环境系统数学模型
环境系统数学模型
引自文献《环境评价》
1环境系统简化图：
图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y；真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。2模型建立的目的
建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。
3灰箱模型建立
·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。
·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下：
(){}(),,;y t f x u t t αξ∨
=+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+
（3.2） {},,y g x u α= （3.3）
式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）；
u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）；
α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）；
ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）；
η——输出的观测误差向量（即测量噪声）；
t ——时间历程；
k t ——第k 次观测的时间；
y ∨
——表示随着时间t 变化的输出向量y
4 灰箱模型的灵敏度分析
输出变量对模型的灵敏度系数'y s 定义为 'y y s α
?=? （4.1） 'y y s s y α
= （4.2）
式中 α——模型的系数值
y ——系数值为α时的输出变量值
当模型系数误差范围为%E α±时，则引起输出变量变化的范围为
()%%y y E s E α= （4.3）
5 模型的有效性统计检验（预测值和实际值）
见（203页）
6 黑箱模型的建立
·适用范围：这是一种纯经验模型，它依据系统的输入——输出数据或各种类型输出变量数据所提供的信息，建立各个变量之间的函数关系，而完全不追究系统内部状态变化的机理。该模型用语环境预测时，只涉及到开发活动的性质、强度与其环境后果之间的因果关系。通常，输入环境系统的干扰与输出之间存在因果关系，通过对大量实测资料的统计处理（常用多元分析、时间序列分析等方法），建立起开发活动与环境后果之间的统计关系。该模型本身不能表示过程，在无法了解变化过程而又可以取得较多符合要求的实测数据时，可以用该模型进行环境预测。
输出和输入关系为：
(){},y t u t φ=
输出变量之间的函数关系为
(){}123
,,m y t y y y t φ=
将调查、监测的数据随机地分为两个集合，数据集Ⅰ用于建模，数据集Ⅱ用于验证。较理想的做法是将历史数据作为数据集Ⅰ，将近期调查监测数据作为数据集合Ⅱ 。
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式
冬季冰雪覆盖对高山湖泊中污染物浓度和通量的影响模型 摘要：最近的一些监测研究和根据环境变化模拟生态系统的远程动态响应模型，诸多涉及到高山湖泊。高山湖泊与类似纬度的低地湖泊相比，一个重要的区别是，在冬季被厚厚的冰雪所覆盖，导致可与大气隔离6个月或更长时间。冬季沉积在冰雪里的污染物，随着春季解冻进入水体中，这一过程具有很强的季节性。在水体中的污染物浓度，可通过水柱通量的沉积来测量。本文介绍了这些过程的数学模型。该模型中使用210铅作为示踪剂，结果表明冰雪融化后，污染物的浓度立即增强高达70％。虽然理论值往往比较保守，但是水柱通量模式显示了类似的实证结果。通过测量水柱通量与大气通量，估计每年沉降到集水区的210铅有 4-6％被输送到湖泊，且平均停留时间是500-750年。 关键词：大气污染物；高山湖泊；210铅；沉积物记录；放射性核素示踪剂 1引言 许多研究表明，湖泊沉淀物可以准确表征一系列物理、化学和生物的参数，这些参数可用来研究当地的生态环境历史。由于高山湖泊属敏感生态系统，且受环境变化影响大，因此在研究欧洲大气污染物和气候变化时，比较关注它。 尽管存在大量可靠的沉淀数据记录，但是这些沉淀数据记录和生态系统之间的关系还有待于研究。例如，湖的表面和集水区都有大气污染物的的沉积。假如用水柱中沉淀物数据记录来表征集水区-湖泊系统的话，那么集水运输过程将被忽略，但是这一过程却影响着放射性核素的沉降，例如210铅。 集水区-湖泊系统已经逐步建立了大气沉降和沉降通量之间的关系。该系统主要用于估计水柱和大气沉降中污染物的浓度。高山湖泊生态系统很复杂，但是基础物理参数却很有限，并且考虑其它简单模型也不现实。有学者利用这个模型，并根据一些经验值，测定210铅的大气沉降是个常数，从而估计水柱中210铅的年平均浓度和通量。然而，冬季水和大气被冰雪隔离，直到春季才接触，所以经验值可能受季节性的影响。本文介绍的模型既涉及集水运输过程，又考虑了季节性的影响。 2模型 集水-湖泊系统的基本要素如图1。系统可简化为湖泊和集水区两个主要要素。 长时间的径流、侵蚀过程，使土壤表面的沉积物随着集水运输到湖泊中。假定Φ(t)表示大气通量（单位面积的沉降率），集水区的总沉降率表示为A Φ(t),其 C 中A C是集水区的面积。ΨC(t)表示输送率，Q C表示集水区的存有量，由质量守恒得方程： 集水区存有量（近似）=面积ⅹ单位面积沉降率-输送率-衰减 上式中：λ为衰减率,ΨC(t)可用时间函数h（s）的单位变化量来表示,即 取s=t-τ,对于任意的大气通量有：
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
环境系统数学模型
环境系统数学模型 引自文献《环境评价》 1环境系统简化图： 图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y；真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。2模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3灰箱模型建立 ·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。
