实数与数轴
重难点易错点辨析
实数与数轴．
题一：如图，在数轴上点A与点B之间的整数是 __ ．
实数比大小．
题二：比较大小：
(1)与；(2)与；(3)与．
金题精讲
题一：点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距个单位，则A、B两点之间的距离是__ __．
题二：数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，O为原点．
(1)线段长度：AB=，AC=，OC=．
(2)设C点表示的数为x，试求|x2|+x的值．
题三：设A、B均为实数，且，则A、B的大小关系是()
A．A＞B B．A=B C．A＜B D．A≥B
题四：比较下列各组数的大小．
(1)与；(2)与．
思维拓展
题一：若有理数m、n满足，求m+n的值．
实数与数轴
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：2．题二：(1)>；(2)<；(3)<．
金题精讲
题一：或．题二：(1)，，；(2)2．题三：D．题四：(1)<；(2)>．
思维拓展
题一：2．
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 轴对称图形 第二章 勾股定理与平方根 一．勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 二、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： 轴对称 轴对称的性质 轴对 称图形 线段 角 等腰三角形 轴对称的应用 等腰梯形 设计轴对称图案
（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2 =a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ± ”，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a 、b 是实数， ,0b a b a >?>- ,0b a b a =?=- b a b a
知识点总结 第一章三角形全等 一、全等三角形的定义 1、全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、理解： （1）全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关； （2）一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等； （3）三角形全等不因位置发生变化而改变。 二、全等三角形的性质 1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解： （1）长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；（2）对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。 2、全等三角形的周长相等、面积相等。 3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 三、全等三角形的判定 1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 3、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 4、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 四、证明两个三角形全等的基本思路 1、已知两边： （1）找第三边（SSS）； （2）找夹角（SAS）； （3）找是否有直角（HL）。 2、已知一边一角： （1）找一角（AAS或ASA）； （2）找夹边（SAS）。 3、已知两角： （1）找夹边（ASA）； （2）找其它边（AAS）。 第二章轴对称 一、轴对称图形 相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。 二、轴对称的性质 1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。 三、线段的垂直平分线 1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 2、判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
盐城景山中学八年级 数学试卷 一、选择题（每题3分，共8题，共24分） 1．下列表情中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．2的算术平方根是（） A．2 B．±2 C．D．± 3．在实数﹣、、、中，无理数的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，AB、CD相交于点E．若△AEC≌△BED，则下列结论中不正确的是（） A．AC=BD B．AC∥BD C．E为CD中点D．∠A=∠D 5．下列各组数是勾股数的是（） A．32，42，52 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．，，6．到三角形三边的距离都相等的点是三角形的（） A．三条角平分线的交点B．三条边的中线的交点 C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7．已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（） A．40 B．80 C．40或360 D．80或360 8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A′、B′的位置，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A ′OB′的度数是（）
A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 二、填空题（每题3分，共10题，共30分） 9．9的平方根是 ，计算：= ． 10．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为 度． 11．已知三角形ABC 中∠C=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB 上的高为 ． 12．若的值在两个整数a 与a+1之间，则a= ． 13．在镜子中看到时钟显示的时间是，实际时间是 ． 14．已知|x ﹣12|+|z ﹣13|与y 2﹣10y+25互为相反数，则以x 、y 、z 为三边 的三角形是 三角形． 15．如图，已知∠BAC=∠DAC ，请添加一个条件： ，使△ABC ≌△ADC （写出一个即可）． 16．如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在边BC 的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则EC 的长为 cm ． 17．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．若AB=9，AC=7，则△ADE 的周长是______． 18．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN 的度数为______°． 第15 题 第16 题 第17 题 第18 题 三、解答题（共66分） 19.（4分）()()22316338- +--
