锐角三角函数
知识考点：
本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比（a 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。
精典例题：
【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长；
（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 2
2
cos
sin
+的值；
（4）比较sinA 、cosB 的大小。 分析：在Rt △ABC 中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA 、cosA 的大小，从而便可以计算出A A 2
2
cos
sin
+的大小，即可比较sinA 与cosB 的大小。
答案：（1）AB ＝13； （2）sinA ＝13
5，cosA ＝
13
12；
（3）1cos
sin
2
2
=+A A ； （4）sinA ＝cosB
变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900
，5=
a ，2=
b ，则sinA ＝ 。
（2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 答案：（1）
3
5；（2）6
【例2】计算：0
20045sin 30cot 60sin +?
解：原式＝2
)2
2(32
3+?＝
2
12
3+＝2
注意：熟记00、300、450、600、900角的三角函数值，并能熟练进行运算。
【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900
，2
5tan =
B ，那么cosA （ ）
A 、
2
5 B 、
3
5 C 、
5
52 D 、
3
2
分析：由三角函数的定义知：
斜边
的对边A A ∠=cos ，又因为2
5tan =
B ，所以可设k A
C 5=，k BC 2=)0(>k ，
由勾股定理得k AB 3=，不难求出3
535cos =
=
k
k A
答案：B
变式：已知α为锐角，且5
4cos =
α，则ααcot sin +＝ 。
略解：可设α为Rt △ABC 的一锐角，∠A ＝α，∠C ＝900
∴AC ＝k 4，AB ＝k 5，则BC ＝k 3 ∴15
2934533453cot sin =+=+=
+k
k k
k αα
评注：直角三角形中，只要知道其中任意两边的比，可通过勾股定理求出第三边，然后应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值。
【例4】已知3cot tan =+αα，α为锐角，则αα22cot tan +＝ 。 分析：由定义可推出1cot tan =?αα
∴723cot tan 2)cot (tan cot tan 2222=-=?-+=+αααααα 评注：由锐角三角函数定义不难推出1cos
sin
2
2
=+A A ，1cot tan =?αα，它们是中考中常用的“等式”。
探索与创新：
【问题】已知009030<<<βα，则αβαβcos 12
3cos )cos (cos 2-+-
--＝ 。
分析：α在00～900范围内，sin α、tan α是随α的增大而增大；cos α、cot α是随α的增大而减小。∴cos β－cos α
＜0，又不难知道cos300＝2
3，cos00＝1，∴2
3cos -
β＜0，αcos 1-＞0。
∴原式＝αββαcos 12
3cos cos cos -+-
+-＝
2
3
2-
变式：若太阳光线与地面成α角，300＜α＜450，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=） A 、3＜h ＜5 B 、5＜h ＜10 C 、10＜h ＜15 D 、h ＞15 略解：∵300＜α＜450
∴tan300＜α＜tan 450 而αtan 10=h
∴0
45tan 1030tan 10< 跟踪训练： 一、选择题： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若4 3tan = A ，则sinA ＝（ ） A 、 3 4 B 、 4 3 C 、3 5 D 、 5 3 2、已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ） A 、600＜α＜900 B 、00＜α＜600 C 、300＜α＜900 D 、00＜α＜300 3、若1)10tan(30 =+α，则锐角α的度数是（ ） A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子不一定成立的是（ ） A 、cosA ＝cos B B 、cosA ＝sinB C 、cotA ＝tanB D 、2 cos 2 sin B A C += 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，3 1tan = A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 6、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ） A 、β sin 100米 B 、βsin 100米 C 、β cos 100米 D 、βcos 100米 7、计算0 030cot 3 360cos + 的值是（ ） A 、 2 7 B 、 6 5 C 、 2 3 D 、 2 23+ 二、填空题： 1、若α为锐角，化简αα2 sin sin 21+-＝ 。 2、已知135cot cot 0=?β，则锐角β＝ ；若tan α＝1（00≤α≤900 ）则)90cos(0α-＝ 。 3、计算020*******sin 21cot 90cos 48tan 42tan 27sin +?-?+＝ 。 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若AC ∶AB ＝1∶3，则cotB ＝ 。 5、△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则cosB ＝ 。 6、已知，在△ABC 中，∠A ＝600，∠B ＝450 ，AC ＝2，则AB 的长为 。 三、计算与解答题： 1、0 90cot 0cos 45tan 60cos 0tan 30sin 90sin ?-?+++； 2、△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2 =-+-A B ，试确定△ABC 的形状。 3、已知0 60sin =a ，0 45cos =b ，求a b b b a b a -+-+2的值。 四、探索题： 1、△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，则 CB CD 等于（ ） A 、cotA B 、tanA C 、cosA D 、sinA 2、如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ） A 、 α sin 1 B 、 α cos 1 C 、αsin D 、1 3、已知m =+ααc os sin ，n =?ααcos sin ，则m 与n 的关 系是（ ） A 、n m = B 、12+=n m C 、122 +=n m D 、n m 212 -= 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足02 2 =--b ab a ，则tanA 等于（ ） α A 、1 B 、 2 5 1+ C 、 2 5 1- D 、 2 5 1± 跟踪训练参考答案 一、选择题：DAAAD ，BC 二、填空题： 1、1－sin α； 2、550 ，2 2；3、2；4、22；5、 3 1；6、31+ 三、计算与解答题： 1、2； 2、等边三角形； 3、625+ 四、探索题：CACB
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