·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： (){}(),,;y t f x u t t αξ∨ =+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+ （3.2） {},,y g x u α= （3.3） 式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）； α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）； η——输出的观测误差向量（即测量噪声）； t ——时间历程； k t ——第k 次观测的时间； y ∨ ——表示随着时间t 变化的输出向量y 4 灰箱模型的灵敏度分析 输出变量对模型的灵敏度系数'y s 定义为 'y y s α ?=? （4.1） 'y y s s y α = （4.2） 式中 α——模型的系数值
环境系统数学模型引自文献《环境评价》1环境系统简化图: 图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉a表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等）这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y;真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。 2模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3灰箱模型建立 ?适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。 ?不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： y t = f ,x ,u 打t t （3.1） y t k 二h「x, ：；t" t k （3.2） y = g ：x,u,二（3.3） 式中x——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u――实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）; G ――模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ――状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确 定性地观测到的）； ――输出的观测误差向量（即测量噪声）； t ――时间历程；
第二章控制系统的数学模型 控制系统的数学模型 本章主要内容： 引言 微分方程模型 传递函数模型 脉冲响应模型 方框图模型 信号流图模型 频域特性模型 数学模型的实验测定方法（辨识） 2.0 引言 主要解决的问题： 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 对系统数学模型的基本要求 2.0.1 什么是数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。 亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式） 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型
动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到一平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。 关系：静态模型是t时系统的动态模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。 2.0.2 为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此） 一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。 建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱 系统辨识 2.0.3 对系统数学模型的基本要求 亦：什么样的数学表达式能用于一个工程系统的描述。 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
第二章控制系统的数学模型 2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？ 答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对 数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几 何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空 间模型；等等。 2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？ 答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。 机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。 实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学 模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。 如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其 中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于 上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。 