苏教版八年级上期中复习 一、几何部分： 1、已知∠AOB＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形. 2、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( ) A.80° B.70° C.75° D.60° 第2题 第4题 第5题 3、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的底角为 ； 4、如图,在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别在AC 、AB 上,且BD=BC,AD=DE=EB, 则∠A 的度数为 ； 5、在直角三角形ABC 中，∠ABC=90°,斜边AB 上有D 、E 两点，且AD=AB ，CB=CE ，则∠BDE ＝ ； 6、等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是 （ ） 7、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD,BD ⊥CD ，则∠C ＝ ； 8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD ，BC=BD, 则∠C ＝ ； 9、如图，△ABC 中，AB=AC ，D ，E 为BC 上的点，且AD=AE ，证明BD=CE ； 10、如图，△ABC 是等边三角形，CD 是AC 边上的高，延长CB 到E ，使BE=BD 。请问：CD 和DE 相等吗？为 A B C D A B C D E A B C A B C
什么？ 11、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论． 12、△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥ BC 于D ，BE ⊥ AC 于E ，AD 和BE 交于H ，且BE = AE ，求证：AH = 2BD 。 13、如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C，说明：CD=AB+BD ． B
苏教版八年级数学上册全书知识点归纳汇总大全 第 1 章全等三角形 一、全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的表示 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC ≌△ DEF ，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形有哪些性质 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： 1）:要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； 3）有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角” 、“公共边”、“对顶角” 5、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ SSS” ） 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS” ） 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA” ） 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS” ） 直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL）” 6、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全 等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180 ，°这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换 5、证明两个三角形全等的基本思路：一般来讲，应根据题设并结合图形，先确定两个三角形已知相等的边或角，然后按照判定公理或定理，寻找并证明还缺少的条件.其基本思路是： １）.有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者
苏科版数学八年级上册知识点 第一章 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等形。全等三角形的性质： 1、全等三角形的对应边相等 2、全等三角形的对应角相等 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ” 三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“ SSS ” 斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”） 第二章 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合， 那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称， 这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点 轴对称图形 那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴 垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 轴对称性质： 1、成轴对称的两个图形全等 2、如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称 4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上 线段的对称性： 1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴 2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等 3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上 F
角的对称性： 1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴 2、角平分线上的点到角的两边距离相等 3、到角的两边距离相等的点在角平分线上 等腰三角形的性质： 1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴 2、等边对等角 3、三线合一 等腰三角形判定： 1、两边相等的三角形是等边三角形 2、等边对等角 直角三角形斜边上中线等于斜边一半 等边三角形判定及性质： 1、三条边相等的三角形是等边三角形 2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 3、等边三角形每个角都等于60° (补充) 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形 等腰梯形性质： 1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴 2、等腰梯形在同一底上的两个角相等 3、等腰梯形对角线相等 等腰梯形判定： 1.、两腰相等的梯形是等腰梯形 2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 第三章 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a 2＋b 2＝c 2 勾股定理逆定理：如果一个三角形三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形
