基本原理，应用数学方法建立起来的模型。通过模型求解计算可以预报水文、水质在时间与空间上的变化，为水资源管理、规划、评价与控制服务。 1水环境数学模型概述 1.1水动力学模型 在1950年以前，数学模拟的基本理论已经建立，并运用这些理论解决过一些简单的工程问题。1952—1954年Isaacson和Twesch首次建立了俄亥俄河和密西西比河的部分河段数学模型，并进行了实际洪水过程的模拟。到20世纪中期，水动力学模型再次得到重视，随着计算机技术的发展，模型功能也在增加，可以对整个流域、洪泛区、已建或规划中的水利工程进行系统模拟。 1.2水质模型 Streefer和Phelps于1925年开发的，用于分析生活污水排入河流后对水中溶解氧的影响，即BOD/DO模型。O’connor在此基础上又开发了港湾的稳态BOD/DO模型及适用于河流的动态BOD/DO模型。Thomann采用有限差分法离散求解模型方程，使水质模型更好地反映河底高程及纵断面变化等水质特征。 20世纪70年代早期开发出水体富营养化模型，80年代以来，专家们又研究开发了反应毒性物质在水体中迁移转化的模型。 1.3数学模型分类 1）按解的过程可以分为确定性模型和随机模型。对一组给定的输入条件，确定性模型只给出一组确定值，这是一种使用最广泛的数学模型。随机性模型的输入是随机的，其解不具有唯一性。
实验四数学模型建立与转换 一、实验目的 1.学会用MATLAB 建立控制系统的数学模型。 2.学会用MATLAB 对控制系统的不同形式的数学模型之间的转换和连接。 二、实验内容 1.建立控制系统的数学模型 用MATLAB 建立下述零极点形式的传递函数类型的数学模型： >>z=-3; p=[-1;-1]; k=1; sys=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: (s+3) ------- (s+1)^2 2.不同形式及不同类型间的数学模型的相互转换 1）用MATLAB 将下列分子、分母多项式形式的传递函数模型转换为零极点形式的传递函数模型: >>num=[1224020]; den=[24622]; G=tf(num,den); [z,p,k]=zpkdata(G,'v'); sys=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: 6(s+(s^+ ------------------------------------------------- (s^2++(s^2++ 2）用MATLAB 将下列零极点形式的传递函数模型转换为分子、分母多项式形式的传递函数模型: >>z=[0;-6;-5]; 2 2642202412)(23423++++++=s s s s s s s G )43)(43)(2)(1() 5)(6()(j s j s s s s s s s G -+++++++=
p=[-1;-2;-3-4*j;-3+4*j]; k=1; [num,den]=zp2tf(z,p,k); G=tf(num,den) Transferfunction: s^3+11s^2+30s -------------------------------- s^4+9s^3+45s^2+87s+50 3.用MATLAB 命令求如下图所示控制系统的闭环传递函数 >>G1=tf(1,[5000]); G2=tf([12],[14]); G3=tf([11],[12]); G4=G1*G2; GP=G4/(1+G3*G4); GP1=minreal(GP) Transferfunction: + --------------------- s^2++ 3.已知系统的状态空间表达式，写出其SS 模型，并求其传递函数矩阵(传递函数模型)，若状态空间表达式为???+=+=Du Cx y Bu Ax x &，则传递函数矩阵表达式为：D B A sI C s G +-=-1)()(。 （1）u x x ??????+??????--=113001& （2）u x x ???? ??????+??????????---=1006137100010& >>A=[010;001;-7 -13 -6]; B=[0;0;1]; C=[3 -7 -13（3）u x x ???? ??????+??????????----=100200311450010& >>A=[010;0-54;-1 -1 -3]; B=[00;20;0,1]; C=[100;001];