2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？ 答主要步骤有： ⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。 ⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要 因素。⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述 对象运动规律的原始微分 方程式（或方程式组）。 ⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。 ⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得 出无因次的、能够 描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段 线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。 2-4 试述传递函数的定义。如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。 答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条 件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。 如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述： 式中y为输出变量，x为输入变量，表示y(t) 的n阶导数，表示x(t)
黄淮学院电子科学与工程系 自动控制原理课程验证性实验报告 实验名称 用MATLAB 建立系统数学模型 实验时间 2012 年10月11日 学生姓名 实验地点 同组人员 专业班级 1、实验目的 1）熟悉MATLAB 实验环境，掌握MATLAB 命令窗口的基本操作。 2）掌握MATLAB 建立控制系统数学模型的命令及模型相互转换的方法。 3）掌握使用MATLAB 命令化简模型基本连接的方法。 4）学会使用Simulink 模型结构图化简复杂控制系统模型的方法。 2、实验主要仪器设备和材料： MATLAB 软件 3、实验内容和原理：（1）控制系统模型的建立 控制系统常用的数学模型有四种：传递函数模型（tf 对象）、零极点增益模型（zpk 对象）、结构框图模型和状态空间模型（ss 对象）。经典控制理论中数学模型一般使用前三种模型，状态空间模型属于现代控制理论范畴。 1）传递函数模型（也称为多项式模型）。连续系统的传递函数模型为 101101() ()() m m m n n n b s b s b num s G s n m a s a s a den s --++ += =≥++ +， 在MATLAB 中用分子、分母多项式系数按s 的降幂次序构成两个向量： 0101[] []m n num b b b den a a a ==，，，，，，，。 用函数tf( )来建立控制系统的传递函数模型，用函数printsys( )来输出控制系统的函数，其命令调用格式为 ()int ()sys tf num den pr sys num den =，，， Tips ：对于已知的多项式模型传递函数，其分子、分母多项式系数两个向量可分别用 .{1}sys num 与.{1}sys den 命令求出。这在MATLAB 程序设计中非常有用。 2）零极点增益模型。零极点模型是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原传递函数的分子、分母进行因式分解，以获得系统的零点和极点的表示形式。 1212()()() ()()()() m n K s z s z s z G s s p s p s p ---= ---，式中，K 为系统增益；12m z z z ， ，为系统零点；12m p p p ，，为系统极点。在MATLAB 中，用向量z p k ，，构成矢量组[]z p k ，，表示系统。
概述 (1) 1课程设计任务与要求 (2) 2异步电动机动态数学模型 (3) 2.1三相异步电动机的多变量非线性数学模型 (4) 2.2 坐标变换 (6) 2.2.1坐标变换的基本思路 (6) 2.2.2三相-两相变换（3/2变换） (6) 2.2.3 静止两相-旋转正交变换（2s/2r变换） (8) 2.3状态方程 (9) 3模型实现 (11) 3.1AC Motor模块 (11) 3.2坐标变换模块 (12) 3.3仿真原理图 (15) 4仿真结果及分析 (17) 5结论 (20) 参考文献 (21)
异步电动机又称感应电动机，是由气隙旋转磁场与转子绕组感应电流相互作用产生电磁转矩，从而实现机电能量转换为机械能量的一种交流电机。异步电动机按照转子结构分为两种形式：有鼠笼式、绕线式异步电动机。 异步电动机的转子绕组不需与其他电源相连，其定子电流直接取自交流电力系统；与其他电机相比，异步电动机的结构简单，制造、使用、维护方便，运行可靠性高。但它的转速与其旋转磁场的同步转速有固定的转差率，因而调速性能较差，在要求有较宽广的平滑调速范围的使用场合（如传动轧机、卷扬机、大型机床等），不如直流电动机经济、方便。因此，在需要高动态性能的调速系统或伺服系统，异步电动机就不能完全适应了。要实现高动态性能的系统，必须首先认真研究异步电机的动态数学模型。 系统建模与仿真一直是各领域研究、分析和设计各种复杂系统的有力工具。建模可以超越理想的去模拟复杂的现实物理系统；而仿真则可以对照比较各种控制策略和方案，优化并确定系统参数。长期以来，仿真领域的研究重点是放在仿真模型建立这一环节上，即在系统模型建立以后，设计一种算法，以使系统模型为计算机所接受，然后再将其编制成计算机程序，并在计算机上运行。显然，为达到理想的目的，在这一过程中编制与修改仿真程序十分耗费时间和精力，这也大大阻碍了仿真技术的发展和应用。 近年来逐渐被大家认识的Matlab软件则很好的解决了系统建模和仿真的问题。异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。本次设计就是借助于Matlab软件的Simulink组件来建立异步电动机的动态数学模型，再按照定子磁链定向的方法来仿真分析异步电动机的运行特性。