《实数》知识点解读 注意理解实数的概念 由于实际问题的需要我们引进了“无理数”，即无限不循环小数是无理数.即无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数. 有理数和无理数统称为实数.即实数这个大家庭里有有理数和无理数两大成员.就是说有理数和无理数是两类完全不同的数.一个实数，如果一个数是有理数，那么它一定不是无理数，反之，如果一个数是无理数，那么它一定不是有理数. 由此，有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数.另外，所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数的形式. 可见，从“有理数”扩充到“实数”，使得“实数”是初中数学中数的运算重要的基础知识. 注意知道无理数的几种常见表现形式 无理数一般有下列几种常见的表现形式： 第一类：π型，如2π，3π－1，2 π，…； 第二类：根号型，如2、－33、…； 第三类：小数型，如0.1201210012120001212…；－－3.36377377737777…； 以后我们还会接触另一类无理数，即锐角三角函数型. 注意掌握实数的分类 实数的分类可从两个角度去思考，即（1）按定义来分类；（2）按正、负数来分类.具体地可下表： 实数0????????????????????????? 正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数
实数???? ???????????负无理数负有理数负实数正无理数 正有理数正实数0 由此可见，0在实数里也扮演着重要角色.我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数. 注意正确理解实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，是有理数，就是无理数. 在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等.实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离. 利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，绝对值大的反而小. 另外，任何两个实数之间有无穷多个有理数和无穷多个无理数. 注意掌握实数的有关性质 实数和有理数一样也有许多的重要性质.具体地讲可从以下几方面去思考： 相反数：实数a 的相反数是－a ，0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的 绝对值是0. 实数a 的绝对值可表示为()()? ??<-≥=.0,0a a a a a 就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即a ≥0，并且有若x ＝a (a ≥0)，则x ＝±a . 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若 ab ＝1，则a 与b 互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数. 实数大小的比较：任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.利用数轴也可以比较两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的点所表示的数总比左边的点表示的数大. 实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行
内容：4.3实数（1） 班级: 姓名:____ ___使用日期：___ __ 【教学目标】 了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类，同时会判断一个数是有理数还是无理数。知道实数和数轴上的点一一对应。 【教学过程】 一.感情调节: 问题1：边长为1的正方形的对角线的长为多少？ 问题2：现有一个直角三角形，两个直角边分别为1，2，斜边为多少？ 二.新课学习： 自学内容(一)：概念探究（自主探究，掌握新知、新法！）课本P101 问题1，结合感情调节中的问题，试在数轴上画出表示2的点： 问题2，2是整数吗？2是分数吗？2是无限不循环小数吗？ 定义：1、无理数的概念：小数称为无理数。 有理数和无理数统称为。 2、实数的概念：和统称为实数，即实数可分为
和 3、实数的分类： 自学内容(二)：无理数可以用数轴上的点来表示课本P102 利用直尺和圆规在数轴上表示出表示10,5 的点. 结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都 表示一个数。与数轴上的点对应。 思考：10的整数部分是：，小数部分：，那5呢？ 三．自主小结:（适时小结，构建、完善知识体系！） 四．当堂检测：（当堂检测，熟练掌握新知、新法！） 1.判断：
（1） 无理数都是无限小数 （ ） (2）无限小数都是无理数 （ ） （3）2 π 是分数（ ） （4）227是无理数 （ ） 2. 在 ，﹣，，3.14，，，，，5π，0，，1.2626626662… 中，属于无理数的有 个． 3.5的整数部分是 小数部分是 4. 5,17 五．适度作业 班级： 姓名： （一）核心价值题： 1．实数－1.732，2 π，34，0.121121112…，01.0－中，无理数的个数有 （ ）. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5
苏科版数学八年级上期末试卷 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每题2分，共12分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2．平面直角坐标系内一点P （－2，3）关于原点对称的点的坐标是 ( ) A 、（3，－2） B 、（2，3） C 、（－2，－3） D 、（2，－3） 3．若数据2，x ，4，8的平均数是4，则这组数据的众数和中位数是 （ ） A 、3和2 B 、2和3 C 、2和2 D 、2和4 4．在88885858858885.0,)2(,14.3,2 2 , 4,3 0π - …,中无理数的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5．下列说法： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相垂直的四边形是菱形； （3）有一个角为直角且对角线互相平分的四边形是矩形； （4）菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍。 其中，正确的说法有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6．如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90o，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，则△BCD 的面 积是 ( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 二、填空题（每题2分，共24分） 7．函数y ＝x －3中自变量x 的取值范围是___________。 8．直线y ＝kx ＋b 经过一、二、四象限，则k 、b 应满足k _____0， b ____0 (填“＞”、“＝”或“＜”)。 9．点C 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，且在第三象限，则C 点坐标是 ． 10．小明的体重约为51.549千克，保留两个有效数字是__________；近似数1.69万精确到 位。
