第23练 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1.(2016·安徽示范高中联考)??1
e ?
????2x +1x d x 等于( ) A .e 2
-2 B .e -1 C .e 2
D .e +1
2.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v =gt (g 为常数),则电视塔高为( ) A.1
2g B .g C.32
g D .2g
3.(2016·江西师大附中期末)若?
?1
2(x -a )d x =∫π
40cos 2x d x ,则a 等于( )
A .-1
B .1
C .2
D .4
4.(2016·淄博一模)如图所示,曲线y =x 2
-1,x =2,x =0,y =0围成的阴影部分的面积为( )
A .??02|x 2
-1|d x
B.????
??02(x 2
-1)d x
C.??0
2(x 2
-1)d x D.??01(x 2
-1)d x +??1
2(1-x 2
)d x
5.(2016·天津蓟县期中)由直线y =x 和曲线y =x 3
围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C .1
D .2
6.(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0
1x (2-x )d x 的值为( )
A.π4
B.
π2
C .π
D .2π
7.(2016·山西四校联考)定积分??-2
2|x 2
-2x |d x 等于( )
A .5
B .6
C .7
D .8
8.若函数f (x ),g (x )满足?
?1-1f (x )g (x )d x =0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组
正交函数.给出三组函数:
①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x +1,g (x )=x -1;③f (x )=x ,g (x )=x 2
.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3
二、填空题
9.(2016·江西高安二中段考)已知?
?a -a(sin x +3x 2
)d x =16,则正实数a 的值为________.
10.(2017·德州月考)如图,已知点A ? ??
??0,14,点P (x 0,y 0)(x 0>0)在曲线y =x 2
上,若阴影
部分面积与△OAP 面积相等,则x 0=________.
11.设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10,已知F (x )=x 2
+1且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位:m ;力的单位:N).
12.(2016·洛阳统考)用min{a ,b }表示a ,b 两个数中的较小的数,设f (x )=min{x 2
,x },那么由函数y =f (x )的图象、x 轴、直线x =1
2和直线x =4所围成的封闭图形的面积为
________.
答案精析
1.C [??1e
? ????1x
+2x d x =(ln x +x 2)??
?
e
1
=lne -ln 1+e 2-1=e 2
.]
2.C [由题意知电视塔高为?
?1
2gtdt =12gt 2|21=2g -12g =3
2g .]
3.B [∵??1
2
(x -a )d x =
π
4
?
cos2x d x ,
∴? ????12x 2-ax ???
2
1
=1
2
sin 2x ????
π
4
,
∴32-a =1
2
,解得a =1.故选B.] 4.A [由曲线y =|x 2
-1|的对称性,知所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等, 即??0
2|x 2
-1|d x
.]
5.B [∵曲线y =x 3
和曲线y =x 的交点为A (1,1)、原点O 和B (-1,-1), ∴由定积分的几何意义,可得所求图形的面积
S =2?
?0
1(x -x 3)d x =2? ????12x 2-14x 4???
1
0=2? ????12-14=1
2
.故选
B.]
6.A [∵y =x (2-x ),∴(x -1)2
+y 2
=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆, ∴定积分??0
1x (2-x )d x 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一,
∴定积分?
?0
1x (2-x )d x =π
4,故选A.]
7.D [|x 2
-2x |=????
?
x 2
-2x ,-2≤x <0,-x 2
+2x ,0≤x ≤2,
??-22
|x 2
-2x |d x =??-20
(x 2
-2x )d x +??02
(-x 2
+2x )d x
=? ????13x 3-x 2???
-2
+? ????-13x 3+x 2??
?
2
=8.]
8.C [①??-1
1f (x )g (x )d x =??-1
1sin 12x cos 1
2x d x
=12??-1
1sin x d x =(-12cos x )???
1
-1
=0,
故第①组是区间[-1,1]上的正交函数;
②??-11f (x )g (x )d x =??-11(x +1)(x -1)d x =??-1
1(x 2
-1)d x =(x 3
3-x )??
?
1
-1=-4
3
≠0,故第②组
不是区间[-1,1]上的正交函数;
③??-1
1f (x )g (x )d x =??-1
1x ·x 2
d x =?
?-1
1x 3
d x =x 44??
?
1
-1
=0,故第③组是区间[-1,1]上的正交函
数.
综上,满足条件的共有两组.] 9.2
解析 根据题意可得??-a
a (sin x +3x 2)d x =(-cos x +x 3)??
?
a
-a =2a 3
=16,
解得a =2. 10.
6
4
解析 ∵点P (x 0,y 0)(x 0>0)在曲线y =x 2
上,∴y 0=x 2
0, 则△OAP 的面积S =12|OA ||x 0|=12×14x 0=1
8x 0,
阴影部分的面积为
2
x x
x ?
d x =13x 3??
?
x 0
=13
x 3
0, ∵阴影部分面积与△OAP 的面积相等,
∴13x 30=18x 0,即x 2
0=38, 又x 0>0,∴x 0=38=6
4
. 11.342
解析 变力F (x )=x 2
+1使质点M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10所做的功为
W =??110
F (x )d x =??1
10
(x 2
+1)d x =? ????13x 3+x ???
10
1=342(J).
12.119
24
解析 如图所示,所求图形的面积为阴影部分的面积,即所求的面积 S
=
1
211
2119
d .24
x x x +
=
??
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 定积分及微积分基本定理练习题及答案
专题13 定积分与微积分基本定理知识点
7.微积分基本定理练习题