环境系统数学模型 引自 文献《环境评价》 1 环境系统简化图： 图中，系统A 的状态参数（变量）以节点x 表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u 和单一输出的结果y ；真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。 2 模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3 灰箱模型建立 ·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。 ·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： (){}(),,;y t f x u t t αξ∨ =+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+ （3.2） {},,y g x u α= （3.3） 式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）； α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）；
自动控制系统的数 学模型 1 2020年4月19日
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）经过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）经过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）经过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求 2 2020年4月19日
3 2020年4月19日 取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5） 掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6） 掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法 则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换； 求第K 条前向通道特记式的余子式k 。 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言
数学模型的分类有哪些？数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1. 按照模型的应用领域（或所属学科）分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2. 按照建立模型的数学方法（或所属数学分支）分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3. 按照模型的表现特性又有几种分法： 确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型． 静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量（主要是时间变量）取为离散还是连续的．虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4. 按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等． 5. 按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理 （数量关系方面）很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 221 1 1i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(1 11 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22112211 22112211 )(1 )1(+++=++++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 221 += ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 221211 )11()(+=+++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
《环境系统数学模型》课程教学大纲（Environmental System Mathematical Model）一、基本信息 课程编号：C2113215 课程类别：专业选修课 适用层次：本科 适用专业：环境工程、环境科学 开课学期：7 总学分：1.5 总学时：24学时 考核方式：考查 二、课程教育目标 环境系统数学模型是指用数学语言对环境系统各组成要素之间的关系进行描述，通过数学上的演绎推理和分析求解，使我们能够发掘出环境系统发展的内在规律，进而寻求到解决环境与经济之间的矛盾的有效途径。三、教学内容与要求 第一章：环境系统与数学模型（4学时） 教学内容：环境系统、数学模型 基本要求：了解环境系统和数学模型的定义与内在选择关 系，掌握建立环境系统数学模型的思路。 重点：模型建立的过程 难点：数学模型 第二章：环境质量模型（4学时） 教学内容：污染物运动的特征、模型的推导与解析 基本要求：掌握环境质量模型的推导、建立和解析的基本原 理和方法 重点：模型的推导与解析
难点：模型的推导与解析 第三章:水质模型（8学时） 教学内容：地表水一维、二维模型 基本要求：掌握河流、河口、近海、湖库、排污水的水质模 型的建立与解析 重点：河流、湖库、排污水、近海等水质模型 难点：河流三维水质模型 第四章：大气质量模型（8学时） 教学内容：大气污染预测模型、大气质量规划模型、大气污 染扩散模型 基本要求：了解大气污染预测模型和规划模型、掌握大气污 染扩散模型 重点：大气污染源扩散模型 难点：大气污染源扩散模型 四. 作业、练习的安排与要求 每章留有思考题或文献阅读。 五. 各个章节学时分配