《实数》精品教案 ●教学目标： 知识与技能目标： 1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类 2、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小. 3、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、 绝对值的意义完全一样. 过程与方法目标： 1、在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。 2、能够逐步培养分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。 情感态度与价值观目标： 1、在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律 类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。 2、了解数系扩展对人类认识发展的必要性 ●重点： 1、了解实数意义，能对实数进行分类； 2、在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律； 3、明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。 ●难点： 利用数轴上的点表示无理数 ●教学流程： 一、课前回顾 1．有理数是如何分类的？分几种情况？ （1）按定义可分为：正整数 整数零 负整数 有理数正分数 分数 负分数
（2）按数的性质可分为： 正整数 正有理数 正分数 有理数零 负整数 负有理数 负分数 任何有理数都可以化成有限小数和无限循环小数的形式 2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数. 无理数一般有哪些形式? （1）开不尽方的数是无理数。 （ 2）π及含有π的数是无理数 （3）有一定的规律，但不循环的无限小数是无理数。 练一练 把下列各数分别填入相应的集合内： ， 1 4 ，π，﹣ 5 2 0, 0.3737737773……（相邻两个3之间的7的个数逐次加1） 有理数集合无理数集合 二、探究新知 1、实数的定义
苏科版2020—2021学年八年级数学上册第4章《实数》培优试题与简答 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．81的算术平方根为( ) A ．9 B ．9± C ．3 D ．3± 2．下列说法中正确的是( ) A ．带根号的数是无理数 B ．无理数不能在数轴上表示出来 C ．无理数是无限小数 D ．无限小数是无理数 3．在3.14159，4，1.1010010001?，4.21，π， 132中，无理数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若将三个数3-，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是( ) A ．3- B 7 C 11 D ．无法确定 5．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是( ) A ．0.1（精确到0.1) B ．0.05（精确到百分位） C ．0.05（精确到千分位） D ．0.0502（精确到0.0001) 610( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若x ，y 22(3)0x y x y +-+=，则x y +的值为( ) A ．0 B ．1- C ．1 D ．5 82(5)5x x -=-，则x 的取值范围是( ) A ．5x < B ．5x C ．5x D ．5x > 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 9．若6a b -+的算术平方根是2，21a b +-的平方根是4±，则53a b -+的立方根是 ． 105 2（填“>”或“<”或“=” )
11．38-的相反数是 ． 12．如果一个正数的平方根是3a +和215a -，则这个数为 ． 13．若25x =，则x = ． 14．已知21x y =??=?是二元一次方程组1413mx ny nx my +=??-=?的解，则3m n +的立方根为 ． 15．近似数56.5010?精确到 位． 16．若实数x 、y 满足|5|80x y -+-=，则以x 、y 的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 17．如图是马口生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角ABC ∠，而走“捷径 AC ” ，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC ”．已知40AB =米，30BC =米，他们踩坏草坪，只为少走 米的路． 18x 有意义，x 的取值范围是 ． 三．解答题（共6小题，满分46分，其中19题6分，20题8分，21题6分，22、23每小题8分，24题10分） 19．将下列各数填入相应的集合内． 7-，0.32，13 ，08123125π，0.1010010001? ①有理数集合{ }? ②无理数集合{ }? ③负实数集合{ }?． 20．计算 （1）32382(31)+ （2）23(6)98-． 21．已知|2020|2021m m m -+-，求22020m -的值．
苏科版八年级数学上册 知识要点 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
初二数学（上）期末复习各章知识点 第一章轴对称图形（知识点） 一、轴对称与轴对称图形 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形 的两个部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的 特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 二、线段、角的轴对称性 1．线段的轴对称性： ①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线， 另一条是这条线段的垂直平分线。 结论： 2．角的轴对称性： ①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。 ②角平分线上的点到角的两边距离相等。 ③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合 三、等腰三角形的轴对称性 1．等腰三角形的性质： ①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； ②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”） ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”) 2．等腰三角形的判定： ①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 3．等边三角形：
初二数学华东师大版实数与数轴同步练习 （答题时间：30分钟） （一）填空题 1. 计算()13125- =____________________________。 2. －216000的立方根是________。 3. 3 8 3的立方根是_______。 4. （-33）2的立方根是__________________________。 5. 已知,08,0362532=+=-y x 则y x +的值是____________. 6. 当642=a 时, .___________3=a 7. 在实数13 7,4,－6，0.444…，1.414，π中有______个无理数。 8. 在实数34,302.0,2020020002.2,0,5,64,7 222,3.0-----?? π中，有理数有______；无理数有___________;正实数有___________. （二）选择题 1. 和数轴上的点是一一对应的数为 （ ） （A ）整数 （B ）有理数 （C ）无理数 （D ）实数 2. 在下列条件中不能保证n a 是实数的是 （ ） （A ）n 为正整数，a 为实数 （B ） n 为正整数，a 为非负数 （C ）n 为奇数，a 为实数 （D ） n 为偶数，a 为非负数 3. 下面有4个判断： （1）两个实数之间，有无限多个实数 ；（2）两个有理数之间，有无限多个有理数 （3）两个无理数之间，有无限多个无理数；（4）两个整数之间，有无限个整数。 其中错误的判断有 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 4. 若2x 是有理数,则x 是（ ） （A ）有理数 （B ）整数 （C ）非负数 （D ）实数 （三）33532+π- （精确到0.01） （四）计算)2(8.124 53-?-+（结果保留三个有效数字） （五）比较大小：320-，36.7-
苏科版八年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A ．对角线互相垂直 B ．对角线互相平分 C ．对角线相等 D ．四个角都是直角 2．下列四个实数：22 3,0.1010017 π，3,，其中无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列四个实数中，属于无理数的是（ ） A ．0 B ．9 C ． 23 D ．12 4．下列各数中，是无理数的是（ ） A ．38 B ．39 C ．4- D ． 227 5．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和()n m n <，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ） A ．22320m mn n -++= B ．2220m mn n +-= C ．22220m mn n -+= D ．2230m mn n --= 6．如图，已知△ABC 的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是 （ ） A ．甲和乙 B ．甲和丙 C ．乙和丙 D ．只有乙 7．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=?垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（ ） A ．10 B ．14 C ．24 D ．15 8．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，3），则不等式﹣2x +b ＞0的解集为（ ）
A ．x ＞ 32 B ．x ＜ 32 C ．x ＞3 D ．x ＜3 9．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)- B ．(4,3)- C ．(4,3)- D ．()3,4- 10．在下列黑体大写英文字母中，不是轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ． 11．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．4,5,6 B ．1.5,2，2.5 C ．2,3,4 D ．1，2， 3 12．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ． 12 B ．0.5 C ． 5 D ．12 13．下列关于10的说法中，错误的是（ ） A ．10是无理数 B ．3104<< C ．10的平方根是10 D ．10是10的算 术平方根 14．下列图形中：①线段，②角，③等腰三角形，④有一个角是30°的直角三角形，其中一定是轴对称图形的个数（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 15．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点D ，△ABD 的周长为16cm ，AC 为5cm ，则△ABC 的周长为( ) A ．24cm B ．21cm C ．20cm D ．无法确定 二、填空题 16．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点A 的坐标为（－1，4）．将△ABC 沿y 轴翻折到第一象限，则点C 的对应点C′的坐标是_____．
八年级上§12.2 实数与数轴 课时1 作业 一、积累·整合 1、填空题 下列各数中：－4 1，7，3.14159,π,310,－34,0,0.?3,38,16,2.121122111222… （1）其中有理数有___________________________________. （2）无理数有_______________________________________. 2、判断正误 （3）不带根号的数都是有理数……………………………………………………… （ ） （4）带根号的数都是无理数……………………………………………………………（ ） （5）无理数都是无限小数………………………………………………………………（ ） （6）无限小数都是无理数………………………………………………………………（ ） 二、拓展·应用 3、借助计算器计算下列各题： (7)211-； (8)22111 1-；(9)222111 111-； (10)222 2111 111 11- . 仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果： （11） 三、探索·创新 4、阅读理解题 几百年前的某一天，数字王国的国王召集他的臣民们开会. 整数、分数等大批臣民纷纷到场，一时间会场里你推我挤，熙熙 嚷嚷，吵个不休.国王非常生气，就想了一个办法，让他们排排 站，他画了一条直线，指定直线上的某点O 为数零的位置，叫原 点，并且规定向右的方向为正方向，负整数和正整数分别站在原 点左右两侧指定的位置上，正分数和负分数在数O 的指挥下也找到了自己的位置，这时±2，±3,±5……,还有π等无理数不干了：“国王，我们站在哪里呢？”“别着急，