第三部分 大环境系统模型——环境质量基本模型 计算题 1、河流中稳定排放污水，污水排放量)(q 为0.15m 3·s -1，污水中BOD 5=30mg·L -1，河流径流量)(Q 5.5 m 3·s -1，河水平均流速)(x u 为0.3 m 3·s -1，河水BOD 5的本底浓度为0.5 mg·L -1。已知，BOD 5的衰减速率常数12.0-=d k ，弥散系数 1210-?=s m D x 。试求排放点下游10km 处BOD 5的浓度。 解（1）求起始点的5BOD 初始浓度 根据一维稳态初始浓度式，有（P36） 12 ,c q i o Q c c Q q += + q —污水流量 5.50.50.1530 0.155.5 ?+?= + 1 1.2832()m g L -=? （2）求下游10km 处的5BOD 浓度 a.河流推流和弥散共同作用下的i c ,任一维稳态浓度分布公式，有： ,exp 12x i i o x u x c c D ?? ?=-?? ???? ? （P36） （3） 30.31010 00)101.2832e x p 210?????=?? ????? ? 1 1.18793() m g L -=? b.忽略弥散作用，只考虑推流的i c ,exp i i o x kx c c u ?? =- ??? P36（4） ()310.2/8640010101.2832exp 0.31.18791() mg L -?? ??=-?? ??=? 由题可见，在稳态条件下，考虑和忽略弥散，两者的计算结果几乎一致，说明存
在对流作用时。纵向弥散对污染物的影响可忽略。 2、连续点源排放，源强为50g.s -1，河流水深m .h 51=，流速-130s .m .u x =，横向弥散系数-125s .m D y =，污染衰减速率常数0=k 。试求： ⑴在无边界的情况下，)102000 ()(m ,m y ,x =处污染物的浓度； ⑵在边界上排放，环境宽度无限大时，)102000 ()(m ,m y ,x =处的污染物浓度； ⑶在边界上排放，环境宽度m B 100=时，)102000 ()(m ,m y ,x =处的污染物浓度。 解（1）依无边界条件下二维的连续点源稳态排放公式 若忽略横向流速y u =0，且纵向扩散的影响远小于推（对）流的影响0x D =P38（4）无边界 2(,)exp 4x i y x u y kx c x y D x u ????=--?? ??????? 则：20.310(2000,10)1452000i c ???=-??? ???? 1 0.17()m g L -=? （2）边界排放，环境宽度无限大的i c 依公式（5） 2exp 4x i y x u y kx c D x u ????=--?? ??????? 即此种情况下i c 为（1）的2倍 故21(2000,10)2(2000,10)0.34()i i c c mg L -==?（）（1） （3）边界上排放，且B=100m 时的i c 公式（6） 22211(2)(2)exp exp exp exp 444x x x i n n y y y x u y u nB y u nB y kx c D x D x D x u ∞∞==??????????-+? - +-+--??????? ?????????????????∑∑ 则： (3)(2000,10)i c =
1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）元胞自动机 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 以上为各类算法的大致介绍，下面的内容是详细讲解，原文措辞详略得当，虽然不是面面俱到，但是已经阐述了主要内容，简略之处还望大家多多讨论。 1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤： 构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 例：蒲丰氏问题 为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：
污水处理系统数学模型 摘要 随着水资源的日益紧缩和水环境污染的愈加严重，污水处理的问题越来越受到人们的关注。由于污水处理过程具有时变性、非线性和复杂性等鲜明特征，这使得污水处理系统的运行和控制极为复杂。而采用数学模型，不仅能优化设计、提高设计水平和效率，还可优化已建成污水厂的运行管理，开发新的工艺，这是污水处理设计的本质飞跃，它摆脱了经验设计法，严格遵循理论的推导，使设计的精确性和可靠性显著提高。数学模型是研究污水处理过程中生化反应动力学的有效方法和手段。计算机技术的发展使数学模型的快速求解成为可能，使这些数学模型日益显示出他们在工程应用与试验研究中的巨大作用。 对于污水处理，有活性污泥法、生物膜法以及厌氧生物处理法等污水处理工艺，其中以活性污泥法应用最为广泛。活性污泥法是利用自然界微生物的生命活动来清除污水中有机物和脱氮除磷的一种有效方法。活性污泥法污水处理过程是一个动态的多变量、强耦合过程，具有时变、高度非线性、不确定性和滞后等特点，过程建模相当困难。为保证处理过程运行良好和提高出水质量，开发精确、实用的动态模型已成为国内外专家学者普遍关心的问题。此外，由于污水处理过程是一个复杂的生化反应过程，现场试验不仅时间长且成本很高，因此，研究对污水处理过程的建模和仿真技术具有十分重要的现实意义。本文在充分了解活性污泥法污水处理过程的现状及工艺流程的基础上，深入分析了现有的几种建模的方法，其中重点分析了ASM1。ASM1主要适用于污水生物处理的设计和运行模拟，着重于生物处理的基本过程、原理及其动态模拟，包括了碳氧化、硝化和反硝化作用等8种反应过程；包含了异养型和自养型微生物、硝态氮和氨氮等12种物质及5个化学计量系数和14个动力学参数。ASMI的特点和内容体现在模型的表述方式、污水水质特性参数划分、有机生物固体的组成、化学计量学和动力学参数等四个方面。 关键词：污水处理系统，活性污泥，数学模型，ASM1
十大经典数学模型 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种