2020年苏科版八年级数学上册 实数 单元测试卷五 一、选择题 1.当14+a 的值为最小时，a 的取值为（ ） A.－1 B. 0 C. 4 1- D. 1 2. ()2 9-的平方根是x ，64的立方根是y ，则x +y 的值为（ ） A.3 B.7 C.3或7 D.1或7 3. 有下列说法： （1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数； （3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示. 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 3729--的平方根是（ ） A 9 B 3 C ±３ D ±９ 5. 若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（ ） A 1 B 0或1 C 0 D 非负数 6. 已知a 是实数，下列各数中一定有意义的是（ ） A 7．实数a ，b ||a b +的结果是（ ） b a 0 A. 2a+b B ．b C ．-b D ．-2a+b 8．若(x －y ＋3)2＝0，则x ＋y 的值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．5 9a －3，则a 的取值范围是 ( )
A ．a>3 B ．a ≥3 C ．a<3 D ．a ≤3 10．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示－2，设点B 所表示的数为m ，则1m +＋(m ＋6)的值为 ( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 11.下列各组数中互为相反数的是 （ ） Ａ、2-与2)2(- Ｂ、2-与38- Ｃ、2-与21- Ｄ、2-与2 12.若033=+y x ，则y x 和的关系是 （ ） A 、0==y x B 、 y x 和互为相反数 C 、 y x 和相等 D 、 不能确定 二、填空题 13..一正方形的边长变为原来的m 倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍. 14.若()03212=-+-+-z y x ，则x +y +z = . 15. 若1.1001.102= 1.0201=_______ . 16. 13的小数部分是 . 17. 16 的负的平方根是 ，2)5(-的平方根是 . 18. 3343的平方根是 . 19. 若x x -+有意义，则=+1x 20. 若a =2，则（2a-5）2-1的立方根是＿＿＿＿． 21.. 用“※”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有a ※b=1+b ，如8※9=19+．按照此规定, 计算m ※（m ※16）=_______． 22．若21x y =??=? 是二元一次方程组71mx ny nx my +=??-=-?的解，则m ＋5n 的立方根为_______．
第一章三角形全等 1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 理解:①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关; ②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等 ．．； ③三角形全等不因位置发生变化而改变。 2、全等三角形的性质： ⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解:①长边对长边,短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角； ②对应角的对边为对应边,对应边对的角为对应角。 ⑵全等三角形的周长相等、面积相等。 ⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定: ①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 ②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 ③推论（AＡS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ④边边边公理(ＳSS）有三边对应相等的两个三角形全等。 ⑤斜边、直角边公理(HＬ）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、证明两个三角形全等的基本思路: ⑴已知两边:①找第三边(ＳSS);②找夹角(SAS)；③找是否有直角(HL). ⑵已知一边一角：①找一角（ＡAS或ＡSA)；②找夹边(ＳAＳ）． ⑶已知两角：①找夹边（AＳA);②找其它边(AAS).
第二章轴对称 １、轴对称图形相对一个图形的对称而言;轴对称是关于直线对称的两个图形而言。 2、轴对称的性质: ①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂 直平分线; 3、线段的垂直平分线： ①性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 ②判定定理:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点 ．．．．的距离相等 ４、角的角平分线： ①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。 拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三．条边 ．．的距离相等。 5、等腰三角形: ①性质定理: ⑴等腰三角形的两个底角相等;（等边对等角） ⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（三线合一) ②判断定理: 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边） ６、等边三角形: ①性质定理: ⑴等边三角形的三条边都相等; ⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°； 拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一 ．．．．这性质。 ②判断定理: ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形； ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形;有两个角是60°的三角形是等边三角形； ⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
第二章：实数 知识梳理 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。 （3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235= - （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x 。